三垂线定理及其逆定理例题

第2课时三垂线定理及其逆定理课时对点练1．正方体的体对角线与各个面上与其不共端点的面对角线的位置关系是()A．异面垂直B．异面不垂直C．可能相交可能异面D．可能相交、平行或异面答案 A2．点P在平面ABC内的射影是O，且P A，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的() A．内心B．外心C．垂心D．重心答案 C解析因为PC⊥P A，PC⊥PB，P A∩PB＝P，所以PC⊥平面P AB，所以PC⊥AB.又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO，则CO是PC在平面ABC内的射影，由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO，同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心．3．已知AB⊂平面α，AC⊥α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，AB＝m，AC＝BD＝n，则C 与D之间的距离是()A.m2＋n2B.m2＋3n2C.m2＋n2或m2＋2n2D.m2＋n2或m2＋3n2答案 D4．已知△ABC三边的长分别为3，4，5，平面ABC外一点P到△ABC三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于()A．1 B. 2 C. 3 D．4答案 C解析如图，点P在底面上的垂足为O，PE，PF，PD分别是顶点P到三角形各边的距离，由三垂线定理的逆定理可知，OE，OF，OD分别是三角形各边的垂线，因为三条侧高相等，所以OE ＝OF ＝OD ， 所以O 为底面三角形的内心，设半径为r ，则由面积相等得12×3×4＝12(3＋4＋5)r ，所以r ＝1，所以点P 到平面ABC 的距离是 3.5．在四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，下列说法正确的是( ) A ．A 在平面BCD 内的投影是△BCD 的重心 B ．A 在平面BCD 内的投影一定在△BCD 的内部 C ．AD ⊥BC D ．AD ∥BC 答案 C解析 如图，作AO ⊥平面BCD ，连接OB ，OC ，OD ，则AO ⊥CD ，又因为AB ⊥CD ，由三垂线定理的逆定理可知BO ⊥CD ，同理CO ⊥BD ，则O 为△BCD 的垂心，故A 错；若△BCD 为钝角三角形，则其垂心在三角形的外部，故B 错；所以DO ⊥BC ，由三垂线定理可知AD ⊥BC ，故C 正确，D 错．6．(多选)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论正确的有( )A ．直线DD 1与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98答案BD解析对于A，取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错误；对于B，取B1C1中点N，连接A1N，GN，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1N∥AE，NG∥EF，A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1N∥平面AEF，同理可证NG∥平面AEF，A1N∩NG＝N，所以平面A1GN∥平面AEF，A1G⊂平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，故B正确；对于C，假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG的中点，则假设不成立，故C错误；对于D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥EF，把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝98，故D正确．7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与对角面BB1D1D所成角的大小是______．答案30°解析取BD的中点H，连接AH，∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴BB1⊥平面AC，∴AH⊥BB1，∴AH⊥BD且BD∩BB1＝B，∴AH⊥平面BD1，∴AH⊥D1H，∴∠AD1H就是直线AD1与平面BD1所成角．设AB＝1，在Rt△AHD1中，则AH＝22，AD1＝2，∴sin∠AD1H＝AHAD1＝12，∴∠AD1H＝30°.8．已知P A垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，P A＝5，则P点到BC的距离为________．答案13解析取BC的中点E，连接AE，PE，∵P A⊥平面ABC，∴AE为PE在平面ABC内的射影，又AB＝AC，∴AE⊥BC，由三垂线定理得，PE⊥BC，又AE＝12，P A＝5，∴PE＝13.9．已知H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°.求证：∠BP A＝90°，∠APC ＝90°.证明利用三垂线定理可证BP⊥AC，又BP⊥PC，故PB⊥平面APC，得∠APB＝90°，同理可证∠APC＝90°.10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P为B1C1的中点，A1C1与PD1交于M，B1C与PB交于N.求证：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的长．证明连接BD1(图略)，利用PMMD1＝PNNB＝12，得MN∥BD1，MN＝13BD1，得MN＝33a.由三垂线定理知，BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C，所以MN⊥A1C1，MN⊥B1C.11．PO⊥平面ABC，垂足为O，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，P A＝PB＝PC＝10，则PO的长等于()A．5 B．5 3 C．10 D．10 3答案 B解析在△ABC中，∠ABC＝90°，满足P A＝PB＝PC＝10，PO⊥平面ABC，O为垂足，所以O是AC的中点，∠BAC＝30°，BC＝5，解得AC＝10，所以OA＝CO＝OB，利用勾股定理得PO＝PC2－OC2＝5 3.12．如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为()A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1答案 B解析方法一连接AE(图略)，∵P A⊥平面ABCD，且BF⊥PE，由三垂线定理的逆定理可知，BF⊥AE，∴∠EAD＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，即F为中点，∴AF∶FD＝1∶1.方法二建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A＝a，则B (1，0，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0，0，a )． 设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a . ∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴F 为AD 的中点，∴AF ∶FD ＝1∶1.13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对 答案 C解析 取CD 的中点P ′，连接PP ′，AP ′，MP ′(图略)， 易知PP ′⊥平面ABCD ，所以MP ′为PM 在平面ABCD 内的射影． 由题意得，AM ＝6，MP ′＝3，AP ′＝3， 所以AP ′2＝AM 2＋MP ′2，所以AM ⊥MP ′， 由三垂线定理知AM ⊥PM .14．空间四边形ABCD 的四条边及两条对角线的长均为1，则点A 到平面BCD 的距离为________． 答案63解析 设点A ′是点A 在平面BCD 上的投影，分别连接A ′B ，A ′C ，A ′D ，因为AB ＝AC ＝AD ，所以它们在平面BCD 上的射影A ′B ，A ′C ，A ′D 也都相等， 所以点A ′是△BCD 的中心．因为BC＝1，所以△BCD的高为3 2，所以A′D＝3 3，在Rt△AA′D中，|AA′|＝AD2－A′D2＝6 3，即点A到平面BCD的距离为6 3.15．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，P A＝AB＝2，P A⊥平面ABCD.若PC⊥BD，则AD＝________，该四棱锥的体积为________．答案243 3解析∵P A⊥平面ABCD，且BD⊥PC，由三垂线定理的逆定理知，BD⊥AC.又四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝2，∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝23，∴V P－ABCD＝13×23×2＝433.16．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ 2.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(3)求点E到平面ACD的距离．(1)证明连接OC，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ， ∴AO ⊥BD .∵BO ＝DO ，BC ＝CD ， ∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由题设知AO ＝1，CO ＝3，AC ＝2， ∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD .(2)解 取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ， 由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角， 在△OME 中，EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线， ∴OM ＝12AC ＝1，∴cos ∠OEM ＝1＋12－12×1×22＝24，∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. (3)解 设点E 到平面ACD 的距离为h . ∵V E －ACD ＝V A －CDE ， ∴13h ·S △ACD ＝13·AO ·S △CDE . 在△ACD 中，CA ＝CD ＝2，AD ＝2， ∴S △ACD ＝12×2×4－⎝⎛⎭⎫222＝72， ∵AO ＝1，S △CDE ＝12×34×22＝32，∴h ＝AO ·S △CDE S △ACD ＝1×3272＝217，∴点E 到平面ACD 的距离为217.。

三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)
三垂线定理是平面几何中的基本定理之一，它指出：在一个三角形中，三条垂线的交点是三角形的垂心。

同时，如果在一个三角形中，垂心落在三角形内部，那么这个三角形是锐角三角形；如果垂心落在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形。

在解题时，需要掌握三垂线定理的基本概念和性质。

例如，在一个直角三角形中，垂线的长度恰好等于斜边的一半；在一个等边三角形中，垂线的长度恰好等于高的三分之一。

此外，还需要掌握一些相关的定理和公式，例如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。

通过掌握三垂线定理及其相关知识，可以解决各种三角形的问题，例如求三角形的周长、面积、角度等。

同时，三垂线定理也是其他几何定理的基础，例如欧拉线定理、费马点定理等。

总之，掌握三垂线定理及其相关知识，对于解决平面几何问题具有重要的意义。