空间中的平行与垂直专题

空间中的平行与垂直专题

[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档．

热点一空间线面位置关系的判定

空间线面位置关系判断的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．

例1(1)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是()

A．若l∥m，则必有α∥βB．若l⊥m，则必有α⊥β

C．若l⊥β，则必有α⊥βD．若α⊥β，则必有m⊥α

B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是()

A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合

B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交

D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行

跟踪演练1(1)(2018·揭阳模拟)已知直线a，b，平面α，β，γ，下列命题正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γB．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b∥c C．若α∩β＝a，b∥a，则b∥αD．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b∥a

(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是

A．l与l1，l2都相交B．l与l1，l2都不相交

C．l至少与l1，l2中的一条相交D．l至多与l1，l2中的一条相交

热点二空间平行、垂直关系的证明

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．

例2(1)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，AA1⊥平面ABC，E，F分别为棱A1B1，BC的中点．

①求证：直线BE∥平面A1FC1；

②平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥B－EFM的体积．

(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD ＝60°，PD＝2a，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

①证明：平面EAC⊥平面PBD；

②若PD∥平面EAC，三棱锥P－EAD的体积为183，求a的值．

思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．

(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.

跟踪演练2如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．

(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；

(2)求证：CE∥平面PAD.

热点三平面图形的翻折问题

平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，

去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．

例3(2018·北京海淀区期末)如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置，如图2所示．

(1)求证：DE⊥平面PCF；

(2)求证：平面PBC⊥平面PCF；

(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．

(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论．

跟踪演练3(2018·北京朝阳区模拟)如图，在△PBE中，AB⊥PE，D是AE的中点，C是线

段BE上的一点，且AC＝5，AB＝AP＝1

2AE＝2，将△PBA沿AB折起使得二面角P－AB

－E是直二面角．

(1)求证：CD∥平面PAB；

(2)求三棱锥E－PAC的体积．

真题体验

1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是________．(填序号)

2．如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E 与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

押题预测

1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是() A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥β

C．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β

2．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．

(1)求证：A1E⊥FP；

(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直线与平面位置关系，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题方向．