专题06 空间中的平行与垂直
【要点提炼】
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
考点
考向一空间点、线、面位置关系
【典例1】(1)(2020·河南百校大联考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，则下列结论正确的是()
A.m＝n
B.m＝n＋2
C.m＜n
D.m＋n＜8
(2)(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.
解析(1)直线CE?平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，
易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，
则m＝4.
取CD的中点G，连接FG，EG.
易证CD⊥平面EGF，
又AB⊥平面BPP1B1，AB⊥平面AQQ1A1且AB∥CD，
从而平面EGF∥平面BPP1B1∥平面AQQ1A1，
∴EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，
则EF与正方体其余四个面所在平面均相交，n＝4，
故m＝n＝4.
(2)已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可能与α平行，或l与α相交但不垂直；
由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；
由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.
故正确的命题是②③?①或①③?②.
答案(1)A(2)若m∥α，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α，答案不唯一)
探究提高 1.判断空间位置关系命题的真假
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.
(2)借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.
2.两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断. 【拓展练习1】(1)(2020·衡水中学调研)已知M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，则下列是假命题的是()
A.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交
B.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直
C.过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交
D.过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行
(2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()
A.BP⊥AC
B.PD⊥平面ABCD
C.AC⊥PD
D.平面BDP⊥平面ABCD
解析(1)在AB上取一点P，则平面PMC1与AB，B1C1都相交，这样的平面有无数个，因此C是假命题.
(2)取BP的中点O，连接OA，OC，如图所示.则BP⊥OA，BP⊥OC，因为OA∩OC ＝O，所以BP⊥平面OAC，又AC?平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A一定成立.由AC⊥BP，AC⊥BD，BP∩BD＝B，∴AC⊥平面BDP，又PD?平面BDP，AC?平面ABCD.所以AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故C，D一定正确.从条件不一定推出PD⊥平面ABCD，选B.
答案(1)C(2)B
考向二空间平行、垂直关系的证明
【典例2】(2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
(1)求证：BD⊥平面P AC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由.
(1)证明因为P A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以P A⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又P A∩AC＝A，
所以BD⊥平面P AC.
(2)证明因为P A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以P A⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.又因为AB∥CD，所以AB⊥AE.
又AB∩P A＝A，所以AE⊥平面P AB.
因为AE?平面P AE，所以平面P AB⊥平面P AE.
(3)解棱PB上存在点F，使得CF∥平面P AE.理由如下：取PB的中点F，P A的中点G，连接CF，FG，EG，
则FG∥AB，且FG＝1
2AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝1
2AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF∥EG.
因为CF?平面P AE，EG?平面P AE，
所以CF∥平面P AE.
探究提高 1.利用综合法证明平行与垂直，关键是根据平行与垂直的判定定理及性质定理来确定有关的线与面，如果所给的图形中不存在这样的线与面，要充分利用几何性质和条件连接或添加相关的线与面.
2.垂直、平行关系的证明，主要是运用转化与化归思想，完成线与线、线与面、面与面垂直与平行的转化.在论证过程中，不要忽视定理成立的条件，推理要严
谨.
【拓展练习2】(2020·石家庄调研)如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD 和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB ＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点.
(1)求证：BF∥平面ADP；
(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.
证明(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG，
∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，
∵CD＝3PE，
∴FG＝2PE，FG∥CD，
∵CD∥AB，AB＝2PE，
∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，
∴BF∥AG，又BF?平面ADP，AG?平面ADP，∴BF∥平面ADP.
(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM，
∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，
∴ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE.
∴FM∥PD，
∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，
∵AM∩FM＝M，∴BD⊥平面AMF，
∴BD⊥平面AOF.
考向三平面图形中的折叠问题
【典例3】图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，
其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.
(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图②中的四边形ACGD的面积.
(1)证明由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC?平面BCGE，
所以AB⊥平面BCGE.
又因为AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解如图，取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，又CG、EM?平面BCGE，故DE⊥CG，DE⊥EM.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，
又DE∩EM＝E，DE，EM?平面DEM，故CG⊥平面DEM.
又DM?平面DEM，因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，
故DM＝2.又CG＝BF＝2，
所以四边形ACGD的面积为S＝2×2＝4.
探究提高 1.解决与折叠有关问题的关键是找出折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.
2.在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.
【拓展练习3】 如图1，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π
2，AB ＝BC ＝1
2AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1－BCDE .
(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；
(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1－BCDE 的体积为362，求a 的值. (1)证明 在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π
2，所以BE ⊥AC ，
即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)解 由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，OA 1⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1－BCDE 的高，
由图1可知，A 1O ＝22AB ＝2
2a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2， 从而四棱锥A 1－BCDE 的体积为 V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝2
6a 3， 由2
6a 3＝362，得a ＝6.
考向四 空间线面关系的开放性问题
【典例4】 (2020·九师联盟检测)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝π
3，△P AD 是等边三角形，F 为AD 的中点，PD ⊥BF .
(1)求证：AD ⊥PB ；
(2)若E 在线段BC 上，且EC ＝1
4BC ，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求出三棱锥D －CEG 的体积；若不存在，请说明理由. (1)证明 ∵△P AD 是等边三角形，F 是AD 的中点，∴PF ⊥AD .
∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝π
3，∴BF ⊥AD . 又PF ∩BF ＝F ，∴AD ⊥平面BFP . 由于PB ?平面BFP ，∴AD ⊥PB .
(2)解 能在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD . 由(1)知AD ⊥BF ，∵PD ⊥BF ，AD ∩PD ＝D ， ∴BF ⊥平面P AD .
又BF ?平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面P AD ，
又平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，且PF ⊥AD ，PF ?平面P AD ，∴PF ⊥平面ABCD . 连接CF 交DE 于点H ，过H 作HG ∥PF 交PC 于G ， ∴GH ⊥平面ABCD .
又GH ?平面DEG ，∴平面DEG ⊥平面ABCD . ∵AD ∥BC ，∴△DFH ∽△ECH ， ∴CH HF ＝CE DF ＝12，∴CG GP ＝CH HF ＝12， ∴GH ＝13PF ＝3
3，
∴V D －CEG ＝V G －CDE ＝1
3S △CDE ·GH ＝13×12DC ·CE ·sin π3·GH ＝112.
探究提高 1.求解探究性问题常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立.
2.解决空间线面关系的探究性问题，应从平面图形中的平行或垂直关系入手，把所探究的结论转化为平面图形中线线关系，从而确定探究的结果.
【拓展练习4】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，△PDC和△BDC均为等边三角形，且平面PDC⊥平面BDC.
(1)在棱PB上是否存在点E，使得AE∥平面PDC？若存在，试确定点E的位置；若不存在，试说明理由；
(2)若△PBC的面积为15
2，求四棱锥P－ABCD的体积.
解(1)存在.当点E为棱PB的中点，使得AE∥平面PDC.理由如下：
如图所示，取PB的中点E，连接AE，取PC的中点F，连接EF，DF，取BC 的中点G，连接DG.
因为△BCD是等边三角形，
所以∠DGB＝90°.
因为∠ABC＝∠BAD＝90°，所以四边形ABGD为矩形，
所以AD＝BG＝1
2BC，AD∥BC.
因为EF为△BCP的中位线，
所以EF＝1
2BC，且EF∥BC，故AD＝EF，且AD∥EF，
所以四边形ADFE是平行四边形，从而AE∥DF，
又AE?平面PDC，DF?平面PDC，
所以AE∥平面PDC.
(2)取CD的中点M，连接PM，过点P作PN⊥BC交BC于点N，连接MN，如
图所示.
因为△PDC 为等边三角形，所以PM ⊥DC .
因为PM ⊥DC ，平面PDC ⊥平面BDC ，平面PDC ∩平面BDC ＝DC ，PM ?平面PDC ，
所以PM ⊥平面BCD ，则PM 为四棱锥P －ABCD 的高. 又BC ?平面BCD ，所以PM ⊥BC .
因为PN ⊥BC ，PN ∩PM ＝P ，PN ?平面PMN ，PM ?平面PMN ， 所以BC ⊥平面PMN .
因为MN ?平面PMN ，所以MN ⊥BC . 由M 为DC 的中点，易知NC ＝1
4BC . 设BC ＝x ，则△PBC 的面积为x
2·x 2－? ??
??
x 42
＝152，解得x ＝2，即BC ＝2，
所以AD ＝1，AB ＝DG ＝PM ＝ 3.
故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S 梯形ABCD ×PM ＝13×（1＋2）×32×3＝
3
2.
【专题拓展练习】
一、单选题
1．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，
120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）
A B C ．
83
D ．
43
【答案】D 【详解】
在BCD △中，由余弦定理可得
2222cos120CD BC BD BC BD =+-?22
BC BD BC BD =++?
因为2
2
2BC BD BC BD +≥，所以2
3CD BC BD ≥?，
所以16
3
BC BD ?≤
，当且仅当BC BD =时等号成立，
1116
sin120223BCD
S
BC BD =
?≤?= 因为二面角A BC D --的大小为60，
所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==
所以114
3
33
A BCD BCD
V S h -=
?≤=，
所以四面体ABCD 体积的最大值是4
3
，
故选：D
2．在正三棱锥A BCD -中，点P ，Q ，R 分别在棱BC ，BD ，AB 上，1
2
CP CB =
，14BQ BD =
，1
2
AR AB =，则（ ） A ．平面//RPQ 平面ACD B ．平面RPQ ⊥平面BCD C ．//AC RQ D ．PQ AD ⊥
【答案】B 【详解】
取BD 的中点为O ，连接AO 、OC ，PQ ，RQ ，PR ，
三棱锥A BCD -为正三棱锥，所以AB AD AC ==，BC CD BD ==， 因此AO BD ⊥，CO BD ⊥， 又AO
CO O =，AO ?平面AOC ，CO ?平面AOC ，
所以BD ⊥平面AOC ；因为BD ?平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD ； 又因为12CP CB =
，14BQ BD =，1
2
AR AB =， 所以//RQ AO ，//PQ CO ，则PQ ?平面AOC ，RQ ?平面AOC ，
又RQ PQ Q ?=，所以平面//RPQ 平面AOC ；所以平面RPQ ⊥平面BCD ；即B 正确； 因为平面AOC 与平面ACD 相交，所以平面RPQ 与平面ACD 相交；即A 错； 因为AC 与AO 相交，所以AC 与RQ 异面；即C 错； 因为//PQ CO ，则PQ BD ⊥，若PQ AD ⊥，根据BD
AD D ，BD ?平面ABD ，
AD ?平面ABD ，可得CO ⊥平面ABD ，又CO ?平面BCD ，所以平面ABD ⊥平面
BCD ，这与该几何体是正三棱锥矛盾（正三棱锥的侧面不与底面垂直），所以PQ 和AD
不垂直，故D 错； 故选：B.
3．如图，在三棱锥D ABC -中，AB BC CD DA ===，90,,,ABC E F O ?∠=分别为棱
,,BC DA AC 的中点，记直线EF 与平面BOD 所成角为θ，则θ的取值范围是（ ）
A ．0,4π?? ???
B ．,43ππ?? ???
C ．,42ππ?? ???
D ．,62ππ?? ???
【答案】C 【详解】
由AB BC =，90ABC ?∠=，将底面补全为正方形ABCG ，如下图示，
O 为ABCG 对角线交点且GB AC ⊥，又CD DA =有DO AC ⊥，DO GB O ?=， ∴AC ⊥面GDB ，而AC ?面ABCG ，故面GDB ⊥面ABCG ，
若H 为DG 的中点，连接FH ，又,E F 为棱,BC DA 的中点，则//FH AG 且2AG FH =， 而//BC AG ，2BC AG EC ==，有,EC FH 平行且相等，即ECHF
为平行四边形.
∴可将EF 平移至HC ，直线EF 与平面BOD 所成角为(0,)2
CHO π
θ∠
=∈，且Rt CHO
△中90COH ∠=?，
令2AB BC CD DA ====，2OC =
222
2tan tan OC BD OH θθ
==
=
， ∴△ABD 中，2222cos AB BD AB BD DAB BD +-??∠=，即21
cos 1tan DAB θ
∠=-
，
∵
DAB DAG DCB DCG ???，即(0,)2
DAB π
∠∈，
∴2
1
011tan θ<-<，解得tan 1θ>（tan 1θ<-舍去）， 综上有(,)42
ππ
θ∈，
4．已知α，β是两个不同的平面，“//αβ”的一个充分条件是（ ） A ．α内有无数直线平行于β B ．存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ C ．存在平面γ，m α
γ=，n βγ=且//m n
D ．存在直线l ，l α⊥，l β⊥ 【答案】D 【详解】
解：对于A.根据面面平行判定定理可得A 错误；
对于B. 当αγ⊥，βγ⊥时，可能三个平面两两相交，不能得出平行，B 错误； 对于C.当m αγ=，n βγ=且//m n 时，可能三个平面两两相交，不能得出//αβ，C 错
误；
对于D.根据线面垂直推得：当l α⊥，l β⊥时，//αβ成立，故D 正确； 故选：D.
5．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1111,C D A D 的中点，则异面直线DE 与AF 所成角的余弦值是（ ）
A ．
4
5
B ．
35
C ．
310
D ．
10 【答案】A 【详解】
取11A B 的中点N ，连接,,EN FN AN
由,E N 分别为1111,C D A B 的中点，则11//EN A D 且11EN A D = 在正方体中11//AD A D 且11AD A D =,所以//EN AD 且EN AD = 所以四边形ANED 为平行四边形，所以//AN DE 则FAN ∠（或其补角）为异面直线DE 与AF 所成角. 设正方体的棱长为2，则在ANF 中，111
22
NF D B =
=,415AN AF ==+= 所以2224
cos 25
255AF AN FN FAN AF AN +-∠=
==??? 故选：A
6．已知平面,αβ和直线l ，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//l l αβ，则//αβ
B ．若//,l l αβ?，则//αβ
C ．若,l l αβ⊥?，则αβ⊥
D ．若,l l αβ⊥⊥，则αβ⊥
【答案】C 【详解】
解：对于A 选项，若//,//l l αβ，则//αβ或相交，故A 选项不正确； 对于B 选项，若//,l l αβ?，则//αβ或相交，故B 选项不正确；
对于C 选项，若,l l αβ⊥?，则αβ⊥，为面面垂直的判定定理，故C 选项正确； 对于D 选项，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ，故D 选项不正确. 故选：C.
7．设m ?n 为两条直线，α?β为两个平面，则下列命题中假命题是（ ） A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥ B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥ C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβ D ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 【答案】C 【详解】
A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，A 正确；
B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥，又//n β，则平面β内存在直线//c n ，所以c α⊥，所以αβ⊥，B 正确；
C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则,αβ可能相交，可能平行，C 错；
D ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则,αβ的法向量平行，所以//αβ，D 正确． 故选：C ．
8．下列命题中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面
B ．垂直于同一直线的两条直线平行
C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥
D ．若a b c 、、是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a b c 、、共面. 【答案】D 【详解】
A.不共线的三点确定一个平面，故A 错误；
B.由墙角模型，显然B 错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误；
D.因为//a b ，所以a b 、确定唯一一个平面，又c 与a b 、都相交，故直线a b c 、、共面，故D 正确； 故选：D.
9．在四棱锥 P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，
四边形ABCD 是正方形，PD AD =，M ，N 分别为AB ，PC 的中点，则BN 与MC 所成角的余弦值是（ ）
A ．
6
B ．
6
C ．
10
D ．
10
【答案】D 【详解】
如图，不妨设2AD =.
取PD 的中点为Q ，连接,,QM QN QC ， 则////QN CD MB 且1
2
QN CD MB =
=， 故四边形MBNQ 为平行四边形，∴//BN MQ ， ∴QMC ∠即为所求异面直线所成的角.
在QMC △中，MC CQ ==
QM =
则cos
QMC ∠==故选：D.
10．在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，P 为线段MB 上的动点（包括端点），记PN 与CD 所成角的最小值为α，PN 与平面BCD 所成角的最大值为β，则（ ） A ．αβ= B ．αβ>
C ．αβ<
D ．2
π
αβ+=
【答案】C 【详解】 如图所示：
由最小角、最大角定理得：PN 与CD 所成最小角为CD 与平面BCM 所成的角， 在正四面体中，因为,,AD MC AD MB MC MB M ⊥⊥?=， 所以AD ⊥平面BCM ，
所以CD 与平面BCM 所成的角为DCM ∠， 所以3
tan tan MD DCM MC α∠==
=
， PN 与平面BCD 所成最大角为二面角M BC D --，
同理得：BC ⊥平面MND ，
所以二面角M BC D -- d 平面角为MND ∠,
所以2
tan tan MD DNM MN β∠==
=
， 因为,0,2παβ?
?
∈ ??
?
， 所以αβ<. 故选：C.
11．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（ ）
A ．//MN 平面ABE
B ．//MN 平面ADE
C ．//MN 平面BDH
D ．//MN 平面CDE
【答案】C 【详解】
根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ， 易知ON 与BM 平行且相等，∴四边形ONMB 为平行四边形，∴MN ‖BO , ∵BO 与平面ABE （即平面ABFE )相交，故MN 与平面ABE 相交，故A 错误； ∵平面ADE ‖平面BCF ,MN ∩平面BCF =M ,∴MN 与平面ADE 相交，故B 错误； ∵BO ?平面BDHF ,即BO ‖平面BDH ,MN ‖BO ,MN ?平面BDHF ,∴MN ‖平面BDH ,故C 正确； 显然M ,N 在平面CDEF 的两侧，所以MN 与平面CDEF 相交，故D 错误. 故选：C.
12．在直棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，其中12AB BC BB ===，点D 是AC 的中点，则异面直线1AB 与BD 所成角的大小为（ ）
A ．
3
π B ．
4
π C ．
6
π D ．
2
π 【答案】A 【详解】
取11A C 的中点1D ，连结1DD ，1AD ，
111////DD AA BB ，且111DD AA BB ==， ∴四边形11BDD B 是平行四边形，11//BD B D ∴，
则异面直线1AB 与BD 所成角是11AB D ∠或其补角，
2212222AB =+= ，1111122
B D A
C =
=，()
2
2122
6AD =+=
则2
2
2
11
22261cos 2
2222
AB D +-∠=
=??，所以113AB D π∠=，
所以异面直线1AB 与BD 所成角的大小为3
π
. 故选：A
13．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中不正确．．．的是（ ） A ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ B ．若αβ⊥ ，m α?，m β⊥，则//m α C ．若m β⊥，m α?，则αβ⊥
D ．若αβ⊥，m α?，n β?，则m n ⊥ 【答案】D 【详解】
对A ，当m α⊥，//m n ，//n β，由面面垂直的判定定理必得αβ⊥，A 正确；对B ，当
αβ⊥ ，m α?，m β⊥，由线面平行的判定定理可得//m α，故B 正确；当m β⊥，
m α?，由面面垂直的判定定理必得αβ⊥，故C 正确；当αβ⊥，m α?，n β?，则
m 与n 可能平行，可能相交，可能异面，故D 错.
故选：D.
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
空间中的平行与垂直(文/理) 热点一空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题； (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断． 例1(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 (2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是() A．若a∥b，b?α，则a∥α B．若a∥α，b?α，则a∥b C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b 答案(1)D(2)D 解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交． (2)线面平行的判定定理中的条件要求a?α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D. 思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中． 跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；
第2讲空间中的平行与垂直 高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并与空间角的计算综合命题. 真题感悟 1.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则() A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 解析连接BD，BE， ∵点N是正方形ABCD的中心， ∴点N在BD上，且BN＝DN， ∴BM，EN是△DBE的中线， ∴BM，EN必相交. 连接CM，设DE＝a，则EC＝DC＝a，MC＝3 2a，
∵平面ECD ⊥平面ABCD ，且BC ⊥DC ， ∴BC ⊥平面EDC ， 则BD ＝2a ，BE ＝ a 2＋a 2＝2a ， BM ＝ ? ?? ?? 32a 2 ＋a 2＝72a ， 又EN ＝ ? ????a 22 ＋? ?? ?? 32a 2 ＝a ， 故BM ≠EN . 答案 B 2.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________. 解析 如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离. 再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ， 连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC . 所以PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°. 在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝ （3）2－12＝ 2. 答案 2 3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：
空间几何平行与垂直证明 线面平行 方法一：中点模型法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE 练习： 1.三棱锥_P ABC 中，P A A B A C ==，120BAC ∠= ，P A ⊥平面A B C ， 点E 、F 分别为线段P C 、B C 的中点， （1）判断P B 与平面A E F 的位置关系并说明理由； （2）求直线P F 与平面P A C 所成角的正弦值。 P A B C D E C B
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD .DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD . (1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD . 3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：AC//平面EFG. 4.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：EF //平面BGH. 方法二：平行四边形法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP A B C D E F G H A B C D E F G H P A B C D E O
2.正方体1111ABC D A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//E G 平面11BD D B 练习 1.如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形， M 为O A 的中点，N 为B C 的中点 证明：直线MN ‖平面O C D ； 2.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//A F 平面PC E 3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； G E D 1 C 1 B 1 A 1A D C B O A M D C B N P B C D A E F D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
突破点11 空间中的平行与垂直关系 提炼1 异面直线的性质 (1)面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线． (2)异面直线所成角的范围是? ????0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直． (3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求. 提炼2 平面与平面平行的常用性质 (1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼3 证明线面位置关系的方法 (1)平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理． (2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质． (3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理． (4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．
回访1异面直线的性质 1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 A[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为 3 2.] 2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 回访2面面平行的性质与线面位置关系的判断 3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l
空间平行与垂直专题 1.已知E F , G, H 是空间四点，命题甲： E , F , G H 四点不共面，命题乙：直线 EF 和GH 不相交，则甲 是乙成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 E, F , G H 四点不共面，则直线 EF 和GH 肯定不相交，但直线 EF 和GH 不相交，E , F , G H 四点 答案：B a // 3 , a // Y ，^ U 3 // Y 其中正确命题的序号是（ A .①③ B.①④ C.②③ D .②④ 解析：对于?』因为平行于同一个平面的两个平面相互平行』所叹①正确j 对于②，当直线用位于平面# 內J 且平行于平面為0的交线时，满足条件，但显然此时用与平面弄不垂直』因此②不正确.对于?』在 平面厲内取直线丘平行于flb 则宙ml a,曲"心得"丄fib 又n 申 因此有厲丄0，③正确；对于④，直线 曲可能位于平面口内，显然此时用与平面《■不平行，因此?不正确.综上所述，正确命題的序号是①③, 答案：A 3 .如图，在三棱锥 P — ABC 中，不能证明 API BC 的条件是（ ） A. API PB AP I PC 可以共面, 例如 EF// GH 故选B. 解析：若 2 .设m n 是不同的直线, 3 , 丫是不同的平面，有以下四个命题: ①若 ②若 a 丄 3, m /a,贝 y m 丄 3 ③若 m± a , mil 3，贝U a ④若 m// n , n? a ,贝U m//
B. API PB BC ^ PB C. 平面 BPQ_平面 APC BCL PC D. API 平面 PBC 解析：A 中，因为AP I PB API PC PBn PC= P ,所以API 平面PBC 又BC ?平面PBC 所以API BC 故A 正确；C 中，因为平面 BPCL 平面APC BC! PC 所以BCL 平面APC AP ?平面APC 所以AP I BC 故C 正 确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出 API BC 故选B. 答案：B 4 ?设m n 是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面，给出下列四个命题: 其中真命题的个数为（ A . 1 B . 2 C. 3 D . 4 解析：对于0由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面a 与f 可能平行或相交，故②错 误；对于?,直线斤可能平行于平面0,也可能在平面0内，故③错误；对于⑨ 由两平面平行的判定定理 易得平面5平行，故?错误.综上所述，正确命题的个数为I,故选A. 答案；A 5?如图，在下列四个正方体中， A, B 为正方体的两个顶点, 解析：B 选项中，AB// MQ 且AB?平面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面MNQ C 选项中，AB// MQ 且AB ?平 面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面 MNQ D 选项中，AB// NQ 且AB?平面MNQ NC ?平面MNQ 则AB//平面 MNQ 故选A. 答案：A 6.如图所示,直线 PA 垂直于O O 所在的平面，△ ABC 内接于O O,且AB 为O O 的直径，点 M 为线段PB 的中 ①若 m// n , ②若 m// a ,m//3 ,贝U a // 3 ； ③若 m// n , m// 3 ,贝 U n // ④若 ml a 中，直线 AB 与平面MNQT 平行的是（ . _________ B A AT-? M N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体 A i M
空间中的平行与垂直 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假实行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体实行考查，难度中等． 1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理 线面平行的判定定理 ? ??? ? a ∥ b b ?αa ?α?a ∥α 线面平行的性质定理 ? ??? ?a ∥α a ?βα∩β＝ b ?a ∥b 线面垂直的判定定理 ? ??? ?a ?α，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ? l ⊥α 线面垂直的性质定理 ? ????a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2． 面面垂直的判定定理 ? ????a ⊥αa ?β?α⊥β 面面垂直的性质定理 ? ??? ?α⊥β α∩β＝c a ?αa ⊥c ?a ⊥β
面面平行的判定定理 ? ????a ?βb ?β a ∩ b ＝O a ∥α， b ∥α? α∥β 面面平行的性质定理 ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b 3． 平行关系及垂直关系的转化示意图 考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题准确的是 ( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面 (2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题准确的是 ( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 答案 (1)B (2)B 解析 (1)对于A ，直线l 1与l 3可能异面、相交；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．所以选B. (2)A 中直线l 可能在平面α内；C 与D 中直线l ，m 可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B 准确． 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理实行判断，必要时能够利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中． (1)(2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中准确的是 ( )
专练 1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的() A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①若α∥β，α∥γ，则β∥γ ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β ③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥n，n?α，则m∥α 其中正确命题的序号是() A．①③B．①④ C．②③D．②④ 3．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是() A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥n，m∥β，则n∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β. 其中真命题的个数为()
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6.如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③ C ．① D ．②③ 7．已知平面α及直线a ，b ，则下列说法正确的是( ) A ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行 B ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直 C ．若直线a ，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行 D ．若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直 8．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.35 C.710 D.45 9．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )
突破点11 空间中的平行与垂直关系 (对应学生用书第167页) 提炼1 异面直线的性质 (1)直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线． (2)异面直线所成角的范围是? ????0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直． (3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求. 提炼2 平面与平面平行的常用性质 (1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼3 证明线面位置关系的方法 (1)定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理． (2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质． (3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理． (4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线． 回访1 异面直线的性质 1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )
A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 A [设平面C B 1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为 3 2 .] 2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 D [由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 回访2 面面平行的性质与线面位置关系的判断 3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( ) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l D [根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.]
专题空间几何中的平行与垂直 考点 点、线、面位置关系的判断 一 1.(优质试题浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则( ). A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【解析】∵α∩β=l,∴l?β.∵n⊥β,∴n⊥l. 【答案】C 2.(优质试题安徽卷)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面, 则下列命题正确的是( ). A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 【解析】A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m?α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确.故D项正确. 【答案】D 3.(优质试题广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平 面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ). A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行也不相交,故l1,l2中至少有一条与l相交. 【答案】D 4.(优质试题全国Ⅲ卷)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( ). A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 【解析】连接B1C,由题意得BC1⊥B1C. ∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1?平面B1BCC1, ∴A1B1⊥BC1, ∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1ECB1, ∵A1E?平面A1ECB1,∴A1E⊥BC1.故选C. 【答案】C 5.(优质试题上海卷)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( ). A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1
三垂线定理 一、温故 1.线面平行的判定及性质定理 2.线面垂直的判定及性质定理 3.求线面所成角步骤 二、探究 思考1：面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？ 例1：已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,, a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 例2.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 P B
例3.已知：点O 是ABC ?的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥ 例4.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 例5.在正方体1AC 中，求证：1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥； 例6．已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,, a α?a PO ⊥。 求证：a AO ⊥； P B 1 A C O D A C B P
例7．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； 线面平行与垂直关系的转化 1.对于命题：①b a a b b a ⊥?⊥,//； ②αα//,b a b a ?⊥⊥； ③ c a b a c b a ////,,,?=???βαβα；④ c b a c a b ////,,,?=?=?=?ααγγββα，其中正确的命题个数是 2.若直线a ，b 没有公共点，则下列命题：①存在与a ，b 平行的直线；②存在与a ，b 垂直的平面；③存在经过a 而与b 垂直的平面；④存在经过a 而与b 平行的平面. 其中正确的命题序号是 3.已知a ，b 和平面α，下列推理：①α⊥a 且b a a b ⊥??；②αα⊥?⊥b a b a 且//；③b a a //b //??αα且；④ααα??⊥⊥a a b a 或且//b ，其中正确的命题序号是 4.下列说法：①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一组平行线垂直，该直线必在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线，其中正确的个数是 5.空间四边形ABCD 的四条边相等，则它的对角线AD 、BC 的关系是 6.对于命题：① αα⊥????⊥a b b a //；②αα////a b b a ?????；③αα⊥?? ?? ⊥a b b a //；④ αα//b b a a ?? ?? ⊥⊥其中正确的命题是 7.在正方体ABCD-A ?B ?C ?D ?中，边对角线BD ?的一个平面交AA ?于E ，交CC ?于F ， D A B C
第1讲空间中的平行与垂直关系 A组基础达标 1. 能保证直线a与平面α平行的条件是________．(填序号) ①b?α，a∥b； ②b?α，c∥α，a∥b，a∥c； ③b?α，A，B∈a，C，D∈b且AC＝BD； ④a?α，bα，a∥b. 2. 若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则下列说法中错误的是________．(填序号) ①垂直于平面β的平面一定平行于平面α； ②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α； ③垂直于平面β的平面一定平行于直线l； ④垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直． 3. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，给出以下四个命题： ①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l； ③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β. 其中正确的命题是________．(填序号) 4. 已知l，m是平面α外两条不同的直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________． 5. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中的“可换命题”是________．(填序号) 6. (2019·南方凤凰台密题)如图，在三棱锥P－ABC中，△P AB和△CAB都是以AB为底 边的等腰三角形，D，E，F分别是PC，AC，BC的中点． (1) 求证：平面DEF∥平面P AB； (2) 求证：AB⊥PC. (第6题) 7. (2019·南通最后一卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别
空间的平行关系综合问题 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：线线平行线面平行面面平行，线线垂直线面垂直面面垂直。 一、线线平行。判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平 行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、线面平行。判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点；2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面； 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面； 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 基础训练题 1.下列命题中，正确命题的个数是 . ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 3.对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）. ①若m⊥α，m⊥n，则n∥α②若m∥α，n∥α，则m∥n ③若m?α，n∥α，则m∥n ④若m、n与α所成的角相等，则m∥n 4.已知直线a,b,平面α，则以下三个命题： ①若a∥b,b?α,则a∥α; ②若a∥b,a∥α,则b∥α; ③若a∥α,b∥α,则a∥b. 其中真命题的个数是 . 5、设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是（填序号）. ①若m∥α,n∥α,则m∥n②若m?α，n?α,m∥β,n∥β,则α∥β
高中数学总复习- 第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系 【知识结构图】 第3课空间中的平行关系 【考点导读】 1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。 3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1．若b a、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交
2．给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假． 命题的个数是 4 个。 3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。 4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a ∥c ，b ∥c ?a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ?a ∥b ；③α∥c ，β∥c ?α∥β； ④α∥r ，β∥r ?α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ?a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ?a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。 【范例导析】 例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面． ∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH 面ABC ，GF 面ABD ， 由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB ∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ． 例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN.
空间中的平行与垂直关系 一、知识梳理 1、 平行关系 （1）直线与平面平行的判定 定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。 判定定理：若l α?，a α?，l ∥a ，则l ∥α。 （2）直线与平面的平行性质定理： 判定定理：若l ∥α，l β?，a αβ= ，则l ∥a 。 （3）平面与平面的平行的判定 定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。 判定定理1：若, a b αα??，a b P = ，a ∥β，b ∥β，则α∥β； 判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β； 判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。 （4）平面与平面的平行性质定理： 性质定理1：若α∥β，a α?，则a ∥β； 性质定理2：若α∥β，且a γα= ，b γβ= ，则a ∥b ； 性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。 2、补充结论： 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。 3、线线平行的常用证明方法 （1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等； （2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； （3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理 4、垂直关系 （1）直线与平面垂直的判定 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。 判定定理：若, , m n m n P αα??= ，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。 （2）直线与平面的垂直性质定理： 符号表示：若l α⊥，对任意的a α?，都有l a ⊥。 （3）平面与平面的垂直的判定 定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。 判定定理：若, a a αβ?⊥，则l α⊥。
空间几何的平行与垂直的关系 【知识梳理】 一、 三视图的性质：（长对正、高平齐、宽相等） 长对正：主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸。 宽相等：俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸。 高平齐：主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸。 二、空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系： 1. ?? ???=?异面相交平行线线)()//(A b a b a ，??? ??=??) ()//() (A a a a ααα相交平行线在面内线面，面面???=?.)()//(l βαβα相交平行 2. 空间平行关系的判定与性质 （1）两直线平行的判定： ①平行于同一直线的两直线平行（平行公理） ②线面平行，经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行； ③两平面平行，被第三个平面截得的两条交线互相平行； ④垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线面平行的判定与性质： 判定： ①平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则平面外的这条直线与此平面平行； ②两平面平行，一平面内任意一条直线都平行于另一平面。 性质：若直线与平面平行，则经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行。 （3）面面平行的判定与性质： 判定： ①一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行； ②垂直于同一直线的两平面平行。 性质：两平面平行，一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。 3. 空间垂直关系的判定与性质： （1）两直线垂直的判定与性质： 判定 ①夹角是直角的两直线垂直； ②线面垂直，则此直线垂直于此平面内任意一条直线。 性质：空间中的两直线垂直，则其夹角是90°。 （2）线面垂直的判定与性质： 判定：
专题06 空间中的平行与垂直 【要点提炼】 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 考点 考向一空间点、线、面位置关系 【典例1】(1)(2020·河南百校大联考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，则下列结论正确的是() A.m＝n B.m＝n＋2 C.m＜n D.m＋n＜8 (2)(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________. 解析(1)直线CE?平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1， 易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，
则m＝4. 取CD的中点G，连接FG，EG. 易证CD⊥平面EGF， 又AB⊥平面BPP1B1，AB⊥平面AQQ1A1且AB∥CD， 从而平面EGF∥平面BPP1B1∥平面AQQ1A1， ∴EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1， 则EF与正方体其余四个面所在平面均相交，n＝4， 故m＝n＝4. (2)已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可能与α平行，或l与α相交但不垂直； 由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α； 由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m. 故正确的命题是②③?①或①③?②. 答案(1)A(2)若m∥α，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α，答案不唯一) 探究提高 1.判断空间位置关系命题的真假 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断. (2)借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定. 2.两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断. 【拓展练习1】(1)(2020·衡水中学调研)已知M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，则下列是假命题的是() A.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交 B.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直 C.过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交
高一数学 必修二 空间中平行与垂直关系 强化练习 1.空间中，垂直于同一直线的两条直线( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上均有可能 2.已知互不相同的直线,,l m n 与平面,αβ，则下列叙述错误的是（ ） A ．若//,//m l n l ，则//m n B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若βα?⊥m m ,,则αβ⊥ D ．若,m βαβ⊥⊥，则//m α或m α? 3.下列说法正确的是( ) A.如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行 B.两个平面相交于唯一的公共点 C.如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点 D.平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行 4.如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体， 下面结论错误的是（） A ． BD∥平面C B 1D 1 B ． A C 1⊥B 1C C ． AC 1⊥平面CB 1 D 1 D ． 直线CC 1与平面CB 1D 1所成的角为45° 5. 如图，四棱锥错误!未找到引用源。中，底面错误!未找到引用源。是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为错误!未找到引用源。的等腰三角 形，则二面角错误!未找到引用源。的大小（ ） A ．错误!未找到引用源。 B ．错误!未找到引用源。 C ．错误!未找到引用源。 D ．错误!未找到引用源。 6．下列四个结论： ⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7.在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A CD B --的余弦值为（ ） A ． 1 2 B ．13 C ．3 D ．2