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不等式的性质

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不等式的基本性质总结

不等式的基本性质总结

不等式的基本性质是高中数学中一个重难点，下面查字典高中数学网为大家总结了不等式的基本性质知识点，希望对大家所有帮助。

1.不等式的定义：a-b0ab, a-b=0a=b, a-b0a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：
(1) abb
(2) ab, bcac (传递性)
(3) aba+cb+c (cR)
(4) c0时，abacbc
c0时，abac
运算性质有：
(1) ab, cda+cb+d。

(2) ab0, cd0acbd。

(3) ab0anbn (nN, n1)。

(4) ab0(nN, n1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

不等式的性质

不等式的性质

不等式的性质不等式是数学中一种重要的关系表达方式。

它描述了数值大小之间的关系，常用于解决优化问题、证明数学定理等。

在学习不等式的过程中，我们需要了解不等式的性质，这有助于我们更好地理解和应用不等式。

1. 不等式的传递性不等式的传递性是指，如果一个不等式A > B成立并且B > C成立，那么A > C 也一定成立。

同样地，如果A < B成立并且B < C成立，那么A < C也一定成立。

传递性在解决不等式问题时起到了重要的作用。

通过利用不等式的传递性，我们可以将一个复杂的不等式问题转化为一系列简单的不等式问题，从而更容易求解。

2. 不等式的加法性和减法性不等式的加法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A + C > B + C也一定成立。

类似地，不等式的减法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A - C > B - C也一定成立。

加法性和减法性使得我们可以在不等式两边加上或减去相同的数，从而得到等效的不等式，方便我们进行问题的变形和求解。

3. 不等式的乘法性和除法性不等式的乘法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A * C >B * C也一定成立。

类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A * C < B * C也一定成立。

乘法性使得我们可以在不等式两边乘以正数或负数，从而改变不等式的方向。

需要注意的是，当乘以负数时，不等式的方向会颠倒。

除法性是乘法性的逆运算。

不等式的除法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A / C > B / C也一定成立。

类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A / C < B / C也一定成立。

乘法性和除法性在求解不等式时起到了重要的作用。

它允许我们在不改变不等式的基本性质的情况下，对不等式进行一些操作，从而得到更简单的形式。

不等式的性质

不等式的性质
例 3(1)已知 a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc. (2)若 bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋b b≤c＋d d.
【解】 (1)∵a>b，c>0.∴ac>bc， ∴－ac<－bc.∵f<e，∴f－ac<e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0. ∴ab≤dc， ∴ab＋1≤dc＋1. ∴a＋b b≤c＋d d.
变式练习 3 已知 a>b>0，c<d<0，e<0.求证：a－e c>b－e d.
证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. ∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴0<a－1 c<b－1 d. 又∵e<0，∴a－e c>b－e d.
要点三 利用不等式性质求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一 类常见的问题，对于这类问题要注意：同向(异向)不等式的 两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题 过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所 以我们在解题时务必小心谨慎．
整体法：
先建立待求范围的整体与范围的整体的等量关系，最后利 用一次不等式的性质进展运算，求得待求的范围，这是防止犯错 误的一条有效途径．
例 4 已知 12<a<60,15<b<36，则 a－b 的取值范 围为________，ba的取值范围为________．
【解析】 ∵15<b<36⇒ －36<－b<－15⇒－24<a
1≤a－b≤2， ① 2≤a＋b≤4. ② 两式相加得32≤a≤3，又－2≤b－a≤1. ③

不等式的基本性质

不等式的基本性质
4 3 2
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：

2


2


2 2 2
4 2 4

4




,

4

不等式的性质及应用

不等式的性质及应用

反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。

不等式及其基本性质

不等式及其基本性质

不等式及其基本性质不等式的基本性质：1、不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b ，那么a ±c>b ±c．2、不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变，用式子表示：如果a > b ，c>0，那么ac > bc 或 a c > b c． 3、不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，用式子表示：a>b ，c<0，那么，ac < bc 或a c < b c． 一、填空1．在式子①224>+x ②412≤-x ③43<x ④0162≥-x ⑤32-x ⑥33<+b a 中属于不等式的有 .（只填序号）2．如果0,<>c b a ，那么ac bc .3.若b a <，用“＜”“＞”填空.⑴ 6-a 6-b ⑵ a 5- b 5-⑶ k a 3- k b 3- ⑷ c a + c b +⑸5+-c a c b -+5二、选择4．x 的3倍减5的差不大于1，那么列出不等式正确的是（ ）A ． 153≤-x B.153≥-xC ．153<-x D.153>-x5.已知b a >，则下列不等式正确的是（ ）A ．b a 33->- B.33b a ->- C.b a ->-33 D.33->-b a三、解答题6.用不等式表示下列句子的含义.⑴ 2x 是非负数.⑵ 老师的年龄x 比赵刚的年龄y 的2倍还大.⑶ x 的相反数是正数.⑷y 的3倍与8的差不小于4.7.用不等式表示下列关系.⑴x 与3的和的2倍不大于-5.⑵a 除以2的商加上4至多为6.⑶a 与b 两数的平方和为非负数.8、解方程（1）（x-1）—（3x+2）= —（x-1）． （2）3y-2=5y-2（3）--23x 514+x =1x 3- （4）20328x y x y -=⎧⎨+=⎩9．一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1．5倍，求山下到山顶的路程．。

不等式的基本性质


(a b)( a b ) ( a b )( a b )2 ab ab 2 1 2 1 a 2 b 2 （定号） 0 ( ) ( ) a b b a
三、例题分析：
a b 例4:已知a 0, b 0，比较 ( ) ( ) b a 与 a b 的大小。
变式练习
已知 3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2，求 4a
＋2b 的取值范围．
解：方法 1：(方程组思想) 1 1 x＝ a＋ b a＝3x＋6y 令 ，则 y＝ 4a－ 2b b＝2x－ 1y 3 6
.
1 1 2 1 8 1 ∴ 4a＋2b＝4( x＋ y)＋ 2( x－ y)＝ x＋ y， 3 6 3 6 3 3 8 32 3≤ x≤ 4 8≤3x≤ 3 又 ⇒ 1≤ y≤ 2 1≤1y≤2 3 3 3 25 8 1 34 ⇒ ≤ x＋ y≤ ， 3 3 3 3
1 2 2 a, b, , 2ab, a b 从小到大的顺序是 2
1 2 2 a 2ab a b b ______________________ 2 1 3 特殊值法: 取 a , b 4 4
三、例题分析：
2 2 2 x 4 y 1 x y 例2:(2)已知 ，比较
方法 2：(待定系数法)设 f(3)＝λf(1)＋μf(2)， ∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)． 5 λ ＝－ 3 9＝λ＋4μ ∴ ，解得 －1＝－λ－μ μ＝8. 3 5 8 ∴f(3)＝－ f(1)＋ f(2)．下同方法 1，略． 3 3
• 【方法总结】 本题把所求的问题用已 知不等式表示，然后利用同向不等式性 质解决．本题常用待定系数法解决，设 出方程，求出待定系数即可．

不等式的基本性质


a>b>0，c>d>0 如果a>b，c>d,那么ac>bd是否成立？ 如果a>b>0，那么1/a<1/b是否一定成立？ 如果a<b<0，那么1/a>1/b是否一定成立？ 同号倒数改向性 例：若a、bR，请写出不等式a>b和1/a>1/b同时成立的 充要条件。
正数同向相乘法性
例 求证：如果a>b>0，那么a2>b2。 如果a>b>0，那么an>bn。(nN*)
7、已知三个不等式：（1）ab>0；（2）－c/a<－d/b；
（3）bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论， 则可以组成多少个真命题？ 8、已知命题甲：a>b，命题乙：1/a<1/b， 命题丙：c/a2>c/b2。 （1）若甲是乙的必要非充分条件，求a、b应满足的条件； （2）若a<0，b<0，判断丙是甲的什么条件，并加以证明。 9、（1）设2<a5,3b<10，求a+b、a-b及a/b的取值范围； （2）若二次函数f(x)的图像过原点，且1f(-2) 2, 3f(3)
2、如果a>b，那么a+c>b+c。
3、如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。 4、如果a>b，c>d,那么a＋c>b＋d。 5、如果a>b>0，c>d>0,那么ac>bd。 6、如果a、b同号，那么1/a<1/b。
7、如果a>b>0，那么an>bn (nN*) 。
4、解关于x的不等式：（1）ax+4<2x+a2，其中a>2 （2）m(x+2)>x+m。

1.1.1不等式的基本性质


性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的

不等式的基本性质

不等式的基本性质【知识要点】1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 3.不等式的解与解集：4.一元一次不等式：一元一次不等式的标准形式：)0(≠><a b ax b ax 或一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项变号；④合并同类项；⑤系数化为1. 【典型例题】例1 指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质.（1）由5a ＞4,得a ＞54; （2）由a +3＞0,得a ＞－3; （3）由－2a ＜1,得a ＞－21; （4）由3a ＞2a +1,得a ＞1.例2 用“＜”“=”“＞”号填空.（1）如果a ＞b ，那么a －b __________0;（2）如果a =b ，那么a －b __________0;（3）如果a ＜b ，那么a －b __________0.例3 指出下列各题中不等式变形的依据.(1)由21a ＞3，得a ＞6.(2)由a －5＞0，得a ＞5.(3)由－3a ＜2，得a ＞－32.例4 根据不等式性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式.(1)x +7＞9(2)6x ＜5x －3 (3)51x ＜52(4)－32x ＞－1例5 如果a ＞ab ，且a 是负数，那么b 的取值范围是什么？* 例6 已知m ＜0，－1＜n ＜0，试将m ，mn ，mn 2从小到大依次排列.【大展身手】1．填空：（1）若3x>4，两边都除以3，得__________，依据是____________．（2）若x+6≤5，两边都减6，得__________，依据是_____________．（3）若－4y≥1，两边都除以－4，得__________，依据是____________．（4）若－23y<－2，两边都乘－32，得___________，依据是____________． 2．若a<b ，用不等号填空： （1）a －5_______b －5；（2）a+m_______b+m ； （3）－2a ______－2b ； （4）6－a_______6－b ；（5）－1+2a_______－1+2b ；（6）ac 2_______bc 2．3．（1）已知a<b ，b<c ，则a_______c ；（2）已知a<b ，则b________a ．4.若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1.5.若－35x ＞5，则x ________－3. 6.若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc .7.若ba b a --||=－1，则a －b ________0. 8.若ax ＞b ，ac 2＜0，则x ________ab . 9.若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( )A.－55b a -<B.－2a <－2bC.a －2＜b －2D.－(－a )＞－(－b )10.若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( )A.ac ＞bcB.c b c a <C.a －c ＜b －cD.a +c ＜b +c11.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )A.b －a ＞0B.ab ＞0C.c －b ＜c －aD.a b 11>图112.已知4＞3，则下列结论正确的是( )①4a ＞3a ②4+a ＞3+a ③4－a ＞3－aA.①②B.①③C.②③D.①②③13.下列判断中，正确的个数为( )①若－a ＞b ＞0，则ab ＜0②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2⑤若a ＞b ，c ≠0，则－a －c ＜－b －cA.2B.3C.4D.5 14．已知x>y ，则下列不等中不成立的是（ ）A ．x －4>y －4B ．－2x>－2yC ．33x y >D ．－13x<－13y 15．下列不等式的变形中，正确的是（ ）A ．∵－3x>4，∴x>－43B ．∵－3x>4，∴x>－34C ．∵－3x>4，∴x<－43D ．∵－3x>4，∴x<－3416．已知x<y ，要使mx>my 成立，则（ ）A ．m>0B ．m<0C ．m=0D ．m 是任意实数17．如果x<3，则下列不等式错误．．的是（ ） A ．x －3<0 B ．2x<6 C ．－x>－3 D ．x+2008>018.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 19.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ）A.4B.5C.6D.无数个 20.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（ ） A.1 B.0 C.－1 D.不存在21.与2x <6不同解的不等式是（ ）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－622．用不等式的基本性质，试将下列不等式化为x>a或x<a的形式：（1）x－1>3；（2）4x<6；（3）－2x>8．23．如果a<b，则下列不等式必定成立的是（）A．am>bm B．am<bm C．am2<bm2D．am2≤bm2 24．如果a<0，则不等式ax>2可化为（）A．x<2aB．x>2aC．x<－2aD．x>－2a25．已知关于x的不等式x>32a，表示在数轴上知图，则a的值为（）A．1 B．2 C．－1 D．－226．已知a>b，比较12－3a与12－3b的大小．27．试比较a与2a的大小．。

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解 : (x2 1)2 (x4 x2 1)
x4 2x2 1 x4 x2 1 x2, 由x 0 得 x 2 0 ，从而 (x2 1)2 x4 x2 1.
请同学们想一想，如果没有 x 0这个条件，那么比
较的结果如何？
课堂练习
1．比较 (x 5)(x 7)与(x 6)2 的大小．
2．如果x 0,比较 ( x 1)2 与( x 1)2 的大小．
3．已知a 0，比较 (a 2 2a 1)(a 2 2a 1) 与(a 2 a 1)(a 2 a 1) 的大小．
课堂小结
通过本节学习，大家要明确实数运算的符 号法则， 掌握求差比较法来比较两实数或代 数式的大小．
解：(a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a2 2a 15) (a2 2a 8)
7 0, ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
例2 已知x≠0,比较(x2 1)2与x 4 x 2 1的大小．
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较 大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判 断时引起注意，对于限制条件的应用经常被忽略．
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的 值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．
接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比 较法．
例题讲解
例1 比较(a 3)(a 5)与 (a 2)(a 4)的大小．
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它 们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后， 判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代 数式的大小．
这就是说：a b a b 0;
a b a b 0;
a b a b 0.
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们 的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容．
求差比较法
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们 的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符 号法则．
不等式的性质
复习回顾
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的， 在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左 边的点表示的实数大．
b
a
B
A
在图中，点A表示实数a，点B表示实数b,点A 在点B右边
A
若a＞b，则a－b是正数；逆命题也正确． 类似地，若a＜b，则a－b是负数； 若a=b，则a－b=0．它们的逆命题都正确．