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数列极限四则运算法则的证明work Information Technology Company.2020YEAR数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn) (法则1)=limAn+(-1)limBn (引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A) (法则1)=A-A (引理2) =0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2)=B×0+A×0+AB (引理1) =AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次) =(limAn)的k次方=A的k次方.。
高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。
本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。
2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。
3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。
二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。
2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。
3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。
极限的四则运算法则推导极限的四则运算法则：引领数学的奥秘第一节引言在我们学习数学的过程中，四则运算是最基础的运算法则之一。
它包括加法、减法、乘法和除法，是我们解决各种数学问题的基石。
今天，我将带领大家深入探讨四则运算的极限性质，揭开数学的神秘面纱。
第二节加法的极限加法作为四则运算中最简单的一种，其极限性质也相对容易理解。
我们可以用一个例子来说明：假设有一根长为1米的绳子，我们每次都将其剪成两段，然后再将其中一段与原来的绳子拼接起来。
这样的操作重复进行下去，不断重复剪、拼接，直到我们无法再进行这个操作。
我们会发现，随着操作的进行，绳子的长度越来越接近2米。
这就是加法的极限性质，即两个数相加的结果在某种意义下趋近于无穷大。
第三节减法的极限减法的极限性质同样可以用一个例子来说明：假设有一组数列{1, 0.1, 0.01, 0.001, ...}，我们每次都将前一项减去后一项。
这样的操作重复进行下去，不断重复减去、计算，直到我们无法再进行这个操作。
我们会发现，随着操作的进行，数列的结果越来越接近0。
这就是减法的极限性质，即两个数相减的结果在某种意义下趋近于0。
第四节乘法的极限乘法的极限性质稍微复杂一些，但同样可以用一个例子来说明：假设有一组数列{1, 2, 4, 8, ...}，我们每次都将前一项乘以2。
这样的操作重复进行下去，不断重复乘以、计算，直到我们无法再进行这个操作。
我们会发现，随着操作的进行，数列的结果越来越接近无穷大。
这就是乘法的极限性质，即两个数相乘的结果在某种意义下趋近于无穷大。
第五节除法的极限除法的极限性质相对复杂一些，但同样可以用一个例子来说明：假设有一组数列{1, 0.5, 0.25, 0.125, ...}，我们每次都将前一项除以2。
这样的操作重复进行下去，不断重复除以、计算，直到我们无法再进行这个操作。
我们会发现，随着操作的进行，数列的结果越来越接近0。
这就是除法的极限性质，即两个数相除的结果在某种意义下趋近于0。
数列极限四则运算法则的证明数列极限四则运算法则是数学中非常重要的一条定理，它可以帮助我们在进行数列极限运算时更加方便和简化计算。
本文将从定理的定义、证明思路、具体证明过程以及应用等方面进行详细介绍和阐述。
让我们来了解一下数列极限四则运算法则的定义。
数列极限四则运算法则是指在满足一定条件的情况下，对数列的极限进行加、减、乘、除运算，得到的结果仍然是一个数列，并且这个数列的极限等于对原数列的极限进行相应的运算得到的结果。
简单来说，就是对数列的极限进行四则运算，可以直接对数列的极限进行运算，而不需要对数列的每一项进行运算。
接下来，我们来探讨数列极限四则运算法则的证明思路。
证明数列极限四则运算法则的关键在于如何证明对于两个数列极限的和、差、乘积和商，它们的极限分别等于原数列极限的和、差、乘积和商。
我们可以通过数学归纳法来证明这一点，即先证明对于两个数列极限的和，它们的极限等于原数列极限的和，然后再逐一证明差、乘积和商的情况。
然后，让我们来具体证明数列极限四则运算法则。
首先，考虑两个数列{a_n}和{b_n}，它们的极限分别为A和B。
我们要证明数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N 时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N，有|a_n+b_n-(A+B)|=|(a_n-A)+(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
由此可得，数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
接下来，我们来证明数列{a_n-b_n}的极限为A-B。
同样地，假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N，有|a_n-b_n-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
极限四则运算的证明极限四则运算的证明是基于极限的定义和四则运算的性质来证明的。
对于任意给定的两个数列a_n和b_n，我们可以定义它们的和、差、积和商：1.和：(a_n + b_n) = lim(n→∞)(a_n + b_n)2.差：(a_n - b_n) = lim(n→∞)(a_n - b_n)3.积：(a_n * b_n) = lim(n→∞)(a_n * b_n)4.商：(a_n / b_n) = lim(n→∞)(a_n / b_n)这里用到的是极限的定义，即当n趋近于无穷大时，a_n和b_n 的极限存在且唯一。
同时，我们还需要用到四则运算的性质，即加、减、乘、除四种运算都是有交换律、结合律和分配律的。
对于任意的a、b、c、d四个数，我们可以将它们分别表示为两个数列a_n和b_n的极限：a = lim(n→∞)a_nb = lim(n→∞)b_nc = lim(n→∞)c_nd = lim(n→∞)d_n那么，根据四则运算的性质，我们有：1.a + b = lim(n→∞)(a_n + b_n) = lim(n→∞)a_n + lim(n →∞)b_n = a + b2.a - b = lim(n→∞)(a_n - b_n) = lim(n→∞)a_n - lim(n →∞)b_n = a - b3.ab = lim(n→∞)(a_n * b_n) = lim(n→∞)a_n * lim(n→∞)b_n = ab4.a/b = lim(n→∞)(a_n / b_n) = lim(n→∞)a_n / lim(n→∞)b_n = a/b (假设b不等于0)这个证明过程比较简单，但是它为后续的极限运算提供了重要的基础。
同时，这个证明也揭示了极限和四则运算之间密切的关系，为我们深入理解数学的基本原理提供了帮助。
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
数列极限四则运算法则的证明设 limAn=A,limBn=B, 则有法则 1:lim(A n+B n)=A+B法则 2:lim(An-Bn)=A-B法则 3:lim(An • Bn)=AB法则 4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n T + g的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义：如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？£>0(不论它多么小)，总存在正数 N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| <e都成立，则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A.根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法则1的证明：•••limAn=A,二对任意正数£ ,存在正整数N?,使n > N?寸恒有|An-A| <£ .(极限定义)同理对同一正数& ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-B| <£ .②设N=max｛N ?,N?｝,由上可知当n > N时①②两式全都成立.此时 |(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn- B)| < |AA|+|Bn-B| <£ + £ =2 £.由于&是任意正数，所以2 &也是任意正数.即:对任意正数2 £ ,存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 £.由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理 2:若 limAn=A,贝U lim(C • An)=C(C・是常数)证明:vlimAn=A, 二对任意正数e ,存在正整数N,使n > N时恒有|An-A| Ve .(极限定义)①式两端同乘|C|,得：|C • -CA| v C e.由于e是任意正数，所以C e也是任意正数.即:对任意正数 C e ,存在正整数N,使n > N时恒有|C -C A n V C e.由极限定义可知，lim(C ・AAn=O0的话更好证)法则2的证明：lim(A n-B n)=limAn+lim(-Bn)( 法则 1)=limAn+(-1)limBn ( 引理 2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理 3:若 limAn=O,limBn=0, 贝U lim(An • Bn)=0.证明:vlimAn=0, 二对任意正数e ,存在正整数N ?,使n > N ?时恒有|An-0| Ve .(极限定义) 同理对同一正数 e ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-0| Ve .④设N=max{N ?,N?},由上可知当n > N时③④两式全都成立.此时有 |An • =Bnn- 0| • \Bn<£•=££ 2.由于&是任意正数，所以£ 2也是任意正数即:对任意正数£ 2,存在正整数，使n> N时恒有|An -0|B< & 2.由极限定义可知，lim(A n • Bn )=0.法则3的证明：令an=An-A,bn=Bn-B.则 liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)( 法则 1)=A-A (引理 2) =0.同理 limbn=0./• lim(A n • Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an • bn+B • an+A • bn+AB)=lim(a n • bn )+lim(B • an )+lim(A • b法则mAB=0+B • liman+A • limbn+limAB引理 3、引理 2)=B x 0+A x 0+AB (引理 1) =AB.引理4:如果limXn=L 工0,则存在正整麵和正实数£ ,使得对任何正整数n>N,有|Xn| >£.证明：取£ =|L|/2>0, 则存在正整数使得对任何正整数n>N,有|Xn- L|< £ .于是有|Xn- > |L| |Xn- L| > -L£ = £引理5:若limAn存M,使得对所有正整数n,有|An| wM.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N 有|An- A| w 1,于是有|An| w |A|+1, 我们取 M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1) 即可法则4的证明：由引理4,当B M0时（这是必要条件）,？正整数 N1和正实数£ 0,使得对正整数n>N1,有|Bn| 0.由引理5,又？正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An| < M,|Bn| < K.现在对？£ >0?正整数N2和N3,使得：当 n>N2,有|An- A|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);当 n>N3,有 |Bn- B|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);现在，当 n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|A n*B-B n*A|/|B*B n|=|A n( B-B n)+B n(An-A)|/|B*B n|w (|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A- An|)/(|B|* £ 0)(M+K)/((M+K+1)< £法则5的证明：lim(An 的k次方)=limAn • lim(A的 k-1 次方)(法则 3)....(往复 k-1 次)=(limAn)的k次方=A的k次方.。
极限运算法则证明极限运算法则是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解各种复杂的极限问题。
在本文中，我将通过几个具体的例子，来展示极限运算法则的应用和证明。
我们来看一下极限的定义。
对于一个函数f(x)，当x趋近于某个值a 时，如果存在一个常数L，使得对于任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们就说函数f(x)在x趋近于a的过程中有极限L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
我们来看一下极限的唯一性。
如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的。
假设lim┬(x→a)〖f(x)=L_1〗，lim┬(x→a)〖f(x)=L_2〗，其中L_1≠L_2。
那么我们可以选择ε=|L_1-L_2|/2，根据极限的定义，存在δ_1>0和δ_2>0，使得当0<|x-a|<δ_1时，有|f(x)-L_1|<ε，当0<|x-a|<δ_2时，有|f(x)-L_2|<ε。
取δ=min{δ_1, δ_2}，那么当0<|x-a|<δ时，既有|f(x)-L_1|<ε，又有|f(x)-L_2|<ε。
而根据三角不等式，我们可以得到|L_1-L_2|≤|f(x)-L_1|+|f(x)-L_2|<2ε=|L_1-L_2|，这是一个矛盾，因此我们得出结论，如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的。
接下来，我们来看一下极限的四则运算法则。
假设lim┬(x→a)〖f(x)=L_1〗，lim┬(x→a)〖g(x)=L_2〗，那么根据四则运算法则，我们有以下结论：1. 两个函数的和的极限等于两个函数极限的和，即lim┬(x→a)〖(f(x)+g(x))=L_1+L_2〗。
2. 两个函数的差的极限等于两个函数极限的差，即lim┬(x→a)〖(f(x)-g(x))=L_1-L_2〗。
数列极限四则运算法则
数列极限四则运算法则是指在求解数列极限的过程中，可以通过四则运算规则对数列进行加、减、乘、除等运算，从而简化计算过程。
具体而言，以下是数列极限四则运算法则的内容：
1. 数列加减法法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为a和b，则数列{an+bn}和{an-bn}的极限分别为a+b和a-b。
2. 数列乘法法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为a和b，则数列{an*bn}的极限为a*b。
3. 数列除法法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为a和b且b不等于0，则数列{an/bn}的极限为a/b。
需要注意的是，上述法则只适用于数列极限的情况，对于函数极限则需要使用不同的运算法则。
此外，在进行运算时，还需要注意数列极限的基本性质，如极限唯一性、极限的保号性等，以确保运算结果的正确性。
- 1 -。
数列极限四则运算法则的证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(An+Bn)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An·Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)
(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)
首先必须知道极限的定义:
如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,
则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.
根据这个定义,首先容易证明:引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)
法则1的证明:
∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)
同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.
此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.
由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.
即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.
由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.
为了证明法则2,先证明1个引理.
引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)
证明:∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)
①式两端同乘|C|,得:|C·An-CA|＜Cε.
由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.
即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.
由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的话更好证)
法则2的证明:
lim(An-Bn)
=limAn+lim(-Bn)(法则1)
=limAn+(-1)limBn(引理2)
=A-B.
为了证明法则3,再证明1个引理.
引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.
证明:∵limAn=0,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.
此时有|An·Bn|=|An-0|·|Bn-0|＜ε·ε=ε².
由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.
即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².
由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.
法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.
则liman=lim(An-A)
=limAn+lim(-A)(法则1)
=A-A(引理2)=0.
同理limbn=0.
∴lim(An·Bn)
=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)
=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB(法则1)
=0+B·liman+A·limbn+limAB(引理3、引理2)
=B×0+A×0+AB(引理1)=AB.
引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.
证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε
引理5:若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.
证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可
法则4的证明:
由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.
由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.
现在对∀ε>0, ∃正整数N2和N3,使得:
当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；
当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；
现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有
|An/Bn-A/B|
=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|
=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|
≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)
≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε
法则5的证明:
lim(An的k次方)
=limAn·lim(An的k-1次方)(法则3)....(往复k-1次)
=(limAn)的k次方
=A的k次方.。
