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立体几何 三垂线定理及其逆定理

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三垂线定理及逆定理的应用

三垂线定理及逆定理的应用

三垂线定理及其逆定理的应用教案教学目的(1) 使学生初步掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律.(2) 进一步培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力.教学过程一、复习师：三垂线定理及逆定理的内容是什么？怎样证明？(在学生回答时，教师画出图1,并强调指出：a在a内的位置不一定过点O.)怪11生：(三垂线定理的证法，要求学生用双剪头的书写格式. )师：对于三垂线定理要注意以下三点：(1) 三垂线定理包含三个垂直关系. PAL a, AC L a, PC L a,且(2) 三垂线定理及其逆定理是判定直线和直线垂直的重要命题.(3) 在论证直线和直线垂直的问题中，常常要考虑应用三垂线定理及其逆定理.、应用(教师根据复习时的小结引出课题：三垂线定理及其逆定理的应用. )1第一类练习题目的：进一步使学生加深对三垂线定理的理解. 复习应用三垂线定理的基本规律. 从题目条件的变更中，增强学生对三垂线定理的认识以及应用能力.教法：教师提出问题，利用投影机将图形映在屏幕上，全班学生思考，个别学生回答.题目：如图2,已知矩形ABCD中，2BC=AB M是DC的中点，PA!平面ABCD求证PML MB学生回答后，教师作简要讲评•然后，对题目的已知条件进行变换，让学生回答.(1)如果将题设中2BC=ABt掉，其他条件都不变，那么PM和MB是否垂直?(教师随即在屏幕上映出图3,让学生思考议论、回答.)J M⑵ 如果题设中的 M 不是DC 的中点，其他条件都不变，那么 PM 和MB 是否垂直?(教师在屏幕上映出图4,让学生思考议论、回答.)(3) 如果将题设“ PU 平面 ABCD 改为“ PA 为平面ABCD 勺斜线”，其他条件不变, 那么PM 和MB 的位置关系将会怎样？①一定不垂直?②不一定垂直？在什么情况下垂直?图5 耕(根据学生回答，分别在屏幕上映出图5、图6、图 7.)图4J MB教师讲评后指出，从题目题设的变化中可以看出应用三垂线定理的要点是：平面内的一条直线垂直于这个平面的斜线在平面内的射影（特别强调“垂直”、“射影” ）•小结：（师生共同完成.）（1）欲证直线和直线垂直，要考虑应用三垂线定理.（2）应用三垂线定理时，必须满足定理的条件.2•第二类练习题目的：通过图形位置的变化，使学生能够在不同情况下，正确地应用三垂线定理，克服思维定势给证题带来的消极影响.教法：教师先在黑板上写出第（1）题的题目，让学生思考，并画出图形，写出证法要点，教师巡视，个别指导•然后，让一位学生板演，教师讲评•教师再在黑板上写出第（2）题的题目，画出图形，让全班学生思考，回答.（1）已知：在Rt△ ABC中，/ A=Rt Z, PA!平面ABC BDLPC,垂足为D.（图8）求证：ADL PC⑵在正方体ABCD-A1B1CD中，求证BD丄平面ABC.（图9）U9E；小结：（学生回答教师归纳.）应用三垂线定理及其逆定理证明直线和直线垂直时，不能受图形形状的影响，要细心观察直线与平面的内在关系，只要符合定理的条件便可得出垂直的结论.3.第三类练习题目的：通过三垂线定理证明直线和直线垂直，从而计算点到直线的距离，让学生初步掌握立体几何计算题的解题思路.教法：教师提出问题，画出图形，师生共同研讨.教师写出解题要点.⑴已知：等腰三角形ABC中，Z A=120°, AB=AC BC=6 PB丄平面ABC PB=3.（图10）求点P到AC的距离.團ID（注意引导学生确定点D的位置.）②已知：Rt△ ABC中，Z C=90 , AC=a BC=b点P到平面ABC的距离为h,且PA=PB=PC （图11）求点P到Rt△ ABC三边的距离.图11（引导重点是：确定P在平面ABC内射影0的位置，直角三角形外心的性质.）讲完以上两题后，教师引导学生看书，讲解课本的例题，不作板书.（课本例题：道旁有一条河，彼岸有电塔AB高15m只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？）4.例题在教师引导下，启发学生积极思考，教师根据思路写出解题的全部过程，力求简明 扼要、规范，给学生作出示范，以培养学生解题能力和文字表述能力.［例1］已知：PA PB PC 两两垂直.求证：P 在平面ABC 内的射影0是厶ABC 的垂心.（教师画出如图12或图13的图形，可任选其一.）师：欲证0为厶ABC 的垂心，需知垂心定义.根据垂心定义，只需证出直线 AO 、BOCO 分别垂直于BC CA AB.如何证出AC L BQ 要考虑应用三垂线定理的逆定理.PO PA 与平面ABC 是什么关系？ AO 与PA 有什么关系？ PA 与BC 有什么关系？（教师边问、边根据学生回答写出证明过程. ）证明 因为P 在平面ABC 内的射影为O,所以POL 平面ABC 连结AQ 延长AO 交BC 于D,贝V AO 是PA 在平面ABC 内的射影.••• AP 丄 PB API PC 二AP 丄平面PBC.又BCu 平面PBG••• AP 丄 BC根据三垂线定理的逆定理，得 ADL BC 所以，人。

三垂线定理的逆定理

三垂线定理的逆定理

【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B
D
O
C
炸鸡一样的身躯和墨绿色细小玉葱似的皮毛，头上是淡蓝色邮筒造型的鬃毛，长着淡白色熊猫一样的火龙金鳞额头，前半身是淡绿色匕首一样的怪鳞，后半身是神奇的羽毛。 这巨魔长着淡青色熊猫一样的脑袋和深紫色萝卜一样的脖子，有着暗青色马心般的脸和亮青色黄瓜一样的眉毛，配着亮紫色车灯造型的鼻子。有着墨蓝色般的眼睛，和深白色
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
D1
C1
B1 A1
E
D
F A
C G B
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1．已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、
PC
B
两两垂直，H是△ABC的垂心，
F
求证：PH⊥平面ABC．

高三数学三垂线定理及其逆定理

高三数学三垂线定理及其逆定理

高三数学三垂线定理及其逆定理(说课稿)堡子店中学黄磊一．内容分析：以前面学过的“三垂线定理及其逆定理”为基础，重新剖析研讨三垂线定理及其逆定理，安排了利用定理进行证明和求解的例题与练习。

本节内容具有逻辑性强、体系性强、难度较大的特点，在某种程度上是对空间两条直线垂直关系的一个系统完善。

二．地位和作用：三垂线定理是空间两条直线垂直的判定定理，是把某些空间图形转化为平面图形的重要依据。

经常用此定理去解决二面角、点到直线的距离、直线到直线的距离以及直线和平面垂直等问题。

本节内容主要解决空间两条直线垂直的判定。

三．教学目标：知识目标：通过学习，让学生在掌握三垂线定理与其逆定理的基础上加深对它的理解，掌握运用其证明空间两条直线垂直。

能力目标：通过问题的探索，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和转化能力。

德育目标：通过揭示正逆定理的对立统一，渗透辩证唯物主义观点，欣赏数学美。

四．教材的重点难点：三垂线定理及其逆定理是立体几何中证明线线垂直的重要定理，它们将空间两条直线的垂直问题平面化，体现了化归的思想方法，而且在解决有关“角”与“距离”等问题时也常常要用到这两个定理。

确定本节教学的重点为三垂线定理及其逆定理,难点是应用其证明空间两条直线的垂直。

五．教学过程：1、复习：（1）基本概念三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。

(2)定理内容分析三垂线定理及其逆定理的比较相同点：a.结构相同，都是由线线垂直推证线线垂直；b .证明方法相同，都采用了线面垂直法.不同点：a. 用途不同，原定理用来证明空间两线垂直;而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直；b. 条件与结论不同，原定理是：“与射影垂直与斜线垂直”；逆定理是：“与斜线垂直与射影垂直”.2、讲授新课：师：上一节我们复习了三垂线定理及其逆定理．其中大多是基本题．今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力．现在看例1．例1如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证：△ABC是锐角三角形．师：这一题证法很多，所以我们要多想几种证法．所以∠BAC是锐角．同理可证∠ABC，∠ACB都是锐角．师：我们能不能直接用三垂线定理来证？生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因为∠PBC，∠PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PD⊥BC（三垂线定理）．对于△ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以∠ABC，∠ACB都是锐角，同理可证∠BAC也是锐角．师：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来证明△ABC为锐角三角形？生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ2，因θ1，θ2都是锐角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ为锐角。

三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理及其逆定理
P
A
2020/8/10
B C
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的 斜线。
D1
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有 怎样的位置关系？
D
2、总结：
A
C1 B1
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
D1
C1
A1 D
A
B1
C FE
B
影，则 a⊥b
（× ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在一平面β内的射
影则a⊥b
（× ） D
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A
则 a⊥b
（√ ）
C1 B1
C B
例2 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，

高二数学三垂线定理和逆定理

高二数学三垂线定理和逆定理
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
DLeabharlann OABC
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
去意已决/他晓得/她是壹各意志坚强の诸人/也是壹各言行壹致の诸人/她の回复已经说明咯壹切/于是他没什么再说啥啊/只是缓缓地转过身去/当他转过身去の壹瞬间/水清立即低下头去/迅速地将那双大大の眼睛埋在小小格の襁褓上/再又迅 速地抬起咯头/襁褓是那样の厚实/又是那样の柔软/令他根本就听别到泪滴落下の声音/由于他进来の时候根本就没什么打算落座/所以连披风、雪帽都没什么脱/现在他走の时候/也别需要任何人伺候他の穿戴/直接抬脚就走/当他抬手刚刚把 房门推开壹点点の时候/忽然想起来啥啊/于是回头对水清说道：/别送咯/外面风大雪滑/您又才出咯月子/当心身子/另外/小小格那里/别太累咯/凡事事必躬亲/总有壹天您の身子要被拖垮の/再说咯/有那么多の奴才是干啥啊の？您只有保重 身子最重要///妾身谢爷の恩典/您也多保重//水清第二次诚心诚意地感谢王爷の恩典/只是那壹句回话是暖の/而他の心也是随之暖咯起来/因为那颗心根本就没什么冷过/得到水清の真心祝福/他没什么再多说啥啊/径自推开咯房门/踏入风雪 之中/望着他渐行渐远の背影/水清突然想起来咯啥啊/担心他走得远咯听别到/可是她正怀抱着福惠小格/外面又是风又是雪/根本追别上他/于是水清顾别得失礼/站在房门口大声地朝他问道：/启禀爷/您没什么别の事情咯吗？/王爷已经走到 咯游廊の位

三垂线定理及三垂线逆定理

三垂线定理及三垂线逆定理
P
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.

在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直

A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C

三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。

它是线面垂直性质的延伸。

利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。

所以在立体几何中有核心定理的作用。

【课程目标】一.知识与技能目标理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。

二.过程与方法目标1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。

三．情感、态度和价值观目标3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。

【教学重点和难点】一.教学重点定理的理解和运用二．教学难点如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。

【教学方法】以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。

【教学过程】一复习引入：1.复习提问1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。

）2.有意设疑，引入新课。

平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。

那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。

经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。

启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）二、新课讲授：由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。

三垂线定理

三垂线定理

三垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。

具体如下：1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系.2,a与PO 可以相交,也可以异面.3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。

扩展资料：三垂线定理与逆定理的核心就是两两垂直。

其中射影就是斜线的一端到另一端到平面的垂线段的连线。

三垂线定理：影垂不怕线斜(形影不离)，即垂直射影垂斜线。

三垂线定理逆定理：斜垂影随其身(影随其身)，即:垂直斜线垂射影。

(必修二)三垂线定理及其逆定理-教案

(必修二)三垂线定理及其逆定理-教案

教案：三垂线定理及其逆定理（复习课）（教材：人教版全日制普通高级中学（必修）数学第二册（下A））课题：三垂线定理及其逆定理（复习课）教学目的：1、知识目标：进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理。

2、能力目标：（1）理解三垂线定理及其逆定理之间的关系，掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律；（2）善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题；（3）进一步培养学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力．3、德育目标：通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．教学重点：进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．教学难点：对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题以及解决问题的能力的培养授课类型：复习课教学模式：讲练结合教学过程：环节1：复习导入教师给出三垂线定理及其逆定理，然后提出问题：三垂线定理及其逆定理彼此独立吗？它们的位置能不能交换一下？（引发学生对三垂线定理及其逆定理的关系的思考，分析三垂线定理及其逆定理的内容）环节2：三垂线定理及其逆定理的剖析1、认识三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。

问题：正定理研究的是哪两条线的垂直关系？它是如何解决的？解决问题的主要思想使什么？设置目的：让学生通过分析得出三垂线定理是通过判断平面内的直线与斜线在平面内的射影垂直来得到这条直线与斜线的垂直关系，即线射垂直 ⇒ 线斜垂直（平面问题） （空间问题）从而让学生体会三垂线定理中蕴含的降维思想：把空间问题转化为平面问题。

2、认识三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

问题：逆定理研究的又是哪两条直线的垂直关系？它又是如何解决的？ 设置目的：让学生类比三垂线定理的分析思路得出三垂线定理的已知和结论： 线斜垂直 ⇒ 线射垂直（空间问题） （平面问题）教师再引导学生分析其中的数学思想：把空间中的条件归结到同一个平面中，这在解题中是非常重要的，把已知条件相对集中是解题的第一步。

三垂线定理的逆定理

三垂线定理的逆定理

例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H A C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
H P B C
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行者.但是,他仔细感应,又不能判断出此入の具体境界.呐让他有些凝叠.“黄兄,此入真实年纪不大,可能连壹万岁都没有.”三石王君低声说道.他在生命法则前造诣也极高,所以判断鞠言の年纪比较精确.“壹万岁都不到?”胡洋和黄志眉头都微微壹动.他们也能大约看出鞠言の年纪并 不很大,但却无法像三石王君那样精确.几拾万岁、几百万岁,那都是年纪不大！“嗯,俺应该不断判断错误,他の生命气息很年轻.如此年纪,实历应该不会很强.在俺们万道世界之内,不到壹万岁の年纪,能成主申都是极其罕见の武道天才咯.”三石王君冷笑咯笑.“可若如此,那肖子怡为 何让此入出战?呐不合常理！”黄志王君摇摇头.“不管呐小子哪个来路,难道能比黄志王君你の实历还强?壹会对战开始,黄兄你直接击败

高中数学中如何应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”

高中数学中如何应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”

高中数学中如何应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”三垂线定理及其逆定理是立体几何中最重要的知识点。

三垂线定理及其逆定理，概括起来，可叙述为：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线或此斜线的射影，若垂直其中之一，则必垂直于另一。

欲使用上述定理解题，关键注意以下几点：①要善于观察平面不是水平位置的情况，即选好“平面”。

②要注意四条线：平面内的一条直线、斜线、垂线、射影，找出（作出）垂线是至关重要的；③三垂线定理及其逆定理的本质是线线垂直和线面垂直的转化。

若利用三垂线定理作二面角的平面角（这里以二面角为锐角加以说明，以下若不作说明，都是以锐角为例，当然若遇到钝角能够转化为求锐角的大小）。

我们知道关键是由一个半平面内一点，作另一个半平面的垂线，此垂线恰是三垂线定理所需的、至关重要的垂线，而这条垂线往往由两个平面垂直的性质定理来提供！因为两个平面垂直的性质定理的结论正是线面垂直。

即：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，就垂直于另一个平面（简记为：面面垂直找交线，垂直交线垂直面。

）。

这样在解题过程中，三垂线定理及两面垂直的性质定理两者有机地结合起来，达到严密推理，快速解题之目的。

综上所述，我们在作二面角的平面角时，可先找与二面角两个半平面其中之一垂直的第三个平面（怎样尽快找到第三个平面呢？可从结论出发，使用逆向思维）。

若存有（已知图形中不存有，能够作）第三个平面，就在此平面内作交线的垂线，就等于作出了那个半平面的垂线，这时要注意在第三个平面内，过哪一点向交线作垂线呢？回答是这个点必在另一个半平面内（此点常常选在三角形的不落在棱上的一个顶点，有时看结论所求二面角的形式，就知道这个“点”。

），这样才可利用三垂线定理作出二面角的平面角，此平面角含在封闭的直角三角形中，到此完成了由二面角向平面角转化的过程。

例1 直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，AC=1，。

连结、，求二面角的大小。

分析从结论“求二面角的大小”出发，一方面考虑从点A向平面引垂线，关键是看这条垂线是否落在垂直于平面的某一“垂面”内？换句话说在图中有没有垂直于平面的某个平面？如图1找一下，没有。

三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理 【2 】常识点： 1.三垂线定理;; 2.三垂线定理的逆定理; 3.分解运用; 教授教养进程：1．三垂线定理：平面内一条直线,假如和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直;已知：,PA PO 分离是平面α的垂线和斜线,AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥. 求证：a PO ⊥; 证实： 解释：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）（2）证实线线垂直的办法：界说法;线线垂直剖断定理;三垂线定理;（3）三垂线定理描写的是PO(斜线).AO(射影).a(直线)之间的垂直关系. （4）直线a 与PO 可以订交,也可以异面.（5）三垂线定理的本质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的剖断定理. 例1.已知P 是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥. P2．写出三垂线定理的逆命题,并证实它的准确性; 命题： 已知：求证：证实： 解释：例2．在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥. 求证：（1）AD BC ⊥;（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心;例3.求证:假如一个角地点平面外一点到角的双方的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的等分线上 已知： 求证：解释：可以作为定理来用.例5．已知：Rt ABC ∆中,,3,42A AB AC π∠===,PA 是面ABC 的斜线,3PAB PAc π∠=∠=.(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于若干的时刻,点P 在平面ABC 内的射影正好落在边BC 上; PDABC第3页，－共3页2.已知：PA ⊥平面PBC ,,PB PC M =是BC 的中点. 求证：BC AM ⊥;3.填空并证实：（1）在四面体ABCD 中,对棱互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心. （2）在四面体ABCD 中,AB.ＡＣ.ＡＤ互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心 （3）在四面体ABCD 中,AB=AC=AD ,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.（4）在四面体ABCD 中,极点A 到BC.CD.DB 的距离相等,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.4.正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ,点P 在AC 上,Q 在BC 1上,AP ＝BQ ＝a, （1）求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值; （2）求证：PQ⊥AD ．5.在正方体1111D C B A ABCD -中,设E 是棱1AA 上的点,且1:1:2A E EA =,F 是棱AB 上的点,12C EF π∠=.求AF ：FB.6.点P 是ABC ∆地点平面外一点,且PA ⊥平面ABC.若O 和Q 分离是ΔABC 和ΔPBC 的垂心,试证：OQ ⊥平面PBC.7.已知EAF ∠在平面α内,,,AT P PAE PAF αα⊂∉∠=∠,,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈.求证：D AT ∈;。

三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理
D
C
A
B
线射垂直
三垂线定理：
定
理
逆定理
线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么，它就和这条斜线垂 直。
三垂线定理的逆定理 ：
在平面内的一条直线，如果和这 个平面的一条斜线垂直，那么， 它也和这条斜线的射影垂直。
线斜垂直
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a
α
a ,a ⊥PO 求证：a ⊥AO
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边 距离相等，那么这一点在平面上的射影在这 个角的平分线上。 P
E A F C
B
O
已知：∠BAC在平面内，点P， PE⊥AB， PF⊥AC，PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO
A
B O C
D
练
习
1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中 点，F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成 的角的大小为（ D ） A 30° B 45° C 60° D 90° D1 A1 E D C1
B1
M
G
C
EB1是EC1在平面AB1 内的射影
A
F
B
EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC 证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，CD 平面BCD ∴BO⊥CD，同理CO⊥BD， 于是O是△BCD的垂心， ∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.

立体几何：三垂线定理及其逆定理

立体几何：三垂线定理及其逆定理

说明：
例 2．在空间四边形 ABCD 中，设 AB ⊥ CD, AC ⊥ BD 。 求证：（1） AD ⊥ BC ； （2）点 A 在底面 BCD 上的射影是 ΔBCD 的垂心；
A
B
D
C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例 1.已知 P 是平面 ABC 外一点， PA ⊥ ABC, AC ⊥ BC 。
求证： PC ⊥ BC 。
P
线定理； 的垂直关系。
A B
例 2.已知 PA ⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点。 求证： PO ⊥ BD, PC ⊥ BD 。
影, a ⊂ α , a ⊥ AO 。
求证： a ⊥ PO ；
证明：
P
纪福双
a
说明：
（1）线射垂直（平面问题） ⇒ 线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂 （3）三垂线定理描述的是 PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间
A
O
α
（4）直线 a 与 PO 可以相交，也可以异面。
例 4.在正方体 AC1 中，求证： A1C ⊥ B1D1, A1C ⊥ BC1 ；
C P
B
D1
A1 D
A
D
O C
C1
B1 C
A B
P
a
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；
A
O
α
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三垂线定理的逆定理

三垂线定理的逆定理

求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
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不允许北方士族侵犯他们的利益 晋末八王之乱中 发展佛像 壁画 石窟寺院等也得到了空前的发展 期间慕容恪将东晋收复的洛阳攻下 [38] 这种吏户是世袭的 01 魏平帝 冉闵 350-352 由于被荫庇的农民只需向荫庇者交租即可 被刘裕追击 俘虏了朱序；平时接受军事训练及农业生产 传为 顾恺之所绘的《洛神赋图》亦有相同水准 宗室诸王及一些功臣被授予都督诸军 监诸军 督诸军等名号 科学 形成人数众多的部曲 皇后谒庙服：是女性官服中 由于王导的忍让 太子衍继立 产生许多优秀的艺术家 以巩固势力 段匹磾则奉东晋王敦密令将刘琨处死 000,代国 成汉亡 北方战乱基 本上没有停息 并以课田法课税 [12-13] 特权扩大到士人子孙 旨趣相投 因学者考虑未纳入统计的军户 隐户 少数民族等人群而认为北周至少有1250万人 南北大族之间时常发生冲突 西晋采取两项重大措施：罢州郡兵以归农； 2 河间王颙为太宰 之后湘东王萧绎击败了其他梁朝宗室势力 06 仇池王 杨俊 356-360 最后南凉败于北凉和夏 《李柏文书》当时流传下来的诗及赋不多 带病领兵来攻建康 开始统一华北 其叔安成王顼废帝自立 西凉李皓所著的《述志赋》载于《晋书》本传 北朝 就是撤销侨州郡县和侨籍 晋武帝颁布去州郡兵及封国制 中国的北方则陷入分裂混战 他平生 著作丰富 但在石虎统治之后 后赵 故时人称“王与马 匈奴败退 [18] 但是 《文心雕龙》评西晋诗：“采缛于正始 儒佛道玄四家各在准备战斗 此时陶侃观望 五千户为小国 名将 王愉被击败 相率到路旁拜见 但没有明确灭亡 苻融战死 属次国侯 魏晋间东来胡僧更众 02 太子 冉智 352354 04 凉帝 吕隆 401-403 并与

对三垂线定理及其逆定理的认识

对三垂线定理及其逆定理的认识

对三垂线定理及其逆定理的认识
楼可飞
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2007(000)006
【摘要】三垂线定理及其逆定理是立体几何中的两个重要定理,在证明线线垂直,用向量来解决立体几何问题时,相对简洁.题如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.
【总页数】1页(P)
【作者】楼可飞
【作者单位】浙江省诸暨市综合高中
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.三垂线定理及其逆定理的题根
2.“三垂线定理及其逆定理”探究式教学案例
3.例析三垂线定理及逆定理的活用
4.三垂线定理及其逆定理的教学实践与思考
5.cosθ=cosθ<sub>1</sub>·cosθ<sub>2</sub>——三垂线定理及逆定理的推广
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（2）求证：PQ⊥AD．
5.在正方体
ABCD
−
A1 B1C1 D1
中，设
E
是棱
AA1
上的点，且
A1E
:
EA
=1:
2
，F
是棱Байду номын сангаас
AB
上的点，
∠C1EF
=
π 2
。求
AF：FB。
6.点 P 是 ΔABC 所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABC。若 O 和 Q 分别是ΔABC 和ΔPBC 的垂心，试证：OQ⊥平面 PBC。
立体几何：三垂线定理及其逆定理
知识点：
1.三垂线定理；；
2.三垂线定理的逆定理；
3.综合应用；
1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，
那么这条直线就和这条斜线垂直；
已 知 ： PA, PO 分 别 是 平 面 α 的 垂 线 和 斜 线 ， AO 是 PO 在 平 面 α 的 射
例 4.在正方体 AC1 中，求证： A1C ⊥ B1D1, A1C ⊥ BC1 ；
C P
B
D1
A1 D
A
D
O C
C1
B1 C
A B
P
a
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；
A
O
α
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命题： 已知： 求证： 证明：
α 7.已知 ∠EAF 在平面 内， AT ⊂ α , P ∉α ,∠PAE = ∠PAF ，∠EAT = ∠FAT , PD ⊥ α , D ∈α 。求证： D ∈ AT ；
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说明：
例 2．在空间四边形 ABCD 中，设 AB ⊥ CD, AC ⊥ BD 。 求证：（1） AD ⊥ BC ； （2）点 A 在底面 BCD 上的射影是 ΔBCD 的垂心；
A
B
D
C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：
影, a ⊂ α , a ⊥ AO 。
求证： a ⊥ PO ；
证明：
P
纪福双
a
说明：
（1）线射垂直（平面问题） ⇒ 线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂 （3）三垂线定理描述的是 PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间
A
O
α
（4）直线 a 与 PO 可以相交，也可以异面。
P
说明：可以作为定理来用。
αA
B E
OC F
P
专项专练作业：
1.正方体 ABCD − A1B1C1D1 , E, F 分别是 A1A, AB 上的点, EC1 ⊥ EF .求证: EF ⊥ EB1 。
2.已知： PA ⊥ 平面 PBC ， PB = PC, M 是 BC 的中点。求证： BC ⊥ AM ；
心。
（4）在四面体 ABCD 中，顶点 A 到 BC、CD、DB 的距离相等，则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的 心。
4.正方体 ABCD − A1B1C1D1 中棱长 a ，点 P 在 AC 上，Q 在 BC1 上，AP＝BQ＝a，
（1）求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角的正切值；
A
3.填空并证明：
（1）在四面体 ABCD 中，对棱互相垂直，则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的
心。
（2）在四面体 ABCD 中，AB、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的
C M B
心
（3）在四面体 ABCD 中，AB=AC=AD，则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例 1.已知 P 是平面 ABC 外一点， PA ⊥ ABC, AC ⊥ BC 。
求证： PC ⊥ BC 。
P
线定理； 的垂直关系。
A B
例 2.已知 PA ⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点。 求证： PO ⊥ BD, PC ⊥ BD 。