空间中的平行与垂直关系
一、知识梳理
1、 平行关系
（1）直线与平面平行的判定
定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。
（2）直线与平面的平行性质定理：
判定定理：若l ∥α，l β⊂，a α
β=，则l ∥a 。 （3）平面与平面的平行的判定
定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P =，a ∥β，b ∥β，则α∥β；
判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；
判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
（4）平面与平面的平行性质定理：
性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；
性质定理2：若α∥β，且a γα=，b γβ=，则a ∥b ；
性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
2、补充结论：
如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法
（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；
（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；
（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理
4、垂直关系
（1）直线与平面垂直的判定
定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。
判定定理：若, , m n m
n P αα⊂⊂=，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。
（2）直线与平面的垂直性质定理：
符号表示：若l α⊥，对任意的a α⊂，都有l a ⊥。
（3）平面与平面的垂直的判定
定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。
判定定理：若, a a αβ⊂⊥，则l α⊥。
（4）平面与平面的垂直性质定理：
性质定理1：若, , , l a a l αβα
βα⊂=⊂⊥，则a β⊥。 性质定理2：若, , l α
βαγβγ=⊥⊥，则l γ⊥。
5、补充定理
（1）若, l αα⊥∥β，则l β⊥；
（2）若, l a α⊥∥l ，则a α⊥。
6、线线垂直的常用证明方法
（1）利用平面几何的知识，如相似、全等、勾股定理的逆定理；
（2）三垂线定理：已知AO α⊂，PA α⊥，a α⊂，若AO a ⊥，则PO a ⊥；
逆定理：已知AO α⊂，PA α⊥，a α⊂，若PO a ⊥，则AO a ⊥。
（3）线面垂直定义。
二、立体几何计算和证明题的思想方法：
（1）口诀：由结论想判定，由条件想性质。
解释：当结论中有线面（或面面）平行（或垂直）的关系时，要考虑这种关系的判定定理是什么；而当条件中有这样的关系时，则考虑性质定理是什么。然后结合判定定理和性质定理，考虑必要的话应该添加什么样的辅助线或者辅助面。
（2）判定定理中的转化思想：面面关系⇔线面关系⇔线线关系。
三、经典例题
例1 已知,αβ表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的
（ ）。
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
例2（2009江西卷）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN
是正方形，则下列命题中，错误的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C ∥PQMN 平面
C ．AC B
D =
D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°
例3如图，正方体1111ABCD A B C D -中，侧面对角线1AB 、1BC 上分别有两点E 、F ，且11B E C F =。
求证：EF ∥平面ABCD 。
例4 已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧棱与底面垂直，点D 是11A C 的中点。 求证：1BC ∥1AB D 平面。
例5 如图，已知直棱柱111ABC A B C -中，1111B C AC =，
M 、N 分别是11A B 、AB 的中点。
求证：平面1AMC ∥平面1NB C 。
例6 四边形ABCD 为平行四边形，P 为平面ABCD 外一点，M 、N 、Q 分别是PC 、AB 、CD 的
中点。
求证：（1）平面QMN ∥PAD 平面；
（2）若过直线AB 和MN 的平面交PD 于E ，
则MN ∥AE ，且E 为PD 的中点。
例7 正三棱柱111ABC A B C -中，AB = 2，F 为棱1BB 上一点，122BF FB ==，D 为BC 的中点，
E 为线段AD 上不同于A 、D 的任意一点。
求证：1EF FC ⊥。
例8如图，已知直棱柱111ABC A B C -中，1111AC B C =，11AC A B ⊥，M 、N 分别是11A B
和AB 的中点。
求证：11A B B C ⊥。
例9（2011新课标）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，
AB = 2AD ，PD ⊥底面ABCD 。
（1）证明：PA BD ⊥；
（2）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高。
例10四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，
60BCD ∠=︒，E 是CD 的中点，PA ABCD ⊥底面。
求证：PBE PAB ⊥平面平面。
例11如图，已知三棱锥A PBC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 、D 分别为AB 和PB 的中点，
且PMB ∆是正三角形。
（1）求证：DM ∥平面APC ；
（2）求证：平面ABC ⊥平面APC 。
（3）若BC = 4，AB = 20，求三棱锥D BCM -的体积。
