(完整版)极限四则运算

§1.5 极限的运算法则

极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.

一 无穷小的运算定理

设,,是0xx时的无穷小，即000lim()0,lim()0,lim()0,xxxxxxxxx下面来叙述有关无穷小的运算定理。

定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；

2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；

2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。

二 极限的四则运算法则

利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。

定理2 如果0limxxfxA， 0limxxgxB 则()()(),()(),0()fxfxgxfxgxBgx，的极限都存在，且

（1） 000limlimlim;xxxxxxfxgxfxgxAB

（2） 000limlimlim;xxxxxxfxgxfxgxAB

（3） 000limlim(0).limxxxxxxfxfxABgxgxB

证 1因为0limxxfxA， 0limxxgxB，所以，当0xx时，0,01，

当100xx 时，有2)(Axf，对此，02，当200xx时，有2)(Bxg，取},min{21，当00xx时，有

22)()())(())(()())()((BxgAxfBxgAxfBAxgxf 所以BAxgxfxx))()((lim0。

2）因为00lim(),lim()xxxxfxAgxB，由极限与无穷小的关系可以得出

,)(,)(BxgAxf（,均为无穷小）

于是有()()()()()fxgxABABAB，记BA， 则为无穷小，因此

0lim()()xxfxgxAB。

3）证 设BxgAxf)(,)(（,为无穷小），考虑差：

)()()(BBABBABABAxgxf

其分子AB为无穷小，分母0)(2BBB，我们不难证明)(1BB有

界（详细过程见书上）)(BBAB为无穷小，记为，所以BAxgxf)()(，

BAxgxf)()(lim。

由该定理可以得到如下推论：

推论： 若0lim()xxfx存在，C为常数，则

1）00lim()lim();xxxxCfxCfx

2）00lim()lim().nnxxxxfxfx

由于数列是函数的一直特殊情形，因此上述定理和推论对数列极限也成立。

例1 证明：00lim.nnxxxx

证 因为00lim.xxxx由推论000limlim.nnnxxxxxxx

例2 求22lim(342)xxx。

22222222222lim(342)lim3lim4lim23lim4limlim23242218.xxxxxxxxxxxxx解

例3 求极限224lim.2xxx

解 当2x时，分母2x的极限是0，所以不能用极限的四则运算法则，但注意到其分子中也含有2x，且在2x的过程中2x，即20x，于是可以约去不为零的公因子2x，因此

22224(2)(2)limlimlim(2)4.22xxxxxxxxx

例4 求极限22134lim.2xxxxx

解 当1x时，分子、分母的极限均为零，但该分式的分子、分母中含有一个公因子1x，且在1x的过程中1x，即10x，于是可以约去不为零的公因子2x，因此

2211134(1)(4)45limlimlim.2(1)(2)23xxxxxxxxxxxxx

例5 求极限231lim.9xxx

解 因为23lim(9)0xx，商的极限运算法则不能用，但由于239lim0,1xxx由无穷小和无穷大的关系，有231lim.9xxx

例6 求极限4342672lim.261xxxxx

解 当x时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，所以无法使用极限的四则运算法则，注意到分式的分子和分母的最高次幂都是4，可将分子分母同时除以4x，则有

43442247266726limlim3.6126122xxxxxxxxxx

练习 求极限242232lim.52xxxxx

一般地，若000,0,ab有

10110101100(),...lim(),...().nnnnmmxmmnmaxaxaxaanmbxbxbxbbnm

例7 求极限lim(2).xxx 解 当x时，2,xx均无限增大，都没有极限，不能直接应用极限的四则运算法则，为求此极限，可先将分子有理化，得

(2)(2)2lim(2)limlim0.(2)(2)xxxxxxxxxxxxx

例8 求极限sinlim.xxx

解 当x时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，但当x时，1x为无穷小，又sinx为有界函数，由于有界函数与无穷小的乘积为无穷小，所以sin1limlimsin0.xxxxxx

三 复合函数求极限的法则

定理3（复合函数的极限运算法则）设函数yfx是由yfu与ux复合而成，yfx在点0x的某去心邻域内有定义，若00lim()xxxu，0lim()uufuA， 且00，当000xx时，有0()xu， 则

00lim()lim()xxuufxfuA。

证 任给0，由于lim()uafuA，根据函数极限定义，存在相应的0，当0ua时，有

() fuA

又由于0lim()xxxa，故对上述0，存在相应的10，当010 xx时，有

() xa，

取01min ,，则当00 xx时， () xa与 () 0xa同时成立，即0 () xa成立，从而有

 () () fxAfuA，

所以

0lim()lim()xxuafxfuA． 例8 求极限sin2limxxx。

解 2xu，则2xu，当x时，2u，于是

2sinsin12limlim.2xuxuxu

练习 求极限20lim1xxe。