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极限的运算法则及计算方法

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极限的四则运算(数列极限、函数极限)

极限的四则运算(数列极限、函数极限)


a
k
，lim（C n

an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1

x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）

3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2

3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn

3 5
[ 1
1
2

5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an

bn
)

185（3an

2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)

极限运算法则与常见的极限计算

极限运算法则与常见的极限计算

极限运算法则与常见的极限计算极限运算法则是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解各种复杂的极限问题。

在本文中，我们将介绍常见的极限运算法则，并结合一些例子来说明如何应用这些法则来计算极限。

1. 基本极限运算法则(1) 常数法则：若c为常数，则lim(x→a) c = c。

这意味着在极限运算中，常数可以直接提出来。

(2) 幂函数法则：若n为正整数，则lim(x→a) x^n = a^n。

这意味着在极限运算中，幂函数可以直接求解。

(3) 指数函数法则：若a为正实数且a≠1，则lim(x→∞) a^x= ∞，lim(x→-∞) a^x = 0。

这意味着指数函数在无穷远处的极限值为无穷或零。

(4) 对数函数法则：若a为正实数且a≠1，则lim(x→0) log_a(x) = -∞，lim(x→∞) log_a(x) = ∞。

这意味着对数函数在0或无穷远处的极限值为负无穷或正无穷。

2. 极限运算法则的应用(1) 和差法则：lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)。

这意味着在求解两个函数之和或差的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相加或相减。

(2) 积法则：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

这意味着在求解两个函数的乘积的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相乘。

(3) 商法则：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。

这意味着在求解两个函数的商的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相除。

(4) 复合函数法则：若lim(x→a) g(x) = b，lim(y→b) f(y) = c，则lim(x→a) f[g(x)] = c。

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。

在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。

本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。

一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。

3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。

二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。

2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。

三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

极限的运算法则

极限的运算法则

lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3

极限运算法则

极限运算法则

= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3 x→2
3
3
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x → x0 x → x0
x → x0
lim kf ( x ) = k lim f ( x )
x → x0
（k为常 数）
3) 当 lim g ( x ) ≠ 0 时，
x → x0
f ( x) lim = lim f ( x ) / lim g ( x ). x → x0 g ( x ) x → x0 x → x0
( x 2 + 2 x − 3) = 0, x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
∴ lim 4x − 1 x + 2x − 3
2 x →1
= ∞.
小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 +
=
u→ B ln A
lim e u = e B ln A = A B .
极限存在准则、两个重要极限
极限存在准则 两个重要极限
1、极限存在准则
数列极限的夹挤准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:

极限的运算法则总结

极限的运算法则总结

极限的运算法则总结
在数学中，极限是一种重要的概念，用来描述函数在某一点趋近于某个值的行为。

极限的运算法则是一组规则，用于计算或简化满足特定条件的极限。

这些法则将在以下几个方面进行总结和讨论。

1. 四则运算法则：根据四则运算法则，如果两个函数的极限都存在，那么它们
的和、差、乘积以及商的极限也存在，并且等于相应运算的极限结果。

2. 乘法法则：该法则说明了两个函数极限的乘积是等于各自极限的乘积。

根据
这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 的极限为 B，则 f(x) * g(x) 的极限
为 A * B。

3. 除法法则：该法则说明了两个函数极限的商等于各自极限的商。

按照这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 的极限为 B，并且 B 不等于 0，则 f(x) /
g(x) 的极限为 A / B。

4. 幂函数法则：幂函数法则用于处理具有指数的函数。

根据这个法则，如果函
数 f(x) 的极限为 A，则 f(x)^n 的极限等于 A^n，其中 n 是一个常数。

5. 复合函数法则：复合函数法则适用于复合函数的极限计算，也称为链式法则。

根据这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 在 A 的附近连续，则复合函
数 g(f(x)) 的极限等于 g(A)。

这些极限运算法则在求解极限问题时起到了重要的作用。

通过应用这些法则，
我们可以更简单地计算极限，并获得更准确的结果。

然而，在实际应用中，我们仍需注意特殊情况和条件，以确保运算正确性。

极限四则运算法则

极限四则运算法则
CREATE TOGETHER
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用


无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值

求极限方法基本公式

求极限方法基本公式

求极限方法基本公式
求极限的方法有很多，基本公式包括但不限于以下几种：
1. 极限的运算法则：lim(uv) = limu limv，lim(u/v) = limu / limv，
lim(u^n) = [limu]^n (n为正整数)。

2. 幂函数的极限：limx^n = x^n / n! (x不为0)，当n为偶数时，x可以为0。

3. 指数函数的极限：lime^(x) = e^x，limln(x) = ln(x)。

4. 分段函数或分式函数的极限：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点的值等于该点的极限。

5. 无穷小量乘以有界量等于无穷小量：limu v = 0，其中u是无穷小量，v 是有界量。

6. 无穷大量与常数的乘积等于无穷大量：limu C = u，其中C是常数，u 是无穷大量。

7. 无穷小量的阶：limx^n = 0 (n>0)，limx^n = 1 (n=0)，limx^n = ∞ (n<0)。

8. 幂级数的收敛性：对于形如1/(1-x)、1/(1+x)、(1-x)^(-1)等幂级数，在x<1的范围内收敛。

9. 导数与极限的关系：如果f'(x0)存在，那么limf'(x0) = f'(x0)。

10. 洛必达法则：当一个极限的分子和分母都趋向于0或无穷大时，可以应用洛必达法则求极限。

以上是求极限的基本公式，希望对解决您的问题有所帮助。

极限运算法则

极限运算法则






定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证明
设函数u在U 0 ( x 0 , 1 )内有界，
则M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M .
又设是当x x0时的无穷小 , 0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时
小结: 1. 设 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 a n , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
n 1
a n f ( x0 ).
u u0
且存在 0 0,当x U 0 ( x0 , 0 )时, 有g( x) u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A
u u0
证明 按 函 数 极 限 的 定 义 , 要 证: 0, 0, 使 得
当0 x x0 时, 恒 有 f [ g( x )] A lim f ( u) A, 0, 0, 使 得 uu



2
因 为 是 当x x0时 的 无 穷 小 , 对 于 0, 2 0, 2 当0 x x0 2时, 恒 有

2 取 m in{ 1 , 2 }, 则 当0 x x0 时, 恒 有 及
2 2 2 2 即证明了 也 是x x0的 无 穷 小 从 而
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3

极限的性质及运算法则

极限的性质及运算法则

去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1

极限的计算方法洛必达法则和泰勒展开

极限的计算方法洛必达法则和泰勒展开

极限的计算方法洛必达法则和泰勒展开洛必达法则和泰勒展开是数学中极限的计算方法，它们在求解复杂函数的极限问题时非常有用。

本文将详细介绍这两种计算方法的原理和应用。

一、洛必达法则洛必达法则是一种计算不定型极限的方法，它是由17世纪法国数学家洛必达提出的。

当我们计算一个函数的极限时，如果得到的是0/0或无穷大/无穷大的形式，就可以运用洛必达法则来求解。

洛必达法则的思想是利用两个函数的导数之商来逼近函数的极限，具体步骤如下：1. 若极限形式为0/0或无穷大/无穷大，先对分子函数和分母函数分别求导；2. 如果导数的极限存在，即可得到原极限的结果。

如果导数的极限不存在，或者求导后的函数仍然为0/0或无穷大/无穷大的形式，就可以继续使用洛必达法则。

以下是一个应用洛必达法则求解极限的示例：设函数f(x) = (sinx - x)/x^3，求lim(x→0) f(x)的极限。

解：首先对函数f(x)分子分母求导，得到f'(x) = (cosx - 1)/x^3 - 3sinx/x^4。

然后计算极限lim(x→0) f'(x)，仍然得到0/0的形式。

再次对f'(x)进行求导，得到f''(x) = (-2sinx - 9cosx)/x^4 +12sinx/x^5。

继续计算极限lim(x→0) f''(x)，仍然得到0/0的形式。

最后再对f''(x)求导，得到f'''(x) = (-16sinx - 4cosx)/x^5 -60cosx/x^6。

继续计算极限lim(x→0) f'''(x)，得到极限值为-4/3。

因此，lim(x→0) f(x)的极限为-4/3。

二、泰勒展开泰勒展开是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法。

根据泰勒定理，如果一个函数在某点处存在各阶导数，则可以用一个多项式逼近该函数。

泰勒展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)/1! + f''(a)(x - a)^2/2! + ... + f^n(a)(x - a)^n/n! + R_n(x)其中，f(a)表示函数在点a处的函数值，f^(n)(a)表示函数在点a 处的n阶导数，R_n(x)为余项。

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。

极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。

下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。

1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。

高等数学极限的运算法则与性质

高等数学极限的运算法则与性质

例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
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例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
13
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3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
14
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问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为

函数极限的性质及运算法则

函数极限的性质及运算法则

=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限

如何求极限

如何求极限
1 ln(1+t) −1 式 lim ∴原 ＝ = e lim ln(1+t)t t→ 0 t→ 0 et = e−1 ln e = e−1
三、利用等价无穷小代换计算极限
如果：
x→Байду номын сангаас0
lim α(x) = 0, lim β(x) = 0
x→x0
∂(x) 而lim =1 称 x →x0时 (x)与 (x) 则 在 ∂ β x→x0 β (x) 是 价 穷 量 记 α～ . 等 无 小 ， 为 β 常 等 无 小 换 用 价 穷 代 ： 在 →0时 列 穷 等 ： x 下 无 小 价
利用两个重要极限计算
1+ x −1 ( 1+ x −1)( 1+ x +1) (4) lim = lim x→0 sin 2x x→0 sin 2x( 1+ x +1) 1+ x −1 x 1 = lim = lim ⋅ x→0 sin 2x( 1+ x +1 ) x→0 sin 2x 1+ x +1 1 2x 1 1 = lim ⋅ = 2 x→0 sin 2x 2 4
2 2 2
1 = lim =− x→ 0 2 2 x ( 1− x2 +1)
(1− x −1)
2
二、利用两个重要极限计算
(1) sin x lim =1 x→ 0 x 1x lim(1+ ) = e ∞ x→ x lim(1+ x) = e
0 x→ 1 x
(2)
利用两个重要极限计算极限
1.
sin ∂(x) 一 地 若lim∂(x) = 0,则 lim 般 ： ， =1 x→x0 x→x0 ∂(x) tgx 另 lim ， ＝ 1 x→ 0 x 特 ： 限 “0 ” 未 式 征 极 为 0 型 定 注 若 限 式 是 0” ， 不 利 ： 极 形 不 “0 型 则 能 用 上 公 计 。 述 式 算

极限的计算方法

极限的计算方法

2. lim c f ( x) = c lim f ( x)
3. lim[ f ( x) g ( x)] = [lim f ( x)] [lim g ( x)]
f ( x) lim f ( x) 4. lim = (lim g ( x) ≠ 0 g ( x) lim g ( x)
)
利用四则运算法则计算极限
利用等价无穷小代换计算极限
ln( 1 + αx) αx (3) lim = lim =α x →0 x →0 x x
x 1 1 + x sin x 1 1+ x 1 (4) lim = lim = lim 2 = 2 2 x →0 x →0 x →0 x sin x x 2
2 1 2 2
x 1 cos x 1 (5) lim = lim = x x →0 x (1 e ) x →0 x ( x ) 2
1 2 2
利用等价无穷小代换计算极限
1 sin x( cos x 1 ) tgx sin x (6) lim = lim 3 x →0 x →0 sin x x3 x 1 x2 1 sin x(1 cos x) = lim = lim 23 = x →0 x →0 x 3 cos x x 2 tgx sin x xx 但是, lim ≠ lim 3 = 0 3 x →0 x →0 x sin x
利用两个重要极限计算
sin 3 x (5) lim x →π tg 5 x 令 : x = π + t , x → π 时t → 0 sin( 3t + 3π ) sin 3t = lim 原式 = lim t →0 tg (5t + 5π ) t →0 tg 5t = lim
sin 3t 3t t →0 tg 5 t 5t
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lim( x2 x 2) 0 , lim( x 2) 0
x2
x2
所以极限的四则运算法则不能用
但是 x2 x 2 ( x 2)( x 1)
x2 x 2
( x 2)( x 1)
lim
lim
lim( x 1) 3
x2 x 2
x2
x2
x2
从而可以总结出下列规律：
设P( x)、Q( x)都是多项式, x0为有限数，则
推论2 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
该法则成立的前提是：lim f ( x),lim g( x) 都存在
例1:求下列极限
（1）lim( x2 2x 3)； x3
（3）lim ex ； x0 ln( x 10)
（2）lim(7sin x 4cos x)； x0
当an 0, bm 0, m和n为非负整数时有
lim
x
an xn bm x m
an1 x n1 bm1 x m1
a0 b0
an , bm 0,
例 5： 利用以上规律求下列极限 ,
当n m, 当n m, 当n m,
2x4 2x3 1
( x 1)4 (1 2 x)5
(1)
第二节 极限的运算法则
一．极限的四则运算法则 定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B 推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
例3：利用上面的规律求下列极限
x2 3x 2
(1)
lim
x 1
x2
5x
4
;
2x2 5x 2
(2)
lim
x2
3
x2
7
x
2
解: (1) P(1) 12 31 2 6 , Q(1) 12 51 4 0
x2 3x 2
lim
x 1
x2
5x
4
(2) P(2) 2 22 5 2 2 0 , Q(2) 3 22 7 2 2 0
(1)
lim
2x2
2x
1
lim
2
2 x
1 x2
200 2
(2)
x
lim
x
x2 5x 4 x2 4 lim x 2 x
x 1
1
4 x2
x
1 x
2 x2
4 x2
100
x2
(3)
lim
x
x2
4
lim x
1 x
2 x2
1
4 x2
0
从而可以总结出下列规律：
设P( x)、Q( x)分别是n次和m次多项式，则
x2 x 3
x2 x 2
x2 x 2
解: (1) lim(2x2 x 1) 11 lim( x 3) 1 0
x2
x2
lim 2x2 x 1 11 11
x2 x 3
1
(2) lim x2 x 2 x2 x 2
因为分母的极限为0，而分子极限为8
(3) lim x2 x 2 x2 x 2
（4）lim(1 x3
x 3
)3；
(5) lim(1 x
)2 10
x
解: lim( x2 2x 3) lim x2 lim 2x lim 3
x3
x3
x3
x3
(lim x)2 2lim x lim 3 32 2 3 3 18
x3
x3
x3
（2）lim(7sin x 4cos x) 7limsin x 4limcos x 70 41 4
3 5
（2）计算有理分式在 x 极限的运算
例4：求下列极限
2x2 2x 1
x2 4
x2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
x x2 5x 4
x x 2
x x2 4
解: 由于当 x 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在
所以极限的四则运算法则不能用
在分子分母中同时除以 x 的最高次幂，可化为极限存在的情况
1 (2)5 (3)3 (2)6
1
1
(3)3 (2) 54
(3)
lim
x
2x 3
x2 3x 2
lim x
(2x 3)2 x2 3x 2
(2x 3)2
lim
x
x2
3x
2
22 2
1
三、无穷小量的运算法则 (1)非零无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。
lim(1 x
)2 10
x
110
1
二、计算有理分式极限的运算法则
设P( x)、Q( x)都是多项式,则称 P( x) 为有理分式 Q( x)
（1）计算有理分式在 x x0 极限的运算
例2：求下列极限
2x2 x 1
x2 x 2
x2 x 2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
分子分母分解因式
2x2 5x 2 (2x 1)( x 2) , 3x2 7 x 2 (3x 1)( x 2)
2x2 5x 2 lim x2 3x2 7x 2
(2x 1)( x 2) lim
x2 (3 x 1)( x 2)
(2x 1) lim
x2 (3 x 1)
lim
x
x2 5x 4
;
(2)
lim
x
(1
3
x
)3
(1
2
x
)6
(3) lim 2x 3 x x2 3x 2
解: (1)
lim
x
2x4 x2
2x3 1 5x 4
(2)
lim ( x 1)4 (1 2x)5 x (1 3 x)3 (1 2 x)6
lim
x
(2)5 x9 (3)3 (2)6 x9
当Q(
x0
)
0时， lim x x0
P( Q(
x) x)
=
P( Q(
x0 x0
) )
（代入即可）
当
P( x0 ) 0,Q( x0 ) 0
时，lim P( x) =
xx0 Q( x)
当
P( x0 ) 0,Q( x0 ) 0
时，lim x x0
P( Q(
x x
) )
=
约去零因子
(
x
x0
)
后的有理分式的极限（分子分母都要分解因式）
x0
x0
x0
（3） lim ex 1 x0
limln( x 10) ln10 0
x0
lim e x 1 x0 ln( x 10) ln10
（4）
lim(1
x3
x 3
)
1
1
2
lim(1 x3
x 3
)3
23
8
(5)
lim(1
x
2 x
)
1
(
lim 2 0 ) x x
定理：初等函数在其 定义区间内任一点的 极限值等于函数值。