专题 空间几何中的平行与垂直

空间几何的平行与垂直关系知识点总结空间几何是研究点、线、面等几何形体在空间中的相互关系和特性的学科。

在空间几何中，平行和垂直是两种重要的关系。

本文将总结空间几何中的平行与垂直关系的知识点。

一、平行关系平行是指两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。

平行关系在日常生活和工程建设中经常被应用到。

1. 平行关系的性质- 平行线与同一平面内的直线交线的两个内角是同位角，即两个内角之和等于180度。

- 平行线与同一平面外的直线交线的两个内角也是同位角，同位角性质适用于平行于同一平面内的两条直线。

2. 判定平行关系的方法- 平行线的判定：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线是平行线。

- 平行面的判定：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线重合，并且这两个平面分别与第三个平面平行，则这两个平面是平行面。

3. 平行线的性质- 平行线投影性质：平行于同一平面内的两条直线的等角投影相等。

- 平行线的方向性：平行线有确定的方向，可以延长或缩短，但方向不会改变。

二、垂直关系垂直是指两条直线或两个平面相交成直角的关系。

垂直关系在几何学、建筑学和物理学中都有广泛应用。

1. 垂直关系的性质- 垂直关系性质一：两个直角相等。

- 垂直关系性质二：两个互相垂直的直线或两个互相垂直的平面，其中一个与第三个垂直，则它们与第三个也是垂直关系。

- 垂直关系性质三：垂直于同一面的直线与该面的交线垂直。

2. 判定垂直关系的方法- 判定直线垂直关系的方法：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线是垂直的。

- 判定面垂直关系的方法：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线相交成直角，并且这两个平面分别与第三个平面垂直，则这两个平面是垂直的。

三、平行和垂直关系的应用平行和垂直关系在日常生活和工程建设中具有广泛的应用。

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。

又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。

（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。

空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。

它们用来描述线、面和空间中的关系，帮助我们理解和解决各种几何问题。

本文将介绍平行和垂直的定义、判定方法，以及它们在空间几何中的应用。

一、平行的定义和判定在平面几何中，我们知道两条直线要想平行，它们的斜率必须相等。

但是在空间几何中，直线不再只有斜率这一个属性，因此平行的定义也有所不同。

在空间中，我们把两条直线称为平行线，当且仅当它们处于不同平面上，且不相交。

也就是说，两条平行线可以看作是两个相互平行且不相交的平面上的交线。

判定平行的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量是否平行。

如果两条直线的方向向量相等或成比例，那么它们是平行的。

2. 通过判断两条直线上的一点到另一条直线的垂足距离是否为0。

如果两条直线上的所有垂足距离都为0，那么它们是平行的。

3. 通过判断两个平面的法向量是否平行。

如果两个平面的法向量相等或成比例，那么它们是平行的。

二、垂直的定义和判定在空间几何中，垂直用来描述直线、平面和空间中的相互关系。

两条直线、两个平面或一条直线与一个平面之间的垂直关系都具有重要意义。

在空间中，我们把两条直线称为垂直线，当且仅当它们在某个平面上相交，并且互相垂直。

也就是说，两条垂直线可以看作是相互垂直的平面上的交线。

判定垂直的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量的数量积是否为0。

如果两条直线的方向向量的数量积为0，那么它们是垂直的。

2. 通过判断直线上的一点到另一条直线的垂足是否在另一条直线上。

如果两条直线上的所有垂足都在另一条直线上，那么它们是垂直的。

3. 通过判断一条直线的方向向量是否与一个平面的法向量垂直。

如果一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直，那么它们是垂直的。

三、平行和垂直的应用平行和垂直在空间几何中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 平行线的应用：平行线可用于构建平行四边形、矩形等各种图形。

空间几何中的平行与垂直空间几何是研究三维空间中的几何关系的学科，其中平行和垂直是两个重要的概念。

平行和垂直关系是我们日常生活和工作中常常接触到的概念，它们在建筑设计、物体摆放和路线规划等方面都有着广泛的应用。

本文将围绕空间几何中的平行和垂直展开讨论。

一、平行概念与性质在空间几何中，平行是指两个直线或两个平面始终保持相互平行的关系。

如图所示，直线l和m平行，用符号表示为l∥m。

平行关系具有以下性质：1. 平行关系是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。

自反性指一条直线自己与自己平行，对称性是指如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l也平行，传递性是指如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。

2. 如果一条直线与一个平面平行，那么该直线上的任意一点与该平面上的任意一点的连线垂直于该平面。

3. 平行关系与直线的切比雪夫性质密切相关。

切比雪夫性质是指在点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，在A与B的所有可能位置之间都保持不变。

二、垂直概念与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或两个平面相交成直角的关系。

垂直关系也称为垂直关系或直角关系。

如图所示，直线l和m垂直，用符号表示为l⊥m。

垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系也是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。

自反性指一条直线与自己垂直，对称性是指如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l也垂直，传递性是指如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。

2. 如果两个平面相交成直角，那么这两个平面互相垂直。

3. 垂直关系与直线的切比雪夫性质也存在关联。

在垂直关系中，点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，与A与B的位置无关。

三、平行和垂直的判断方法在实际问题中，判断两条直线或两个平面是否平行或垂直是非常重要的。

以下是常见的判断方法：1. 对于直线而言，可以通过观察其斜率来判断平行关系。

空间几何的平行与垂直判定空间几何是数学中的一个重要分支，涉及到直线、平面、点等概念的研究。

其中，平行和垂直是空间几何中常见的关系，本文将对平行和垂直的判定方法进行详细介绍。

一、平行的判定方法在空间几何中，平行是指两个线(线段)或两个平面永远不会相交的关系。

下面将介绍几种常见的平行判定方法。

1. 直线的平行判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判定l1与l2平行。

即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，且k1≠k2时，则l1和l2平行。

2. 平面的平行判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量相等或平行，则可以判定P1与P2平行。

二、垂直的判定方法在空间几何中，垂直是指两个线(线段)或两个平面之间的相互垂直关系。

下面将介绍几种常见的垂直判定方法。

1. 直线的垂直判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率互为倒数且不相交，则可以判定l1与l2垂直。

即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，并且k1·k2=-1时，则l1和l2垂直。

2. 平面的垂直判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量互为倒数且不平行，则可以判定P1与P2垂直。

三、平行与垂直的应用举例平行和垂直关系在实际问题中经常被应用。

以下是几个应用举例。

1. 平行线与垂直线的交点问题当两条平行线相交时，它们的交点无穷多个；而当两条垂直线相交时，它们的交点只有一个。

这一性质在导弹拦截等领域具有重要意义。

2. 平行四边形及其性质平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

它们的特点是相对边相等、对角线相交于对角线的中点、对角线互相平分等。

平行四边形的性质在建筑设计等领域有广泛应用。

3. 垂直投影与三视图在工程绘图中，垂直投影是指将物体在垂直方向上的投影。

根据垂直投影可以得到物体的平面图、前视图、左视图、右视图等，这些视图通常用于工程设计、建筑规划等领域。

4. 共线与共面条件若一条直线与一个平面相交，那么这条直线上的任意一点与该平面上的任意一点以及该平面上的任意一条直线都共线。

空间几何学中的平行与垂直关系空间几何学是研究空间中点、线、面等几何对象的性质和关系的数学学科。

在空间几何学中，平行和垂直是两个基本的关系，它们在我们日常生活和工作中起着重要的作用。

本文将深入探讨空间几何学中的平行与垂直关系，包括定义、性质以及应用。

一、平行关系在空间几何学中，平行是指两条直线或两个平面永远不相交的关系。

具体来说，若两条直线在同一个平面内，且这两条直线上的任意两点的连线都在这个平面内，那么这两条直线是平行的。

同样地，若两个平面没有公共点，且它们上面的任意两点的连线都在这两个平面内，那么这两个平面是平行的。

平行关系具有以下性质：1. 平行关系是对称的。

如果直线l1与l2平行，那么l2与l1也平行；如果平面P1与P2平行，那么P2与P1也平行。

2. 平行关系是传递的。

如果直线l1与l2平行，l2与l3平行，那么l1与l3也平行；如果平面P1与P2平行，P2与P3平行，那么P1与P3也平行。

3. 平行关系与直线与平面的位置无关。

即使两条直线或两个平面不在同一个平面内，只要满足平行关系的定义，它们仍然是平行的。

平行关系在实际生活和工作中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，平行的墙面可以增加空间的稳定性和美观性；在交通规划中，平行的道路可以提高交通效率；在物流运输中，平行的轨道可以确保车辆的安全行驶等。

二、垂直关系在空间几何学中，垂直是指两条直线或两个平面相交成直角的关系。

具体来说，若两条直线在同一个平面内相交，且相交的角度为90度，那么这两条直线是垂直的。

同样地，若两个平面相交成直角，那么这两个平面是垂直的。

垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系是对称的。

如果直线l1与l2垂直，那么l2与l1也垂直；如果平面P1与P2垂直，那么P2与P1也垂直。

2. 垂直关系是传递的。

如果直线l1与l2垂直，l2与l3垂直，那么l1与l3也垂直；如果平面P1与P2垂直，P2与P3垂直，那么P1与P3也垂直。

空间几何中的平行与垂直关系平行与垂直关系是空间几何中非常重要的概念，它们在解决平面或立体几何问题时经常被用到。

在本文中，我将介绍平行和垂直的定义和性质，并探讨它们在几何学中的应用。

一、平行关系在空间几何中，当两条线或两个平面没有交点且始终保持相同的距离时，我们称它们是平行的。

换句话说，平行线永远不会相交，平行面之间也永远不会相交。

我们可以使用以下方法来判断线或面是否平行：1. 如果两条线被一条平面所截，且截得的两对同位角相等，则这两条线平行。

2. 如果两个平面被一条直线所截，且截得的两对同位角相等，则这两个平面平行。

平行关系常常在解决与直线、多边形和多面体相关的问题时被应用。

比如，在建筑设计中，设计师常常需要确定两面墙是否平行，以便确保建筑结构的稳定。

在制图学中，要绘制平行线的效果，可以应用平行规或平行尺等工具辅助。

二、垂直关系与平行关系相反，垂直关系指的是两条线、两个平面或两个立体之间相互间的直角关系。

当两条线或两个平面的夹角大小为90度时，它们被认为是垂直的。

同样地，如果两个立体之间的相邻平面的交线是垂直的，则我们称这两个立体是垂直的。

判断垂直关系的方法有：1. 如果两条直线相交，并且相交的四个角中有两个角是直角，则这两条直线是垂直的。

2. 如果两个平面相交，并且相交的交线与两个平面各自的法线垂直，则这两个平面是垂直的。

垂直关系在几何学中有广泛的应用。

在建筑学中，垂直关系被用来确保墙壁与地面之间的角度为直角，以提供良好的结构支持。

在三维计算机图形学中，垂直关系可以用来进行透视变换，使得图像更加逼真。

三、平行和垂直的性质在空间几何中，平行和垂直具有一些重要性质，这些性质可以帮助我们解决几何问题。

1. 如果一条直线与两条平行线相交，则与这两条平行线的交线上的对应角是相等的。

2. 如果两条线分别与第三条线平行，则它们之间的对应角是相等的。

3. 判断两个平面是否垂直的方法之一，是计算它们的法向量之间的夹角。

专专8.3空间几何中的平行、垂直一、单选题1. 设,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，Q 表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①,Q l Q l αα∈⊂⇒∈②,l m Q m l ββ⋂=⊂⇒⊂③//,,,l m l Q m Q m ααα⊂∈∈⇒⊂④,αβ⊥且,,,m Q Q l l l αββαβ⋂=∈∈⊥⇒⊂A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④ 2. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B3. 如图A ，B ，C ，D 为空间四点，在ABC 中，2AB =，2AC BC ==，等边三角形ADB 以AB 为轴旋转，当平面ADB ⊥平面ABC 时，CD =( )A. 3B. 2C. 5D. 14. 如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=，将ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列命题正确的是( )A. 平面ABD ⊥平面ABCB. 平面ADC ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDCD. 平面ADC ⊥平面ABC二、多选题 5. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则( )A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线1B C 与11A C 所成角为45︒C. 三棱锥11P A DC -的体积为定值D. 平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C6. 如图所示，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻转成1A DE ，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，下列命题正确的是( )A. ||BM 是定值B. 点M 在球面上运动C. 一定存在某个位置，使1DE A C ⊥D. 一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE7. 如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点(不含端点)，将ABE 沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点(不含端点)，则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的有( )A. B 、E 、C 、F 四点不共面B. 存在点F ，使得//CF 平面BAEC. 三棱锥B ADC -的体积为定值D. 存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直三、填空题 8. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且22BC DC PA ==，AM PD ⊥于M ，MN PD ⊥，MN 与PC 交于点.N 则(1)AM 与CD 的关系__________(填“垂直”或“平行”)；(2)PN PC=__________. 9. 如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，G 是EF 的中点.现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为.H 下列说法错误的是__________(将符合题意的选项序号填到横线上).①AG EFH ⊥所在平面；②AH EFH ⊥所在平面；③HF AEF ⊥所在平面；④HG AEF ⊥所在平面.10. 如图，在Rt ABC 中，1AC =，BC x =，D 为斜边AB 的中点．将BCD 沿直线CD 翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是__________.11. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BD AC O ⋂=，M 是线段1D O 上的动点，过点M 作平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为__________.四、解答题12. 在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．(1)求证：//EF 平面11AB C ；(2)求证：平面1AB C ⊥平面1.ABB13. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111.AB B C ⊥求证：(1)//AB 平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1.A BC14. 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA 是四棱锥P ABCD -的高，,,E F M 分别为,,AB CD PD 的中点．(1)求证：平面//AMF 平面PEC ；(2)若24PA AB BC ===，求多面体PECFMA 的体积.15. 如图，四边形ABCD 为菱形，60.ABC PA ︒∠=⊥平面ABCD ，E 为PC 中点． ()Ⅰ求证：平面BED ⊥平面ABCD ；()Ⅱ求平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值．16. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11AC A C ⊥平面ABC ，ABC=90︒∠，BAC=30︒∠，11==AC A A AC ，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点．()Ⅰ证明：EF BC ⊥；()Ⅱ求直线EF 与平面1BC A 所成角的余弦值．17. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于.F(1)证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为111A B C 的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，12BC AA ==，O ，M 分别为BC ，1AA 的中点．(1)求证：//OM 平面11CB A ；(2)求点M 到平面11CB A 的距离．19. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，M 为BC 的中点，N 在线段1AA 上.(1)设1=AN NA λ，当λ为何值时，11//?MN ACB 平面 (2)若1AN =，求直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值.20. 如图，在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；(2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】D解：①Q α∈，l α⊂，点Q 可以不在直线l 上，故A 错误； ②直线l 可以只有一点在面内，故B 错误；③因为//l m ，l α⊂，若m 不在平面α内，//m α，由Q m ∈， 可得Q 在平面α外，这与可点Q α∈相矛盾，故C 正确； ④αβ⊥且m αβ⋂=，Q β∈，Q l ∈，l l αβ⊥⇒⊂， 由面面垂直的性质定理知D 正确.故选.D2.【答案】A解：连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊂/平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面.ABCD因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD ，则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B ，D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥， 1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥， 且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确. 故选.A3.【答案】B解：由题意，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为三角形ADB 为等边三角形，所以DE AB ⊥，当平面ADB ⊥平面ABC 时，且平面ADB ⋂平面ABC AB =，又DE ⊂平面ADB ，所以DE ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，所以DE EC ⊥，又2AB =，2AC BC ==， 所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又BE AE =，所以112CE AB ==， 又332322DE BD ==⨯=， 所以此时2231 2.CD DE CE =+=+=故选.B4.【答案】D解：在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=， BD CD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ， 故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥，又AD AB ⊥，AD CD D ⋂=，AD ，CD ⊂平面ADC ，AB ∴⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面.ADC故选.D5.【答案】ACD解：在A 中，1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11B D ，1BB ⊂平面11BB D ， 11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂=，11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确;对于B ，易知11//A D B C ，在11A DC 中，1111A D DC AC ==，可得11A DC 为正三角形，异面直线1BC 与11A C 所成角为60︒，故B 错误;对于C ，11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ， 点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P A C D -的体积为定值，故C 正确；对于D ，设平面11AC D 与底面ABCD 的交线为m ，11A C 是平面11AC D 和平面1111A B C D 的交线，平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以11//A C m ，故D 选项正确.故选.ACD6.【答案】ABD解：A 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，1A DE MNB ∠=∠，112MN A D ==定值，NB DE ==定值，根据余弦定理得，2222cos MB MN NB MN NB MNB =+-⋅⋅∠，||BM ∴是定值，B 对，B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，C 错，当矩形ABCD 满足AC DE ⊥时存在，其他情况不存在，D 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，因为MN ⊂/平面1A DE ，1A D ⊂平面1A DE ，所以//MN 平面1A DE ，同理//BN 平面1A DE ，又MN NB N ⋂=，∴平面//MNB 平面1A DE ，MB ⊂平面MNB ，//MB ∴平面1.A DE故选.ABD7.【答案】AB解：对于A ：假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以：点E 在平面BCF 上，又点E 在线段BC 上，BC ⋂平面BCF C =，所以点E 与点C 重合，与点E 异于C 矛盾，所以直线BE 与CF 必不在同一平面上，即B 、E 、C 、F 四点不共面，故A 正确； 对于B ：当点F 为线段BD 的中点时，12EC AD =，再取AB 的中点G ， 则//FG AD 且12FG AD =， 则//EC FG ，且EC FG =，所以：四边形ECFG 为平行四边形，所以//FC EG ，又因为,EG ABE FC ABE ⊂⊄平面平面，则：直线//CF 平面BAE ，故B 正确；对于C ：由题B ADC V -，底面ACD 的面积不变，但E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离在变化，所以B ADC V -的体积不是定值，故C 错误；对于D ：过点B 作BO AE ⊥于O ，由于平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以BO ⊥平面AECD ，过点D 作DH AE ⊥于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以DH ⊥平面BAE ，又因为BE ABE ⊂平面，所以DH BE ⊥，若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，DC ⊂平面AECD ，DH DC D ⋂=，所以BE ⊥平面AECD ，所以E 和O 重合，与ABE 是以点B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E ，使得直线BE 与直线CD 垂直，故D 错误．故选：.AB8.【答案】垂直23解：(1)由题意易得CD ⊥平面PAD ，所以CD AM ⊥，又AM PD ⊥于M ，CD PD D ⋂=，进而得AM ⊥平面PCD ，得.AM CD ⊥(2)设BC DC PA a ===，则PD ==，Rt PAD中，PM PA PA PD ==，则PM =， 易得CD ⊥平面PAD ，因为MN PD ⊥，所以//MN CD ，得2.3PN PM PC PD === 故答案为(1)垂直；2(2).39.【答案】①③④解：折之前AG EF ⊥，CG EF ⊥，折之后也垂直，所以EF ⊥平面AHG ，折之前B ∠，D ∠，C ∠均为直角，折之后三点重合， 所以折之后AH ，EH ，FH 三条直线两两垂直，所以AH EFH ⊥所在平面，②对；同时可知AH HG ⊥，又HF AEH ⊥所在平面，过AE 不可能做两个平面与直线HF 垂直，③错； 如果HG AEF ⊥所在平面，则有HG AG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，④错；若AG EFH ⊥所在平面，则有AG HG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，所以①也错．故答案为①③④.10.【答案】(0,3] 解：由题意得，212x AD CD BD +===，BC x =， 取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则12DE =，1AC =， 翻折后，在图2中，此时 .CB AD ⊥BC DE ⊥，BC AD ⊥，DE AD D ⋂=，,DE AD ADE ⊂平面，BC ∴⊥平面ADE ，AE ADE ⊂平面，BC AE ∴⊥，DE BC ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，1AB AC ∴==，2114AE x ∴=-，212x AD +=， 在ADE 中：①221111224x x ++>-，②221111224x x +<+-，③0x >， 由①②③，得0 3.x <<如图3，翻折后，当1B CD 与ACD 在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠， 又190CBD BCD B CD ︒∠+∠+∠=，130CBD BCD B CD ︒∴∠=∠=∠=，60A ︒∴∠=，tan 60BC AC ︒=，此时1x ==综上，x 的取值范围为故答案为：11.【答案】2解：由题易知，DO AC ⊥，1D O AC ⊥，1DO D O O ⋂=，DO ，1D O ⊂平面11BDD B ， AC ∴⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面1ACD ，∴平面1ACD ⊥平面11BDD B ， 又MN ⊥平面1ACD ，平面1ACD ⋂平面111BDD B D O =，MN ∴⊂平面11BDD B ，且N 在平面1111A B C D 内，11N B D ∴∈，过N 作11NG A B ⊥，交11A B 于G ，将平面1111A B C D 展开，如图：设NG x =，(01)x ，11NG A B ⊥，1111A D A B ⊥，11//NG A D ∴，又11A D ⊥平面11ABB A ，NG ∴⊥平面11ABB A ，且AG ⊂平面11ABB A ，NG AG ∴⊥， 22221(1)222AN x x x x ∴=+-+=-+21362()222x =-+， 当12x =时，AN 取最小值6.2 故答案为：6.212.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．所以1//EF AB ，因为EF ⊂/平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C ；(2)因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1B C AB ⊥，又因为AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 所以AB ⊥平面1AB C ，因为AB ⊂平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1.ABB13.【答案】证明：(1)平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，又AB ⊂平面1111,A B C A B ⊂/平面11A B C ；得//AB 平面11A B C ；(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，得四边形11ABB A 是菱形，11.AB A B ⊥在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，1111.AB B C AB BC ⊥⇒⊥ 又1A B BC C ⋂=，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC得1AB ⊥面1A BC ，且1AB ⊂平面11ABB A∴平面11ABB A ⊥平面1.A BC14.【答案】(1)证明：矩形ABCD ，且E ，F 是AB 、CD 中点，//AE CF ∴且AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形，//CE AF ∴，又CE ⊂/面AMF ，AF ⊂面AMF ，//CE ∴平面AMF ；又M 是PD 中点，则//MF PC ，同理可得//PC 平面AMF ，又CE ⊂平面PEC ，PC ⊂平面PEC ，CE PC C ⋂=，∴平面//AMF 平面PEC ；(2)解：棱锥M AFD -的高等于PA 的一半，则多面体PECFMA 的体积 111120(12)44142.32323P AECD M AFD V V V --=-=⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=15.【答案】()Ⅰ证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ， 则O 是AC 的中点．又知E 是PC 中点，//EO PA ∴，PA ⊥平面ABCD ，OE ∴⊥平面.ABCD又知OE ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面.ABCD()Ⅱ解：过B 作BM ⊥平面ABCD ，连接PM ，ME ，如图，由()Ⅰ可知，////PA EO MB ，则MB 是平面PBA 与平面EBD 的交线，由BM ⊥平面ABCD ，AB ，BO ⊂平面ABCD ，可得MB AB ⊥，MB BO ⊥，则ABO ∠即平面PBA 与平面EBD 所成二面角的平面角，四边形ABCD 为菱形，60.ABC ︒∠=可知30ABO ︒∠=，3cos cos30.2ABO ︒∠== 所以，平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值为3.216.【答案】证明：()Ⅰ连结1A E ，11A A A C =，E 是AC 的中点，1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，1A E BC ∴⊥，1//A F AB ，90ABC ︒∠=，1BC A F ∴⊥，111A E A F A ⋂=，1A E 、1A F ⊂平面1A EF ，BC ∴⊥平面1A EF ，又EF ⊂平面1A EF ，EF BC ∴⊥；解：()Ⅱ取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形，由()Ⅰ得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角(或其补角)，不妨设4AC =，则在1Rt A EG 中，123A E =，3EG =，O 是1A G 的中点，故11522A G EO OG ===， 2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==⨯⨯，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3.517.【答案】(1)证明：由题意知111////AA BB CC ，又因为侧面11BB C C 是矩形且M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，所以1//MN BB ，1BB BC ⊥，所以1//AA MN ，11MN B C ⊥，又底面为正三角形，所以AM BC ⊥，111A N B C ⊥，又因为1MN A N N ⋂=，1,MN A N ⊂平面1A AMN ，所以11B C ⊥平面1A AMN ，又11B C ⊂平面11EB C F ，所以平面11EB C F ⊥平面1.A AMN(2)解：因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA ⋂平面11EB C F NP =， 所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以6AO NP ==，3ON AP ==， 过M 作MH NP ⊥，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F ⋂平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH ⊥平面11EB C F ，因为3MPN π∠=，所以sin33MH PM π=⋅=， 在ABC 中，EF AP BC AM = 可得2AP BC EF AM⋅== ， 11111()242EB C F S B C EF NP =+⋅=四边形， 又//BC 平面11EB C F ，所以1111B EB C F M EB C F V V --=11124.3EB C F S MH =⋅⋅=18.【答案】(1)证明：如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，.ON 则N 为1CB 的中点，又O 为BC 的中点，1//ON BB ∴，且112ON BB =， 又M 为1AA 的中点，11//MA BB ∴，且1112MA BB =， 1//ON MA ∴且1ON MA =，∴四边形1ONA M 为平行四边形，1//OM NA ∴，又1NA ⊂平面11CB A ，OM ⊂/平面11CB A ，//OM ∴平面11.CB A(2)解：如图，连接AO ，1OB ，1.ABAB AC =，O 为BC 的中点，AO BC ∴⊥， 又直三棱柱111ABC A B C -中，平面11CBB C ⊥平面ABC ，平面11CBB C ⋂平面ABC BC =，AO ⊂平面.ABCAO ∴⊥平面11.CBB C由(1)可知//OM 平面11CB A ，∴点M 到平面11CB A 的距离等于点O 到平面11CB A 的距离，设其为d ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，由AB AC ==12BC AA ==可得，1AO =，11A B =1AC =1BC=，11CB A ∴是直角三角形，且1112CB A S = 由11111_{_}O CB A A A COB V V COB V --=-=得：111111213332COB d S AO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，故d =即点M 到平面11CB A19.【答案】解：(1)连接1BC ，交1CB 于点O ，则O 为1CB 的中点，连接1A O ，MO因为M 为BC 的中点，所以1//MO BB ，所以1//MO NA ，从而M ，O ，1A ，N 四点共面.因为//MN 平面11A CB ，MN ⊂平面1MOA N ，平面1MOA N ⋂平面111=ACB AO ， 所以1//.MN AO又1//MO NA ，所以四边形1MOA N 为平行四边形， 所以1111122NA MO BB AA ===， 所以1=1.AN NA (2)因为11//A C AC ，所以直线MN 与直线11A C 所成角即为直线MN 与直线AC 所成角或者其补角. 取AB 的中点G ，连接,MG NG ，M 为BC 的中点，易得//AC GM ，则所求角为GMN ∠或者其补角GMN 中，112GM AC ==， 222GN AG AN =+=，222MN AM AN =+=由余弦定理可得1423cos 2124GMN +-∠==⨯⨯， 则7sin 4GMN ∠=， 所以，直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值为7.420.【答案】证明：(1)如图：证明：连接BD ，由题意得AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，得//GH PD ，GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ；(2)证明：取棱PC 中点N ，连接DN ，依题意得DN PC ⊥， 又平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，DN ⊂平面PCD ， DN ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，又PA CD ⊥，CD DN D ⋂=，CD ⊂平面PCD ，DN ⊂平面PCD ，PA ∴⊥平面PCD ；(3)解：连接AN ，由(2)中DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角， PCD 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=，又DN ⊥平面PAC ，AN PAC ⊂平面，DN AN ⊥，在Rt AND 中，3sin .3DN DAN DA ∠== ∴直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3.3。

空间几何中的平行与垂直关系及证明方法在空间几何中，平行与垂直是两个重要的关系概念。

平行指的是两条直线或两个平面永远不相交，而垂直则表示两条直线或两个平面相互垂直相交。

这两个概念在几何学中有广泛的应用，并且可以通过一些证明方法来确定两条直线或两个平面是否平行或垂直。

首先，我们来讨论平行关系。

在空间几何中，两条直线平行的条件是它们的方向向量平行。

方向向量是指直线上的两个不同点连线所得到的矢量。

如果两条直线的方向向量平行，那么它们就是平行的。

例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。

如果a与b平行，即a与b的夹角为0度或180度，那么L1和L2就是平行的。

除了方向向量平行外，两条直线还可以通过斜率来确定是否平行。

斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。

如果两条直线的斜率相等，那么它们也是平行的。

例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。

如果m1等于m2，那么L1和L2就是平行的。

在空间几何中，垂直关系的确定方法与平行关系类似。

两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。

如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。

例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。

如果a与b垂直，即a与b的内积为0，那么L1和L2就是垂直的。

除了方向向量垂直外，两条直线还可以通过斜率的乘积来确定是否垂直。

如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们也是垂直的。

例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。

如果m1乘以m2等于-1，那么L1和L2就是垂直的。

对于平面的平行与垂直关系，我们可以将其扩展到三维空间中。

两个平面平行的条件是它们的法向量平行。

法向量是指垂直于平面的矢量。

如果两个平面的法向量平行，那么它们就是平行的。

同样地，两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直。

如果两个平面的法向量垂直，那么它们就是垂直的。

在证明平行与垂直关系时，我们可以利用向量的性质和运算法则。

空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直关系是两个基本的概念，它们在我们的日常生活和数学应用中扮演着重要角色。

本文将探讨空间几何中的平行和垂直关系，并介绍其定义、特性以及相关的应用。

一、平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不相交。

如果我们将其数学表达，可以用以下方式表示：定义1：设直线l和m都在同一个平面内，如果l和m上的任意两点A和B的连线AB与l上的另一点C所在的直线相交，那么l与m平行，记作l ∥ m。

定义2：设平面α和β，如果平面α上任意一条直线与平面β上的任意一条直线所确定的两个轴线互相平行，那么平面α和平面β平行，记作α∥β。

平行关系具有以下特性：性质1：如果两条直线平行，则它们的任意一对相交线段的比值都相等。

性质2：如果一个平面与两个平行平面相交，则它们的任意一对相交线段的比值都相等。

性质3：如果两条直线分别与一组平行直线相交，那么它们的对应角相等。

段平行、平面平行以及平面与线段平行的基本依据。

在工程学和建筑学中，平行关系用于设计和绘图中的垂直标尺、平行线、平行导板等。

此外，在计算机图形学、地理学和导航系统等领域，平行关系也扮演着重要的角色。

二、垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面之间的关系，其中一条直线或一个平面与另一条直线或另一个平面的法线垂直。

我们可以用以下方式表示垂直关系：定义3：设直线l和m在同一个平面内，如果l和m上的任意一对相交直线的法线互相垂直，那么l与m垂直，记作l ⊥ m。

定义4：设平面α和β，如果平面α上的任意一条直线与平面β上的任意一条直线的法线互相垂直，那么平面α和平面β垂直，记作α⊥β。

垂直关系具有以下特性：性质4：如果两条直线垂直，则它们的任意一对相交角互为直角。

性质5：如果一个直线与一个平面垂直，则该直线上的任意一条边与该平面上任意一条边所确定的两个角互为直角。

性质6：如果两个平面垂直，则它们的任意一对相交线互为直角。

空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。

它们在解决几何问题、计算坐标和推导定理等方面起着至关重要的作用。

通过研究平行和垂直关系，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并应用于实际问题的求解。

1. 平行关系平行关系是指两条或多条直线在空间中永远不会相交。

在平行线之间不存在任何交点，它们的方向相同或者互为反向。

为了表示平行关系，我们可以使用"//"符号，如AB // CD。

在三维空间中，平行关系的判断可以通过以下方法确定：- 斜率法：对于两条直线L1和L2，如果它们的斜率相等，则L1与L2平行。

具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，如果斜率相等，则可以判断它们是平行的。

- 向量法：如果两条直线的方向向量是平行的，则它们是平行的。

我们可以通过求取两条直线的方向向量，然后比较它们是否平行来判断平行关系。

平行关系的性质：- 平行线具有相同的斜率。

- 平行线之间的距离是恒定的，任意两点到另一条直线的距离相等。

- 平行线与平面的交线是平行的。

2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或直线与平面的交线之间的关系。

在垂直关系中，直线或直线段与垂直交线之间的夹角为90度。

在三维空间中，判断垂直关系的方法有：- 向量法：如果两条直线的方向向量相互垂直，则它们是垂直的。

通过计算两条直线的方向向量，然后判断它们是否相互垂直。

- 斜率法：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直的。

具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，然后计算斜率的乘积，如果结果为-1，则可以判断它们是垂直的。

垂直关系的性质：- 垂直关系是相互垂直的直线或者直线与平面之间的关系。

在直角坐标系中，垂直关系可以表示为两直线斜率的乘积为-1。

- 垂直交线之间的夹角为90度。

- 垂直关系通常用于解决与直角、垂直性质相关的问题，例如计算两直线之间的距离、垂直偏移等。

总结：在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。

空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直是两种重要的关系。

它们的性质和应用广泛存在于数学、物理学、工程学等领域。

本文将介绍平行和垂直的定义、性质以及相关的定理，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、平行关系1. 定义在空间几何中，平行是指两个或多个直线或平面在同一平面内没有任何交点的特殊关系。

我们可以用符号 "∥" 表示平行关系。

例如，在平面α上有两条直线l和m，如果l ∥ m，则说明直线l和m在平面α上没有交点。

2. 性质平行的直线具有以下性质：- 平行线与同一平面内的第三条直线的相交角相等。

- 平行线与平行线之间的距离在任意两点处相等。

平行的平面具有以下性质：- 平行平面之间没有任何交点。

- 平行平面内的直线与另一平面的交线与平行平面平行。

3. 平行的判定方法判定两条直线是否平行可以采用以下方法：- 垂直判定法：如果两条线分别与同一直线的两条垂线垂直，则这两条线是平行的。

- 夹角判定法：如果两直线与另一直线的夹角相等或互补，则这两条直线是平行的。

二、垂直关系1. 定义在空间几何中，垂直是指两个直线或者平面之间的交角等于90度的特殊关系。

我们可以用符号"⊥" 表示垂直关系。

例如，在平面β上，如果一条直线l与平面β内另一条直线m垂直，则可以表示为 l ⊥ m。

2. 性质垂直关系具有以下性质：- 垂直于同一直线的两条直线平行。

- 如果两个平面相互垂直，则由这两个平面确定的直线与任一平面相交的直线垂直。

3. 垂直的判定方法判定两条直线是否垂直可以采用以下方法：- 两直线斜率之积为 -1，则这两条直线是垂直的。

- 如果两直线的斜率都不存在（即两直线都是垂直于x轴或y轴的），则这两条直线是垂直的。

三、平行与垂直之间的关系平行和垂直的关系是互补的。

具体而言，两条直线或平面如果既不平行也不垂直，则称它们为斜交。

在空间几何中，有一些重要的定理与平行和垂直关系有关。

空间几何中的平行与垂直空间几何是研究空间中点、直线、面以及它们之间的关系的数学学科。

在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。

平行表示两条直线或者两个平面没有交点，而垂直则表示两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。

本文将详细介绍空间几何中平行和垂直的定义、性质以及对应的应用。

一、平行的定义与性质在空间几何中，平行是指在同一平面内没有交点的两条直线或者两个平面。

具体定义如下：定义1：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意点与直线m上的任意点之间的距离保持不变，那么直线l与直线m是平行的。

平行线具有以下性质：性质1：平行关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。

自反性：任意一条直线与自己平行。

对称性：如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l平行。

传递性：如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。

性质2：平行线与交线的夹角为零。

性质3：平行线在同一平面上的投影线也是平行线。

性质4：平行线与同一平行线交割的两条直线也是平行线。

平行线在实际应用中有着广泛的应用，如建筑设计、地图制作、道路规划等。

二、垂直的定义与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。

具体定义如下：定义2：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意一点到直线m上的任意一点的连线垂直于直线l和直线m所在平面，那么直线l与直线m垂直。

垂直关系具有以下性质：性质1：垂直关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。

自反性：任意一条直线与自己垂直。

对称性：如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l垂直。

传递性：如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。

性质2：直线与同一平面内的两条垂直线重合时，它与两条垂直线都垂直。

性质3：垂直平分线是垂直于线段且将线段平分的直线。

性质4：垂直于平面的直线，必与平面中任意一条直线垂直。

垂直关系在三维空间中的应用十分广泛，如建筑构造、植物生长、天文测量等。

空间几何的平行与垂直关系知识点总结在空间几何中，平行与垂直关系是非常重要的概念，它们贯穿于整个几何学习的始终。

理解和掌握这些关系对于解决空间几何问题至关重要。

下面，我们就来详细总结一下空间几何中平行与垂直关系的相关知识点。

一、线线平行1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2、线线平行的判定定理（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

3、线线平行的性质定理（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

4、空间中直线平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

二、线面平行1、线面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。

2、线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

3、线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。

三、面面平行1、面面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。

2、面面平行的判定定理（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（2）如果两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行。

3、面面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

四、线线垂直1、线线垂直的定义如果两条直线所成的角为直角，那么这两条直线互相垂直。

2、线线垂直的判定定理（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直1、线面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

空间几何中的平行线与垂直线空间几何是研究物体之间的位置关系和形状特征的数学分支，其中平行线与垂直线是空间几何中常见的概念。

在本文中，我们将探讨平行线和垂直线的定义、性质以及它们在实际应用中的意义。

一、平行线的定义和性质1. 定义：在空间几何中，两条直线如果在同一个平面内永远不相交，我们称这两条直线是平行线。

2. 性质：a. 平行线具有等间隔性质，即平行线上的任意两条线段之间的距离都相等。

b. 平行线投影到平面上的直线也是平行线。

c. 平行线在空间中不存在交点，即它们不会相交。

平行线在日常生活中有许多重要应用。

例如，在建筑设计中，平行线被广泛应用于平面图的绘制和墙壁的布置。

此外，在机械制造和工程测量中，平行线的概念也起到了重要的作用。

二、垂直线的定义和性质1. 定义：在空间几何中，两条直线如果在同一个平面内相交，并且相交的角度为90度，我们称这两条直线是垂直线。

2. 性质：a. 垂直线与平行线之间的夹角为90度。

b. 垂直线投影到平面上的直线也是垂直线。

c. 垂直线相交于一个点，称为垂足。

垂直线的应用也十分广泛。

例如，在建筑工程中，垂直线被用来确保墙壁的垂直度。

在测量学中，垂直线被用来建立坐标系，并进行精确的测量。

这些概念和性质的了解对于解决空间几何中的各类问题至关重要。

在实际应用中，我们可以根据给定条件利用平行线和垂直线的性质进行推理和求解。

三、平行线和垂直线的应用举例1. 三角测量：平行线和垂直线在三角测量中起到了关键作用。

例如，在测量一个高楼的高度时，可以利用垂直线测量其底部与水平地面的距离，再利用三角形相似性质计算出高楼的实际高度。

2. 建筑设计：建筑设计中需要考虑墙壁的平行和垂直关系，以确保建筑物的结构牢固和美观。

平行和垂直线的应用可以帮助设计师绘制平面图和确定建筑物各部分的位置和间距。

3. 制图技术：平行线和垂直线在制图技术中是基础概念。

绘图员需要准确地运用这些线条来绘制平面图和立体图，以便工程师和设计师能够理解和执行设计方案。

空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。

平行关系指的是两条直线或两个平面永远不会相交，在同一个平面内保持固定的距离；而垂直关系是指两条直线或两个平面相交时，彼此之间的夹角为90度。

平行和垂直关系在几何学中有广泛的应用，不仅帮助我们理解空间的结构和形态，也在实际生活中发挥着重要的作用。

1. 平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不会相交的关系。

当两条直线或两个平面的方向向量相等或相互垂直时，它们可以被认为是平行的。

1.1 直线的平行当两条直线的方向向量相等时，它们被称为平行直线。

我们可以使用向量的方法来判断两条直线是否平行。

假设有两条直线 l₁和 l₂，它们的方向向量分别为 a₁和 a₂。

若 a₁和 a₂相等，则 l₁和 l₂平行。

1.2 平面的平行两个平面是平行的，当且仅当它们的法向量相等或者互相垂直。

设两个平面的法向量分别为 n₁和 n₂，若 n₁和 n₂相等，则这两个平面平行。

平行关系在几何学中有许多应用。

例如，在平行四边形中，对角线之间的线段互相平分，每条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。

另外，在建筑设计中，平行关系也被广泛应用，如平行的墙壁或平行的连廊等。

2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面相交时，彼此之间的夹角为90度。

垂直关系在空间几何中非常重要，常常用于求解角度，确定垂直平面等问题。

2.1 直线的垂直两条直线 l₁和 l₂垂直的充分必要条件是它们的方向向量的内积为0。

如果 l₁的方向向量 a₁和 l₂的方向向量 a₂满足 a₁·a₂=0，则 l₁和 l₂垂直。

2.2 平面的垂直两个平面P₁和P₂垂直的充分必要条件是它们的法向量相互垂直。

设平面 P₁的法向量为 n₁，平面 P₂的法向量为 n₂，若 n₁·n₂=0，则 P₁和 P₂垂直。

垂直关系在几何学中有许多应用。

例如，在直角三角形中，两条直角边互相垂直。

此外，垂直关系还可以应用于地理测量、建筑设计等领域。

空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直是我们常见的几何关系。

平行指两条直线或者两个平面永远不会相交，而垂直指两条直线或者两个平面相互成直角。

这两种关系在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将探讨平行和垂直的定义、性质以及在几何中的重要应用。

一、平行关系平行线是指两条直线不相交，且永远保持相同的距离。

根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线具有传递性，即若线段AB与线段BC平行，则线段AB与线段AC也平行。

2. 平行线之间不存在交点，也不能相互交叉。

3. 平行线与一条直线的交点与另一条直线平行。

4. 平行线具有对称性，即若线段AB与线段CD平行，则线段CD与线段AB也平行。

平行关系在空间几何中有很多应用，比如在平行四边形和三角形的性质证明中经常用到。

平行线也是解决几何难题的重要手段，如求解截面积和体积等问题。

二、垂直关系垂直是指两条直线或者两个平面相互成直角。

根据垂直关系的定义，我们可以得出以下性质：1. 垂直于同一条直线的两条直线彼此平行。

2. 两个平面相互垂直的条件是它们的法向量垂直。

3. 直线与平面垂直，则直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段相互垂直。

垂直关系在几何中也有广泛的应用。

在建筑设计中，垂直关系是测量和布局的基础。

在空间坐标系中，垂直关系可以用来识别空间中的平面，具有重要的实际应用价值。

总结：平行和垂直是空间几何中常见的几何关系。

两条平行线永远不会相交，而两条垂直线相互成直角。

它们在各自的定义中包含了一系列的性质和特点，这些性质和特点为我们解决几何问题提供了重要的线索。

在几何证明中，平行和垂直关系是解决问题的关键步骤之一。

我们可以利用这些关系性质，推导出更多有关几何形状和结构的定理。

在实际生活中，平行和垂直关系也有广泛的应用。

比如在建筑设计、物体测量等方面都需要考虑平行和垂直的关系，以保证结构的稳定性和功能的实现。

通过理解和应用平行和垂直关系，我们可以更好地理解和解决与空间几何相关的问题，提高数学思维能力和几何分析能力。