当前位置：文档之家› 极限四则运算法则演示教学

极限四则运算法则演示教学

极限四则运算法则

由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且

)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。

证明：只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当

100δ<-?δ，当200δ<-

-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有

=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f

所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0

。其它情况类似可证。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ?存在，且

)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ?==。

证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，?,)(,)(βα+=+=B x g A x f

（βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=?B A AB B A x g x f ，记 αβαβγ++=B A ， γ?为无穷小， AB x g x f =?)()(lim 。

推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。

推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。

定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)

(lim )(lim )()(lim x g x f B A x g x f ==。证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：

)

()()(ββαβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明)

β+B B 有界（详细过程见书上）)(ββα+-?

B B A B 为无穷小，记为γ，所以γ+=B A x g x f )()(， B A x g x f =?)()(lim

。注：以上定理对数列亦成立。

定理4：如果)()(x x ψ?≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψ?，则b a ≥。

【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→00

000lim lim lim )(lim 。【例2】n

n x x n x x x x x 0]lim [lim 00==→→。推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)(ΛΛ为一多项式，当 )()(lim 001101000x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ΛΛ。

推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，则)

()()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。

【例3】31151105(lim 221-=+?-=+-→x x x 。【例4】33

009070397lim 53530-=+--?+=+--+→x x x x x （因为03005≠+-）。

注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。

【例5】求3

22lim 221-+-+→x x x x x 。解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，

所以 5

3322lim 322lim 1221=++=-+-+→→x x x x x x x x 。【例6】求)1

311(

lim 31+-+-→x x x 。解：当13,11,13++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时， 12)1)(1()2)(1(1311223+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以 11)1()1(2112lim )1311(lim 22131

-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。【例7】求2

lim 2

2-→x x x 。解：当2→x 时，02→-x ，故不能直接用定理5，又42→x ，考虑：04222lim 2

2=-=-→x x x ， ∞=-?→2lim 2

2x x x 。

使用洛必达法则求极限的几点注意_图文(精)

硬闲洛密达法则求极限的儿点涅枣口杨黎霞 (江南大学江苏?无锡214122 摘要如果当圹+口或r+*时,两个函数删与,M都趋于零或都趋于无穷大。那么极限l/m葡可能存在,也可能不存在。洛 ‘::, 必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法.然而。对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则.会导致错误。本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。关键词洛必达法则极限未定式等价无穷小代换变量代换中图分类号:0172 文献标识码:A 在高等数学里.极限是大一新生一开始就要接触而且非常重要的内容。其中有一类未定式的极限不能用“商的极限等于极限的商”这一法则.而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单.使用起来也方便有效。但在具体使用过程中。一旦疏忽了以下几点.解题就可能出错。首先,只有分子、分母都趋于零或都趋于无穷大时,才能直接使用洛必达法则。其次,每次使用洛必达法则前都要检验是否满足次法则条件。只要满足此法则条件.就可连续使用此法则.直到求出结果或为无穷大。

例如:t/mx"。:坛,n.垡!;!j:以,n墨王翌::!.≥芝三:…:lira墨}==D(n仨z+ ,-.-e’r_? e’ Jr--JO e‘r_?e。此题用了n次法则。再者,使用洛必达法则求极限是应及时化简,主要指代数、三角恒等变形,约去公因子。具有极限不为零的因子分离出来,等价无穷小代换,变量代换等。下面通过例子说明。土- 例:鲤【(J慨。7I叫】‘=塑【(J+÷eL÷】=纫型±笋=姆号等力此题先用了变量代换。当变量x趋于。时.t趋于0.这一点要注意。例:矗。卑=f溉!堡:型Jim r.zim掣=f讹丝车堑 =lim S,ec气-I=li,n.]+co.sx-一2 本题用了多种方法:提出极限存在但不为零的因子。等价无穷小代换。洛必达法则,三角恒等变形约分等。 (J呵+{,一、/瓦芦 fJ目:lim———生—r_—一若直接使用洛必达法则,其分子

极限的四则运算教案(1)

2.4 极限的四则运算（一）古浪五中---姚祺鹏【教学目标】（一）知识与技能 1．掌握函数极限四则运算法则； 2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限； 3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系；（二）过程与方法 1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限. 2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”. （三）情态与价值观 1.培养学习进行类比的数学思想 2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。 (四)高考阐释：高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法【教学重点与难点】重点：掌握函数极限的四则运算法则；难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）．【教学过程】 1．提问复习，引入新课对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极

限．如 1lim ,2121lim 1 1==→→x x x x ．让学生求下列极限：（1）x x 1lim →；（2）x x 21lim 1→；（3）)12(lim 21+→x x ；（4）x x 2lim 1→ 对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算??? ? ?+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限．板书课题：极限的四则运算． 2．特殊探路，发现规律考察x x x 212lim 21+→完成下表：根据计算（用计算器）和极限概念，得出2 3212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 11==→→x x x x 、对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim 11121=+=+=??? ? ?+=+→→→→x x x x x x x x x x ．由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则：如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0 0，那么 []b a x g x f x x ±=±→)()(lim 0 []b a x g x f x x ?=?→)()(lim 0 )0()()(lim 0≠=??????→b b a x g x f x x 特别地:（1）[])(lim )(lim 0 0x f C x f C x x x x →→?=?（C 为常数）（2）[])N ()(lim )(lim *00∈??????=→→n x f x f n x x n x x

极限四则运算法则

极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。证明：只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<-?δ，当2 00δ<-

浅析洛必达法则求函数极限

本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法学生姓名：卫瑞娟学号： 1004970232 专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导教师：严惠云完成日期： 2013 年 3月 8 日

用洛必达法则求未定式极限的方法内容摘要极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。关键词：洛必达法则函数极限无穷小量

目录一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1) （一）洛必达法则定理 (1) （二）洛必达法则使用条件 (2) 二、洛必达法则的应用 (2) （一）洛必达法则应用于基本不定型 (2) （二）洛必达法则应用于其他不定型 (3) 三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5) （一）使用洛必达法则后极限不存在 (5) （二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6) （三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6) （四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6) 四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6) （一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7) （二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8) （三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9) 五、洛必达法则求极限小结 (10) （一）洛必达法则条件不可逆 (10) （二）使用洛必达法则时及时化简 (11) （三）使用洛必达法则前不定型转化 (11) 参考文献 (13)

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义：如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立，则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一

洛必达法则求极限教学

洛必达法则求极限教学摘要：本文结合教学实际对洛必达法则及其在求未定式极限方面的应用进行了分析，同时还分析了学生易错的洛必达法则求函数极限失效的情况。关键词：洛必达法则；未定式；极限求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。教学中发现对于普通的求极限问题，学生解决起来问题不大，但是对于形如：■，■，∞-∞，0·∞，∞0，1∞，00的7种未定式，学生虽然能联系到洛必达法则，但是经常出错。一、洛必达法则及应用（一）洛必达法则若函数f（x）与函数g（x）满足下列条件： 1. （或∞），（或∞）； 2.f（x）与g（x）在x=a点的某个去心邻域内可导； 3. （或∞）。则洛必达法则所述极限结果对下述六类极限过程均适用：。（二）洛必达法则的应用 1. 基本类型：未定式直接应用法则求极限解：这是■型未定式。直接运用洛必达法则有解：这个极限是■型未定式，于是 2. 未定式的其他類型：0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞型极限的

求解除了■型或■这两种未定式外，还可以通过转化，来解其他未定式。解：这是∞-∞型，设法化为■型：解：这是1∞未定式解：这是∞0未定式，经变形得，故例6 求解：这是0·∞型未定式，可变形为，成了■ 型未定式，于是解：这是00型未定式，由对数恒等式知，xx=exInx，运用例8可得二、洛必达法则对于实值函数的失效问题洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要使用洛必达法则时，要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合洛必达法则的条件（3）例8 计算解：，而不存在，

(完整版)洛必达法则巧解高考压轴题

洛必达法则巧解高考压轴题洛必达法则：法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。 00 型法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。 ∞∞ 型注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。 ○ 2若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。典例剖析例题1。求极限（1）x x x 1ln lim 0 +→ (∞∞型) （2）lim x ?p 2 sin x -1cos x (00型) （3） 20 cos ln lim x x x → (00 型) （4）x x x ln lim +∞→ (∞∞型) 变式练习: 求极限（1）x x x )1ln(lim 0+→ (2)a x a x a x --→sin sin lim (3)x e e x x x sin lim 0-→- (4)22 )2(sin ln lim x x x -→ππ 例题2。已知函数R m x e x m x f x ∈+-=,)1()(2

用洛必达法则求下列极限

1 用洛必达法则求下列极限 (1) lim ln(1 x)
x0 x (2) lim e x ex
x0 sin x (3) lim sin x sin a
xa x a (4) lim sin 3x
x tan5x
(5) lim ln sin x x ( 2x)2
2
(6) lim xm am xa x n a n
(7) lim ln tan 7x x0 ln tan 2x
(8) lim tan x
x
tan 3x
2
ln(1 1 )
(9) lim
x
x arc cot x
(10) lim ln(1 x2 ) x0 sec x cos x
(11) lim x cot 2x
x0
1
(12) lim x 2e x2 x0
(13) lim x 1
2 x2 1
1 x 1
(14) lim (1 a ) x x x
(15) lim xsin x x0
(16) lim ( 1 )tan x
x0 x

1
解 (1) lim ln(1 x) lim 1 x lim 1 1
x0 x
x0 1
x0 1 x
(2) lim e x ex lim e x ex 2 x0 sin x x0 cos x
(3) lim sin x sin a lim cos x cos a
xa x a
xa 1
(4) lim sin 3x lim 3cos 3x 3 x tan 5x x 5sec2 5x 5
(5) lim ln sin x lim
cot x
1 lim csc2 x 1
x ( 2x)2 x 2( 2x) (2) 4 x 2
8
2
2
2
(6) lim x m a m lim mxm1 mxm1 m a mn xa x n a n xa nx n1 na n1 n
(7) lim
ln tan 7x
lim
1 tan 7x
sec2
7x 7
7
lim
tan 2x 7
lim
sec2 2x 2 1
x0 ln tan 2x x0 1 sec2 2x 2 2 x0 tan 7x 2 x0 sec2 7x 7
tan 2x
(8) lim tan x lim sec2 x 1 lim cos2 3x 1 lim 2 cos 3x( sin 3x) 3
x tan 3x x sec2 3x 3 3 x cos2 x 3 x 2 cos x( sin x)
2
2
2
2
lim cos 3x lim 3sin 3x 3
x cos x
x sin x
2
2
1 ( 1 )
ln(1 1 )
1 1
(9) lim
x lim x
x2 lim 1 x2 lim 2x lim 2 1
x arc cot x x
1
x x x 2 x 1 2x x 2
1 x2
(10) lim ln(1 x2 ) lim cos x ln(1 x2 ) lim x2 (注
x0 sec x cos x x0 1 cos2 x
x0 1 cos2 x
lim
2x
lim x 1
x0 2 cos x( sin x) x0 sin x
cosx ln(1 x2)~x2)
(11) lim x cot 2x lim x lim 1 1
x 0
x0 tan 2x x0 sec2 2x 2 2
(12)
1
1
lim x 2e x2
e x2 lim
lim
et
lim
et

x0
x0 1 t t t 1
x2
(注
当 x0 时

极限的四则运算

极限的四则运算（1）【目的要求】 1. 掌握涵数极限四则运算法则的前提条件及涵数极限四则运算法则。 2. 会用极限四则运算法则求较复杂涵数的极限。【教学过程】 1. 提问入手，导入新课对简单涵数，我们可以根据它的图象或通过分析涵数值的变化趋势直接写出它们的极限。如 1 lim →x x 21=21, limx=1. 对于复杂一点的涵数, 如何求极限呢? 例如计算 1 lim →x (x+x 21) 1lim →x (x+x 21)即1 lim →x x x 21 22+，显然通过画图或分析涵数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的。因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂涵数的极限问题转化为求简单涵数的极限。板书课题：极限的四则运算。 2．特殊探路，发现规律考察1 lim →x x x 2122+，完成下表：根据计算（用计算器）和极限概念，得出1 lim →x x x 21 22+=23，与1 lim →x x 21 =21、 1 1lim →=x x 对此发现： 1 lim →x x x 21 22+=1 lim →x （X+X 21）=1 lim →x x +1 lim →x x 21 =1+21=23 .

由此得出一般结论：涵数极限的四则运算法则：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b, 那麽 lim x x →[ f(x)+g(x)]=a +b 0 lim x x →[f(X)?g(X)]=a b ? ][)() (0 lim X g x f x x →=b a ( b )0≠ 特别的（1）0 lim x x →[C )(X f ?]=C ?0 lim x x →f(X) (C 为常数) （2）0 lim x x →[f(X)]n =[0 lim x x →f(X)]n (n ∈N *) （3）这些法则对X ∞→的情况仍然成立（4）两个常用极限0 lim x x n x →=X n 0, ∞→x lim n x 1 =0 (n ∈N *) 3．应用举例，熟悉法则例1 求1lim →x 1 21222 32-+++x x x x 问：已知涵数中含有哪些简单涵数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程。解：1 lim →x 1212232 -+++x x x x =1 231 2)12lim() 12lim(→→-+++x x x x x x =1 1 21 311 21 1lim 2lim 1 lim lim 2lim →→→→→→-+++x x x x x x x imx l x x =1 12111122 3 2-?+++?=2 （1）讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严谨的思维。（2）书写时，由于极限符号“lim”有运算意义，因此在未求出极限值时，丢掉符号是错误的。点评：例1说明，求某些涵数（到底是哪些涵数，学了2。6节就知道了。激发学生学习积极性，为讲连续涵数埋下伏笔）在某一点x=x 0处的极限值时，只要把x=x 0代入涵数解析式中就可得到极限值，

洛必达法则泰勒公式

洛必达法则泰勒公式一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和．由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理．定理1设(1) 当时，函数及都趋于零；(2)在点的某去心邻域内，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达(L’Hospital)法则．下面我们给出定理1的严格证明：分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理．证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定．于是由条件(1)和(2)知，及在点的某一邻域内是连续的．设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数和满

足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式(在与之间)成立．对上式两端求时的极限，注意到时，则．又因为极限存在(或为无穷大)，所以．故定理1成立．注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即．且这种情况可以继续依此类推．例1求．分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则．解、注最后一个求极限的函数在处是连续的．例2求．解、注例２中我们连续应用了两次洛必达法则．例3求．解、例4求、解、注(1) 在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导数，从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化．课后请同学们自己学习教材136页上的例10 ．(2) 例４中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果．以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则．对于时的未定式有以下定理．定理2设(1)当时，函数及都趋于零；(2) 当时，与都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．同样地,对于(或)时的未定式，也有相应的洛必达法则．定理3设(1)当(或)时，函数及都趋于无穷大；(2)在点的某去心邻域内(或当时)，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．例5求、解、

极限的四则运算

极限的四则混合运算一、口算： 3.6＋ 4.4 = 10－ 5.2 = 3.4 × 0.2= 7.8÷ 6= 1÷4 = 7.5÷0.3 = 9.8－ 8 = 0÷27.9= 6.5 ×0.2= 0.1×0.5= 13.2＋6.8= 0.15÷15= 2＋3.8= 9－4.5= 0.42×3= 11＋0.92= 4÷5= 1.8÷0.03= 75÷2.5= 0×25.4= 0.125×8= 7.24 - 2.4= 17.2÷17.2= 0.99×0.1= 二、计算 1.简算。 7.5－0.26－1.74＋2.5 0.25×13×4 18－2.7－9.3 32×0.125 3.5×3＋3.5×7 4.5×20－3.5×20 2、脱式计算。 82.3－40.5÷0.81×1.2 4.53＋19.8÷(26.8－1.2×4) (9－0.45)÷(2.5＋1.5×3) [1－0.98×(3.51－3.51)]÷2 三、列式计算。 4.5 除 3 与 1.5 的和，商是多少？ 0.5 乘4.8 与 3.5 的差，积是多少？ 3.6 加上 1.2 的 5 倍，再减去 2.88 ，差是多少？ 335.7除以0.7的商,加上12.5与 4.8的积,和是多少?

四、把下列的分步算式改写成综合算式。（１）7.8－2.9＝4.9 （２）1－0.8＝0.2 4.9×0.8＝3.92 1.2÷0.2＝6 9.15＋3.92＝13.07 18－6＝24 0.5×24＝12 五、应用题 1、水稻专业组有两块早稻田。一块450平方米，平均每平方米产1.3千克；另一块560平方米，平均每平方米产1.45千克。这两块早稻田的总产量是多少千克？合多少吨？ 2、小红的身高是1.36米，小强比小红高0.04米，他们两人身高的和是小林身高的2倍，小林身高是多少米？ 3、四年级要为图书馆修补244本图书，第一天修补了49本，第二天修补了51本。剩下的要3天修补完，平均每天要修补多少本？ 4、先锋小学要用长0.96米，宽0.69米的红纸布置一个光荣榜，这个光荣榜高1.92米，长 3.45米。布置这个光荣榜需要多少张这种纸？

考研数学：极限计算法则——洛必达法则

考研数学：极限计算法则——洛必达法则洛必达法则是计算极限最常用的方法之一，也是历年考研数学的一个高频考点，不仅能算出具体函数的极限，对于抽象函数求极限也同样适用。在大学阶段，同学们最喜欢一洛到底，但是洛必达法则也是有底线的，并不是所有的极限都能用洛必达求出来，接下来就介绍一下洛必达法则，正确认识洛必达，才可以理解其定理及科学有效地使用，吃透定理后进而找到它们的解题思路，才不至于在做这一题型时感到无从下手。一、关于洛必达法则洛必达法则有两类，分别是x a →和x →∞，现归为一种情况x → 进行介绍，定理如下:设(),)f x g x （满足ⅰ）()0lim ()0x f x g x →= 或∞∞ⅱ）(),)f x g x （在的某去心邻域内可导且()0 g x '≠ⅲ）()lim () x f x g x →'' 存在或为∞则有()()lim lim .()()x x f x f x g x g x →→'=' 关于该法则需要注意的有两点： ①在使用洛必达法则时一定要注意检验条件，三个条件缺一不可，否则很容易得到错误的结果；②使用洛必达法则之前一定先对极限式化简（等替或者四则运算的函数分解）. 二、下面分别对每个条件进行分析：对于条件一，只需保证极限是00或∞∞ 的分式形式；对于条件二，需保证可导性，当已知极限式中的函数存在n 阶导数时，只能使用洛必达法则至出现1n -阶导数（如至n 阶，不能保证连续性），最后一步一般凑导数的定义；当已知极限式中的函数存在n 阶连续导数时，可以使用洛必达法则至出现n 阶导数。

例：已知 ()f x 二阶可导，求20))2)lim .h f x h f x h f x h →++--（（（解：2 00000))2) lim ))lim 2)()())lim 21)()1)()lim lim 22(). h h h h h f x h f x h f x h f x h f x h h f x h f x f x f x h h f x h f x f x h f x h h f x →→→→→++--''+--=''+-+--=''+---=+-''=（（（（（（（（（分析：二阶可导，可洛至一阶，之后凑二阶导数定义；若该题中，已知 ()f x 二阶连续可导，解题过程如下;解：2 000))2) lim ))lim 2))lim 2 (). h h h f x h f x h f x h f x h f x h h f x h f x h f x →→→++--''+--=''''++-=''=（（（（（（（对于条件三，需保证求导之后的极限必须存在或为∞（后者情况较少），即当()lim ()x f x A g x →'=' 或∞时，方可使用洛必达。易错点如下：()lim ()x f x g x →'' 不存在，不能()lim () x f x g x →? 不存在；()lim x f x → 存在，不能()lim x f x →'?' 存在；正确说法为：()lim ()x f x g x → 存在()lim .()x f x g x →'?≠∞'

极限四则运算

§1.5 极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一无穷小的运算定理设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0 lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面来叙述有关无穷小的运算定理。定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小； 2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小； 2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。定理2 如果()0 lim x x f x A →=， ()0 lim x x g x B →= 则()() ()(),()(), 0() f x f x g x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且（1） ()()()()0 lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±???? （2） ()()()()0 lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==???? （3） ()()()()000 lim lim (0).lim x x x x x x f x f x A B g x g x B →→→==≠ 证 1因为()0 lim x x f x A →=， ()0 lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>?>?δε，当100δ<-?δ，当200δ<-

第二章极限习题及答案：极限的四则运算

分类讨论求极限例已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim -∞→n n n S S . （1997年全国高考试题，理科难度0.33）解： ()() 1 1 1111--+--=q q b p p a S n n n ()( )()() ()( )()( ) 1 1111 1111111111--+----+--= ---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S . 分两种情况讨论；（1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<< p q ， ∴1 lim -∞→n n n S S ()()()()????? ? ?????????????????? ??--+???? ??--?????????? ??--+???? ??-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n n p p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()010110 10111111?-+--?-+--? =p b q a p b q a p ()() p q a q a p =--? =1111 （2）当1

(完整版)极限四则运算.doc

§1.5极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法 , 但这种方法使用起来很不方便 , 并且在大多数情形下也是不可行的 . 这一节我们将给出极限的若干运算法则 , 应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一无穷小的运算定理设 , , 是 x x0 时的无穷小，即 lim ( x) 0, lim ( x) 0, lim ( x) 0, 下面 x x0 x x0 x x0 来叙述有关无穷小的运算定理。定理 1 1 ）有限个无穷小的和也是无穷小； 2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论： 1）常数与无穷小的乘积是无穷小； 2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。定理 2 如果 lim f x A ， lim g x B 则 f ( x) g(x), f ( x) g(x), f ( x) B 0 ， x x0 x x0 g( x) 的极限都存在，且（ 1）lim f x g x lim f x lim g x A B; x x0 x x0 x x0 （ 2）lim f x g x lim f x lim g x AB; x x0 x x0 x x0 f x lim f x A （ 3）lim x x0 ( B 0). g x lim g x B x x0 x x0 证 1 因为 lim f x A， lim g x B ，所以，当 x x0时，0, 1 0 ，x x0 x x0 当 0 x x0 1 时，有 f (x) A ，对此， 2 0 ，当0 x x0 2 时， 2 有 g (x) B 2 ，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有 ( f (x) g( x)) ( A B) ( f ( x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B 2 2 所以 lim ( f (x) g( x)) A B 。 x x0 2）因为 lim f (x) A,lim g( x) B ，由极限与无穷小的关系可以得出 x x0 x x0 f (x) A , g ( x) B , （ , 均为无穷小）于是有 f (x) g( x) ( A)( B) AB ( A B) ，记A B，

极限四则运算法则演示教学

用洛必达法则求下列极限(学习资料)

习题3-2 1. 用洛必达法则求下列极限: (1)x x x ) 1ln(lim 0+→; (2)x e e x x x sin lim 0-→-; (3)a x a x a x --→sin sin lim ; (4)x x x 5tan 3sin lim π →; (5)2 2 )2(sin ln lim x x x -→ ππ ; (6)n n m m a x a x a x --→lim ; (7)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→; (8)x x x 3tan tan lim 2 π → ; (9)x arc x x cot ) 11ln(lim ++∞→; (10)x x x x cos sec ) 1ln(lim 20-+→; (11)x x x 2cot lim 0 →; (12)2 1 2 lim x x e x →; (13)?? ? ??---→1112lim 21x x x ; (14)x x x a )1(lim +∞→; (15)x x x sin 0 lim +→;

(16)x x x tan 0)1 (lim +→. 解 (1)111 lim 111 lim )1ln(lim 000=+=+=+→→→x x x x x x x . (2)2cos lim sin lim 00=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . (3)a x a x a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→. (4)5 3 5sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2- ==→→x x x x x x ππ. (5)81 2csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22 2 22 -=---=-?-=-→ →→x x x x x x x x πππππ. (6)n m n m n m a x n n m m a x a n m na mx nx mx a x a x -----→→= = =--1 11 1lim lim . (7)177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 272 2sec 2tan 17 7sec 7tan 1 lim 2tan ln 7tan ln lim 22002200=??==????=+→+→+→+→x x x x x x x x x x x x x x . (8))sin (cos 23 )3sin (3cos 2lim 31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 2 222 222 2 x x x x x x x x x x x x x x -?-==?=→ →→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim 2 2 =---=-=→ → x x x x x x ππ . (9)122lim 212lim 1lim 11 )1 (111 lim cot arc )11ln(lim 222 2==+=++=+- ?+ =++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x x . (10)x x x x x x x x x x x 22 022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ?ln(1+x 2)~x 2) 1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→x x x x x x x . (11)2 1 22sec 1lim 2tan lim 2cot lim 2000 = ?==→→→x x x x x x x x .