第二章极限习题及答案：极限的四则运算

自变量趋向无穷时函数的极限例 求下列极限：（1）42242115lim x x x x x --+-∞→（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞∞”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x 的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当∞→x 时，分式1223-x x 与122+x x 都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“∞∞”型或“00”型，再求极限．解：（1）211151lim 2115lim 24424224--+-=--+-∞→∞→x x x x x x x x x x .212000012lim lim lim 1lim 5lim 1lim 2442-=--+-=--+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x xx（2）)12)(12()12()12(lim 1212lim 2223223+---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )12)(12(11lim)12)(12(lim2223xx xx x xx x x +-+=+-+=∞→∞→ 41)02)(02(01)12(lim )12(lim )11(lim 2=+-+=+-+=∞→∞→∞→xx x x x x说明：“∞∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例 求极限：（1）)11(lim 22x x x x x +--++-∞→（2）)11(lim 22x x x x x +--+++∞→分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限． 解：（1）原式22112limxx x x xx +-+++=-∞→222112limxx x x x x +-+++-=-∞→.11111112lim22-=+-+++-=-∞→xx xx x（2）原式22112limxx x x xx +-+++=+∞→.11111112lim22=+-+++=+∞→xx xx x说明：当<x 时，2x x ≠，因此211111121122222→+-+++≠+-+++xx xx xx x x x．利用运算法则求极限例 计算下列极限： （1）⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++++∞→123171411lim 2222n n n n n n ； （2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++--∞→n n n 3112719131lim 1 . （1992年全国高考试题，文科难度0.63）解： （1）原式()11321lim 2+-=∞→n n n n()232213lim 123lim 222=+-=+-=∞→∞→nn n n n n n . （2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→31131131limnn[]41014131141lim =-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--=∞→nn .说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的： （1）原式123lim 14lim 11lim 222+-+++++=∞→∞→∞→n n n n n n n（2）原式()4131131027********lim 271lim 91lim 31lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++-=-+++-=-∞→∞→∞→∞→ n n n n n n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例 设*N p ∈，求nn p n 1111lim 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→．分析：把111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：111221111)1()1(1111++++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p p p p p nC n C n C n pp p p p p p nC C n C n C nn )1()1(111111131221111++++++++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴11111lim 111+==-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴++∞→p C nn p p n或：逆用等比数列求和公式：原式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→pn n n n 1111111lim 211111+=+++=+p p个说明：要注意p 是与n 无关的正整数，111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．零乘无穷型转化为无穷除无穷型例 求.)1(lim n n n n -+∞→分析：当∞→n 时，所求极限相当于∞⋅0型，需要设法化为我们熟悉的∞∞型． 解： n n n n )1(lim -+∞→.211111lim 1lim)1()1)(1(lim =++=++=++++-+=∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n n n说明：对于这种含有根号的∞⋅0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为nn n++1，即为∞∞型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即n ，完成极限的计算．根据极限确定字母的范围例 已知161)2(44lim 2=+++∞→n n n n m ，求实数m 的取值范围． 分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．解：16142161lim )2(44lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛++=++∞→+∞→nn n n n n m m 于是142<+m ，即26,424<<-<+<-m m ． 说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→n n m 可知，nm ⎪⎭⎫⎝⎛+42的极限必为0，而0→n q 的充要条件是1<q ，于是解不等式142<+m ． 零比零型的极限例 求xx x 11lim10-+→． 分析：这是一个00型的极限，显然当0→x 时，直接从函数xx 1110-+分子、分母中约去x 有困难，但是1110-+x 当0→x 时也趋近于0，此时x 化为1)1(1010-+x ，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设101x y +=，则110-=y x ．解：设101x y +=，则110-=y x ，于是，当0→x 时，1→y ． 原式10111lim 11lim891101=++++=--=→→y y y y y y y说明：本题采用的换元法是把0→x 化为01→-y ，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决一些型的极限问题． 例如对于11lim 21--→x x x ，我们一般采用因式分解，然后约去1-x ，得到2)1(lim 1=+→x x ．其实也可以采用这种代换，即设1-=x t ，则当1→x 时，0→t ，这样就有.2)2(lim 1)1(lim 11lim 02021=+=-+=--→→→t tt x x t t x 组合与极限的综合题例 ) (lim 1222=++∞→n n nn n C CA ．0B ．2C ．21 D ．41 分析：将组合项展开后化简再求极限．解： 1222lim ++∞→n n nn n C C.4126412lim )22)(12()1(lim )!22()!1()!1(!!)!2(lim 222=++++=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅+⋅=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n 故应选D ．说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．高考填空题1．计算.________)2(lim =+∞→nn n n 2．若数列{}n a 的通项公式是)N ()1(1*∈+=n n n a n ，则.________)(lim 21=+∞→n n a n a3．计算：.________)13(lim =++∞→nn n n1．解析 22222221221lim 2lim -+--+-∞→∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e n n n n n n n nn n n说明：利用数列极限公式e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．2．解析 .21,)1(11=∴+=a n n a n.23121)11121(lim )1(121lim 2=+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+∴∞→∞→nn n n n n说明：本题的思考障碍点是如何求1a ？——只要懂得在通项公式中令1=n ，可立得1a 的具体值，本题考查数列极限的基本知识．3．解析 nn n n )13(lim ++∞→ 21221)121(lim e n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++∞→说明：本题考查数列极限公式的应用．根据已知极限和四则运算求其它极限例 若12lim =∞→n n na ，且n n a ∞→lim 存在，则.________)1(lim =-∞→n n a nA ．0B ．21 C ．21- D ．不存在 分析：根据题设知n na 和n a 均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．解：,lim ,12lim 存在n n n n na na ∞→∞→=0lim 021lim2lim lim =∴==∴∞→∞→∞→∞→n n n nn nn a n na a又21lim ,12lim ==∞→∞→n n n n na na ∴21210lim lim )(lim )1(lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n na a na a a n 即.21)1(lim -=-∞→n n a n选C ．说明：n n a ∞→lim 是关键，不能错误地认为0lim =∞→n n a ，0)1(lim =-∞→n n a n ．两个数列{}n a 、{}n b 的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的极限不一定存在．化简表达式再求数列的极限例 求下列极限 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→112171513lim 2222n n n n n n （2）nnn 21412113191311lim ++++++++∞→ （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→211511411311lim n n n 分析：先运用等差数列、等比数列的前n 项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算．解：（1）原式1)12(753lim2++++++=∞→n n n 11121lim 1)2(lim 22=++=++=∞→∞→nn n n n n n （2）原式n n n n nn ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→∞→211311lim 34211231123lim 4301013421lim 1lim 31lim 1lim 34=--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→∞→∞→∞→n n n nn n （3）原式.222lim21544332lim =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n 说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为0112lim ,,015lim ,013lim 222=++=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→n n n n n n n 而得到（1）的结果是0．无穷比无穷和字母讨论的数列极限例 求下列极限：（1）n n n n n 3423352lim 11⋅+⋅⋅-++∞→ （2）)0(11lim>+-∞→a a a nnn 分析：第（1）题属“∞∞”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第（2）题中当a 的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论．解：（1）原式432315322lim 342331522lim +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅+⋅⋅-⋅=∞→∞→n nn n n nn n .41540315024lim 32lim 315lim 32lim 2-=+⨯-⨯=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→∞→∞→n nn n nn （2）当10<<a 时，01111lim 11lim=+-=+-∞→∞→n n n n a a ， 当1>a 时，.110101lim 1lim 1lim 1lim 1111lim 11lim -=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n a a a a a a说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为0lim =∞→n n a ．根据极限确定等比数列首项的取值范围例 已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且有211lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→n n q q a ，求1a 的取值范围．分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知nn q ∞→lim 存在，因此可得q 的取值范围，从而确定出1a 的取值范围．解：由211lim 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→n n q q a ，得nn q ∞→lim 存在． ∴1<q 且0≠q 或1=q ．． 当1<q 时，有2111=+q a ， ∴121-=a q ，∴112<-a 解得101<<a ， 又0≠q ，因此211≠a ． 当1=q 时，这时有2112lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→a n ， ∴31=a ．综上可得：101<<a ，且211≠a 或31=a ． 说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q 的特点，容易将0≠q 这一条件忽视，从而导致错误．求函数在某一点处的极限例 求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++→22423lim 3322x x x x x （2）401335172lim 225++++→x x x x x（3）xxx 320cos 1sin lim -→（4）⎪⎭⎫⎝⎛---→9631lim 23x x x分析：第（1）题中，2=x 在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；（4）为“∞-∞”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算．解：（1）22lim 423lim 22423lim 332223322++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++→→→x x x x x x x x x x x )2(lim 2lim )4(lim )23(lim 3232222++++=→→→→x x x x x x x x 2lim lim lim 24lim lim 2lim lim 32323223222→→→→→→→++++=x x x x x x x x x x x.513581222242223322=+=+⨯+++⨯= （2）.18)5(7)5(2872lim )8)(5()72)(5(lim 401335172lim 55225-=+-+-⨯=++=++++=++++→→→x x x x x x x x x x x x x （3）xx x x x x x x x x x 20220320cos cos 1cos 1lim )cos cos 1)(cos 1(cos 1lim cos 1sin lim +++=++--=-→→→ .3211111=+++= （4）.6133131lim 96)3(lim 9631lim 32323=+=+=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x 说明：不能错误地认为，由于31lim3-→x x 不存在，96lim 23-→x x 也不存在，因此（4）式的极限不存在．（4）属于“∞-∞”型，一般要先对函数式进行变形，变为“00”型或“∞∞”型，再求极限．函数在某一点处零比零型的极限例 求下列极限：（1）3111lim x x x --→ （2）xx x x 32sin sin tan lim -→π 分析：第（1）题中，当1→x 时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分．解：（1）原式)1)(1)((1()1)(1)(1(lim 32333231x x x x x x x x x +++-+++-=→.23111111)1(lim )1)(1()1)(1(lim 32313231=+++=+++=+-++-=→→xx x x x x x x x x（2）原式xx x x x x x x x x cos sin cos sin sin lim sin sin cos sin lim 3232⋅-=-=→→ππ .211)11(1cos )cos 1(1lim cos sin cos 1lim222=⨯+=⋅+=⋅-=→→x x x x x ππ 说明：如果分子、分母同乘以31x +，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是)1(323x x ++．。

极限的四则运算极限的四则运算Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】1.3.1极限的四则运算⼀、极限运算法则定理1lim (),lim (),f x A g x B ==设则(1)lim[()()];f x g x A B ±=±(2)lim[()()];f x g x A B ?=?()(3)lim,0()f x AB g x B=≠其中推论1 ).(lim )](lim [,,)(lim x f c x cf c x f =则为常数⽽存在如果即：常数因⼦可以提到极限记号外⾯.推论2.)]([lim )](lim [,,)(lim n n x f x f n x f =则是正整数⽽存在如果定理2 （复合函数的极限）. )(lim ))((lim , )(lim , )( ),(U ?, )(lim , )( )( ))(( 000a u f x f a u f u x x u x x u u f y x f y u u x x u u x x ===≠====→→→→??δ则⼜有内去⼼邻域且在若复合⽽成及是由设⼆、求极限⽅法举例常见⽅法：a.多项式与分式函数代⼊法求极限; b.消去零因⼦法求极限;c.⽆穷⼩因⼦分出法求极限;d.利⽤⽆穷⼩运算性质求极限;e.利⽤左右极限求分段函数极限.（⼀）多项式与分式函数代⼊法求极限则有设,)(.1110n n n a x a x a x f +++=-n n x x n x x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 0).(0x f =则有且设,0)(,)()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 000x Q x P x f x x x x x x →→→=)()(0x Q x P =).(0x f = .,0)(0则商的法则不能应⽤若=x Q例1 ).53(lim 22+-→x x x 求解：)53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2→→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2222→→→+-=x x x x x 52322+?-=.3=nn n a x a x a +++=- 1100例2 求.35123lim 2232+-++-→x x x x x x 解：35123lim 2232+-++-→x x x x x x 3163252122223223-=+?-++?-?= 例3 求)14135115131(lim 2-++++∞→n n 解：=-+=-)12)(12(1141 2n n n ??? ??+--12112121n n)12)(12(175153131114135115131 2+-+?+?+?=-++++∴n n n??+--++??? ??-+??? ??-+??? ?-=1211217151513131121n n ??+-=121121n . 21121121lim )14135115131(lim 2=??? ??+-=-++++∞→∞→n n n n 例4 ).21(lim 222n nn n n +++∞→求解：当．是⽆限多个⽆穷⼩之和时,∞→n 先变形再求极限. 222221lim )21(lim n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ 2) 1(21lim n n n n +=∞→)11(21lim n n +=∞→.21= (⼆))0(型消去零因⼦法求极限消去零因⼦法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法（1）因式分解例1 .321lim 2)1)(3()1)(1(lim 321lim 1221-+-+=-+-→→x x x x x x x x x 31lim 1++=→x x x .21= 练习：求hx h x h 330)(lim -+→解：原式=hx x h x h x x h x h ])())[((lim220++++-+→])()[(lim 220x x h x h x h ++++=→23x = （2）有理化法，将分⼦或分母有理化，约去极限为零的因式。

一、在下列各题中，指出哪些变量是无穷小量，哪些变量是无穷大量？1．当∞→x 时，变量x2是无穷小量； 【02lim =∞→x x 】 2．当-∞→x 时，变量x -2是无穷大量； 【+∞=--∞→x x 2lim 】3．当0→x 时，变量x sin 是无穷小量； 【0sin lim 0=→x x 】 4．当+→0x 时，变量x ln 无穷大量． 【-∞=+→x x ln lim 0】二、利用无穷小与有界变量的关系，计算下列极限1．x x x sin lim ∞→ 2．xx x 1sin lim 20→ 解：由01lim=∞→x x ，且1sin ≤x ， 解：由0lim 20=→x x ，且11sin ≤x ， 故0sin lim=∞→x x x ． 故01sin lim 20=→xx x ． 3．)21(cos lim 0+→xx x 4．x x x 1sin lim 2+∞→ 解：由0lim 0=→x x ，且321cos ≤+x， 解：由01lim =∞→x x ，且11sin 2≤+x ， 故0)21(cos lim 0=+→xx x ． 故01sin lim 2=+∞→x x x ．三、求下列极限1．)158(lim 25+-→x x x 176155582=+⨯-⨯=． 2．11lim 21---→x x x 0111)1(2=----=． 3．59lim 23-+→x x x 353932=-+=． 强行代入4．xx x -+→13lim 1∞=． 无穷小的倒数是无穷大 5．11lim 21--→x x x 1)1)(1(lim 1--+=→x x x x 211)1(lim 1=+=+=→x x ． 分解约分6．)112(lim 2xx x +-∞→21lim 1lim 2lim 2=+-=∞→∞→∞→x x x x x ． 利用性质 7．)12)(11(lim 2x x x -+∞→221)12(lim )11(lim 2=⨯=-+=∞→∞→xx x x ．利用性质8．)4421(lim 22-++-→x x x 4121lim )2)(2(2lim )2)(2(42lim 222-=-=-++=-++-=-→-→-→x x x x x x x x x x ．四、填空题1．=+-∞→2322)2(lim x x x x 0； 2．=+∞→12lim 2x x x ∞； 3．=+-∞→)12(lim 3x x x ∞． 五、若极限432lim 23=-+-→x k x x x ，求k 的值． 解：由已知432lim 23=-+-→x k x x x ，则43))(3(lim 3=-+-→x a x x x ， 4)(lim 3=+→a x x ，即1=a ． 于是，有)1)(3(22+-=+-x x k x x ，解得：3-=k ． 可以再简单，同学们考虑？ 六、若1312)(22+++-=bx x ax x f ，当∞→x 时，在下面两种情况下，确定,a b 的值：（1）)(x f 为无穷大量；（2）)(x f 为无穷小量． 解：由113)1(3lim )1312(lim )(lim 22322+--++=+++-=∞→∞→∞→x bx x a bx bx x ax x f x x x ，有：（1）当)(x f 为无穷大量时，即∞=∞→)(lim x f x ， 所以，R a ∈，0≠b ；（2）当)(x f 为无穷小量时，即0)(lim =∞→x f x ， 所以，1-=a ，0=b ．。