2018高考(江苏专版)大一轮(文)复习检测：第5课 函数的定义域与值域

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用一、填空题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移_____个单位 【解析】由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可 2. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝3．(2017·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为【解析】把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6(x ∈R)．4．(2016·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为【解析】将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z【解析】根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.【答案】32【解析】观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.8．(2017·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________． 【答案】 5【解析】由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－2＝ 5.9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.【答案】2210．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 【答案】143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.二、解答题11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ) 0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y 关于t 的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？ 解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60， 又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60.由题设知t ＝0时y ＝10， 将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2，因此y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0)．(2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π3t >85，即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π3，即1<t <2，所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。

专题2.1 函数的概念及其表示方法【基础巩固】1．【2017·扬州中学质检】函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】使函数f (x )有意义需满足x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．2．【2017·衡水中学月考】设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下： 映射f 的对应法则映射g 的对应法则则f [g (1)]的值为________．【答案】1【解析】由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4， 由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1.3．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 【答案】[－3,1]【解析】要使函数有意义，则3－2x －x 2≥0， ∴x 2＋2x －3≤0，解之得－3≤x ≤1. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.【答案】－2【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1.∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 5．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝________. 【答案】x ＋1【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1.6．【2017·盐城中学一模】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x，log 3x x >，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.【答案】9【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 7．在函数①y ＝x ；②y ＝lg x ；③y ＝2x；④y ＝1x中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的有________(填序号)． 【答案】④【能力提升】8．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________(填序号)．①y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10；②y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310；③y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410；④y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510. 【答案】②【解析】设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10， 当6<α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1.9．【2016·江苏卷】设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 【答案】－25【解析】由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.10．【2017·南师大附中一模】设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的【解析】式可以是________(填序号)．①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝e x－1； ③f (x )＝x ＋4x；④f (x )＝tan x .【答案】③11．已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________．【答案】f (x )＝－log 2 x【解析】根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22【解析】由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12，故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.【思维拓展】13．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．【答案】(0,1]【解析】要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0,1]．14．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.给出下列四个结论：①|x |＝x |sgn x |；②|x |＝x sgn|x |；③|x |＝|x |sgn x ；④|x |＝x sgn x . 其中正确的结论是________(填序号)． 【答案】④【解析】当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ； 当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ； 当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x .15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (x )的最小值是________．【答案】22－3 【解析】当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.。

专题2.12 函数模型及其应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 【答案】202.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是________．(lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3) 【答案】2011年【解析】 设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x＝4a .∴x ＝2lg2lg1.09≈16.3. 给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).【答案】①【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 4.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 【答案】16【解析】当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 5.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【答案】(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，116t －0.1，t >0.1 (2)0.66.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤 才可以排放． 【答案】5 h【解析】设原污染物数量为a ，则P 0＝a .由题意有10%a ＝a e －5k，所以5k ＝ln10.设t h 后污染物的含量不得超过1%，则有1%a ≥a e－tk，所以tk ≥2ln10，t ≥10.因此至少还需过滤10－5＝5 h 才可以排放．7.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 【答案】9【解析】设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8.由y ＝22.6，解得x ＝9.8.某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4 000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是 【答案】3元9.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游，其中旅行社的包机费为30 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团中的人数在30或30以下，飞机票每张收费1 800元.若旅游团的人数多于30人，则给以优惠，每多1人，机票费每张减少20元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为_______人时，旅行社获得的利润最大. 【答案】60【解析】设旅游团的人数为x 人，飞机票为y 元，利润为Q 元，依题意，①当1≤x ≤30时，y =1 800元，此时利润Q=yx-30 000=1 800x-30 000，此时最大值是当x=30时，Q max =1 800×30-30 000=24 000(元);②当30＜x ≤75时，y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润Q=yx-30 000 =-20x 2+2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000,所以当x=60时，旅行社可获得的最大利润42 000元.综上，当旅游团的人数为60人时，旅行社获得的利润最大.10.某地西红柿从2 月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：. Q=at+b,Q=at 2+bc+c,Q=a ·b t,Q=a ·log b t 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________. (2)最低种植成本是________(元/100kg).【答案】(1)120 (2)80二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【基础巩固】一、填空题1．(2016·全国Ⅱ卷改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为________． 【答案】x ＝k π2＋π6(k ∈Z )2．(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．【答案】2，π3【解析】由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3.3．(2017·苏北四市调研)如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是________．【答案】4【解析】设函数的周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA →·OB →＝3T 216－3＝0，解得T ＝4.4．(2017·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数f (x )的图象过原点，则φ＝________.【答案】3π4【解析】将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f (x )的图象过原点，则f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝3π4.5．(2017·南京调研)如图，它是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0,2π))图象的一部分，则f (0)的值为________．【答案】3226．(2017·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】20.5【解析】因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28； 当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为________．【答案】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π68．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是________．【答案】5【解析】函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝18.由log 12x ＝－3，可得x ＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f (x )有5个零点．二、解答题9．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中x ∈R ，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当f (x )的最小正周期为π时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x 的值．10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．【能力提升】11．(2017·南京模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，给出下列结论：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称； ②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象．其中正确的是________(填序号)． 【答案】③12．(2017·泰州一模)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 【答案】π214．(2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的部分图象与y 轴交于点(0，3)，最小正周期是π.(1)求ω，φ的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将点(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋φ)， 得cos φ＝32， ∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6.∵最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 中点，y 0＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.。

江苏新高考江苏卷对函数在解答题上基本不考“抽象函数”，2013年第20题，考查函数的单调性、零点个数问题；2014年第19题，考查函数与不等式；2015年第19题，讨论函数的单调性及函数零点确定参数值；2016年第19题，考查函数与不等式、零点问题，2017年第20题，考查函数与导数、函数的极值、零点问题.题目难度较大，多体现分类讨论思想.第1课时函数(基础课)[常考题型突破]函数的概念与图象1．函数的定义域(1)函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．(2)对于复合函数的定义域要注意：①如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围．②如果f(g(x))的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域．③f(g(x))与f(h(x))联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同．2．函数的值域求函数值域的常用方法有观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等．3．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．4．函数的图象函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．[题组练透]1．(2017·南通二调)函数f(x)＝lg(5－x2)的定义域是________．解析：由题意得lg(5－x 2)≥0⇒5－x 2≥1⇒－2≤x ≤2，因此f (x )的定义域为[－2,2]． 答案：[－2,2]2．(2017·盐城模考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x >1，若f (0)＝3，则f (a )＝________.解析：因为f (0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f (a )＝f (5)＝9. 答案：93．(2017·南通模考)函数f (x )＝31－x 2的值域为________． 解析：因为1－x 2≤1，所以f (x )＝31－x 2∈(0,3]． 答案：(0,3]4．(2016·南通调研)已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1，b ∈R)的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．解析：将(－3,0)，(0，－2)分别代入解析式得log a (－3＋b )＝0，log a b ＝－2，解得a ＝12，b ＝4，从而a ＋b ＝92.答案：92[方法归纳]1.求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义. 2.求函数值的注意点形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要利用其周期性.3.函数的图象 (1)作图若函数表达式或变形后的表达式是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征描点作出；若函数图象可由基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系.,(2)识图,从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.(3)用图图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.函数的基本性质 1．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相同的单调性，判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．3．函数的周期性周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |，最小正数T 叫做f (x )的最小正周期．4．函数的对称性若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于直线x ＝a 对称． 若函数f (x )满足f (a －x )＝－f (a ＋x )或f (x )＝－f (2a －x )，则函数f (x )关于点(a,0)中心对称．[题组练透]1．(2017·南京三模)已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪log 4⎝⎛⎭⎫x －32，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为________． 解析：因为函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫4－12，因为当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪log 4⎝⎛⎭⎫x －32，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫4－12＝⎪⎪⎪⎪log 4⎝⎛⎭⎫4－12－32＝log 42＝12. 答案：122．(2017·盐城期中)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <a ，|x ＋1|，x ≥a 在区间(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <a ，|x ＋1|，x ≥a ，根据反比例函数的性质可知，在区间(－∞，0)上单调递减，要使函数f (x )在区间(－∞，a )上单调递减，则a ≤0.因此函数f (x )＝|x ＋1|在区间(a ，＋∞)上单调递增，那么a ＋1≥0，解得a ≥－1.所以实数a 的取值范围是[－1，0]．答案：[－1,0]3．(2017·苏北四市期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5的解集为______________．解析：若x ＜0，则－x ＞0， ∵当x ＞0时，f (x )＝2x －3， ∴当－x ＞0时，f (－x )＝2－x －3， ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝2－x －3＝－f (x )， 则f (x )＝－2－x ＋3，x ＜0，当x ＞0时，不等式f (x )≤－5等价于2x －3≤－5， 即2x ≤－2，无解，不成立；当x ＜0时，不等式f (x )≤－5等价于－2－x ＋3≤－5，即2－x ≥8，得－x ≥3，即x ≤－3； 当x ＝0时，f (0)＝0，不等式f (x )≤－5不成立， 综上，不等式的解为(－∞，－3]． 答案：(－∞，－3]4．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 [方法归纳]基本初等函数[必备知识]1．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0，且a ≠1)a >10<a <1图象性质定义域：R 值域：(0，＋∞)过定点(0,1)当x >0时，y >1； x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数2．对数函数的图象与性质 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)a >10<a <1图象1．破解函数的单调性的四种方法数形结合法 对于填空题能画出图象的函数转化法 由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，(常转化为基本初等函数单调性的判断问题)导数法 解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数定义法抽象函数2.判断函数的奇偶性的三个技巧 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称； (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． 3．函数性质的应用可以利用函数的性质确定函数图象，并充分利用已知区间上函数的性质解决问题，体现转化思想．性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.二次函数的图象和性质y＝ax2＋bx＋c(a≠0)a>0a<0 图象函数性质定义域R值域⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数单调性x∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a时递减，x∈⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞时递增x∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a时递增，x∈⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞时递减图象特点对称轴：x＝－b2a；顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a4.幂函数图象的比较5．常见幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－11．(2017·南通海安检测)已知幂函数f (x )＝x α，其中α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，12，1，2，3.则使f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数的α的所有取值的集合为________．解析：幂函数f (x )为奇函数，则α＝－1,1,3，f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则α的所有值为1,3.答案：{1,3}2．(2017·江苏学易联考期末)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12__________．解析：由题意可得－x 2＋x ＋2≥0，解得－1≤x ≤2，故函数y ＝⎝⎛12[－1,2]．又函数f (x )＝－x 2＋x ＋2在区间⎝⎛⎭⎫－∞，12上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，根据复合函数的单调性可得函数y ＝⎝⎛⎭⎫12⎣⎡⎦⎤12，2.答案：⎣⎡⎦⎤12，23．(2017·扬州期中)已知函数f (x )＝x (1－a |x |)＋1(a ＞0)，若f (x ＋a )≤f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．解析：∵f (x )＝x (1－a |x |)＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋ax )＋1，x <0，x (1－ax )＋1，x ≥0 ＝⎩⎨⎧a ⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2＋1－14a ，x <0，－a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋1＋14a，x ≥0(a >0)，f (x ＋a )＝(x ＋a )(1－a |x ＋a |)＋1，又∵f(x＋a)≤f(x)对任意的x∈R恒成立，在同一直角坐标系中作出满足题意的y＝f(x＋a)与y＝f(x)的图象如图所示：∴x(1＋ax)＋1≥(x＋a)[1－a(x＋a)]＋1恒成立，即x＋ax2＋1≥－a(x2＋2ax＋a2)＋x＋a＋1，整理得：2x2＋2ax＋a2－1≥0恒成立，∴Δ＝4a2－4×2×(a2－1)≤0，解得a≥ 2.答案：[2，＋∞)4.(2017·苏北三市三模)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3log a x，y2＝2log a x和y3＝log a x(a>1)的图象上，则实数a的值为________．解析：设C(x0，log a x0)，则2log a x B＝log a x0，即x2B＝x0，解得x B＝x0，故x C－x B＝x0－x0＝2，解得x0＝4，即B(2,2log a2)，A(2,3log a2)，由AB＝2，可得3log a2－2log a2＝2，解得a＝ 2.答案： 2[方法归纳]基本初等函数图象与性质的应用技巧(1)指数函数与对数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．函数的零点[必备知识]1．函数零点的定义对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．2．确定函数零点的常用方法(1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．[题组练透]1．(2017·苏锡常镇一模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧12x－1，x <1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．解析：当x ≥1时，y ＝ln x x 2－18， 则ln x x 2＝18，即ln x ＝18x 2， 令g (x )＝ln x －18x 2，x ≥1，则函数g (x )是连续函数且先增后减，g (1)＝－18＜0，g (2)＝ln 2－12＞0，g (4)＝ln 4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g (x )＝ln x －18x 2，有2个零点．当x ＜1时，y ＝⎩⎨⎧12x－1，x <0，1－12x，x ∈[0，1)，函数的图象与y ＝18的图象如图，则两个函数有2个交点，综上，函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4个．答案：42．(2017·南通二调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋m ，x <0，x 2－1，x ≥0，其中m >0.若函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：令f (x )＝t ，则f (t )＝1，所以t ＝2或t ＝m －1，即f (x )＝2与f (x )＝m －1有3个不同解．所以⎩⎪⎨⎪⎧m <1，－1<m －1，即0<m <1.答案：(0,1)3．(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp ，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10n m ＝qp ，则10n ＝⎝⎛⎭⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：8 [方法归纳]利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法[课时达标训练] [A 组——抓牢中档小题]1．(2017·苏锡常镇一模)函数f (x )＝1ln (4x －3)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≠1，解得x ＞34且x ≠1，故函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞34且x ≠1.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞34且x ≠12．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0， 即f (x )＝ln1|x |＋1的值域为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]3．(2017·启东模考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜0，－x 2＋x ，x ≥0，则f (f (2))＝________.解析：因为f (2)＝－4＋2＝－2，f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2－1＝3，所以f (f (2))＝3. 答案：34．已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f (x )f (x ).若g (2)＝3，则g (－2)＝________. 解析：由题意可得g (2)＝2＋f (2)f (2)＝3，则f (2)＝1，又f (x )是奇函数，则f (－2)＝－1，所以g (－2)＝2＋f (－2)f (－2)＝2－1－1＝－1.答案：－15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若f (1)＋f (a －1)＝2，则a 的值为________．解析：因为f (1)＋f (a －1)＝2，又f (1)＝0，所以f (a －1)＝2，当a －1＞0，即a ＞1时，有log 2(a －1)＝2，解得a ＝5.当a －1≤0，即a ≤1时，有2a －1＝2，解得a ＝2(舍去)，所以a ＝5.答案：56．(2017·泰州二中模考)函数f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x ＋2，则f (7)＝________.解析：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的周期函数，则f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－(1＋2)＝－3.答案：－37．(2017·苏州考前模拟)设a ＝log 132，b ＝log 1213，c ＝⎝⎛⎭⎫120.3，则a ，b ，c 按从小到大的顺序排列为______________．解析：由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a <0，b >1,0<c <1.答案：a <c <b8．(2017·盐城响水中学学情分析)设函数f (x )＝lg(x ＋1＋mx 2)是奇函数，则实数m 的值为________．解析：∵函数f (x )＝lg(x ＋1＋mx 2)是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即lg(－x ＋1＋mx 2)＝－lg(x ＋1＋mx 2)， 即lg(－x ＋1＋mx 2)＋lg(x ＋1＋mx 2) ＝lg[(－x ＋1＋mx 2)(x ＋1＋mx 2)] ＝lg[1＋(m －1)x 2]＝0， 即1＋(m －1)x 2＝1，故m ＝1. 答案：19．已知在(－1,1)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2(x ＋1)，0＜x ＜1，若f (x )＝－12，则x 的值为________．解析：当－1＜x ≤0时，由f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0＜x ＜1时，由f (x )＝log 2(x ＋1)＝－12，解得x ＝22－1，不符合题意，舍去，故x 的值为－13.答案：－1310．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1(a ＞0且a ≠1)满足对任意x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，那么实数a 的取值范围是________．解析：因为任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则f (x )在R 上为单调递增函数，则函数y＝a x 在[1，＋∞)和函数y ＝(a －2)x ＋1在(－∞，1)上均为单调递增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，a ≥(a －2)＋1⇒a ＞2.答案：(2，＋∞)11．(2017·全国卷Ⅰ改编)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是________．解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1. 故由－1≤f (x －2)≤1， 得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减， ∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3. 答案：[1,3]12．(2017·浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋4x －a ＋a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________．解析：∵x ∈[1,4]，∴x ＋4x∈[4,5]，①当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a >92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，解得a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，92. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，92 13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数； 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. 答案：114．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，所以－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ [B 组——力争难度小题]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x ，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是________．解析：法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示． 当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝⎛⎭⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝⎛⎭⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x2＋a ，即x 2＋2x ≥a .又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－4716，2. 法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )， 即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x 2＝－x 2＋x2－3＝－⎝⎛⎭⎫x －142－4716， 当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；当x >1时，g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋2x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫3x 2＋2x ≤－23， 当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，“＝”成立，故g (x )max ＝－2 3.综上，g (x )max ＝－4716. 令h (x )＝f (x )－x2，当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x2＋3＝⎝⎛⎭⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；当x >1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x ，且x >1，即x ＝2时，“＝”成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－4716，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－4716，2 2．已知函数y ＝2x ＋12x ＋1与函数y ＝x ＋1x 的图象共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑i ＝1k(x i ＋y i )＝________.解析：y ＝2x ＋12x ＋1＝2(2x ＋1)－22x ＋1＝2－22x ＋1，易知该函数在R 上单调递增，值域为(0,2)，且图象关于点(0,1)对称．y ＝x ＋1x ＝1＋1x，易知该函数在R 上单调递减，且图象关于点(0,1)对称．故两函数图象有两个交点，它们关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1k(x i ＋y i )＝2.答案：23．(2017·扬州考前调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx 2＋2x －1，x ∈(0，1]，kx ＋1，x ∈(1，＋∞)有两个不相等的零点x 1，x 2，则1x 1＋1x 2的最大值为________．解析：当k ＝0时，函数f (x )只有一个零点12，不合题意；当k ＞0时，由于－1k ＜0，所以函数f (x )在(0,1]上至多有一个零点，在(1，＋∞)上没有零点，不合题意；当k ＝－1时，函数f (x )只有一个零点1，不合题意；当k ＜－1时，函数f (x ) 在(0,1]上Δ＝4＋4k ＜0，没有零点，不合题意；当－1＜k ＜0时，函数f (x )在(0,1]上的零点为x 1＝1－1＋k－k ，在(1，＋∞)上零点为x 2＝1－k ，符合题意．所以1x 1＋1x 2＝－k ＋－k 1－1＋k，令1＋k ＝t ∈(0,1)，则k＝t 2－1，则1x 1＋1x 2＝－t 2＋t ＋2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋94≤94. 答案：944．(2017·南通三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥a ，x 3－3x ，x <a .若函数g (x )＝2f (x )－ax 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ，x ≥a ，2x 3－(6＋a )x ，x <a ，显然当a ＝2时，g (x )有无穷多个零点，不符合题意； 当x ≥a 时，令g (x )＝0，得x ＝0，当x <a 时，令g (x )＝0，得x ＝0或x 2＝6＋a2，①若a >0，且a ≠2，则g (x )在[a ，＋∞)上无零点， 在(－∞，a )上存在零点x ＝0和x ＝－6＋a2， ∴6＋a2≥a ，解得0<a <2， ②若a ＝0，则g (x )在[0，＋∞)上存在零点x ＝0， 在(－∞，0)上存在零点x ＝－3，符合题意． ③若a <0，则g (x )在[a ，＋∞)上存在零点x ＝0， ∴g (x )在(－∞，a )上只有1个零点， ∵0∉(－∞，a )，∴g (x )在(－∞，a )上的零点为－6＋a2， ∴－6＋a 2<a ，解得－32<a <0， 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，2. 答案：⎝⎛⎭⎫－32，2 第2课时不等式(基础课)[常考题型突破]不等式的解法[必备知识]1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )＞0(＜0)⇔f (x )g (x )＞0(＜0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [题组练透]1．(2017·南通启东模拟)已知一元二次不等式f (x )>0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，则f (lg x )<0的解集为________．解析：因为一元二次不等式f (x )>0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以一元二次不等式f (x )<0的解集为(1,2)，由f (lg x )<0，可得1<lg x <2，从而解得10<x <100，所以不等式的解集为(10,100)．答案：(10,100) 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≥2，x 2－3x －2，x ＜2，若f (x )＞2，则x 的取值范围是________．解析：不等式f (x )＞2可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，2x －3＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x 2－3x －2＞2，解得x ＞52或x ＜－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 3．(2017·南通、泰州一调)已知函数f (x )＝|x |＋|x －4|，则不等式f (x 2＋2)>f (x )的解集用区间表示为________．解析：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x ≤0，4，0<x <4，2x －4，x ≥4，作出f (x )的图象如图所示．法一：由函数图象知f (x )的图象关于直线x ＝2对称．因为x 2＋2>0且x 2＋2>x 恒成立，所以x 2＋2>4且x 2＋2>4－x ， 解得x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 法二：由函数f (x )的图象可知， 当0≤x ≤4时，f (x )＝4， 所以x 2＋2>4，得x >2或x <－ 2. 当x >2时，x 2＋2>x ，故x > 2.当x <－2时，x 2＋2>4－x ，故x <－2. 所以x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) [方法归纳]不等式的求解技巧(1)对含参数的不等式，难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，明确分类标准(如最高次系数、判别式、根相等)，层次清楚地求解．(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题，通常转化为根的分布问题，求解时一定要借助二次函数的图象，一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号．简单的线性规划问题 [必备知识]线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b 可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．[题组练透]1．(2017·江苏四星级学校联考)设M ，N 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内不同的两点，则此两点间的距离MN 的最大值是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域是一个以点O (0,0)，B (0,1)，C (2,3)，D (5,0)为顶点的四边形及其内部(如图所示)，且对角互补，故此四边形有外接圆，其直径BD 为最长的弦，故MN 的最大值为52＋(－1)2＝26.答案：262．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x－z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－53．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13.答案：⎣⎡⎦⎤45，134．(2017·盐城调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤5，x －y ≤－2，则z ＝2y －12x ＋3的最大值为________．解析：已知约束条件所表示的平面区域为图中的△ABC 及其内部，而z ＝2y －12x ＋3＝y －12x ＋32表示点P ⎝⎛⎭⎫－32，12与阴影部分(含边界)内的点的连线的斜率．由图可知，当取点C (1,4)时，斜率最大，z max ＝75.答案：75[方法归纳]解决线性规划问题的三个注意点(1)首先要找到可行域，其次要注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝ax ＋by 中b 的符号，一定要注意b 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x ＞0，y ＞0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．[题组练透]1．(2017·南通三模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y 的最小值是________． 解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1， 所以y x ＋4y ＝y x ＋4(x ＋y )y ＝y x ＋4xy ＋4≥2y x ·4x y ＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时，取“＝”，所以y x ＋4y 的最小值是8.答案：82．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：303．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________． 解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4. 答案：44．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为________．解析：法一：2x 2＋xy －y 2＝(2x －y )(x ＋y )，令2x －y ＝m ，x ＋y ＝n ，则mn ＝1，当x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2＝m －n m 2＋n 2＝m －n (m －n )2＋2取得最大值时，必有m －n ＞0，则m －n (m －n )2＋2＝1m －n ＋2m －n≤122＝24，当且仅当m －n ＝2时取等号，所以x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为24. 法二：当x －2y5x 2－2xy ＋2y 2取最大值时，x －2y ＞0，且5x 2－2xy ＋2y 2＝(x －2y )2＋2(2x 2＋xy －y 2)＝(x －2y )2＋2，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2＝x －2y(x －2y )2＋2＝1x －2y ＋2x －2y ≤12 (x －2y )·2x －2y＝24，当且仅当x －2y ＝2时取等号，故x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为24. 答案：24[方法归纳](3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．[课时达标训练] [A 组——抓牢中档小题]1．(2017·山东高考改编)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝________.解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 答案：{x |－2≤x <1} 2．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，易得A ⎝⎛⎭⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43.答案：433．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求的x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]4．(2017·常州三中模考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若f (－m 2－1)＜f (2)，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝|x 2－1|，所以f (－m 2－1)＝m 4＋2m 2，f (2)＝3， 若f (－m 2－1)＜f (2)，则m 4＋2m 2＜3， 即(m 2＋3)(m 2－1)＜0，解得－1＜m ＜1. 答案：(－1,1)5．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得，y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥32·2x ·1x ＝3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．答案：36．(2017·苏北四市期末)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________．解析：因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12， 所以x ＝3y ＋3∈⎝⎛⎭⎫0，12，解得y ＞3. 则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当x ＝37，y＝4时取等号．答案：87．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋2y －2≤0，x ＋2≥0.则z ＝2x －5y 的最小值为________．解析：由z ＝2x －5y ，可得y ＝25x －z 5，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝25x －z 5经过点A (－2,2)时，直线y ＝25x －z 5在y 轴上的截距最大，此时z 最小，且z min ＝2×(－2)－2×5＝－14.答案：－148．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ，当且仅当x －a＝1时等号成立．由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：329．(2017·南京、盐城一模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋y ≤7，x ＋2≤2y ，则yx 的最小值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示， yx 表示可行域上的点与原点连线的斜率，结合图象知，当直线经过OC 时，斜率最小，故⎝⎛⎭⎫y x min ＝34. 答案：3410．已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值为________．解析：因为f (m )＋f (2n )＝3，所以log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3(m ＞2且n ＞1)， 化简得(m －2)(n －1)＝4，解得m ＝4n －1＋2， 所以m ＋n ＝n ＋4n －1＋2＝(n －1)＋4n －1＋3≥2(n －1)·4n －1＋3＝7，当且仅当n ＝3时等号成立，所以m ＋n 的最小值为7.答案：711．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤a ，(a 为常数)表示的平面区域的面积为4，则x 2＋y 的最小值为________．解析：由题意作出可行域如图中阴影部分所示，因为平面区域的面积为4，易得A (2，2)，B (2，－2)，把A ，B ，O 三个边界点的坐标分别代入x 2＋y ，得在这三点处的最小值为0.令x 2＋y ＝0，即y ＝－x 2，y ′＝－2x ，当抛物线y ＝－x 2平移到与直线y ＝－x 相切时，y ′＝－2x ＝－1，得x ＝12，即切点P ⎝⎛⎭⎫12，－12，代入x 2＋y ，得x 2＋y ＝14－12＝－14，所以x 2＋y 的最小值为－14. 答案：－1412．(2017·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．解析：由x ＋y ＝1，得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 所以4x ＋2＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎫4x ＋2＋1y ＋1·(x ＋2)＋(y ＋1)4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥145＋24(y ＋1)x ＋2·x ＋2y ＋1＝94， 当且仅当2(y ＋1)＝x ＋2，即x ＝23，y ＝13时取等号．故4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94.答案：9413．已知函数f (x )＝ax 2＋x ，若当x ∈[0,1]时，－1≤f (x )≤1恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当x ＝0时，f (x )＝0，不等式成立，当x ∈(0,1]时，不等式－1≤f (x )≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x ≤1，ax 2＋x ≥－1， 其中1x ∈[1，＋∞)，从而⎩⎨⎧a ≤1x2－1x ＝⎝⎛⎭⎫1x －122－14，a ≥－1x 2－1x ＝－⎝⎛⎭⎫1x ＋122＋14，解得－2≤a ≤0. 答案：[－2,0]14．已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m ＞0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫23＝________.解析：由题意得：|f (0)|≤1⇒|n |≤1⇒－1≤n ≤1； |f (1)|≤1⇒|2＋n |≤1⇒－3≤n ≤－1， 因此n ＝－1，∴f (0)＝－1，f (1)＝1.由f (x )的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x ＝0， ∴2－m ＝0，m ＝2， ∴f (x )＝2x 2－1，∴f ⎝⎛⎭⎫23＝－19. 答案：－19[B 组——力争难度小题]1．设实数x ，y 满足x 24－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是________．解析：法一：设x ＝2cos θ，y ＝tan θ，则3x 2－2xy ＝12cos 2θ－4tan θcos θ＝12－4sin θcos 2θ，记3－sin θ＝t ，t ∈[2,4]，则原式＝4t1－(3－t )2＝46－t －8t，因为t ∈[2,4]，故当t ＝22时，⎝⎛⎭⎫t ＋8t min ＝42，从而3x 2－2xy 的最小值是6＋4 2.法二：设3x 2－2xy ＝u ，则y ＝3x 2－u 2x ，代入条件得x 24－⎝⎛⎭⎫3x 2－u 2x 2＝1，即8x 4－(6u －4)x 2＋u 2＝0，由条件可知x 2≥4，令z ＝x 2，故方程8z 2－(6u －4)z ＋u 2＝0在[4，＋∞)上有解，必须满足Δ＝(6u －4)2－32u 2≥0，得u 2－12u ＋4≥0，于是u ≥6＋42或u ≤6－42，因为方程8z 2－(6u －4)z ＋u 2＝0有两个同号的根，而当u ≤6－42时，6u －4＜0，故u ≤6－42(舍去)，从而u ≥6＋42，若取u ＝6＋42，则方程8z 2－(6u －4)z ＋u 2＝0的两根z 1＝z 2＝2＋322＞4，符合题意，从而3x 2－2xy 的最小值是6＋4 2.答案：6＋4 22．(2017·苏北三市三模)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ， 则Δ＝4(a －2)2－4a ＝4(a －1)(a －4)．(1)若Δ<0，则1<a <4时，f (x )>0在R 上恒成立，符合题意． (2)若Δ＝0，即a ＝1或a ＝4时，f (x )>0的解为x ≠a －2， 显然a ＝1时，不符合题意，当a ＝4时符合题意． (3)当Δ>0时，即a <1或a >4时，∵f (x )>0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2(a －2)＋a ≥0，25－10(a －2)＋a ≥0，1<a －2<5，解得3<a ≤5.又∵a <1或a >4，∴4<a ≤5， 综上，实数a 的取值范围为(1,5]． 答案：(1,5]3．定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a .用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R.设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，若用d 表示不等式f (x )＜g (x )解集区间的长度，则当0≤x ≤3时，d ＝________.解析：f (x )＝[x ]·{x }＝[x ]·(x －[x ])＝[x ]x －[x ]2， 由f (x )＜g (x )得[x ]x －[x ]2＜x －1， 即([x ]－1)·x ＜[x ]2－1. 当x ∈[0,1)时，[x ]＝0，不等式的解为x ＞1，不合题意；当x ∈[1,2)时，[x ]＝1，不等式为0＜0，无解，不合题意； 当x ∈[2,3]时，[x ]＞1，所以不等式([x ]－1)x ＜[x ]2－1等价于x ＜[x ]＋1，此时恒成立， 所以此时不等式的解为2≤x ≤3，所以当0≤x ≤3时，不等式f (x )＜g (x )解集区间的长度为d ＝1. 答案：14．(2017·南京三模)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c 的取值范围为________．解析：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，所以⎝ ⎛a c ＋2bc ≤8，2c a ＋3cb ≤2，令a c ＝x ，bc ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤8，2x ＋3y ≤2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ≤4－12x ，y ≥3x 2x －2，1<x <8.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．令z ＝3a ＋8b c ＝3x ＋8y ，则y ＝－38x ＋z 8，由图知当直线y ＝－38x ＋z 8过点A 时，截距最大，即z 最大，当直线y ＝－38x ＋z 8与曲线y ＝3x 2x －2相切时，截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎨⎧y ＝4－12x ，y ＝3x2x －2得A (2,3)，∴z max ＝3×2＋8×3＝30，设直线y ＝－38x ＋z 8与曲线y ＝3x 2x －2的切点为(x 0，y 0)，则⎝⎛⎭⎫3x 2x －2′x ＝x 0＝－38，即－6(2x 0－2)2＝－38，解得x 0＝3.∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫3，94， ∴z min ＝3×3＋8×94＝27，∴27≤3a ＋8bc≤30. 答案：[27,30]第3课时导 数(基础课)[常考题型突破]导数的运算及几何意义 1．四个易误导数公式 (1)(sin x )′＝cos x ； (2)(cos x )′＝－sin x ； (3)(a x )′＝a x ln a (a ＞0)； (4)(log a x )′＝1x ln a(a ＞0，且a ≠1)． 2．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[题组练透]1．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：32．(2017·南通海门联考)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝________.解析：因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)， 所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)， 解得f ′(1)＝－2，则f ′(x )＝2x －4， 所以f ′(2)＝2×2－4＝0. 答案：03．(2017·徐州检测)如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在点(4，f (4))处的切线，则f (4)＋f ′(4)的值等于________．解析：根据题意，由函数的图象可得f (4)＝5，直线l 过点(0,3)和(4,5)，则直线l 的斜率k ＝12，又由直线l 是曲线y ＝f (x )在点(4，f (4))处的切线，则f ′(4)＝12，则有f (4)＋f ′(4)＝112.答案：1124．(2017·南通、泰州一调)已知两曲线f (x )＝2sin x 与g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：由f (x )＝g (x )，得2sin x ＝a cos x ， 即tan x ＝a2，a ＞0，设交点P (m ，n )，f (x )＝2sin x 的导数为f ′(x )＝2cos x ，g (x )＝a cos x 的导数为g ′(x )＝－a sin x ，由两曲线在点P 处的切线互相垂直，可得2cos m ·(－a sin m )＝－1，且tan m ＝a2，则2a sin m cos m sin 2m ＋cos 2m ＝1，分子分母同除以cos 2m ，即有2a tan m 1＋tan 2m ＝1，即为a 2＝1＋a 24，解得a ＝233.答案：233[方法归纳]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.利用导数研究函数的单调性[必备知识] 函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数，f ′(x )≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．[题组练透]1．(2017·常州前黄中学国际分校月考)函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为___． 解析：令y ′＝1－2cos x ＞0，即cos x <12，∵x ∈(0,2π)，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π3，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎫π3，5π32.定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是________．解析：由题意及题图知f ′(x )≥0的区间是(－∞，2)， 故函数y ＝f (x )的增区间是(－∞，2)． 答案：(－∞，2)3．(2017·南京三模)若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为________．解析：由题意得，f ′(x )＝e x (－x 2＋2＋a )≥0在区间[a ，a ＋1]上恒成立，即－x 2＋2＋a ≥0在区间[a ，a ＋1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2＋a ≥0，－(a ＋1)2＋2＋a ≥0，解得－1≤a ≤－1＋52，所以实数a 的最大值为－1＋52.答案：－1＋52[方法归纳]与单调性有关的两类问题的求解策略(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．利用导数研究函数的极值(最值) [必备知识]。

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【考纲解读】题组一 常识题1．把函数y ＝sin x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则原函数的解析式是____________．【解析】将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π4的图像，即原函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4. 3．已知简谐运动f (x )＝2sinπ3x ＋φ|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________． 【解析】因为函数图像经过点(0，1)，所以将点(0，1)的坐标代入函数解析式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.又因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 题组二 常错题4．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．5．设ω>0，若函数f (x )＝sinωx 2cos ωx 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是____________．【解析】f (x )＝sin ωx 2cos ωx 2＝12sin ωx ，若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，故ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.6．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m ＝________．【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，得函数图像的对称轴为直线x ＝π8.故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3，即m ＝－1或m ＝－5. 题组三 常考题7． 将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期后，所得图像对应的函数为________．【解析】函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期即π3个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x .8．已知函数f (x )＝2sin ωx 2cos ωx2＋cos ωx 的最小正周期为π，则ω的值是________.【解析】f (x )＝2sin ωx 2cos ωx 2＋cos ωx ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，所以T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2.【知识清单】考点1 求三角函数解析式 1．()sin y A x ωϕ=+的有关概念2．用五点法画sin y A x =+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 4.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 考点2 三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图像; 把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y f x ωω=>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像. 2.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 考点3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用 1. x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. 2．对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 3. )若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.4. ()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 【考点深度剖析】本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题．【重点难点突破】考点1 求三角函数解析式【1-1】已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2的部分图像如图所示，则φ的值为________．【答案】π3【1-2】如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||2πϕ≤）与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，PM =， 则A 的值为 .【答案】14【解析】由题意设(),0Q a 、()0,R a -，()0a >，则,22a a M ⎛⎫-⎪⎝⎭，有两点间距离公式得，【思想方法】1.根据()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1) A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2) h 的确定：根据图象的最高点和最低点，即h ＝最高点＋最低点2；(3) ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由2T πω= (0ω>)来确定ω；(4) 求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时,,A h ω已知)或代入图像与直线y h =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，由函数()sin y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【温馨提醒】求ϕ时一般把图像上的一个最值点代入．考点2 三角函数图象的变换【2-1】函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为________．【答案】sin(2)6y x π=-【解析】【2-2】函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ＞0，2||πω<）的图象如图所示，为得到x x g 3sin )(=的图象，则只要将)(x f 的图象向 平移 个单位．【答案】右，【解析】由图知，函数)(x f 的周期32)4125(4πππ=-=T ，1=A ，3=∴ω，)3sin()(ϕ+=∴x x f ， 易求得点)0,12(π在函数)(x f 的图像上，0)123sin(=+⨯∴ϕπ，又2||πω<，4πϕ-=∴，)43sin()(π+=∴x x f ，将函数)43sin()(π+=x x f 的图象向右平移12π个单位长即得x x g 3sin )(=的图象.【思想方法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每一次的变换所第（9）题得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【温馨提醒】解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则即可,值得注意点是, 要得到函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到,而不是平行移动ϕ个单位． 考点3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用 【 3-1】设()()()=sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且对任意实数x 都有()()4f x f π≤，则()f x 的单调减区间是 .【答案】)(],43,4[Z k k k ∈++ππππ【 3-2】若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是 . 【答案】35(,]44【解析】∵函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值， ∴35222πππω<≤，∴3544ω<≤. 【思想方法】(1)奇偶性：()k k Z ϕπ=∈时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；()2k k Z πϕπ=+∈时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数．(2)周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小周期为2||T πω=. (3)单调性：根据sin y t =和t x ωϕ=+的单调性来研究，由22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈得单调增区间；由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈得单调减区间． (4)对称性：利用sin y x =的对称中心为(,0) k k Z π∈求解，令,x k k Z ωϕπ+=∈，求得x . 利用sin y x =的对称轴为2x k ππ=+ (k Z ∈)求解，令,2x k k Z πωϕπ+=+∈得其对称轴．【温馨提醒】对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调区间.【易错试题常警惕】由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度。

数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共42页） 数学试卷 第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共42页） 数学试卷 第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共42页） 数学试卷 第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第5课 函数的单调性与最值[最新考纲]1．函数的单调性 (1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，区间I 叫作y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2016·北京高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填序号)①y ＝11－x； ②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x . ④ [①中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x在(－1,1)上为增函数；②中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；③中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；④中，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，故y ＝2－x 在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min＝f (6)＝25.]4．设函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.⎩⎨⎧a 2－2a ，－2<a <1－1，a ≥1[∵f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴当a ≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a ]上递增，g (a )＝－1.当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上递减，∴g (a )＝a 2－2a ，综上可知，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.]5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [∵f (x )＝x 2－2ax －3＝(x －a )2－a 2－3， ∴f (x )关于x ＝a 对称．要使y ＝f (x )在区间[1,2]上具有单调性， 只需a ≥2或a ≤1.](1)2． (2)试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：f ′(x )＝1－kx 2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． 易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)．[变式训练1] 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性. 【导学号：62172024】[解] 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2 (x21－1)(x22－1)＝a(x2－x1)(x1x2＋1) (x21－1)(x22－1).∵－1<x1<x2<1，a>0，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在(－1,1)上为减函数.已知f(x)＝x，x∈[1，＋∞)，且a≤1.(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．[思路点拨](1)先判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min＞0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论．[解](1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，f′(x)＝1－12x2＞0，x∈[1，＋∞)，即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋12×1＋2＝72.(2)f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)．法一：①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．f(x)min＝f(1)＝a＋3.要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，∴－3＜a≤0.②当0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3，∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1]．法二：f(x)＝x＋ax＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范围为(－3,1]．[规律方法]利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．请思考，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数呢？[变式训练2](2016·北京高考)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________．2[法一：∵f′(x)＝－1(x－1)2，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法二：∵f(x)＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1，∴f(x)的图象是将y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法三：由题意可得f(x)＝1＋1x－1.∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜1x－1≤1，∴1＜1＋1x－1≤2，即1＜xx－1≤2.故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.]☞角度1比较大小设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是________.【导学号：62172025】b<a<c[因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y＝x0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c>1.综上，b<a<c.]☞角度2 解不等式已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值范围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧a ＞1，a －2＞0，f (1)≤0，即⎩⎨⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a的取值范围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．[易错与防范]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点． 3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．课时分层训练(五)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.]2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________． 43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0. 当x <1时，f (x )＝2x ∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2(a －2)，解得a ≤138.]9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】 b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)，即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎨⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2017·苏州模拟)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)， (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．[解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)f (x )＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a， 当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2017·泰州模拟)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a .因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎪⎨⎪⎧a2≥2，(2)2－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.]3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。

2.9 幂函数、指数函数与对数函数【考纲解读】内 容要 求备注A B C 函数概念与基本初等函数Ⅰ指数函数的图象与性质√1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．3．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．4．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性．5．了解幂函数的概念．6．结合函数y ＝x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝1x ，y ＝x 12的图像，了解它们的变化情况． 对数函数的图象与性质√幂函数√【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 如果3x＝4，则x ＝________．【解析】 由指数式与对数式的互化规则，得x ＝log 34. 2．[教材改编] 2log 510＋log 50.25＝________．【解析】 2log 510＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 3．[教材改编] 函数y ＝log 2(x 2－1)的单调递增区间是________．【解析】 由x 2－1>0得x <－1或x >1.又函数y ＝log 2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，＋∞)． 题组二 常错题4．函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为________．【解析】 由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＞1或x ＜12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1或x <12在(1，＋∞)上是增函数，所以原函数的单调递减区间为(1，＋∞)．5．设a ＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝14＝log 949＝log 93<log 83＝c ，a ＝log 93>log 985＝b ，所以c >a >b .题组三 常考题6．lg 52＋2lg 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－1＝________．【解析】 原式＝lg 5－lg 2＋2lg 2＋5＝lg 5＋lg 2＋5＝1＋5＝6.7．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________________．8． 设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1x 2＋2，若f (x )>f (2x －1)，则x 的取值范围为________． 【解析】 由f (x )＝ln(1＋|x |)－12＋x2可知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，即|x |>|2x －1|，解得13<x <1.【知识清单】1 幂函数的概念、图象与性质 常用幂函数的图象与性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象定义域RRR[0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减2y ＝a x a >10<a <1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．2.关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．3.从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．【重点难点突破】考点1 幂函数的概念、图象与性质【1-1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？【答案】1m=-【1-2】若幂函数y＝(m2－3m＋3)22m mx--的图象不经过原点，则实数m的值为________．【答案】1或2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合.【1-3】设424999244(),(),()999a b c===，则a，b，c的大小关系是________．【答案】b c a>>【解析】∵函数49(0)y x x=>是增函数，∴c a>，又∵函数4()9xy=是减函数，∴b c>，∴b c a>>. 【思想方法】1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.2..幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．【温馨提醒】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 考点2 指数函数的概念、图象与性质【2-1】若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 3【2-2】设f (x )＝|3x－1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，由在关系式①3c>3b；②3b>3a；③3c＋3a>2；④3c＋3a<2中一定成立的是 . 【答案】④【解析】作f (x )＝|3x －1|的图象如图所示，由图可知，要使c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )成立，需有c <0且a >0，所以3c<1<3a，所以f (c )＝1－3c，f (a )＝3a－1.又f (c )>f (a )，所以1－3c>3a－1，即3a＋3c<2，故填④.【思想方法】指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论．指数函数与其他函数构成的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【温馨提醒】一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解． 考点3 对数函数的概念、图象与性质【3-1】已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)，若当x ∈(－1，0)时，f (x )<0，则f (x )在定义域上单调性是 . 【答案】增函数【解析】由于(1,0)x ∈-，即1(0,1)x +∈时()0f x <，所以1a >，因而()f x 在(1,)-+∞上是增函数． 【3-2】已知f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．【答案】（1）1a >时，定义域为(0,)+∞，01a <<时，定义域为(,0)-∞；（2）1a >时，增函数，01a << 时，减函数．【解析】(1)由a x －1>0得a x>1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2， 故0<ax 1－1<ax 2－1，∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)． ∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 【3-3】已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)；（2）存在，12a =．【基础知识】a>10<a<1图像定义域(0，＋∞)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值正负当x>1时，y>0；当0<x<1，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．【温馨提醒】解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到． 如：若()()22132a a --+>-，则a 的取值范围是 ．【分析】由2y x -=的图象关于y 轴对称知，函数2y x -=在()0,+∞上是减函数，在(),0-∞上是增函数．因为()()22132a a --+>-，所以32010321a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩或32010321a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩或 ()32010321a a a a ⎧->⎪+<⎨⎪->-+⎩或()32010321a a a a ⎧-<⎪+>⎨⎪-->+⎩，解得213a -<<或a ∈∅或1a <-或4a >，所以a 的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U U ．【易错点】本题容易只考虑到1a +，32a -在同一单调区间的情况，不全面而致误． 【练一练】已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围。