不等式的性质(二)

课题：不等式的基天性质(2 课时 )教课目的：1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。

2.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。

3.提升逻辑推理和分类议论的能力；培育条理思想的习惯和仔细谨慎的学习态度。

教课要点：作差比较大小的方法；不等式的性质。

教课难点：不等式的性质的运用教课过程：第1课时：问题情境：现有 A、B、 C、 D 四个长方体容器， A、 B 容器的底面积为 a2，高分别为 a、 b，C、D 容器的底面积为 b2，高分别为 a、b，此中 a≠ b。

甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。

问假如你是甲，能否必定能保证两个容器所盛水比乙的多剖析：依题意可知：A、B、C、 D 四个容器的容积分别为a3、 a2b、ab2、b3，甲有 6 种取法。

问题能够转变为比较容器两两和的大小。

研究比较大小的依照：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。

在数轴上不一样的两点中，右侧的点表示的实数比左侧的点表示的实数大。

在右图中，点 A 表示实数 a，点 B 表示实数 b，点B A x A 在点 B 右侧，那么 a＞ b。

而 a－b 表示 a 减去 b 所得的差，因为 a＞ b，则差是一个正数，即a－ b＞ 0。

命题：“若 a＞ b，则 a－ b＞ 0”建立；抗命题“若a－ b＞ 0，则 a＞ b”也正确。

近似地：若 a＜b，则 a－ b＜ 0；若 a＝ b，则 a－ b＝0。

抗命题也都正确。

结论： (1) “ a＞ b”?“ a－ b＞ 0”(2)“a＝ b”?“ a－ b＝ 0”(3)“a＜ b”?“ a－ b＜ 0” ——以上三条即为比较大小的依照：“作差比较法” 。

正负数运算性质： (1) 正数加正数是正数； (2) 正数乘正数是正数； (3) 正数乘负数是负数； (4)负数乘负数是正数。

研究不等式的性质：性质 1：若 a＞ b， b＞ c，则 a＞c (不等式的传达性)证明：∵ a＞ b∴ a－b＞0∵b＞ c ∴ b－ c＞ 0∴(a －b) ＋ (b －c) ＝ a－ c＞ 0 ( 正负数运算性质 )则 a＞c反省：证明要求步步有据。

不等关系与不等式(理科)一、考点梳理1．两个实数大小关系的比较两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b.另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b.2．不等式的性质(1)对称性：如果a>b ，那么b<a. (2)传递性：如果a>b ，b>c ，那么a>c. (3)可加性：如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c.(4)可乘性：如果a>b ，c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b ，c>d ，那么a ＋c>b ＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)可乘方性：如果a>b>0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．(8)可开方性：如果a>b>0∈N ，n ≥2)． 3．不等式的一些常用性质 (1)倒数性质： ①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a .(2)有关分数的性质 若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m (b －m ＞0)． 二、例题解析 考向一 比较大小【例1】►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．【训练1】 已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )． A ．M<N B ．M>N C ．M ＝N D ．不确定考向二 不等式性质的简单应用【例2】►(1)(2012·上海十三校联考)若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b ，③a＋b<ab ，④a 3>b 3，则不正确的不等式的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)设a ，b 是实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞db .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考向三 不等式性质的综合应用【例3】►已知函数f(x)＝ax 2＋bx ，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．【训练3】 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．三、课后练习1．(2011·浙江)若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“a<1b 或b>1a ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2013·保定模拟)已知a>b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2－b 2≥0 B ．ac>bc C ．|a|>|b|D ．2a >2b3．(2012·晋城模拟)已知下列四个条件：①b>0>a ，②0>a>b ，③a>0>b ，④a>b>0，能推出1a <1b 成立的有( )． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2010江苏12）设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是_____▲____5.(2010辽宁文15)．已知－1＜x+y ＜4且2＜x －y ＜3，则z=2x －3y 的取值范围是6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．7．(13分)已知f(x)＝ax 2－c 且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．8．(2012·泉州一模)已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f(α)＋f(β)＋f(γ)与0的关系是________．9．(2011·安徽)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.基本不等式及应用（理科）一、知识归纳： 1．基本不等式：①重要不等式：如果R b a ∈,，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立；②基本不等式0,0>>b a ，ab ba ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立； 变形：ab b a 2≥+，ab b a ≥+2)2(，2≥+abb a两个正数的算术平均不小于它们的几何平均，即2a b+≥③三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，则3a b c ++≥当b a ==c 时，等号成立；推广到一般情形：对于n 个正数12,,,n a a a 它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12n a a a n+++≥ 12n a a a === 时，等号成立2．最值问题： 已知y x ,是正数，①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2； ②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值241S . 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

个性化辅导讲义，则有：①，则或。

或。

，且时，有。

课后作业1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”（1）不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ ）（2）如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ ）(3)如果a 是有理数，那么－8a ＞－5a.（ ）(4)如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ ）(5)如果a 为有理数，则a ＞－a.（ ）(6)如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ ）(7)如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ ）(8)若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ ）2、如果ab ＜0，那么下列判断正确的是 ( )A ．以＜0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．以≥0，b≤0D ．a ＜0，b ＞0或a ＞0，b ＜03、若a ＜b ，则下列各式中一定成立的是 ( )A ．a －1＜b －1B ．3a ＞3b C ．－a ＜－b D ．ac 2＜bc 2 4、如果关于x 的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a 的取值范围是 ____________________________.5、由x<y,得ax ≥ay 的条件是（ ）.A ．a ≥0 B. a ≤0 C. a>0 D. a<06、如果0<x<1,则下列不等式成立的是（ ）.A ．2x ＞1x ＞x B. 1x ＞2x ＞x A ．x ＞1x ＞2x B. 1x ＞x ＞2x7、下列各不等式中，错误的是（ ）.A ．若a+b>b+c,则a>c B. 若a>b,则a －c>b －cC. 若ab>bc,则a>cD. 若a>b,则2c+a>2c+b8、设a ，b ，c 都是实数，且满足：用a 去乘不等式的两边，不等号方向不变；用b 去除不等式的两边，不等号方向改变；用c 去乘不等式的两边，不等号要变成等号．则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>9、如果b a >，那么下列不．等式中不成立的是（ ） A.33a b ->- B.33a b ->- C.33a b > D.a b -<- 10、在下列各不等式中，错误．．的是（ ） A.若a b b c +>+，则a c > B.若a b >，则a c b c ->-C.若ab bc >，则a c >D.若a b >，则22c a c b +>+11、下列叙述正确的是（ ）A.a b >，则22ac bc >B.若03x -<，则3x >-C.当7x <时，3(7)x -是负数D.当0x <时，23x x <12、由y x >得到ay ax <，则a 的取值范围是( )A.0>aB.0<aC.0=aD.a 可以为任何实数13、已知将不等式mx ＞m 的两边都除以m ，得x ＜1，则m 应满足______________14、当x ，代数式1+x 的值不大于．．．3．15、若1x <，则22x -+_____0（用“>””<”或“＝”填空）。

教学设计7．1 不等式及其基本性质（二）教材内容：九年义务教育课程标准沪科版第七章第一节第二课时教材分析不等式是刻画现实世界数量不等关系的重要数学模型，实际生活中的许多问题往往用不等式表示，用不等式的知识去解决，由于不等式的基本性质如等式的基本性质，在等式变形中的作用一样，是不等式变形的理论依据，所以对不等式的研究学习，离不开其基本性质，它是学好本章内容的基础，是本章的重点内容，在此之前由于掌握了有理数的大小比较，等式及其基本性质，以此为基础，展开不等式基本性质的探索，也就顺理成章了。

教学目标：一、知识与技能掌握不等式的基本性质，能正确灵活运用不等式的基本性质将不等式变形。

二、过程与方法通过类比不等式的基本性质，探索不等式的基本性质，经历运用不等式的基本性质，进行不等式的变形，进一步理解掌握不等式的基本性质，感受类比的思想方法在学习中的运用。

三、情感态度与价值观经历探索不等式的基本性质的过程，提高学生观察、分析、思考、归纳的能力，体验合作交流在数学学习中的重要性，培养学生乐于探索知识的兴趣和创新意识。

教学重点：不等式的基本性质及运用教学难点：不等式的基本性质在不等式变形中的正确运用教学关键：了解不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，将不等式的基本性质2与3进行比较，从而加深对不等式基本性质的理解。

教法与学法1、充分发挥老师的主导作用，着力调动学生学习的积极性、主动性。

组织、引导学生活动，使学生广泛参与学习的全过程。

2、结合内容特点，在老师的操作下，引导学生，通过观察，分析思考，采用类比法探索归纳不等式的基本性质，通过运用加深理解记忆完成教学。

教具准备天平、若干砝码、小黑板教学过程一、知识回顾，创设情境师：前面我们学习了等式的基本性质，同学们还记得等式的基本性质内容是什么吗？生：记得。

等式的基本性质：1、等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

2、等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不等于0）所得结果仍是等式。

人教版七年级数学下册9.1.2.2《不等式的性质(2)》教学设计一. 教材分析《不等式的性质(2)》是人教版七年级数学下册第9.1.2节的一部分，主要介绍不等式的性质。

本节课主要让学生了解不等式的性质，掌握不等式的基本性质，并能够运用不等式的性质解决实际问题。

教材通过具体的例子和练习题，帮助学生理解和掌握不等式的性质。

二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了不等式的基本概念和性质，对不等式有一定的了解。

但是，对于不等式的性质的深入理解和灵活运用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，通过具体的例子和练习题，引导学生深入理解和掌握不等式的性质。

三. 教学目标1.让学生了解不等式的性质，掌握不等式的基本性质。

2.培养学生运用不等式的性质解决实际问题的能力。

3.培养学生逻辑思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.不等式的性质的理解和运用。

2.解决实际问题时的不等式应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索和解决问题，深入理解和掌握不等式的性质。

2.使用多媒体教学手段，通过动画和图形，生动形象地展示不等式的性质，帮助学生理解和记忆。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和合作中，共同解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学课件和教学素材。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾不等式的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）呈现不等式的性质（2），通过动画和图形，生动形象地展示不等式的性质，帮助学生理解和记忆。

3.操练（15分钟）让学生通过解决实际问题，运用不等式的性质，巩固所学知识。

在此过程中，引导学生运用不等式的性质，解决实际问题，培养学生的应用能力。

4.巩固（10分钟）让学生完成一些练习题，检查学生对不等式的性质的掌握程度，并对学生的错误进行指导和纠正。

不等式的性质二不等式是数学中常用的一类表示不同数值关系的工具。

在不等式的研究中，我们需要了解不等式的基本性质和特点，以便能够准确地推导和解决相关问题。

本文将讨论不等式的性质二，包括不等式的加减性、乘除性以及倒置性。

1. 不等式的加减性对于同一个不等式，如果两边同时加上（或减去）同一个数，不等式的不等关系保持不变。

举例来说，对于不等式2x > 4，我们可以在两边同时减去4，得到2x - 4 > 0。

这个新的不等式依然成立，因为无论原来的不等式中x的取值如何，其两边都减去同一个数，不等关系并未改变。

同样地，如果两边同时加上一个正数，不等式的不等关系保持不变；如果两边同时减去一个负数，也不等关系同样保持不变。

2. 不等式的乘除性对于同一个不等式，如果两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的不等关系保持不变。

举例来说，对于不等式3x > 6，我们可以在两边同时除以3，得到x > 2。

这个新的不等式依然成立，因为无论原来的不等式中x的取值如何，其两边都乘以同一个正数，不等关系并未改变。

然而，如果两边乘以一个负数，不等式的不等关系将被倒置。

举例来说，对于不等式-2x < 4，如果我们在两边乘以-1，得到2x >-4。

这个新的不等式的不等关系与原来的不等式相反，因为我们将其两边乘以了一个负数。

3. 不等式的倒置性对于一个不等式，如果将其两边的不等关系互换，则得到一个新的不等式，称为原不等式的倒置。

举例来说，对于不等式2x > 4，如果我们将不等关系互换，则得到4 < 2x。

这个新的不等式是原不等式的倒置。

需要注意的是，倒置后的不等式的解与原不等式的解并不完全相同。

在倒置后的不等式中，不等式符号的方向也随之改变，因此其解的范围也会有所不同。

总结：不等式的性质二包括加减性、乘除性和倒置性。

根据这些性质，我们可以进行不等式的等价转化和推导。

在实际问题中，通过运用不等式的性质，我们可以更加灵活地求解和处理不等式方程，提高解题的效率和准确性。

不等式的基本性质(二)执教: 江南中学陈瑶一创设情境,引入课题师: 同学们:今天给你们讲一个小幽默吧!生: 好(学生很开心)师: (点开课件:展示熊大.熊二的对话图片,学生很兴奋)熊大对熊二说:”我比你大两岁”熊二说:”呵呵!再过两年我就赶上你啦! ”师: 大家说熊二说的有道理吗?为什么?生: 没道理,因为再过两年熊大也长大两岁,熊大还是比熊二大.师: 非常正确师: 若设熊大现在的年龄为x岁, 熊二现在的年龄为y岁, 上述问题中存在哪些不等关系?生：(1) x>y (2)x+2>y+2师：由（1）得到（2）的依据是什么？生：(不等式的基本性质1)不等式两边都加上2，不等号的方向不变。

师：你真棒！师：老师想啊，如果不等式的两边都乘（或除以）同一个数，不等号的方向是否也不变呢？生：变吧？师：我也不知道。

师：带着这个问题我们一起来探究。

二.合作交流，提炼性质师：（点开课件，出示问题）1.已知苹果的价格是a元/kg,梨的价格是b元/kg,且a>b,小李各买了3kg苹果和梨，则买哪种水果花的钱多？用不等号填空：3a___3b生：3a>3b师：正确!再看问题22.在某次知识抢答赛中，甲.乙两队的总分分别为a,b,其中a>b,已知每队人员均为3名，则哪队的平均得分高?用不等号填空：a生：a师：对了师：同学们：由这两个问题我们发现：不等式两边同乘或除以一个相同的数，不等号的方向变了没？生：没变（学生齐答）师：再看问题3（点开课件，展示问题3）3.用不等号填空（1）6(2)①6①②6②(3) 6(4)①6①②6 ② 生：齐答上述问题师：同学们：发现了没，有些不等号的方向变了，有些又没变，你们能从中发现什么规律吗？生：我发现不等式两边都乘（或除以）同一个正数的时候，不等号的方向不变，两边都乘（或除以）同一个负数的时候，不等号的方向改变。

师：非常好！（掌声鼓励）师：这就是我们今天要学习的不等式的基本性质2和基本性质3三.全面剖析，理解性质教师板书在黑板上，并指导学生用符号语言表示这两条基本性质。