正弦量的相量表示法

正弦量的相量表示法一、正弦量的表示方法1、波形图表示法下图给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。

2、瞬时值表达式 i (t ) = I m sin(ω t + ϕi 0)u (t ) = U m sin(ω t + ϕu 0)e (t ) = E m sin(ω t + ϕe 0)3、相量表示实质：用复数表示正弦量①正弦量用旋转有向线段表示相量法就是用相量来表示正弦量。

相量的数学基础是复数。

采用这种表示方法使得描述正弦交流电路由原来的微(积)分方程转化为代数形式的方程，大大地简化了正弦交流电路的分析与计算。

我们知道一个带有方向的线段可以表示一个矢量，下面先来看一个例子，讨论旋转有向线段与正弦量的关系。

图 正弦交流电的波形图举例 ψU U ∠=设正弦量U= U m sin(ωt +ψ)若: 有向线段长度 = Um有向线段与横轴夹角 = 初相位ψ有向线段以速度ω按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。

例如：在t =t 0时，U 0=U m sin(ωt 0+ψ)在t=t l 时，U 1=U m sin ；(ωt 1+ψ)正弦量可用有向线段表示，而有向线段又可用复数表示，所以正弦量可用复数来表示。

② 复数的几种表示形式在一个直角坐标系中，设：横轴为实轴，单位用+1表示；纵轴为虚轴，单位用+j 表示，则构成复数平面(又称复平面)。

图所示的有向线段A ，其复数表示式为：a ．代数式 A=α+ jba=rcosψ ，b=rsinψb ． 三角式根据欧拉公式：c ．指数式 A= re j ψd ． 极坐标式一个复数可用代数式、三角式、指数式和极坐标式四种表示形式，四者可以互相 ψr A =ψψψsin j cos e j +=可得:ab ψarctan =22b a r +=复数的模 复数的辐角 )sin j (cos sin j cos ψψr ψr ψr A +=+=,e e 2cos j j ψψψ-+=2j sin j j ψψψ--=e e转换。

第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。

2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctgb a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。

正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。

3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。

（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。

实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。

解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。

将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。

从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。

im m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图 电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。

正弦量的相量表示————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：正弦量的相量表示根据欧拉公式，复指数函数可见其虚部和实部都是正弦量，所以一个正弦量就可以表示为与之对应的复指数函数的虚部。

例如一个正弦电流就可以表示为观察式（4-11）的最后一个表达式可发现，该表达式中含有这一因子，而这一因子正是一个相量（复数）的极坐标的表达式，其中I为相量的模，为相量的辐角。

考虑到I和又分别是正弦量的有效值和初相，所以定义：以正弦量的有效值为模，初相为辐角构成的复数就称为该正弦量的有效值相量。

即对于任意一个正弦量，都能找到一个与之相对应的复数，由于这个复数与一个正弦量相对应，把这个复数称作相量。

在大写字母上加一个点来表示正弦量的相量，有效值相量符号分别为、。

设某一正弦电压，则该正弦量的有效值相量为当然，也可以用正弦量的最大值为模，初相为辐角构建出正弦量的最大值相量，如电流、电压，最大值相量符号为、，即作为一个复数，相量也可以在复平面上用有向线段表示，相量在复平面上的图示称为相量图。

如下图所示。

图中相量和是表示同频率正弦量的相量。

例题4-4试用相量表示，，并绘出相量图。

解：温馨提示：相量用大写字母上面加一点来表示、、，以便和普通复数相区别。

但相量运算和普通的复数一样，同样遵守普通复数的加、减、乘、除的运算规则。

相量和普通的复数一样也可以在复平面上用一有向的线段（即相量）来表示，表示这种相量的图称为相量图；只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。

相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，它是分析和计算交流电路的一种方法；相量的两种表示形式：相量式、相量图；只有表示同频率正弦量的相量才能画在同一相量图上（可以不画坐标轴，参考相量画在水平方向）。

正弦量的相量表示法在物理学中，正弦量（sine wave）是一种振荡量，它可以以普遍的正弦函数的形式来表示。

它往往用来表示物理或数学模型中的规律性或周期性变化，因此拥有在物理研究中重要的应用价值。

正弦量也是数字信号处理、生物科技、通信和声学中的重要组成部分。

正弦量的相量（phasor）表示法是对正弦量的一种数学表示方式，用一个复数来表示整个正弦波的大小和相位（即时间延迟）。

正弦量的复数表示法可以将其分解成两个部分，一部分用有理解题目中提到的正弦量的大小（模）来表示，另一部分用相应的正弦量的角度（相角）来表示。

弦量的相量表示法可以用工程学中常见的极坐标和/或复平面形式来表示，可以用曲线图和/或数字示意来表示。

正弦量的相量表示法的基本原理是用一个复数来表示正弦量的实部和虚部，采用极坐标和/或复平面形式来表示。

在极坐标中，我们可以用极径（r）和极角（θ）来表示正弦量：在极坐标中，极径表示正弦量的大小，而极角表示正弦量的相位。

在复平面上，我们可以采用复数的形式来表示正弦量，即复数z的实部和虚部：在复平面上，复数的实部表示正弦量的大小，而复数的虚部表示正弦量的角度。

正弦量的相量表示法有几个优点。

首先，正弦量的相量表示法可以用数字的形式来精确地表示正弦量的相位。

其次，正弦量的相量表示法可以用复数的形式来精确表示正弦量的大小。

最后，正弦量的相量表示法使得正弦量的数学操作变得简单、高效。

正弦量的相量表示法在很多情况下都有重要的应用价值。

例如，在电机控制中，正弦量的相量表示法可以用来描述电机的运动，以及与其相关的特性，如频率、相位和相应的电压、功率等。

此外，正弦量的相量表示法在电子学的元件分析和模拟中也有广泛的应用价值。

由于正弦量的相量表示法的众多优点，在现今的工程学研究中，它得到了越来越广泛的应用。

正弦量的相量表示法为物理学、数字信号处理、生物科技、通信和声学等领域的研究提供了一种新的模型来建立物理模型和模拟信号运行行为，从而改善现有系统的性能。

《电工技术》知识点：正弦量的相量描述u U t =+ωϕ1112sin)(u U t =+ωϕ 2sin 222)(已知： =+u u u 12求：正弦量的表示法：三角函数表示 波形表示 相量表示tϕ1ϕ2u 1u 2u=U m sin(ωt +ϕ) 反映正弦量的全貌包括三个要素11222sin 2sin 2sin u U t U t U t =+++=+ωϕωϕωϕ)()()(频率不变=+++U U U U U ϕϕϕϕ(cos cos )(sin sin )1122211222幅度变化=++U U U U ϕϕϕϕϕarctansin sin cos cos 11221122相位变化u U t =+ωϕ1112sin)(u U t =+ωϕ 2sin 222)(已知： =+u u u 12求：启示：在讨论同频率正弦量时，只要知道幅度与初相位即可。

综上所述：同频率正弦量相加，其结果仍是同一频率的正弦量。

▲ 正弦量的波形图及三角函数式表示法比较直观，但用于运算很繁琐！▲相量表示法是基于复数表示正弦量的一种方法相量表示法相量图相量式（复数式）相量表示法反映正弦量两个要素相量图 1、用旋转矢量表示正弦量表示方法：yxOA U m ϕωu U t =+ωϕ2sin)(在直角坐标系中取有向线段OA OA 的长度等于正弦量的幅值OA 与水平方向的夹角等于正弦量的初相角 以正弦量的角速度逆时针方向旋转 ω为什么能表示正弦量?ω正弦量的瞬时值 旋转向量在纵轴上的投影高度ϕω t+jϕω+1U mOOU mu U t =+ωϕ2sin)(对于每一个正弦量都可以找到与其对应的旋转向量。

因此对正弦量的分析,可以用与之对应的旋转向量进行。

综上所述：在实际应用中，正弦量的大小一般采用有效值表示，其表示符号为 。

、I m. U. 把这种仅反映正弦量大小和初相位的有向线段称为相量，其图形为相量图，符号 U m. 、I.2、用复数表示正弦量---相量式+j+1oUU mϕ.A = a +jb 代数式+j+1 oAϕab rr =a 2+b 2ϕ =arctan baA = r ϕ极坐标式=+θθθecos jsin j 由欧拉公式=+++ωϕωϕU U t t cos()j sin()m m +ωϕU t em j()t =+θωϕ令 ，则+ωϕU t e m j()设一复数为 如何用复数式表示正弦量u U t =+ωϕ2sin)(=ϕωU t e e Im[2]j j =ωU t e Im[2]j =+ωϕU e t Im[])m j(=+ωϕu U t sin()m 称该复数为正弦量u 的相量式。