数列极限四则运算法则的证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(A n+B n)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An • Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)
(n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.)
首先必须知道极限的定义：
如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？£> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立，
则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A.
根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)
法则1的证明：
•/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v
设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立.
此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &.
由于&是任意正数，所以2&也是任意正数.
即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &.
由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B.
即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C • An-CA|v C&.
由极限定义可知，lim(C • An)=C・A若C=0的话更好证)
法则2的证明：
lim(A n-B n)
=limA n+lim(-B n)(法则1)
=limAn+(-1)limBn (引理2)
=A-B.
为了证明法则3,再证明1个引理.
引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An • Bn)=0.
证明：•/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一
正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-0| v &④
，lim(An • Bn)=0.
由极限定义可知
=A-A (引理2) =0.
同理limbn=0.
/• lim(An • Bn)
=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an • bn+B • an+A • bn+AB)
=lim(a n • bn )+lim(B • an )+lim(A • bn )+to则B1)
=0+B • liman+A • limbn+limAB(引理3、引理2)
=B X 0+A X 0+AB (引理1) =AB.
引理4:如果limXn=L工0,则存在正整数N和正实数£使得对任何正整数n>N,有|Xn| >£.
证明：取£ =|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|< £于是有|Xn| > |L|-|Xn- L| > |L|- £ = £
法则4的证明：
由引理4,当B M0时(这是必要条件),？正整数N1和正实数£ 0使得对？正整数n>N1,有|Bn| >£ 0.
由引理5,又？正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An| < M,|Bn| < K.
现在对？£ >0,?正整数N2和N3,使得：
当n>N2,有|An-A|< £ 0*|B|* £ /(M+K+；
当n>N3,有|Bn-B|< £ 0*|B|* £ /(M+K+；
现在，当n>max(N1,N2,N3) 时,有
|An/Bn-A/B|
=|A n*B-B n*A|/|B*B n|
=|A n( B-B n)+B n(An-A)|/|B*B n|
w (|An^B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|* £0)
<£ (M+K)/((M+K+1)< £ 法则5的证明：
lim(An的k次方)
=limAn • lim(A啲k-1 次方)(法则3)....(往复k-1 次)
=(limAn)的k次方=A的k次方.
