求对应于下列正弦量的相量

•
(b) − 8 + j6 = 36 + 64∠ arctan(
(c ) − j10 = 10∠ − 90 o
9 − 5 连续 9 - 4 题，画相量图。 解 （1 ） （2 ）
+j
+j
Bห้องสมุดไป่ตู้
6
O
•
•
10
143.1o
15 o 36 . 8 o + 1
B
•
O
10
C
•
53.1o + 1
10
5
A
A
•
图题解 9 − 5 （ 1 ）
2
= 12 ∠150 o − 90 o = 12 ∠ 60 o
F F
•
•
1
+
F F
•
•
2
= 6 ∠ − 72 o + 12 ∠ 60 o = 1 .854 − j 5 .706 + 6 + j10 . 392
= 7 .854 + j 4 .686 = 9 .146 ∠ 30 . 82 o
1
−
2
= 6 ∠ − 72 o − 12 ∠ 60 o = 1 .854 − j 5 .706 − 6 − j10 .392
• • • • • • • • •
1 1 = (图 b ）或 R = ω L = 100 L (图 c ）。只能确定参数间的 关 ω C 100 C
系，不能确定参数的具 体数值。
+j O 15 + 1 60o
U 2m
•
o
+ U 1m − Um
•
•
+ + − Um
•
U 1m
•
−
+
U 2m
•
U 1m
Um
−3 o
o
注意 : 化 sin 为cos
1∠90 o
Ω = 707∠15 o Ω
9 - 21 电路如图题 9 - 9所示 ,已知 uC ( t ) = 绘出所有电压，电流的 相量图。
2 cos( 2 t )V , 试求电源电压 us ( t ).
解 改画成相量模型如图题 解 9 − 21 （ a）所示。 & = 2∠0 o V U
I Cm
12
120o
O
I Rm 30o +1 60o
3
•
图题解
9 - 12
9 − 14 图题 9 - 3所示电路中有两个未知 元件 , 它们分别可能是一个电 阻 , 一个电容 , 或是一个电感。已知当 u( t ) = 10 sin( 100 t + 30 o )V时， u 2 ( t ) = 5 2 cos( 100 t − 105 o )V , 试确定它们各是什么元 件？能否确定元件的参 数值？
•
•
U 2m
•
−
（c）
（a）
（b）
图题解 9 - 14
9 − 15 已知图题9 - 4所示无源网络两端的电 压u( t )和电流i ( t )各如下式所示. 试求每种情况时的阻 抗和导纳. (1)u(t ) = 200 cos(314t )V, i (t ) = 10 cos(314t ) A; (3)u(t ) = 100 cos(2t + 30 o )V, i (t ) = 5 cos(2t − 60 o ) A; (5)u(t ) = 100 cos(πt − 15 o )V, i (t ) = 5 cos(πt + 45 o ) A; (7)u(t ) = Re [ je j2 t ]V, i (t ) = Re[(1 + j)e j( 2 t + 30 ) ]A。
图题解 9 − 5 （2 ）
9−9
•
若 f 1 ( t ) = 6 cos( ω t − 72 o ), f 2 (t ) = 12 cos( ω t + 150 o )
•
求 f 1 ( t ) + f 2 (t ) 及 f 1 (t ) − f 2 ( t )的有效值 解 F 1 = 6 ∠ − 72 o , F
•
•
i L (t ) = 0.6 cos(1000t − 60 o ) A
(3) I Cm = jωC U m = (10 − 3 ∠90 o × 12∠30 o ) A = 12∠120 o mA
•
i C (t ) = 12 cos(1000t + 120 o )mA
相量图如图题解
+ j
•
9 − 12所示.
•
( 2 )电感 , 且 L = 20 mH ;
绘三种情况的相量图 .
• •
Um 解 : (1) U m = 12∠30 o , I m = = 3∠30 o mA R i R (t ) = 3 cos(1000t + 30 o )mA
(2) I Lm
•
U m 12∠30 o = = = 0.6∠ − 60 o A o jωL 20∠90
u1 ( t )
+ u( t ) −
1
+
2 u2 ( t ) −
图题
• • •
9-3
解 u ( t ) = 10 sin( 100 t + 30 o ) = 10 cos( 100 t + 30 o − 90 o ) V U m = 10 ∠ ( 30 o − 90 o ) V = 10 ∠ − 60 o V = ( 5 − j 8 .66 ) V U 2m = 5 2∠ − 105 o V = 10 ∠ − 60 o V = ( − 1 .83 − j 6 .83 ) V U 1m = U m − U 2m = 10 ∠ − 60 o V = ( 5 − j 8 .66 + 1 .83 + j 6 .83 ) V = ( 6 .83 − j1 .83 ) V = 7 .07 ∠ − 15 o V = 5 2∠ − 15 o V 绘出相量图如图题 9 − 14 （ a ）所示，可以判断电路 元件不可能是 L 和 C ，因为在串 联电路中，流过两元件 的是同一电流，因而电 感和电容的电压应有 180 o 的相位差 （反相），而 U 1m 和 U 2m 并不符合这一情况。两 元件也不可能均为电阻 ，如这样， U 1m ， U 2m 和 U m 应相同，事实并非如此 。因此，结果只能是如 图题解 9 − 14 （ b ）和 （ c）所示。若元件 1为电阻，则 2为电容；若元件 2为电阻，则 1为电感。由于 U 1m = U 2m ，可知 R =
u( t )
+ u2 ( t ) −
_ − u3 ( t ) +
图题9 − 2
• • •
(b )
解 U 1m = 80∠36.9 o V , U 2m = 60∠126.9 o V U 3m = 120∠ − 53.1o V 由KTV 相量形式可得 U m = U 1m + U 2 m + U 3 m = (80∠36.9 o + 60∠126.9 o + 120∠ − 53.1o ) V = (64 + j48 − 36 + j48 + 72 − j96)V = 100 V 则u( t ) = 100 cos(ω t )V, 相量图如图题解 9 - 10(b)所示.
9−4
(1) 求对应于下列正弦量的相量： (a) 4cos(2t) + 3sin(2t); (a) 6 − j8; (b) − 8 + 6j; (b) − 6sin (5t − 75 o )。 (c) − j10。 (2) 求下列相量对应的正弦量：
4 3 解 （ ）(a ) 4cos(2t) + 3sin(2t) = 5[ cos(2t ) + sin( 2t )] 1 5 5 o o = 5[cos 36.9 cos(2t) + sin 36.9 sin(2t)] = 5cos(2t − 36.9 o )
= − 4 .146 − j16 . 098 = − 16 .62 ∠ 75 . 56 o 所以 , f 1 (t ) + f 2 (t )的有效值为 6 .468 , f 1 (t ) + f 2 (t )的有效值为 11 .75
9 − 9 若f 1 (t ) = 6 cos(ωt − 72 o ), f 2 (t ) = 12 cos(ωt + 150 o ) 求f 1 (t ) + f 2 (t )及f 1 (t ) − f 2 (t )的最大值。 & = 6∠ − 72 o , F & = 12∠150 o − 90 o = 12∠60 o 解 F 1 2 o & & F1 + F2 = 6∠ − 72 + 12∠60 o = 1.854 − j 5.706 + 6 + j10.392 = 7.854 + j 4.686 = 9.146∠30.82 o & −F & = 6∠ − 72 o − 12∠60 o = 1.854 − j 5.706 − 6 − j10.392 F 1 2 = −4.146 − j16.098 = −16.62∠75.56 o＝ 16.62∠－ 104.44 o 所以, f 1 (t ) + f 2 (t )的最大值为9.146, f 1 (t ) + f 2 (t )的最大值为16.62。
o 其相量 A = 5∠ − 36.9（注意：三角函数式和 对应的相量不能用等号） •
(b) − 6sin (5t − 75 o ) = 6cos (5t − 75 o + 90 o ) = 6cos (5t + 15 o ) 其相量 B = 6∠15 o (2) (a ) 6 − j8 = 36 + 64∠ arctan( −8 ) = 10∠ − 53.1o 6 其正弦量 10 cos(ω t − 53.1o ) 6 ) = 10∠180 o − 36.9 o = 10∠143.1o −8 o 其正弦量 10 cos(ω t + 143.1 ) 其正弦量 10 cos(ω t − 90 o )