六年级上册数学鲁教版代数式第2课时参考学案

2.2.4 第1课时 均值不等式知识点一 重要不等式对任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当 时，等号成立． 体验1．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．4知识点二 算术平均值与几何平均值给定两个正数a ，b ，数 称为a ，b 的算术平均值；数ab 称为a ，b 的几何平均值． 知识点三 均值不等式1．均值不等式：如果a ，b 都是正数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当 时，等号成立．2．几何意义：所有周长一定的矩形中， 的面积最大． 思考1．均值不等式中的a ，b 只能是具体的数吗？思考2.均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？3．均值不等式的常见变形(1)当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ； (2)若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. 体验2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.( )体验3.已知x ＞0，则y ＝x ＋3x ＋2的最小值是________． 体验4.当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是______．(填序号)①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab . 题型探究类型1 对均值不等式的理解 【例1】 给出下面三个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4； ③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2.其中正确的推导为( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③规律方法均值不等式使用的条件是什么？[提示] 利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立)． 跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4； ③若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 类型2 利用均值不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋a b ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2ab a ＋b≥ab(2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________． 规律方法1．在理解均值不等式时，从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意不等式成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞P类型3 利用均值不等式证明不等式【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． 当堂达标1．对于任意a ，b ∈R ，下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋b 2≥abB ．a ＋1a ≥2C ．b a ＋a b≥2D ．⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2 2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －b <0B ．0<a b<1C ．ab <a ＋b2D ．ab >a ＋b3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 24．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－55．若a ＞0，b ＞0且2a ＋1b ＝3，则ab 的最大值为________．课堂小结回顾本节知识，自我完成以下问题：1．试比较不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 的区别与联系．[提示] (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的．前者要求a ，b是实数即可，而后者要求a ，b 都是正实数(实际上后者只要a ＞0，b ＞0即可)．(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a ＝b 时，等号成立”．2．使用均值不等式应注意哪几点？[提示] (1)均值不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0. (2)常见的变形：a ＋b ≥2ab ，ab ≤a 2＋b 22，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. (3)“当且仅当a ＝b 时，取等号”的含义： a ＝b ⇔a ＋b2＝ab .(4)a ，b 可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，但应保证a ＞0，b ＞0.参考答案知识点梳理知识点一 重要不等式 a ＝b体验1．【答案】C【解析】xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．知识点二 算术平均值与几何平均值 a ＋b2知识点三 均值不等式 1．a ＝b 2．正方形思考1．[提示] a ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 思考2. [提示] 不能．如a ＝－3，b ＝－4，均值不等式不成立． 3．均值不等式的常见变形 (2)≤.体验2.【答案】(1)× (2)× (3)√【解析】(1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. 体验3.【答案】23＋2【解析】∵x ＞0，3x ＞0，∴y ≥23＋2，当且仅当x ＝3x ，即x ＝3时等号成立．体验4.【答案】③【解析】根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．题型探究类型1 对均值不等式的理解 【例1】【答案】B【解析】①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件，∴4a＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx提出负号后，⎝⎛⎭⎫－x y ，⎝⎛⎭⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． 跟踪训练1．【答案】②【解析】①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即当x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2 利用均值不等式比较大小 【例2】【答案】(1)D (2)p ＞q【解析】(1)由a ＋b 2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立；∵b a ＋a b≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .∴p ＞q . 跟踪训练2．【答案】B【解析】显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛ 由a ＋b ＞(a ＋b )24⎭⎫也就是a ＋b 4＜1可得，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q . 类型3 利用均值不等式证明不等式【例3】证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2b a ·ab＋2c a ·a c＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c >9.当堂达标 1．【答案】D【解析】A 选项，当a ＜0，且b ＜0时不成立；B 选项，当a ＜0时不成立；C 选项，当a 与b 异号时不成立．故选D ． 2．【答案】C【解析】∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b 2一定成立．3．【答案】B【解析】∵ab ＜⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴ab ＜14，∴2ab ＜12.∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12， ∴a 2＋b 2＞12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2 ＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大． 4．【答案】C【解析】由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．5．【答案】98【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋1b ＝3≥22a b ，当且仅当2a ＝1b ，即a ＝34，b ＝23时，等号成立，所以a b ≤98.。

4.1等式与方程（1）【学习目标】 1、能找出简单问题中的数学量，分清各数量之间的联系，根据等量关系列出方程2、能说出什么样的方程是一元一次方程，并根据定义判断是否是一元一次方程3、能准确找出方程的解，说出方程的解和解方程的概念。

4、通过对实际问题的分析解决，感受方程是刻画现实生活的有效数学模型【学习重点】一元一次方程的认识、解决实际问题的数学模型【学习难点】对方程建模的理解【学习过程】一、学习准备1、我们在小学已经学习了方程，请选出下列各式中的方程。

(1) 4+3=7 (2) 2x-5 (3) 3x+1=16 (4) 7+9×6忆一忆：方程是含有_________的；所有的方程都具备两个特征：一是_____________，二是。

2、我们学过路程s，时间t和速度v的关系是，这个公式可以变形为和。

3、某工厂去年产量为a,年增长率为a%,则该工厂今年的产量为___________，还可以表示为___________。

二、探究新知（一）一元一次方程●定义学习的准备阅读教材120-121页的实际应用题，要求1、读懂每一小节的题意，找到每一题中的数学信息2、找出每一题的等量关系3、根据等量关系完成课本填空●一元一次方程特征的认识仔细观察你所列的方程，找到每一个方程中未知数x的位置，x的系数与x的指数，你发现方程________________ ，________________ ，________________ 有练习：方程2t＋1＝7－t的解是（1）t＝－2 （2）t＝2 （3）t=3 （4）t=42、方程的解必须满足什么条件？你如何验证某一数值是否是方程的解?方程的解必须满足：。

方程解的验证方法：。

四、达标检测【学习测评】：1.判断下列方程是否是一元一次方程（1）80%x=60（2）－ =2 （3）x-xy=0（4）2－x=x－1（5）5－3=2 （6）9x2 +9=18 （7）32x+1=8 （8）y(y-1)=3一元一次方程有_______________ ____。

课型：综合课 使用日期： 月 日 使用人： 【目标定向】：（1′）在经历有一般到特殊的过程中能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性。

【限时预习】：（15′）（一） 预习提纲：认真自学课本107页内容，并把问题解答在课本上。

学法指导：引例1和引例2既可以用几何图形的变化规律解决，也可以用数字的变化规律解决。

（二） 预习检测：1．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。

A 、12+nB 、12-nC 、n 2D 、2+n2．观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A ．22n +B ．44n +C ．44n -D ．4n3．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．4．观察下列等式：221.4135-=⨯； 222.5237-=⨯； 223.6339-=⨯ 224.74311-=⨯；………… 则第n （n 是正整数）个等式为________.5．有一列数1234251017--，，，…，那么第7个数是 ． 三、小组展示（14′）1、数学小组长分配展示任务。

2、开始讨论，及时记录疑难问题。

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形………第1个第2个第3个(1)(2) (3) …… 3、学生展示，教师释疑。

4、知识梳理，巩固提高。

四、【当堂训练】（10′）1.王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n 个“中”字形图案需 火柴棒 根。

2.是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．- 3．（2009年青海）观察下面的一列单项式：x ，22x -，34x ，48x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n 个单项式为 . 五、课后作业11.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．一、预习检测1.参照课本第 2 页的导游图(1)发现了亭子的顶端是__________，下面的支柱是(2)削好的一支铅笔，一部分是_______，另一部分是就在于圆柱有_______底面，而圆锥只有_______底面，上面是一个。

六年级数学上册第四章 3《一元一次方程的应用》教案鲁教版五四制1、导课同学们，在上节课我们学习了方程，那么究竟方程是怎样运用于我们的生活的，这节课我们将继续研究方程解决生活中的实际问题。

2、新授（一）讨论教材提供的问题情境。

1、通过师生交流，获得问题的初步解。

并在求解的过程中关注学生在写代数式方面的情况。

使用‘学乐师生’拍照、录像，收集学生典型成果，在‘授课’系统中展示。

2、想一想3、做一做4、议一议（二）深化训练1、讨论教材中的“做一做”：进一步丰富整式的实际背景，并且因此引出用方程解决实际问题，讨论出用方程解决实际问题的基本步骤：理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答（1）一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装的每件的成本是多少？(2)在这一问题情境中哪些是未知数？哪些是已知数？如何设未知数？相等关系是什么？(3)用含未知数的代数式表示：每件服装的标价：每件服装的实际售价为：每件服装的利润为：由此列出方程：同学们完整地写出此题的过程、由一学生板演、解：设这种服装每件的成本价为x元，根据题意得：(1+40%)80%x －x=15解得：x=125答：每件服装的成本价为125元、2、小明把压岁钱按定期一年存入银行、到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507、92元、问小明存入银行的压岁钱有多少元？分析本金多少？利息多少？利息税多少？设哪个未知数为？根据哪个等量关系列出方程？如何解方程？解设小明存入银行的压岁钱有元，则到期支取时，利息为2、25%元，应缴利息税为2、25%20%x=0、0045元、根据题意，得+2、25%80%=507、92、解这个方程，得 =498（元）、答：小明存入银行的压岁钱有498元、3、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶、出发后经3时两人相遇、已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1时乙到达A地、问甲、乙行驶的速度分别是多少？相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程；相遇后乙行驶的路程 = 相遇前甲行驶的路程、解设甲行驶的速度为千米/时，则相遇前甲行驶的路程为3千米，乙行驶的路程为（3+90）千米，乙行驶的速度为千米/时，由题意，得、解这个方程，得=15、检验：=15适合方程，且符合题意、将=15代入，得==45、答：甲行驶的速度为15千米/时，乙行驶的速度为45千米/时、4、想一想如果设乙行驶的速度为千米/时，你能列出有关的方程并解答吗？3、练习1、育红学校七年级学生步行到郊外旅行。

有理数的加法【学习目标】1.理解有理数加法的意义2.借助问题准确理解有理数的加法法那么3.能较为熟练地进展有理数的加法运算【温故互查】〔二人小组完成〕1.如果向东走5米记作+5米，那么向西走3米记作__________.2.一个不等于0的有理数可看作由哪两个局部组成？3.比拟以下各组数绝对值的大小？〔1〕－22与15〔2〕－21 与 31 【问题导学】1.向东走5米，再向东走3米，两次一共向东走了多少米？2.向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？3. 向东走5米，再向西走3米， 两次一共向东走了多少米？4.向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？5.向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？6.向西走5米，再向东走0米，两次一共向东走了多少米？认真观察刚刚的结论，你发现了什么？1. 5 + 3 = 82. 〔-5〕+〔-3〕=-8 同号两数相加3. 5 +〔-3〕= 24. 3 +〔-5〕= -2 异号两数相加5. 5 + 〔-5〕=06. 〔-5〕+ 0 =-5 一数和零相加总结：有理数加法法那么：【自学检测】【例1】计算：〔-3〕+〔-9〕；.例2 (1)〔+4〕+〔-7〕(2)〔-8〕+〔-3〕(3)〔-9〕+〔+5〕(4)〔-6〕+〔+6〕(5)〔-7〕+0(6) 8+〔-1〕(7)〔-7〕+1(8) 0+〔-10〕例3 计算〔1〕15+〔-22〕〔2〕〔-13〕+〔-8〕〔3〕〔-0.9〕+1.5〔4〕2.7+〔-3.5〕【巩固训练】1.如果两个数的和是正数，那么〔〕(A)这两个加数都是正数(B)一个加数为正，另一个加数为零(C)这两个加数一正一负，且正数的绝对值较大 (D)必属于上面三种情况之一2.一个数的相反数是8，另一个数的相反数是－3，那么这两个数的和为〔〕．(A)5 (B)－5 (C)8 (D)－83.〔荆州·中考〕温度从－2 ℃上升3 ℃后是〔〕(A)1 ℃ (B)－1 ℃(C)3 ℃ (D)5 ℃4.计算：〔1〕〔+2〕+〔-11〕；〔2〕〔+20〕+〔+12〕；〔3〕〔-3.4〕+4.3；〔4〕0+〔-2〕．5计算：(1)8+(-6); (2)(-11)+(-12);(3)(-83)+23; (4)(-2 012)+2 012【拓展延伸】1.假设|a|=3，｜b｜=6，那么|a+b|=( )(A)9 (B)3 (C)-3或-9 (D)3或92.一个数是2的相反数，另一个数比-3大4，那么这两个数的和是______.3.如果｜a+1｜+|b-2|=0,那么a+b=______.4.把-7,-3,1,5,9这五个数填入如下图的方格内,使横竖方向上的数的和相等,你有几种填法?(至少填出三种).参考答案【自学检测】例1、-12例2：-3；-11；-4；0；-7；7；-6；-10 例3：-7；-21；0.6；-0.8【巩固训练】1、D2、B3、A4、 -9；32；0.9；-25、2；-23；-2；0拓展延伸】1、D2、-13、14。

《整式》
一、学习目标
知识与技能目标：能充分理解单项式的特征，能分辨一个代数式是不是单项式；能写出一个单项式的系数与次数；能根据条件，写出符合条件的单项式。

过程与方法目标：通过尝试对项分类，培养观察、比较、分类的数学思想。

情感态度与价值观目标：通过组织教学，体验只有用科学的方法、科学的态度才能学好数学的情感。

二、学习过程
1.讨论教材提供的问题情境。

2.讨论教材中的“做一做”
使用‘学乐师生’APP 录像、拍照，分享给全班同学。

单项式的概念
3.2ab 的系数是 ；如2x -的系数是 ；如212
x π-的系数是 ； 4.判断下列各代数式哪些是单项式？ (1)2
1+x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5。

5.说出－15a 2b 、xy 、3
22
2b a 、－a 它们的次数 6.注意以下几点：
（1）圆周率π是常数；
（2）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x 2，－a 2b 等；
（3）单项式次数只与字母指数有关。

7.议一议：代数式ab －
2b 16π、ab —100、ab+bc+ac 是单项式吗？为什么？ 8.多项式的定义
9.整式的定义
10.练习
课本P86页，随堂练习1、2。