空间中的平行与垂直关系规范解答 专题
典例 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，
F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．
(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAH ⊥平面DEF .
审题路线图 (1)条件中各线段的中点――→设法利用
中位线定理取PD 的中点M ――→考虑平行关系长度关系
平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――→线面平行
的判定定理EF ∥平面PAD
(2)平面PAD ⊥平面ABCD PA ⊥AD ――→面面垂直的性质
PA ⊥平面ABCD ―→PA ⊥DE ―――――――――――――→正方形ABCD 中
E ，H 为AB ，BC 中点
DE ⊥AH ――→线面垂直
的判定定理DE ⊥平面PAH ――→面面垂直的
判定定理平面PAH ⊥平面DEF
评分细则(1)第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面PAD同样给分；
(2)第(2)问证明PA⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC的中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面PAH只要写出DE⊥AH，DE⊥PA，缺少条件不扣分．
跟踪演练如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝2
3
DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．
答 案
空间中的平行与垂直关系规范解答 专题
典例5 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，
F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．
(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAH ⊥平面DEF .
审题路线图 (1)条件中各线段的中点――→设法利用
中位线定理取PD 的中点M ――→考虑平行关系长度关系
平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――→线面平行
的判定定理EF ∥平面PAD
(2)平面PAD ⊥平面ABCD PA ⊥AD ――→面面垂直的性质
PA ⊥平面ABCD ―→PA ⊥DE ―――――――――――――→正方形ABCD 中
E ，H 为AB ，BC 中点
DE ⊥AH ――→线面垂直
的判定定理DE ⊥平面PAH ――→面面垂直的
判定定理平面PAH ⊥平面DEF
评分细则(1)第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面PAD同样给分；
(2)第(2)问证明PA⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正
方形边AB ，BC 的中点得DE ⊥AH 不扣分；证明DE ⊥平面PAH 只要写出DE ⊥AH ，DE ⊥PA ，缺少条件不扣分．
跟踪演练5 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .
(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝2
3DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．
(1)证明 由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又BA ⊥AD ，AD ∩AC ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ， 所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .
(2)解 由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝2
3DA ，所以BP ＝2 2.
如图，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，
则QE ∥DC 且QE ＝1
3
DC .
由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为
V Q －ABP ＝13
×S △ABP ×QE
＝13×1
2
×3×22sin 45°×1＝1.
