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空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
它们用来描述线、面和空间中的关系，帮助我们理解和解决各种几何问题。
本文将介绍平行和垂直的定义、判定方法，以及它们在空间几何中的应用。
一、平行的定义和判定在平面几何中，我们知道两条直线要想平行，它们的斜率必须相等。
但是在空间几何中，直线不再只有斜率这一个属性，因此平行的定义也有所不同。
在空间中，我们把两条直线称为平行线，当且仅当它们处于不同平面上，且不相交。
也就是说，两条平行线可以看作是两个相互平行且不相交的平面上的交线。
判定平行的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量是否平行。
如果两条直线的方向向量相等或成比例，那么它们是平行的。
2. 通过判断两条直线上的一点到另一条直线的垂足距离是否为0。
如果两条直线上的所有垂足距离都为0，那么它们是平行的。
3. 通过判断两个平面的法向量是否平行。
如果两个平面的法向量相等或成比例，那么它们是平行的。
二、垂直的定义和判定在空间几何中，垂直用来描述直线、平面和空间中的相互关系。
两条直线、两个平面或一条直线与一个平面之间的垂直关系都具有重要意义。
在空间中，我们把两条直线称为垂直线，当且仅当它们在某个平面上相交，并且互相垂直。
也就是说，两条垂直线可以看作是相互垂直的平面上的交线。
判定垂直的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量的数量积是否为0。
如果两条直线的方向向量的数量积为0，那么它们是垂直的。
2. 通过判断直线上的一点到另一条直线的垂足是否在另一条直线上。
如果两条直线上的所有垂足都在另一条直线上，那么它们是垂直的。
3. 通过判断一条直线的方向向量是否与一个平面的法向量垂直。
如果一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直，那么它们是垂直的。
三、平行和垂直的应用平行和垂直在空间几何中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 平行线的应用：平行线可用于构建平行四边形、矩形等各种图形。
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究三维空间中的几何关系的学科，其中平行和垂直是两个重要的概念。
平行和垂直关系是我们日常生活和工作中常常接触到的概念，它们在建筑设计、物体摆放和路线规划等方面都有着广泛的应用。
本文将围绕空间几何中的平行和垂直展开讨论。
一、平行概念与性质在空间几何中，平行是指两个直线或两个平面始终保持相互平行的关系。
如图所示，直线l和m平行，用符号表示为l∥m。
平行关系具有以下性质：1. 平行关系是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线自己与自己平行，对称性是指如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l也平行，传递性是指如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
2. 如果一条直线与一个平面平行，那么该直线上的任意一点与该平面上的任意一点的连线垂直于该平面。
3. 平行关系与直线的切比雪夫性质密切相关。
切比雪夫性质是指在点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，在A与B的所有可能位置之间都保持不变。
二、垂直概念与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系也称为垂直关系或直角关系。
如图所示，直线l和m垂直，用符号表示为l⊥m。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系也是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线与自己垂直，对称性是指如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l也垂直，传递性是指如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
2. 如果两个平面相交成直角，那么这两个平面互相垂直。
3. 垂直关系与直线的切比雪夫性质也存在关联。
在垂直关系中，点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，与A与B的位置无关。
三、平行和垂直的判断方法在实际问题中，判断两条直线或两个平面是否平行或垂直是非常重要的。
以下是常见的判断方法：1. 对于直线而言，可以通过观察其斜率来判断平行关系。
空间几何的平行与垂直判定空间几何是数学中的一个重要分支，涉及到直线、平面、点等概念的研究。
其中，平行和垂直是空间几何中常见的关系，本文将对平行和垂直的判定方法进行详细介绍。
一、平行的判定方法在空间几何中，平行是指两个线(线段)或两个平面永远不会相交的关系。
下面将介绍几种常见的平行判定方法。
1. 直线的平行判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判定l1与l2平行。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，且k1≠k2时，则l1和l2平行。
2. 平面的平行判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量相等或平行，则可以判定P1与P2平行。
二、垂直的判定方法在空间几何中，垂直是指两个线(线段)或两个平面之间的相互垂直关系。
下面将介绍几种常见的垂直判定方法。
1. 直线的垂直判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率互为倒数且不相交，则可以判定l1与l2垂直。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，并且k1·k2=-1时，则l1和l2垂直。
2. 平面的垂直判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量互为倒数且不平行，则可以判定P1与P2垂直。
三、平行与垂直的应用举例平行和垂直关系在实际问题中经常被应用。
以下是几个应用举例。
1. 平行线与垂直线的交点问题当两条平行线相交时，它们的交点无穷多个；而当两条垂直线相交时，它们的交点只有一个。
这一性质在导弹拦截等领域具有重要意义。
2. 平行四边形及其性质平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
它们的特点是相对边相等、对角线相交于对角线的中点、对角线互相平分等。
平行四边形的性质在建筑设计等领域有广泛应用。
3. 垂直投影与三视图在工程绘图中，垂直投影是指将物体在垂直方向上的投影。
根据垂直投影可以得到物体的平面图、前视图、左视图、右视图等，这些视图通常用于工程设计、建筑规划等领域。
4. 共线与共面条件若一条直线与一个平面相交，那么这条直线上的任意一点与该平面上的任意一点以及该平面上的任意一条直线都共线。
空间几何的平行与垂直关系空间几何是研究物体的形状、大小、位置以及它们之间的关系的数学分支。
在空间几何中，平行和垂直是两个非常重要的关系。
平行指的是两条直线或两个面在空间中永远不会相交，而垂直则表示两条直线或两个面之间存在90度的夹角。
本文将详细讨论平行和垂直的概念、特点以及它们在几何推理和实际生活中的应用。
一、平行的特点和推理方法在空间几何中，平行是指两条直线或两个平面在空间中永远不会相交。
平行具有以下特点：1. 平行的直线之间的距离相等：如果两条直线平行，那么它们之间的距离将保持不变。
2. 平行的平面之间的角度相等：如果两个平面平行，那么它们之间的夹角将始终保持相等。
在几何推理中，我们可以使用平行线的性质来证明其他几何关系。
例如，如果两条直线与同一条直线的交线分别垂直，则这两条直线也是平行的。
二、垂直的定义和性质垂直是指两条直线或两个平面之间存在90度的夹角。
垂直具有以下性质：1. 垂直的直线之间相互正交：如果两条直线相互垂直，它们将彼此正交，形成90度的夹角。
2. 垂直的平面交线与平面之间的夹角为90度：当两个平面的交线与其他平面之间的夹角为90度时，我们可以说这两个平面互相垂直。
三、平行与垂直的实际应用平行和垂直的概念在实际生活中有广泛的应用。
以下是几个应用实例：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行的概念非常重要。
例如，墙壁之间的平行关系可以决定空间的布局和设计效果。
2. 电气工程：电气工程中常用到平行和垂直的概念。
例如，电路中的导线可以平行排列，以减小电阻；电路中的电压和电流相互垂直，通过正交性来进行计算和分析。
3. 地理导航：在地理导航中，平行和经纬度之间的关系是非常重要的。
经线是平行于地球赤道的线，而纬线是平行于地球的纬度圈。
4. 视觉艺术：平行和垂直的概念在绘画、摄影和设计中发挥重要作用。
艺术家常常利用平行和垂直的线条来创造平衡和对比效果。
总结：空间几何中的平行和垂直关系是我们理解和应用物体形状、大小和位置的重要基础。
空间几何中的平行与垂直关系平行与垂直关系是空间几何中非常重要的概念，它们在解决平面或立体几何问题时经常被用到。
在本文中，我将介绍平行和垂直的定义和性质，并探讨它们在几何学中的应用。
一、平行关系在空间几何中，当两条线或两个平面没有交点且始终保持相同的距离时，我们称它们是平行的。
换句话说，平行线永远不会相交，平行面之间也永远不会相交。
我们可以使用以下方法来判断线或面是否平行：1. 如果两条线被一条平面所截，且截得的两对同位角相等，则这两条线平行。
2. 如果两个平面被一条直线所截，且截得的两对同位角相等，则这两个平面平行。
平行关系常常在解决与直线、多边形和多面体相关的问题时被应用。
比如，在建筑设计中，设计师常常需要确定两面墙是否平行，以便确保建筑结构的稳定。
在制图学中，要绘制平行线的效果，可以应用平行规或平行尺等工具辅助。
二、垂直关系与平行关系相反，垂直关系指的是两条线、两个平面或两个立体之间相互间的直角关系。
当两条线或两个平面的夹角大小为90度时，它们被认为是垂直的。
同样地，如果两个立体之间的相邻平面的交线是垂直的，则我们称这两个立体是垂直的。
判断垂直关系的方法有：1. 如果两条直线相交，并且相交的四个角中有两个角是直角，则这两条直线是垂直的。
2. 如果两个平面相交，并且相交的交线与两个平面各自的法线垂直，则这两个平面是垂直的。
垂直关系在几何学中有广泛的应用。
在建筑学中，垂直关系被用来确保墙壁与地面之间的角度为直角，以提供良好的结构支持。
在三维计算机图形学中，垂直关系可以用来进行透视变换，使得图像更加逼真。
三、平行和垂直的性质在空间几何中，平行和垂直具有一些重要性质，这些性质可以帮助我们解决几何问题。
1. 如果一条直线与两条平行线相交，则与这两条平行线的交线上的对应角是相等的。
2. 如果两条线分别与第三条线平行，则它们之间的对应角是相等的。
3. 判断两个平面是否垂直的方法之一，是计算它们的法向量之间的夹角。
空间几何中的平行与垂直关系空间几何是研究空间中点、线、面及其相关性质和关系的数学学科。
在空间几何中，平行和垂直是两个基本的关系。
本文将介绍平行和垂直的概念、性质以及它们在空间几何中的应用。
一、平行关系平行是指两条直线或两个面永远不会相交的关系。
在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否平行：1. 直线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。
这是因为两条直线的斜率相等，意味着它们的倾斜角度相同，在空间中永远不会相交。
2. 直线的方向向量平行：如果两条直线的方向向量平行，那么它们是平行的。
我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否平行。
3. 直线的截距比相等：如果两条直线的截距比相等，那么它们是平行的。
我们可以通过计算两条直线的截距比，并判断它们是否相等。
平行的性质：1. 平行具有传递性：如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，那么直线l1与直线l3平行。
2. 平行具有对称性：如果直线l1与直线l2平行，那么直线l2与直线l1平行。
平行的应用：1. 平行线在平面图形中的应用：平行线在平面图形中有着重要的应用，如矩形、平行四边形等。
在这些图形中，平行线的存在使得我们可以推导出图形的性质和定理。
2. 平行线在建筑设计中的应用：建筑设计中常常需要使用平行线来确定建筑物的边界、墙壁等。
二、垂直关系垂直是指两条直线或两个面之间存在直角的关系。
在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否垂直：1. 直线斜率之积为-1：如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们是垂直的。
这是因为两条直线的斜率之积为-1，意味着它们相互垂直。
2. 直线的方向向量垂直：如果两条直线的方向向量垂直，那么它们是垂直的。
我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否垂直。
3. 直线的斜率之和为0：如果两条直线的斜率之和为0，那么它们是垂直的。
这是因为两条直线的斜率之和为0，意味着它们相互垂直。
空间几何中的平行与垂直关系及证明方法在空间几何中，平行与垂直是两个重要的关系概念。
平行指的是两条直线或两个平面永远不相交，而垂直则表示两条直线或两个平面相互垂直相交。
这两个概念在几何学中有广泛的应用，并且可以通过一些证明方法来确定两条直线或两个平面是否平行或垂直。
首先，我们来讨论平行关系。
在空间几何中，两条直线平行的条件是它们的方向向量平行。
方向向量是指直线上的两个不同点连线所得到的矢量。
如果两条直线的方向向量平行，那么它们就是平行的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。
如果a与b平行，即a与b的夹角为0度或180度，那么L1和L2就是平行的。
除了方向向量平行外，两条直线还可以通过斜率来确定是否平行。
斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
如果两条直线的斜率相等，那么它们也是平行的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。
如果m1等于m2，那么L1和L2就是平行的。
在空间几何中，垂直关系的确定方法与平行关系类似。
两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。
如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。
如果a与b垂直，即a与b的内积为0，那么L1和L2就是垂直的。
除了方向向量垂直外，两条直线还可以通过斜率的乘积来确定是否垂直。
如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们也是垂直的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。
如果m1乘以m2等于-1，那么L1和L2就是垂直的。
对于平面的平行与垂直关系，我们可以将其扩展到三维空间中。
两个平面平行的条件是它们的法向量平行。
法向量是指垂直于平面的矢量。
如果两个平面的法向量平行，那么它们就是平行的。
同样地，两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直。
如果两个平面的法向量垂直，那么它们就是垂直的。
在证明平行与垂直关系时，我们可以利用向量的性质和运算法则。
空间中的平行与垂直关系一、知识梳理1、 平行关系（1）直线与平面平行的判定定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。
（2）直线与平面的平行性质定理：判定定理：若l ∥α，l β⊂，a αβ=，则l ∥a 。
（3）平面与平面的平行的判定定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P =，a ∥β，b ∥β，则α∥β；判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
（4）平面与平面的平行性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα=，b γβ=，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
2、补充结论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理4、垂直关系（1）直线与平面垂直的判定定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。
判定定理：若, , m n mn P αα⊂⊂=，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。
（2）直线与平面的垂直性质定理：符号表示：若l α⊥，对任意的a α⊂，都有l a ⊥。
（3）平面与平面的垂直的判定定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。
判定定理：若, a a αβ⊂⊥，则l α⊥。
（4）平面与平面的垂直性质定理：性质定理1：若, , , l a a l αβαβα⊂=⊂⊥，则a β⊥。
性质定理2：若, , l αβαγβγ=⊥⊥，则l γ⊥。
5、补充定理（1）若, l αα⊥∥β，则l β⊥；（2）若, l a α⊥∥l ，则a α⊥。
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直关系是两个基本的概念，它们在我们的日常生活和数学应用中扮演着重要角色。
本文将探讨空间几何中的平行和垂直关系，并介绍其定义、特性以及相关的应用。
一、平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不相交。
如果我们将其数学表达，可以用以下方式表示：定义1：设直线l和m都在同一个平面内，如果l和m上的任意两点A和B的连线AB与l上的另一点C所在的直线相交，那么l与m平行，记作l ∥ m。
定义2：设平面α和β，如果平面α上任意一条直线与平面β上的任意一条直线所确定的两个轴线互相平行，那么平面α和平面β平行，记作α∥β。
平行关系具有以下特性：性质1：如果两条直线平行，则它们的任意一对相交线段的比值都相等。
性质2：如果一个平面与两个平行平面相交，则它们的任意一对相交线段的比值都相等。
性质3：如果两条直线分别与一组平行直线相交，那么它们的对应角相等。
段平行、平面平行以及平面与线段平行的基本依据。
在工程学和建筑学中，平行关系用于设计和绘图中的垂直标尺、平行线、平行导板等。
此外，在计算机图形学、地理学和导航系统等领域，平行关系也扮演着重要的角色。
二、垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面之间的关系，其中一条直线或一个平面与另一条直线或另一个平面的法线垂直。
我们可以用以下方式表示垂直关系：定义3：设直线l和m在同一个平面内，如果l和m上的任意一对相交直线的法线互相垂直，那么l与m垂直，记作l ⊥ m。
定义4：设平面α和β，如果平面α上的任意一条直线与平面β上的任意一条直线的法线互相垂直，那么平面α和平面β垂直，记作α⊥β。
垂直关系具有以下特性：性质4：如果两条直线垂直，则它们的任意一对相交角互为直角。
性质5：如果一个直线与一个平面垂直，则该直线上的任意一条边与该平面上任意一条边所确定的两个角互为直角。
性质6：如果两个平面垂直，则它们的任意一对相交线互为直角。
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。
它们在解决几何问题、计算坐标和推导定理等方面起着至关重要的作用。
通过研究平行和垂直关系，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并应用于实际问题的求解。
1. 平行关系平行关系是指两条或多条直线在空间中永远不会相交。
在平行线之间不存在任何交点，它们的方向相同或者互为反向。
为了表示平行关系，我们可以使用"//"符号，如AB // CD。
在三维空间中，平行关系的判断可以通过以下方法确定：- 斜率法：对于两条直线L1和L2，如果它们的斜率相等，则L1与L2平行。
具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，如果斜率相等，则可以判断它们是平行的。
- 向量法：如果两条直线的方向向量是平行的，则它们是平行的。
我们可以通过求取两条直线的方向向量，然后比较它们是否平行来判断平行关系。
平行关系的性质：- 平行线具有相同的斜率。
- 平行线之间的距离是恒定的，任意两点到另一条直线的距离相等。
- 平行线与平面的交线是平行的。
2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或直线与平面的交线之间的关系。
在垂直关系中，直线或直线段与垂直交线之间的夹角为90度。
在三维空间中，判断垂直关系的方法有：- 向量法：如果两条直线的方向向量相互垂直，则它们是垂直的。
通过计算两条直线的方向向量，然后判断它们是否相互垂直。
- 斜率法：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直的。
具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，然后计算斜率的乘积，如果结果为-1，则可以判断它们是垂直的。
垂直关系的性质：- 垂直关系是相互垂直的直线或者直线与平面之间的关系。
在直角坐标系中，垂直关系可以表示为两直线斜率的乘积为-1。
- 垂直交线之间的夹角为90度。
- 垂直关系通常用于解决与直角、垂直性质相关的问题，例如计算两直线之间的距离、垂直偏移等。
总结：在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直是两种重要的关系。
它们的性质和应用广泛存在于数学、物理学、工程学等领域。
本文将介绍平行和垂直的定义、性质以及相关的定理，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行关系1. 定义在空间几何中，平行是指两个或多个直线或平面在同一平面内没有任何交点的特殊关系。
我们可以用符号 "∥" 表示平行关系。
例如，在平面α上有两条直线l和m，如果l ∥ m，则说明直线l和m在平面α上没有交点。
2. 性质平行的直线具有以下性质：- 平行线与同一平面内的第三条直线的相交角相等。
- 平行线与平行线之间的距离在任意两点处相等。
平行的平面具有以下性质：- 平行平面之间没有任何交点。
- 平行平面内的直线与另一平面的交线与平行平面平行。
3. 平行的判定方法判定两条直线是否平行可以采用以下方法：- 垂直判定法：如果两条线分别与同一直线的两条垂线垂直，则这两条线是平行的。
- 夹角判定法：如果两直线与另一直线的夹角相等或互补，则这两条直线是平行的。
二、垂直关系1. 定义在空间几何中，垂直是指两个直线或者平面之间的交角等于90度的特殊关系。
我们可以用符号"⊥" 表示垂直关系。
例如，在平面β上，如果一条直线l与平面β内另一条直线m垂直，则可以表示为 l ⊥ m。
2. 性质垂直关系具有以下性质：- 垂直于同一直线的两条直线平行。
- 如果两个平面相互垂直，则由这两个平面确定的直线与任一平面相交的直线垂直。
3. 垂直的判定方法判定两条直线是否垂直可以采用以下方法：- 两直线斜率之积为 -1，则这两条直线是垂直的。
- 如果两直线的斜率都不存在（即两直线都是垂直于x轴或y轴的），则这两条直线是垂直的。
三、平行与垂直之间的关系平行和垂直的关系是互补的。
具体而言，两条直线或平面如果既不平行也不垂直，则称它们为斜交。
在空间几何中，有一些重要的定理与平行和垂直关系有关。
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究空间中点、直线、面以及它们之间的关系的数学学科。
在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行表示两条直线或者两个平面没有交点，而垂直则表示两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。
本文将详细介绍空间几何中平行和垂直的定义、性质以及对应的应用。
一、平行的定义与性质在空间几何中，平行是指在同一平面内没有交点的两条直线或者两个平面。
具体定义如下：定义1：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意点与直线m上的任意点之间的距离保持不变，那么直线l与直线m是平行的。
平行线具有以下性质：性质1：平行关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性：任意一条直线与自己平行。
对称性：如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l平行。
传递性：如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
性质2：平行线与交线的夹角为零。
性质3：平行线在同一平面上的投影线也是平行线。
性质4：平行线与同一平行线交割的两条直线也是平行线。
平行线在实际应用中有着广泛的应用，如建筑设计、地图制作、道路规划等。
二、垂直的定义与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。
具体定义如下：定义2：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意一点到直线m上的任意一点的连线垂直于直线l和直线m所在平面，那么直线l与直线m垂直。
垂直关系具有以下性质：性质1：垂直关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性：任意一条直线与自己垂直。
对称性：如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l垂直。
传递性：如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
性质2：直线与同一平面内的两条垂直线重合时，它与两条垂直线都垂直。
性质3：垂直平分线是垂直于线段且将线段平分的直线。
性质4：垂直于平面的直线，必与平面中任意一条直线垂直。
垂直关系在三维空间中的应用十分广泛，如建筑构造、植物生长、天文测量等。
空间几何的平行与垂直关系知识点总结在空间几何中，平行与垂直关系是非常重要的概念，它们贯穿于整个几何学习的始终。
理解和掌握这些关系对于解决空间几何问题至关重要。
下面，我们就来详细总结一下空间几何中平行与垂直关系的相关知识点。
一、线线平行1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2、线线平行的判定定理（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
3、线线平行的性质定理（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
4、空间中直线平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
二、线面平行1、线面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。
2、线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
3、线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
三、面面平行1、面面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。
2、面面平行的判定定理（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（2）如果两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行。
3、面面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
四、线线垂直1、线线垂直的定义如果两条直线所成的角为直角，那么这两条直线互相垂直。
2、线线垂直的判定定理（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直1、线面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直是非常重要的概念和关系。
它们在数学中具有着丰富的内容和应用。
本文将介绍空间几何中平行与垂直的定义、性质以及相关定理，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行的定义与性质在空间几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
根据平行线与平面的关系，我们可以得到如下定义和性质：1. 定义一：两条直线L₁和L₂平行，记作L₁∥ L₂，当且仅当它们在同一个平面上且不相交。
2. 定义二：如果两条直线分别与第三条直线相交，在相交点两侧所成的内角互补，则这两条直线是平行的。
平行线的性质也有一些值得注意的地方：1. 性质一：通过同一点外一直线上的两个角互补，则这两条直线是平行的。
2. 性质二：如果一条直线与两条平行线相交，那么它将与这两条平行线之间的内角、外角互补。
3. 性质三：如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
二、垂直的定义与性质垂直是空间几何中另一个重要的关系，它指的是两条直线或者一个直线与一个平面之间的相互垂直关系。
下面是垂直关系的定义和性质：1. 定义一：两条直线L₁和L₂垂直，记作L₁⊥ L₂，当且仅当它们的内角互补为直角（90度）。
2. 定义二：一条直线和一个平面垂直，当且仅当它与该平面内的任意一条直线相交时，所成的内角为直角（90度）。
垂直关系也有一些性质需要了解：1. 性质一：两条互相垂直的直线在相交点两侧所成的内角是直角。
2. 性质二：如果一条直线垂直于两条相互平行的直线，那么它同时与这两条直线垂直。
3. 性质三：如果两条直线相互垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
三、平行与垂直的相关定理除了上述基本定义和性质之外，还存在一些关于平行与垂直的重要定理，值得进一步探讨。
1. 平行线的判定定理：如果两条直线分别与同一条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
2. 平行线的性质定理：如果两条直线平行，并且分别与第三条直线相交，那么这两条直线分别与第三条直线的内角、外角互补。
空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行关系指的是两条直线或两个平面永远不会相交，在同一个平面内保持固定的距离；而垂直关系是指两条直线或两个平面相交时，彼此之间的夹角为90度。
平行和垂直关系在几何学中有广泛的应用，不仅帮助我们理解空间的结构和形态，也在实际生活中发挥着重要的作用。
1. 平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不会相交的关系。
当两条直线或两个平面的方向向量相等或相互垂直时，它们可以被认为是平行的。
1.1 直线的平行当两条直线的方向向量相等时，它们被称为平行直线。
我们可以使用向量的方法来判断两条直线是否平行。
假设有两条直线 l₁和 l₂，它们的方向向量分别为 a₁和 a₂。
若 a₁和 a₂相等，则 l₁和 l₂平行。
1.2 平面的平行两个平面是平行的，当且仅当它们的法向量相等或者互相垂直。
设两个平面的法向量分别为 n₁和 n₂，若 n₁和 n₂相等，则这两个平面平行。
平行关系在几何学中有许多应用。
例如，在平行四边形中，对角线之间的线段互相平分，每条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。
另外，在建筑设计中，平行关系也被广泛应用，如平行的墙壁或平行的连廊等。
2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面相交时，彼此之间的夹角为90度。
垂直关系在空间几何中非常重要，常常用于求解角度，确定垂直平面等问题。
2.1 直线的垂直两条直线 l₁和 l₂垂直的充分必要条件是它们的方向向量的内积为0。
如果 l₁的方向向量 a₁和 l₂的方向向量 a₂满足 a₁·a₂=0，则 l₁和 l₂垂直。
2.2 平面的垂直两个平面P₁和P₂垂直的充分必要条件是它们的法向量相互垂直。
设平面 P₁的法向量为 n₁，平面 P₂的法向量为 n₂，若 n₁·n₂=0，则 P₁和 P₂垂直。
垂直关系在几何学中有许多应用。
例如，在直角三角形中，两条直角边互相垂直。
此外，垂直关系还可以应用于地理测量、建筑设计等领域。
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直是我们常见的几何关系。
平行指两条直线或者两个平面永远不会相交，而垂直指两条直线或者两个平面相互成直角。
这两种关系在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将探讨平行和垂直的定义、性质以及在几何中的重要应用。
一、平行关系平行线是指两条直线不相交，且永远保持相同的距离。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线具有传递性，即若线段AB与线段BC平行，则线段AB与线段AC也平行。
2. 平行线之间不存在交点，也不能相互交叉。
3. 平行线与一条直线的交点与另一条直线平行。
4. 平行线具有对称性，即若线段AB与线段CD平行，则线段CD与线段AB也平行。
平行关系在空间几何中有很多应用，比如在平行四边形和三角形的性质证明中经常用到。
平行线也是解决几何难题的重要手段，如求解截面积和体积等问题。
二、垂直关系垂直是指两条直线或者两个平面相互成直角。
根据垂直关系的定义，我们可以得出以下性质：1. 垂直于同一条直线的两条直线彼此平行。
2. 两个平面相互垂直的条件是它们的法向量垂直。
3. 直线与平面垂直，则直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段相互垂直。
垂直关系在几何中也有广泛的应用。
在建筑设计中，垂直关系是测量和布局的基础。
在空间坐标系中，垂直关系可以用来识别空间中的平面，具有重要的实际应用价值。
总结：平行和垂直是空间几何中常见的几何关系。
两条平行线永远不会相交，而两条垂直线相互成直角。
它们在各自的定义中包含了一系列的性质和特点，这些性质和特点为我们解决几何问题提供了重要的线索。
在几何证明中，平行和垂直关系是解决问题的关键步骤之一。
我们可以利用这些关系性质，推导出更多有关几何形状和结构的定理。
在实际生活中，平行和垂直关系也有广泛的应用。
比如在建筑设计、物体测量等方面都需要考虑平行和垂直的关系，以保证结构的稳定性和功能的实现。
通过理解和应用平行和垂直关系，我们可以更好地理解和解决与空间几何相关的问题，提高数学思维能力和几何分析能力。
空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行与垂直是两种重要的关系，它们描述了点、直线和平面之间的几何特性。
平行指的是两条直线或两个平面在空间中永不相交，垂直则表示两条直线或两个平面之间存在着垂直的关系。
这两种关系在几何学中有着广泛的应用和重要性。
平行关系是指两条直线或两个平面在空间中没有交点。
在平面几何中，当两条直线被一条直线所切割时，若切割线与两条直线所夹的角相等，则这两条直线为平行线。
同样地，在空间几何中，两个平面若被一条平面所切割时，若切割平面与两个平面所夹的角相等，则这两个平面为平行平面。
平行关系在现实世界中具有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，平行线的概念被广泛应用于构建平行的墙壁、屋顶等。
另外，在道路规划和交通设计中，平行线的概念被用于设计并排行驶的车道和停车位。
在这些实际应用中，平行关系的几何特性保证了建筑和道路的结构稳定性和安全性。
垂直关系则指两条直线或两个平面之间存在着垂直的关系。
在平面几何中，两条直线相交，且相交的角度为90度，我们称这两条直线是垂直的。
同样地，对于平面来说，两个相交的平面之间的夹角也是90度，则这两个平面是垂直平面。
垂直关系同样在现实生活中得到了广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常使用垂直线来确定墙壁和地板之间的垂直关系，确保建筑物的正立和结构的稳定。
此外，在工程测量中，垂直线的概念用于绘制垂直于地面的测量线，以保证测量的准确性和可靠性。
需要注意的是，平行和垂直关系是相对的，一个对象可以与多个对象平行或垂直。
此外，在三维空间中，由于有更多的自由度，存在无限多的平行关系和垂直关系。
综上所述，平行和垂直是空间几何中重要的关系。
它们描述了点、直线和平面之间的几何特性，具有广泛的应用和重要性。
平行和垂直关系在建筑设计、道路规划和工程测量等领域起着关键作用，确保了结构的稳定性和测量的准确性。
空间中的平行与垂直(文/理)热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b答案(1)D(2)D解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以①正确；②当m平行于两个相交平面α，β的交线l时，也有m∥α，m∥β，所以②错误；③若m∥n，m∥β，则n∥β或n⊂β，所以③错误；④平面α，β与直线m的关系如图所示，必有α⊥β，故④正确．热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2(·广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．(1)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD .(3)解 如图，取CD 的中点E ，连接AE 和PE.因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ，在Rt △PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ， 所以PE ⊥平面ABCD . 由(2)知：BC ⊥平面PDC ， 由(1)知：BC ∥AD ， 所以AD ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD . 设点C 到平面PDA 的距离为h ， 因为V 三棱锥C —PDA ＝V 三棱锥P —ACD ， 所以13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ，即h ＝S △ACD ·PE S △PDA＝12×3×6×712×3×4＝372，所以点C 到平面PDA 的距离是372.思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .跟踪演练2 如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PB ⊥CD ，点E 在棱PD 上，且PE ＝2ED .(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；(2)求证：PB∥平面AEC.证明(1)因为AD⊥CD，AD∥BC，所以CD⊥BC，又PB⊥CD，PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以CD⊥平面PBC，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PBC.(2)连接BD交AC于点O，连接OE.因为AD∥BC，所以△ADO∽△CBO，所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED，所以OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．例3如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝10.(1)求证：BD⊥P A；(2)求四棱锥P —BFED 的体积．(1)证明 ∵点E ，F 分别是边CD ，CE 的中点， ∴BD ∥EF .∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC . ∴EF ⊥AC .∴EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA ， 又P A ⊂平面POA ，∴BD ⊥P A .(2)解 设AO ∩BD ＝H .连接BO ，∵∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3， 在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7， 在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2，∴PO ⊥BO .∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED ，梯形BFED 的面积S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P —BFED 的体积 V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．跟踪演练3 如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成60°的二面角B —AD —C ，如图2.(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)设点E 为BC 的中点，BD ＝2，求异面直线AE 和BD 所成的角的大小． (1)证明 (1)因为折起前AD 是BC 边上的高，则当△ABD 折起后，AD ⊥CD ，AD ⊥BD ， 又CD ∩BD ＝D ，则AD ⊥平面BCD .因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD . (2)解 如图，取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以∠AEF 为异面直线AE 与BD 所成的角．连接AF ，DE ，由BD ＝2，则EF ＝1，AD ＝23，CD ＝6，DF ＝3. 在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2＋DF 2＝21. 在△BCD 中，由题设∠BDC ＝60°，则BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD ·cos ∠BDC ＝28， 即BC ＝27，从而BE ＝12BC ＝7，cos ∠CBD ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝－127，在△BDE 中，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos ∠CBD ＝13， 在Rt △ADE 中，AE ＝AD 2＋DE 2＝5. 在△AEF 中，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22AE ·EF ＝12.因为两条异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60°.1．(·课标全国甲)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 答案 ②③④解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.2．(·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，且DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是() A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥βC．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力．答案 C解析构造长方体，如图所示．因为A1C1⊥AA1，A1C1⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直．所以选项A，B都是假命题．CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C. 2．如图1，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC 上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式．(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图1.图1因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE ＝DE，所以EF⊥AD.所以在图2中A1E⊥EF，BE⊥EF.故∠A1EB为二面角A1—EF—B的一个平面角．因为平面A1EF⊥平面BEFC，所以∠A1EB＝90°，即A1E⊥EB.因为EF∩EB＝E，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．理由如下：如图1，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图2，取A1P的中点M，连接MK，图2因为点K为棱A1F的中点，所以MK∥FP.因为FP∥BE，所以MK∥BE.因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以MK∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．A组专题通关1．(·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则() A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 A解析由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p⇒q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q⇏p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A. 2．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析若a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，l⊥a，l⊥b，a∥b，则l可以与平面α斜交，推不出l⊥α.若l⊥α，a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则l⊥a，l⊥b.∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分条件，故选C. 3．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是() A．若m⊂α，n∥α，则n∥mB．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βC．若n⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊥α，则m⊥n答案 A解析A中，若m⊂α，n∥α，则n∥m或m，n异面．故不正确；B，C，D均正确．故选A.4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角答案 D解析如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC答案 D解析 因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ， 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊂平面BCD ， 所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ， 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.6．如图，在空间四边形ABCD 中，点M ∈AB ，点N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．答案 平行解析 由AM MB ＝ANND ，得MN ∥BD .而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ， 所以MN ∥平面BDC .7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号) ①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1. 答案 ①②③解析 因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．8．下列四个正方体图形中，点A ，B 为正方体的两个顶点，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP 平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③. 9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：(1)AP∥平面C1MN；(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.证明(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM＝PC1.又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，所以四边形AMC1P为平行四边形．从而AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，所以AP∥平面C1MN.(2)连接AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD.又点M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC.所以MN⊥BD.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，所以DD1⊥MN，而DD1∩DB＝D，DD1，DB⊂平面B1BDD1，所以MN⊥平面B1BDD1，又MN⊂平面C1MN，所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.10．(·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.(1)解点F，G，H的位置如图所示．(2)解平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD—EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形．所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明连接FH，BD.因为ABCD—EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.B组能力提高11．设a，b，c是空间中的三条直线，α，β是空间中的两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是()A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c答案 B解析B中命题的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，是假命题．而A、C、D中命题的逆命题均为真命题，故选B.12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.答案 a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF . 要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可． 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ， 得AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .13．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知AB ＝3BC ，将△ABE 沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，对翻折后的几何体有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2； ②AB ∥CE ； ③V B —ACE 是16a 3；④平面ABC ⊥平面ADC .其中正确的是________．(填写你认为正确的序号) 答案 ①③④解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示：∵AB ＝3a ，BE ＝a ，∴AE ＝2a .∴AD ＝AE 2－DE 2＝a ，∴AC ＝CD 2＋AD 2＝2a . 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝3a 2＋a 2－2a 223a2＝33. ∴sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. ∴tan ∠ABC ＝sin ∠ABC cos ∠ABC＝ 2.∵BC ∥DE ，∴∠ABC 是异面直线AB ，DE 所成的角，故①正确． 连接BD ，CE ，则CE ⊥BD ，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， ∴CE ⊥AD ，又BD ∩AD ＝D ，BD ⊂平面ABD ， AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ， ∴CE ⊥AB .故②错误． 三棱锥B —ACE 的体积V ＝13S △BCE ·AD ＝13×12×a 2×a ＝a 36，故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ， ∴BC ⊥AD ，又BC ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴BC ⊥平面ACD ，∵BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ACD .故答案为①③④.14.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝a ，∠ABC ＝60°，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是平行四边形，点M 在线段EF 上．(1)求证：BC ⊥平面ACEF ；(2)当FM 为何值时，AM ∥平面BDE ？证明你的结论． (1)证明 ∵在等腰梯形ABCD 中， AB ∥CD ，AD ＝DC ＝a ，∠ABC ＝60°，∴△ADC 是等腰三角形，且∠BCD ＝∠ADC ＝120°， ∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACEF . (2)解 当FM ＝33a 时，AM ∥平面BDE .证明如下：设AC ∩BD ＝N ，连接EN ，如图． ∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝a ， ∴AC ＝3a ，AB ＝2a ，∴CN ∶NA ＝1∶2， ∵四边形ACEF 是平行四边形，∴EF ＝AC ＝3a .∵AM ∥平面BDE ，AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝NE ， ∴AM ∥NE ，∴四边形ANEM 为平行四边形， ∴FM ∶ME ＝1∶2， ∴FM ＝13FE ＝13AC ＝3a 3.∴当FM ＝33a 时，AM ∥平面BDE .。
