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《极限的运算》课件

重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、减法、乘法和除法。在运算过程中，无穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础，通过判断函数在某点的极限是否存在，可以进一步研究函数的性质和变化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如唯一性、局部有界性、局部保号性等。
这些性质在研究函数的极限行为时非常重要，可以帮助我们推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入理解极限的概念和应用极限的方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。

高等数学(一)03-函数极限的运算法则(ppt)_8

f(x)
则
f
( x)
g(x)、f
( x)g(x)、 g(x)
(B
0)
在
x
x0
时极限均存在，
且
(1) lim f x x0
x
g x
lim f x x0
x
lim g x x x0
A
B;
(2) lim xx0
f
x
g x
lim
x x0
f
x
lim
xx0
g x
A
B;
(3) lim
xx0
f x gx
lim f x
x x0
lim
g
x
A B
B 0.
x x0
例1 求下列极限
(1)lim n
n2 3n 1 3n2 2n 1
;
(2)lim x1
x
2
x2 3x 4 ; x
(4)lxim1
1
1
x
1
3 x
3
;
定理2.(保序性)
设 lim f x A, lim g x B.
x x0
x x0
o
(1) 若A B ，则 >0 当 x U ( x0 , ) 时，f ( x) g( x).
o
(2) 若在 U ( x0 )内 f ( x) g( x), 则 A B.
主要内容
1 函数极限的四则运算法则 2 复合函数极限的运算法则
2 复合函数极限的运算法则
定理3
设函数 u ( x) 及 y f (u) 构成的复合函数 y f (x)
o
在
U ( x0 ) 有定义，若

极限的四则运算PPT教学课件

• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定义,是否等于在这一点处的函数值无关.故本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分解因式约去 “ 零因子” 或根式有理化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim

大学课程《高等数学》PPT课件：1-5 极限运算法则

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求: 解:
说明: 若分母为零时不能直接用商的运算法则 . 例4.
x = 4 时分母为 0 ! = lim (x 4)( x 5 3) 6
x4
x4
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解: 分子分母同除以则原式
=0
“ 抓大头”
目录上页下页返回结束
lim
x
a0 xm b0 x n
a1x m1 b1x n1
am bn
为非负常数 )
( 如 P28 例7 )
( 如 P28 例5 )
( 如 P28 例6 )
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三、复合函数的极限运算法则
定理7. 设
是由函数
复合而成的函数，有定义，若
o
x U (x0,0 ) 时，有
的某去心邻域内且存在
则
在定理7中，把
当
x x0
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
u
u
M
M
故
即是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
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定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B ,则有
证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f ( x) g ( x) ( A ) (B )

极限运算法则课件

减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$，则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$，使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$，则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$，使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$

CH13-极限的运算ppt课件

( )( ) 2 2
.
8
x2
练习计算 lim
.
x0 2 x2 4
解采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.
原式 lim x2(2 x24) x 0(2 x24)(2 x24)
x2(2 x2
lim x0
x2
4)
lim(2 x 0
x24)
4.
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！
.
lim x3 lim 1
x2
lim( x2
x2
5x
3)
23 1
3
7. 3
x2
注： limP(x) P(a) (Q(a) 0).
x aQ(x) Q(a)
.
5
例3 求lxim 1x2x22x13. 商的法则不能用解 x 1 时 ,分子 ,分母的极限都是零 .( 00 型 ) 先约去分子和分母的公因子 ( x 1 ) 后再求计算 .
x x 0
u u 0
意义: 变量替换求极限的依据
令u g(x)
lim f [g(x)]
xx0
limg(x)
xx0
u0
lim f (u)
u u0
.
12
定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
ulf i[mgu0(xf)(]u在) 点liAm x0的且f某[ 在g 去x(0x 心的)邻] 某域去l内i心m 有邻f 定域(u 义内) g若(A xxl) i.m x0ug0(,x)则u0,
x0 xsinx x0 1sinx

高等数学第一章第五节极限运算法则课件.ppt

u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )

高数极限运算法则课件

极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在该点的极限也存在，且等于被减数函数极限与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时，泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公式将其展开为多项式形式，从而简化求极限的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N，使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果函数$f(x)$是无穷大量，且函数$g(x)$是有界量但不为零，那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性、同阶无穷大等性质，可以通过取对数等方法转化为无穷小量进行计算。

高等数学课件1-6极限的运算法则

n
1 2

1 4
2
...
2
1 2
n
)
2、 lim
( x h) x h
h 0
3、 lim (
x1
1 1 x

3 1 x
3
)
$1-6极限运算法则
21
4、 lim
1 x 3 2
3
x 8
x
x x x)
5、 lim (
x
x
x x
6、 lim
2 4
x1
lim
x 2x 3
2
x1
4x 1

0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系,得
lim 4x 1 x 2x 3
2 x1
.
$1-6极限运算法则
7
例3 求 lim
x 1
2
x1
x 2x 3
2
.
（与P60例2同类）
.
解 x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
例5 求 lim 解x
2x 3x 5
3 2
x
7x 4x 1
3 2
.
（与P61例6同类）
.
时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大
3
(

型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限 .
lim
2x 3x 5
3 2
2 lim
x
3 x 4 x

lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
类似有数列极限的四则运算法则（P59Th 6)

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第一章
第三节极限运算法则
一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则三、夹逼定理（重要极限）四、无穷小的比较
一、极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B .
例6 求
x x cos x lim x0 sin x cos x
解 lim x x cos x x0 sin x cos x
x (1 cos x)
lim
1 2 2
x0 sin x cos x
四、无穷小运算法则
定理5. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
例14. 求解：原式 =
lim
1
x0 1 x2 1
1 2
二、复合函数的极限运算法则
定理3. 设
又
则有
说明: 若定理中 lim (x) , 则类似可得
x x0
lim f [(x)] lim f (u) A
x x0
u
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例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
6 6
1 6
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例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
注
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例2. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
推论 3(5.) lim n f (x) n lim f (x) n A
例2. 设 n 次多项式
lim
xx0
Pn
(
x)
Pn
( x0
).
证: lim Pn (x)
x x0
试证
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定理 1 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
定理2
.
若 lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 .
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例3. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
试证:
lim P(x)
证: lim R(x) xx0
重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
即 △A特点OB((12的))12当面正si积xn弦＜x符圆0号时扇后，形面A函12O变t数量 aBn的必的x面须形积式是＜与△00A分型 OD母的的的；面积
亦故即有
形式一si致n ．x x tan x
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
xx0
lim Q(x)
x x0
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例4.
lim (x 3)(x 1) lim x 1
x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim
x1
x2
2x 4x 1
3
12
21 4 1 1
3
0
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例6 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 x2 , 则
原式
lim
x
4
3
1 x
91Βιβλιοθήκη x2521 x
1 x2
“ 抓大头”
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例8
.
求
lim
x
x2 5x 2x3
3
4
解:
1)
1 3
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例12 . 求
解:
原式
lim
x2
x2 x2 4
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例13 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 x50 , 则
(2 3)20 (3 2)30
原式 lim x
x
x
(2 1)50
x
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x
a0 xm
b0 xn
a1xm1
b1xn1
am
bn
为非负常数 )
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例10 . 求
解: 分子分母同除以 3n ,则
原式
lim
n
( (2)
)2 n
3
(
1
)2 n
3
3
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例11 . 求
解:
原式
lim
n
(n
1)n(2n 6n3
x1 x 1
x1
2
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三、夹逼定理
定理4. 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
x x0 (x )
t
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例4. 求
解:
原式
=
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An
n
R2
sin
n
cos
n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim
n
R2
sin
n
n
cos
n
说明: 计算中注意利用
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说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
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推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n
x2 5x 4
lim
x
2x3 3
lim
1 x
5 x2
4 x3
x
2
3 x3
0
例9 . 求
lim 2x3 3 . x x2 5x 4
解: lim x
x2 5x 4 2x3 3
lim x
1 x
54 x2 x3
2 3
0
x3
lim 2x3 3
x x2 5x 4
一般有如下结果：
lim