阵列信号处理答案

1 阵列信号模型通常情况下，考虑M 元等距线阵，阵元间距为d ，且假设阵元均为各向同性阵元。

如图2.1所示，每个阵元后面接一路接收机，各阵元接收的信号进入自适应阵列处理器进行加权相加，得到阵列输出。

远场处有一个期望信号和P 个窄带干扰以平面波入射（波长为λ），期望信号到达角度为0θ，P 个干扰的角度分别为()1,2,,k k p θ= ，图2.1中Rc 代表各阵元接收机，()()()12,,,M x t x t x t 分别为M 个接收通道的输出信号，12,,,M w w w 分别为对各阵元通道接收信号的加权值。

()t w 阵列输出波前（等相位图2.1 自适应阵列空间位置关系示意图阵列接收的快拍数据可以表示为()()()t t t =+X AS n(2-1)式中，()t X 为1M ⨯阵列接收数据向量，()()()()12,,,TM t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦X 。

[]T表示对矩阵进行转置，()t n 为1M ⨯的噪声向量，()()()()01,,,TP t s t s t s t =⎡⎤⎣⎦S 为信号复包络向量，()k s t 为第k 个信源复包络，()()()01,,,P θθθ=⎡⎤⎣⎦A a a a 为信号指向矩阵，其中，()()(1)1,,,,0,1,i iTj j N i i e e i P ββθ-⎡⎤===⎣⎦a a 为第i 个信号源的导向矢量，即2sin i i d πβθλ=(2-2)定义阵列的协方差矩阵为()()2H H x s n E t t σ⎡⎤==+⎣⎦R X X AR A I (2-3)式中，()()H s E t t ⎡⎤=⎣⎦R S S 为信号的协方差矩阵，I 为M 维单位矩阵，2n σ为阵元的噪声功率，本文中约定，[]T表示转置，[]*表示共轭，[]H表示共轭转置。

式(2-3)常由接收数据采样协方差矩阵ˆx R 代替，即()()11ˆNH xiii t t N==∑R x x(2-4)如图2.1所示的自适应阵列模型，阵列的M 个通道接收信号经加权处理后，最后的输出信号为()()()1MH i i i y t w x t t *===∑w x(2-5)阵列的方向图()p θ定义为()()H p θθ=w a(2-6)调整自适应阵列的权矢量w ，可以改变阵列的方向图，即改变各个方向上入射信号增益。

阵列信号处理（Array Signal Processing）1. 简介阵列信号处理是一种利用多个传感器或微phones接收到的信号进行处理的技术。

这些传感器通常以阵列的形式排列在一起，可以在空间上对信号进行采样。

阵列信号处理技术可以用于各种应用，包括无线通信、雷达、声音定位和语音增强等领域。

在阵列信号处理中，经常会使用到点扩散函数（Point Spread Function，PSF）和反卷积（Deconvolution）等概念。

本文将详细介绍这些特定函数的定义、用途和工作方式。

2. 点扩散函数（Point Spread Function，PSF）2.1 定义点扩散函数（PSF）是指在观察到一个点源时，系统输出的响应。

点源可以是一个理想的点光源、点声源或点热源等。

PSF描述了系统对于一个点源的感知能力，可以用于评估系统的分辨率和信号传输特性。

2.2 用途PSF在阵列信号处理中具有广泛的应用，主要用于以下几个方面：2.2.1 分辨率评估PSF可以用于评估系统的分辨率，即系统能够分辨并显示的最小特征尺寸。

通过分析PSF的形状和尺寸，可以确定系统的分辨率限制，进而优化系统设计和参数设置。

2.2.2 反卷积PSF还可以用于图像或信号的反卷积处理。

在实际应用中，由于传感器和系统的限制，观测到的信号往往受到模糊和失真的影响。

通过将观测到的信号与PSF进行卷积运算的逆过程，可以恢复出原始信号的更清晰的图像或声音。

2.2.3 信号重构PSF在阵列信号处理中也可以用于信号重构。

通过对多个传感器接收到的信号进行处理和分析，可以利用PSF将信号的不同成分分离出来，从而实现信号的重构和定位。

2.3 工作方式PSF的工作方式可以通过以下几个步骤来理解：2.3.1 系统建模首先，需要对阵列系统进行建模。

这包括确定阵列的几何结构、传感器的位置和响应特性等。

通过建模，可以得到系统的传递函数，即系统对于输入信号的响应。

2.3.2 点源输入接下来，将一个点源输入到系统中，观察系统的输出。

信号子空间：设N 元阵接收p 个信源，则其信号模型为：()()()()1piiii x t s t a N t θ==+∑在无噪声条件下，()()()()()12,,,P x t span a a a θθθ∈L称()()()()12,,,P span a a a θθθL 为信号子空间，是N 维线性空间中的P 维子空间，记为P N S 。

P N S 的正交补空间称为噪声子空间，记为N P N N -。

正交投影设子空间m S R ∈，如果线性变换P 满足，()1),,,2),,,0m mx R Px S x S Px x x R y S x Px y ∀∈∈∀∈=∀∈∀∈-=且则称线性变换P 为正交投影。

导向矢量、阵列流形设N 元阵接收p 个信源，则其信号模型为：()()()()1piiii x t s t a N t θ==+∑，其中矢量()i ia θ称为导向矢量，当改变空间角θ，使其在空间扫描，所形成的矩阵称为阵列流形，用符号A 表示，即(){|(0,2)}a A θθπ=∈波束形成波束形成（空域滤波）技术与时间滤波相类似，是对采样数据作加权求和,以增强特定方向信号的功率，即()()()()HHy t W X t s t W a θ==，通过加权系数W 实现对θ的选择。

最大似然已知一组服从某概率模型()f X θ的样本集12,,,N X X X K ，其中θ为参数集合，使条件概率()12,,,N f X X X θK 最大的参数θ估计称为最大似然估计。

不同几何形态的阵列的阵列流形矢量计算问题假设有P 个信源，N 元阵列，则先建立阵列的几何模型求第i 个信源的导向矢量()i i a θ 选择阵元中的一个作为第一阵元，其导向矢量()1[1]i a θ=然后根据阵列的几何模型求得其他各阵元与第一阵元之间的波程差n ∆，则确定其导向矢量()2jn i a eπλθ∆=最后形成N 元阵的阵列流形矢量()11221N j j N Pe A e πλπλθ-∆∆⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 例如各向同性的NxM 元矩形阵，阵元间隔为半个波长，当信源与阵列共面时：首先建立阵列几何模型：对于第m 行、第n 列的阵元，其与第1行、第1列阵元之间的波程差为(1)sin()(1)cos()mn i i n d m d θθ∆=---故：()1122(sin()cos())22((1)sin()(1)cos())11N j j d j j d N M NM P NM Pe e A e e ππθθλλππθθλλθ-∆-∆---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M M而当信源与阵列不共面时： 首先将信源投影到阵列平面然后建立阵列模型对于第m 行、第n 列的阵元，其与第1行、第1列阵元之间的波程差为[(1)sin()(1)cos()]sin()mn i i i n d m d θθϕ∆=-+-故：()1122(sin()cos())cos()22((1)sin()(1)cos())cos()11N j j d j j d N M NM P NM Pe e A e e ππθθϕλλππθθϕλλθ-∆-∆---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M M线性约束最小方差准则（LCMV ）的自适应波束形成算法： 对于信号模型：()()()0X t s t a J N θ=++， 波束形成输出：()()()()0()H H H yt W X t s t W a W J N θ==++LCMV 准则实际上是使()0HW a θ为一个固定值的条件下，求取使得()HWJ N +方差最小的W 作为最有权值，即：()0min .H X W HW R Ws t W a Fθ⎧⎪⎨⎪=⎩，其中F 为常数利用拉格朗日乘子法可解得：()10X opt W R a μθ-=当取1F =时，则()()11H X a R a μθθ-=，μ的取值不影响SNR 和方向图。

信号子空间：设N 元阵接收p 个信源，则其信号模型为：()()()()1piiii x t s t a N t θ==+∑在无噪声条件下，()()()()()12,,,P x t span a a a θθθ∈称()()()()12,,,P span a a a θθθ 为信号子空间，是N 维线性空间中的P 维子空间，记为P NS 。

PN S 的正交补空间称为噪声子空间，记为N P N N -。

正交投影设子空间m S R ∈，如果线性变换P 满足，()1),,,2),,,0m mx R Px S x S Px x x R y S x Px y ∀∈∈∀∈=∀∈∀∈-=且则称线性变换P 为正交投影。

导向矢量、阵列流形设N 元阵接收p 个信源，则其信号模型为：()()()()1piiii x t s t a N t θ==+∑，其中矢量()i ia θ称为导向矢量，当改变空间角θ，使其在空间扫描，所形成的矩阵称为阵列流形，用符号A 表示，即(){|(0,2)}a A θθπ=∈波束形成波束形成（空域滤波）技术与时间滤波相类似，是对采样数据作加权求和,以增强特定方向信号的功率，即()()()()HHy t W X t s t W a θ==，通过加权系数W实现对θ的选择。

最大似然已知一组服从某概率模型()f X θ的样本集12,,,N X X X ，其中θ为参数集合，使条件概率()12,,,N f X X X θ 最大的参数θ估计称为最大似然估计。

不同几何形态的阵列的阵列流形矢量计算问题假设有P 个信源，N 元阵列，则先建立阵列的几何模型求第i 个信源的导向矢量()i i a θ 选择阵元中的一个作为第一阵元，其导向矢量()1[1]i a θ=然后根据阵列的几何模型求得其他各阵元与第一阵元之间的波程差n ∆，则确定其导向矢量()2jn i a eπλθ∆=最后形成N 元阵的阵列流形矢量()11221N j j N Pe A e πλπλθ-∆∆⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 例如各向同性的NxM 元矩形阵，阵元间隔为半个波长，当信源与阵列共面时：首先建立阵列几何模型：对于第m 行、第n 列的阵元，其与第1行、第1列阵元之间的波程差为(1)sin()(1)cos()mn i i n d m d θθ∆=---故：()1122(sin()cos())22((1)sin()(1)cos())11N j j d j j d N M NM P NM Pe e A e e ππθθλλππθθλλθ-∆-∆---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而当信源与阵列不共面时： 首先将信源投影到阵列平面然后建立阵列模型对于第m 行、第n 列的阵元，其与第1行、第1列阵元之间的波程差为[(1)sin()(1)cos()]sin()mn i i i n d m d θθϕ∆=-+-故：()1122(sin()cos())cos()22((1)sin()(1)cos())cos()11N j j d j j d N M NM P NM Pe e A e e ππθθϕλλππθθϕλλθ-∆-∆---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性约束最小方差准则（LCMV ）的自适应波束形成算法： 对于信号模型：()()()0X t s t a J N θ=++， 波束形成输出：()()()()0()H H H yt W X t s t W a W J N θ==++LCMV 准则实际上是使()0HW a θ为一个固定值的条件下，求取使得()HWJ N +方差最小的W 作为最有权值，即：()0min .H X WHW R Ws t W a Fθ⎧⎪⎨⎪=⎩，其中F 为常数利用拉格朗日乘子法可解得：()10X opt W R a μθ-=当取1F =时，则()()11H X a R a μθθ-=，μ的取值不影响SNR 和方向图。