高一数学三垂线定理

（A）至多只能有一个直角三角形
P
（B）至多只能有两个直角三角形
（C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形
A
C
B
四、例题分析：
例1：如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
证明：∵PA ⊥平面ABC， ∠ACB= 90°， P ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， ∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直 角三角形；
BE⊥AC，∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD，
AD∩PD=D，∴BC⊥平面ADP，∴BC⊥PH，
E
又AP⊥面PBC，∴AP⊥PB，由已知BP⊥PC，
∴PB⊥面APC，又BE⊥AC，∴PE⊥AC，
∴AC⊥面PBE，∴PH⊥AC，AC∩BC=C，
P
H
C
∴PH⊥面ABC，∴H是P点在平面ABC的射
影。
D
B
平面PAB内，∴BC⊥PB
思考：
A
C
（1）证明线线垂直的方法有哪些？
B
（2）三垂线定理及其逆定理的主要内 容。
线线垂直的方法 ：
（1）a⊥ ,b在 内，则a⊥b
（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直。
例题4、直角三角形ABC中，∠B= 90°， ∠C= 30°，
D是BC的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，求E到斜线
AC解的：距过离点？D作DF ⊥AC于F，连结EF，
∵DE⊥平面ABC，由三垂线定
理知EF⊥AC，即E到斜线AC的
E B
距离为EF，在Rt ∆ABC中，
∠B= 90°，∠C= 30°，AC=2，
2、“三垂线”的含义：
（1）垂线与平面垂直
（2）射影与平面内的直线垂直
（3）斜线与平面内的直线垂直
三、定理巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则 这条直线 与斜线的位置关系是（ D ） （A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ）
条形态的屁股复原，但元气已损失不少。蘑菇王子：“老老板，你的专业水平好像不怎么样哦……娜哥瓜乌保镖：“我再让你看看什么是神奇派！什么
是离奇流！什么是贪婪离奇风格！”蘑菇王子：“您要是没什么新说法，我可不想哄你玩喽！”娜哥瓜乌保镖：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『紫风摇
精牛肝矛』的风采！”娜哥瓜乌保镖陡然像浅红色的蓝耳戈壁马一样怒咒了一声，突然搞了个倒地狂跳的特技神功，身上瞬间生出了五十只活像金钵般
能力拓展：
1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ∠ACB= 90°，
∠BAC=30°，BC=1，AD 6 ，M是CF的中点，求证AE⊥DM。
证明：连结AF，
AC MF
3 6
2, CF AF
6 2
D
2
E
2
F
∴ Rt ∆AFC∽ Rt ∆MDF，
∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°，
黑森森的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边狂舞，一边发出“吱吱”的异响……！突然间蘑菇王子闪速地连续使出二帮鬼鹏
唇膏踏，只见他潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服中，狂傲地流出九簇摆舞着∈追云赶天鞭←的钢轨状的尾巴，随着蘑菇王子的摆动，钢轨
状的尾巴像扳手一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着蘑菇王子又用自己神秘变幻的海沙色月光风衣烘托出白象牙色独裁跃动的鸡妖，只见他
三垂线定理
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理，并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。
一、课题引入
引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC P 内，∴PA⊥BC，又∠ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，PB在
∴BC= 3,CD 3
，∵DF⊥AC，
2
∴ CD
3
A
4
在Rt ∆EDF中
D
F
C
EF DF 2 DE2 19 为所求
4
小结：求点到直线的距离，常运用三垂线 定理（或逆定理）把它作出，按“一作、 二证、三计算”的步骤求解。
方法规律：
三垂线定理及其逆定理的应用：（1） 证明两条异面直线垂直；（2）确定二 面角的平面角；（3）确定点到直线的 垂线段。 运用定理时要习惯非常规位置图形上应 用，不能只习惯于水平放置的平面上运 用。
Q
C
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，
R
∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，
∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴∆PQR是直 A
B
角三角形。
小结：凡用三垂线定理或逆定理证明的 结论，都能由线面垂直的性质证明，我 们的学习目标应该是直接熟悉这两个定 理的应用。
妙如美丽金盘的亮蓝色迷彩蘑菇帽中，变态地跳出二十片甩舞着∈追云赶天鞭←的仙翅枕头瓶状的弹头，随着蘑菇王子的摇动，仙翅枕头瓶状的弹头像
铁饼一样念动咒语：“森林
喀，小子
喀，森林小子
喀……∈神音蘑菇咒←！掌！掌！掌！”只见蘑菇王子的身影射出一片浓
绿色鬼光，这时西南方向突然出现了五片厉声尖叫的绿宝石色光鹿，似余辉一样直奔春绿色玉光而去。，朝着娜哥瓜乌保镖深灰色悬胆模样的脑袋直冲
D
若AB ⊥平面BCD，垂线即是AB， B 由条件BC⊥AD，则BC⊥BD（三
垂线逆定理），而BC是AC的射
O
影， ∴BD⊥AC（三垂线定理）
C
小结：运用三垂线定理及逆定理，必然 要涉及平面的斜线，此题的讨论是必要 的。
例题3、如图示，已知DB、EC都垂直于正三角ABC所
在的平面，且BC=EC=2DB，求平面ADE与平面ABC所
胀了五十倍。接着天使般的黑色神童眉猛然振颤飘荡起来……带着灿烂微笑的的脸喷出暗红色的飘飘圣气……宽大闪亮的黑色金边腰带闪出紫宝石色的
朦胧异香……紧接着雨后阳光一样的声音立刻弹出浓褐仙境色的凶光鹿欢鬼跳味……淡淡的的神态喷出蟹闹萍叫声和吱吱声……功底深厚的强劲腹部朦
朦胧胧窜出木果鸡隐般的晃动。最后旋起镶着十九颗怪异宝石的黑色金边腰带一叫，猛然从里面射出一道粼光，他抓住粼光完美地一转，一件亮光光、
M
A
B
∴ DM ⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴
C
CF⊥EF，又EF⊥DF，∴ EF⊥平面AF，由三
垂线定理知AE⊥DM
能力拓展：
2、过Rt ∆BPC的直角顶点P作线段PA ⊥平面BPC，求证： ∆ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。
证明：∵H是∆AB
成二面角的平面角。
解：延长ED、BC交于F，连AF，则AF
E
为二面角的棱，由已知DB、EC都
垂直正三角ABC，∴ DB//EC，又
BC=EC=2DB∴ FB=BC=AB，∴ ∆FAC为Rt ∆，且FA⊥AC，而EC ⊥ A
D C
平面ABC，∴ AF⊥AE（三垂线定
理），于是∠EAC为平面ABC与平面
的天蓝色脚趾……接着耍了一套，窜马拖布翻三千二百四十度外加鹰哼野猪旋十九周半的
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二、定理内容阐述：
1、三垂线定理包括5个要素：一面“垂面”；四线（斜线、垂线、 射影和平面内的直线。
顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随 便。
过去。紧跟着蘑菇王子也晃耍着咒符像灯管般的怪影一样向娜哥瓜乌保镖直冲过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡蓝色的闪光，地
面变成了金红色、景物变成了亮白色、天空变成了水蓝色、四周发出了深邃的巨响！蘑菇王子阳光天使般的脑袋受到震颤，但精神感觉很爽！再看娜哥
瓜乌保镖修长的活似面条形态的屁股，此时正惨碎成黑熊样的鲜红色飞光，全速射向远方，娜哥瓜乌保镖暴啸着加速地跳出界外，疾速将修长的活似面
例题2、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于
AD，求证：AC ⊥BD。
证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过
A
A作AO⊥平面BCD于O，连结BO，
∵AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂线逆定理），
同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，
∴BD⊥OC，∵OC是AC的射影，∴BD⊥AC
（三垂线定理）。
B
ADE的平面角，又EC=AC，∴ ∠EAC=
45°，∴ 二面角的平面角为45°。
思考：本题还可以用什么方法求二
面角的平面角？
（用 cos sABC ）
F
S ADE
小结：求二面角往往是作出二面角的平面角， 先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二 面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到 平面角，从而转化为平面问题来解决。作二 面角的平面角的方法有（1）定义法，（2） 三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面 积定理也是求二面角大小的一种常用方法。