三垂线定理及其逆定理(人教A版)(含答案)

三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。

它是线面垂直性质的延伸。

利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。

所以在立体几何中有核心定理的作用。

【课程目标】一.知识与技能目标理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。

二.过程与方法目标1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。

三．情感、态度和价值观目标3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。

【教学重点和难点】一.教学重点定理的理解和运用二．教学难点如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。

【教学方法】以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。

【教学过程】一复习引入：1.复习提问1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。

）2.有意设疑，引入新课。

平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。

那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。

经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。

启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）二、新课讲授：由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。

三垂线定理及其逆定理•正射影的概念：自一点向平面引垂线，垂足叫做这一点在平面内的正射影（简称为射影）；平面的斜线的概念：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。

•三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

•三垂线定理与其逆定理的关系：即：•三垂线定定理的主要应用：证明线线、线面垂直，求点到线的距离、二面角大小。

应用两个定理解题的一般思路：平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

证明：1）用线面垂直证明已知：如图，PO在α上的射影OA垂直于a三垂线定理的证明三垂线定理的证明求证：OP⊥a证明：过P做PA垂直于α∵PA⊥α且a⊆α∴a⊥PA又a⊥OAOA∩PA=A∴a⊥平面POA∴a⊥OP（2）用向量证明三垂线定理1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）∴向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b ）=0，∴PA⊥向量b。

2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。

解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。

用途在做图中，做二面角的平面角在证明中，证明线线垂直在计算中，用归纳法归拢已知条件，便于计算口诀线射垂，线斜垂；线斜垂，线射垂。

三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)
三垂线定理是平面几何中的基本定理之一，它指出：在一个三角形中，三条垂线的交点是三角形的垂心。

同时，如果在一个三角形中，垂心落在三角形内部，那么这个三角形是锐角三角形；如果垂心落在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形。

在解题时，需要掌握三垂线定理的基本概念和性质。

例如，在一个直角三角形中，垂线的长度恰好等于斜边的一半；在一个等边三角形中，垂线的长度恰好等于高的三分之一。

此外，还需要掌握一些相关的定理和公式，例如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。

通过掌握三垂线定理及其相关知识，可以解决各种三角形的问题，例如求三角形的周长、面积、角度等。

同时，三垂线定理也是其他几何定理的基础，例如欧拉线定理、费马点定理等。

总之，掌握三垂线定理及其相关知识，对于解决平面几何问题具有重要的意义。

三垂线定理及其逆定理 【2 】常识点： 1.三垂线定理;; 2.三垂线定理的逆定理; 3.分解运用; 教授教养进程：1．三垂线定理：平面内一条直线,假如和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直;已知：,PA PO 分离是平面α的垂线和斜线,AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥. 求证：a PO ⊥; 证实： 解释：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）（2）证实线线垂直的办法：界说法;线线垂直剖断定理;三垂线定理;（3）三垂线定理描写的是PO(斜线).AO(射影).a(直线)之间的垂直关系. （4）直线a 与PO 可以订交,也可以异面.（5）三垂线定理的本质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的剖断定理. 例1.已知P 是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥. P2．写出三垂线定理的逆命题,并证实它的准确性; 命题： 已知：求证：证实： 解释：例2．在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥. 求证：（1）AD BC ⊥;（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心;例3.求证:假如一个角地点平面外一点到角的双方的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的等分线上 已知： 求证：解释：可以作为定理来用.例5．已知：Rt ABC ∆中,,3,42A AB AC π∠===,PA 是面ABC 的斜线,3PAB PAc π∠=∠=.(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于若干的时刻,点P 在平面ABC 内的射影正好落在边BC 上; PDABC第3页，－共3页2.已知：PA ⊥平面PBC ,,PB PC M =是BC 的中点. 求证：BC AM ⊥;3.填空并证实：（1）在四面体ABCD 中,对棱互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心. （2）在四面体ABCD 中,AB.ＡＣ.ＡＤ互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心 （3）在四面体ABCD 中,AB=AC=AD ,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.（4）在四面体ABCD 中,极点A 到BC.CD.DB 的距离相等,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.4.正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ,点P 在AC 上,Q 在BC 1上,AP ＝BQ ＝a, （1）求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值; （2）求证：PQ⊥AD ．5.在正方体1111D C B A ABCD -中,设E 是棱1AA 上的点,且1:1:2A E EA =,F 是棱AB 上的点,12C EF π∠=.求AF ：FB.6.点P 是ABC ∆地点平面外一点,且PA ⊥平面ABC.若O 和Q 分离是ΔABC 和ΔPBC 的垂心,试证：OQ ⊥平面PBC.7.已知EAF ∠在平面α内,,,AT P PAE PAF αα⊂∉∠=∠,,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈.求证：D AT ∈;。