2.1.2等式性质与不等式的性质【试题版】

2.1 不等式和不等式的性质训练题1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（ ） A ．a +b +c ＞130B ．a +b +c ＜130C ．a +b +c ≥130D ．a +b +c ≤1302．已知t ＝2a +2b ，s ＝a ²+2b +1，则（ ） A ．t ＞sB ．t ≥sC ．t ≤sD ．t ＜s3．已知P ＝x 2+xy +y 2，Q ＝3xy ﹣1，则（ ） A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．P ，Q 的大小关系不确定4．已知a ，b 为不相等的实数，记M ＝a 2﹣ab ，N ＝ba ﹣b 2，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定5.如果,a b >那么下列说法正确的是（ ）A ．ac bc >B ．22ac bc <C ．ac bc =D ．0b a -< 6.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a >- C ．|a|>|b| D ．22a b > 7.下列命题正确的是（ ） A ．若>a b ，则11a b< B ．若>a b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd8.若,,a b c 为实数，且0a b <<，则下列命题正确的是（ ）A ．22ac bc <B ．11a b < C ．b aa b> D ．22a ab b >> 9.已知,a b ∈R ，满足0ab <，0a b +>，a b >，则（ ） A ．11a b < B ．0b aa b+> C ．22a b > D ．a b < （多选）10．已知a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ≠b ，则a 2≠b 2B ．若a 2≠b 2，则a ≠bC ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2（多选）11．已知a ，b ，c 满足c ＜a ＜b ，且ac ＜0，那么下列各式中一定成立的是（ ） A ．ac （a ﹣c ）＞0B ．c （b ﹣a ）＜0C ．cb 2＜ab 2D ．ab ＞ac（多选）12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则D ．若a ＞b 且，则ab ＜0（多选）13．如果a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，那么下面一定成立的是（ ） A ．a +d ＜b +cB ．ac ＞bdC ．ac 2＞bc 2D ．14.若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______15.（多选）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（ ） A ．1,43a b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()21,78a b +∈C ．()9,42a b -∈-D ．739,59a b b +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭16.已知122,34a b a b -<+<<-<，则4a b -的取值范围是____________.17.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ）A ．[7,26]-B ．[1,20]-C ．[4,15]D ．[1,15]18.已知a b c >>，求证111b c a b a c+>---.19.若0bc ad -≥，0bd >，求证： a b c db d++≤．20.（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-； （2）已知,0a b ab >>，求证：11a b<； （3）已知0,0a b c d >><<，求证：a b c d>.2.1 不等式和不等式的性质训练题解析1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．a+b+c＞130 B．a+b+c＜130 C．a+b+c≥130 D．a+b+c≤130 【答案】D【解答】解：由题意可知a+b+c≤130．故选：D．2．已知t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，则（）A．t＞s B．t≥s C．t≤s D．t＜s【答案】C【解答】解：由t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，s﹣t＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，所以s≥t，故选：C．3．已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定【答案】A【解答】解：P﹣Q＝x2+xy+y2﹣3xy+1＝（x+y）2+1＞0．故P．故选：A．4．已知a，b为不相等的实数，记M＝a2﹣ab，N＝ba﹣b2，则M与N的大小关系为（）A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定【答案】A【解答】解：∵M ＝a 2﹣ab ，N ＝ba ﹣b 2， ∴M ﹣N ＝a 2﹣ab ﹣ba +b 2＝（a ﹣b ）2， ∵a ，b 为不相等的实数， ∴（a ﹣b ）2＞0， ∴M ＞N ． 故选：A ．5.如果,a b >那么下列说法正确的是（ ）A ．ac bc >B ．22ac bc <C ．ac bc =D ．0b a -< 【答案】D【解答】因为a b >，不等式两边同时减去a 得0b a >-，D 正确，若0c，则AB 错误，若0c ≠，C 错误．故选：D ．6.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a >- C ．|a|>|b| D ．22a b > 【答案】B【解答】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立7.下列命题正确的是（ ） A ．若>a b ，则11a b< B ．若>a b ，则22a b >C ．若>a b ，c d <，则>a c b d --D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【解答】A.若>a b ，则11a b<，取1,1a b ==- 不成立 B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确D. 若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立故答案选C8.若,,a b c 为实数，且0a b <<，则下列命题正确的是（ ） A ．22ac bc < B ．11a b < C ．b aa b> D ．22a ab b >> 【答案】D【解答】对于A ，当0c时，220ac bc ==，A 错误；对于B ，当2a =-，1b =-时，112a =-，11b =-，此时11a b>，B 错误； 对于C ，220b a b a a b ab--=<，b a a b ∴<，C 错误；对于D ，0a b <<，0a b ∴-<，()20∴-=->a ab a a b ，()20ab b b a b -=->，22a ab b ∴>>，D正确.9.已知,a b ∈R ，满足0ab <，0a b +>，a b >，则（ ） A ．11a b < B ．0b aa b+> C ．22a b > D ．a b < 【答案】C【解答】因0ab <，a b >，则a>0，b<0，110,0a b><，A 不正确； 0,0b a a b <<，则0b aa b+<，B 不正确； 又0a b +>，即0a b >->，则22()a b >-，22a b >，C 正确； 由0a b >->得||a b >，D 不正确.故选：C（多选）10．已知a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ≠b ，则a 2≠b 2B ．若a 2≠b 2，则a ≠bC ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2【答案】BD【解答】解：对于A，若a≠b，则a2≠b2错误，反例：a＝1，b＝﹣1，故A错误：对于B，若a2≠b2，则a≠b正确，故B正确；对于C，若a＞b，则a2＞b2错误，反例：a＝1，b＝﹣5，故C错误；对于D，若a＞|b|，则a2＞b2正确，故D正确，故选：BD．（多选）11．已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是（）A．ac（a﹣c）＞0 B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ab＞ac【答案】BCD【解答】解：因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a﹣c＞0，b﹣a＞0，所以ac（a﹣c）＜0，c（b﹣a）＜0，cb2＜ab2，ab＞ac，故选：BCD．（多选）12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＞b＞0且c＜0，则D．若a＞b且，则ab＜0【答案】BCD【解答】解：A，不成立，比如c＝0时，ac2＝bc2，B，成立，a＜b＜0，则a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，即a2＞ab＞b2，C，成立，若a＞b＞0且c＜0，则a2＞b2＞0，，即有，D，成立，若a＞b且，可得＞0，∵b﹣a＜0，∴ab＜0，故选：BCD．（多选）13．如果a＜b＜0，c＜d＜0，那么下面一定成立的是（）A．a+d＜b+c B．ac＞bd C．ac2＞bc2D．【答案】BD【解答】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣1，c ＝﹣5，d ＝﹣1时，a +d ＞b +c ，故选项A 错误；∵a ＜b ＜0，c ＜d ＜0， ∴﹣a ＞﹣b ＞0，﹣c ＞﹣d ＞0， ∴ac ＞bd ，故选项B 正确； ∵a ＜b ，c 2＞0，∴ac 2＜bc 2，故选项C 错误； ∵﹣a ＞0，﹣c ＞﹣d ＞0， ∴＞＞0，故选项D 正确； 故选：BD ．14.若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______ 【答案】()18,1--【解答】依题意可知2026-<-<-b ，由于25<<a ，由不等式的性质可知1821-<-<-a b .15.（多选）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（ ） A ．1,43a b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()21,78a b +∈C ．()9,42a b -∈-D ．739,59a b b +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】AB【解答】因为660<<a ，1518<<b ，所以1111815<<b ，1815-<-<-b ， 则6601815<<a b ，6156018+<+<+a b ，6186015-<-<-a b ， 即143<<a b ，2178<+<a b ，1245-<-<a b ，则41,53+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭a b a b b ； 故AB 正确，CD 错.16.已知122,34a b a b -<+<<-<，则4a b -的取值范围是____________.【答案】(5,10)【解答】令4(2)()(2)()-=++-=++-a b m a b n a b m n a m n b ，则241+=⎧⎨-=-⎩m n m n ，解得12=⎧⎨=⎩m n ，所以4(2)2()-=++-a b a b a b ， 因为34<-<a b ，所以62()8<-<a b ， 因为122-<+<a b ，所以1622()28-+<++-<+a b a b ， 所以5410<-<a b ，所以4-a b 的取值范围为(5,10)，17.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ） A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15] 【答案】B【解答】令=-m x y ，4=-n x y ，,343-⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩n m x n my , 则85933=-=-z x y n m552041333-≤≤-∴≤-≤m m 又884015333-≤≤∴-≤≤n n ，因此85192033-≤=-=-≤z x y n m ，故本题选B.18.已知a b c >>，求证111b c a b a c+>---. 【答案】证明见解析.【解答】证明：111()()()()()()()()()--+--+--+-=------a b c a c a b c b c a b b c a b a c b c c a a b2()()()()()()----=---a b c a b c b c c a a b .由>>a b c ，可知0->a b ，0-<c a ， 从而()()0--<a b c a ，又0->b c ，()()()0---<b c c a a b ，又2()0--<b c ， 因此上式分子、分母均小于零，1110∴+->---b c a b a c ，即111+>---b c a b a c. 19.若0bc ad -≥，0bd >，求证：a b c db d++≤． 【解答】证明：+++----==a b c d ad bd bc bd ad bcb d bd bd， 0,0-≥>bc ad bd ，0-∴≤ad bcbd， ++∴≤a b c db d. 20.（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-； （2）已知,0a b ab >>，求证：11a b<； （3）已知0,0a b c d >><<，求证：a b c d>. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解答】（1）因为,a b c d ><，所以,a b c d >->-.则a c b d ->-. （2）因为0ab >，所以10ab>. 又因为a b >，所以1a b ab ab1⋅>⋅， 即11b a >，因此11a b<. （3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d>>. 又因为0a b >>，则 11a b c d⋅>⋅，即a b c d >。

等式与不等式的性质【考纲要求】1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2、会利用不等式性质比较大小【思维导图】【考点总结】【考点总结】一、等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .二、不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 三、比较两个实数a 、b 大小的依据文字语言符号表示 如果a ＞b ，那么a －b 是正数； 如果a ＜b ，那么a －b 是负数； 如果a ＝b ，那么a －b 等于0， 反之亦然a >b ⇔a －b >0 a <b ⇔a －b <0 a ＝b ⇔a －b ＝0[1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 四、不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ； 推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ； (5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)． [化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．【题型汇编】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小 题型二：作差法比较数（式）大小 题型三：利用不等式的性质证明不等式 【题型讲解】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小 一、单选题1．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（ ） A ．d a <B ．a d b <<C ．b d c <<D ．d c >2．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．c ca b> B ．2ab b <C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 3．（2022·江西萍乡·三模（理））设2ln1.01a =， 1.021b =，1101c =，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c <<D ．c b a <<4．（2022·北京·二模）“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b a a b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（ ） ①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④52727ln 5a a b b ++-+<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x 、y 都是实数，则“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a <D ．2ab a >10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论不正确的是（ ） A ab 12B ．14a b+的最小值是9C ．若a b >，则2211a b < D ．22log log a b +的最大值为0 二、多选题1．（2022·全国·模拟预测）已知110a b<<，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．ab a b >-B ．ab a b <--C ．2b aa b+>D ．b a a b> 2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b >D ．1ab b>+ 3．（2022·重庆·二模）已知2510a b ==，则（ ） A ．111a b+> B ．2a b > C ．4ab > D ．4a b +>题型二：作差法比较数（式）大小 一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a>>>，则下列结论正确的是（ ） A ．1a bb a -⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．log log a a bba b <C ．log log a b baa b <D ．11b a a b-<- 2．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．2a b ab +>C ．22lg lg a b >D ．33a b >3．（2022·江西上饶·二模（理））设e 4ln 2313e 4ln 214e ea b c ===，，其中e 是自然对数的底数，则（ ） 注：e 2.718ln 20.693==，A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>5．（2022·广东广州·一模）若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．log 0a b <B ．11a b b a->- C ．122ab a b ++< D ．11b a a b --<6．（2022·山西太原·二模（文））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（ ） ①a b < ②11a b ab+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2022·河北衡水中学一模）已知110a b<<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．22a b >B ．2b aa b+<C ．a ba a <D ．2lg lg a ab <8．（2022·重庆·三模）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b a c >>9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++二、多选题1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（ ）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（ ） A ．14a b <+<B ．114b a a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知1m n >>，若1e 2e e m n m m m n +-=-（e 为自然对数的底数），则（ ） A ．1e e 1m n m n +>+ B ．11122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．4222m n --+>D ．()3log 1m n +>4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）． A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（ ） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+D ．11a b a b+>+ 15．（2022·山东聊城·三模）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+ C ．n m m n >D ．log log m n n m <题型三：利用不等式的性质证明不等式 一、单选题1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设,a b ∈R ，则“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·浙江·模拟预测）已知a ，b R ∈，则“a b b ->”是“12b a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2021·上海长宁·二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题D ．p 是假命题，q 是真命题5．（2021·浙江·模拟预测）已知x ，y ∈R ，则“2214xy +≤”是“12x y +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2021·全国·模拟预测）已知a ∈R ，()21ln 0ax x a x --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．（2021·浙江·模拟预测）已知0a b >>，给出下列命题： 1a b =，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（ ） A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知,,a b c ∈R 且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac +的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞-C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦10．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（ ）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞二、多选题1．（2021·江苏·扬州中学模拟预测）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y <，则下列说法中正确的有（ ） A ．31x y ->B ．2xy y <C ．x x y y <D ．11x y> 2．（2021·福建·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A ．设,x y R ∈，则“222x y +≥”是“1≥x 且1y ≥”的必要不充分条件B ．2πα=是“cos 0α=”的充要条件C ．“3x ≠”是“3x ≠”成立的充要条件D ．设R θ∈，则 “1212ππθ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件 3．（2021·广东·石门中学模拟预测）设,a b 为正实数，下列命题正确的有（ ） A ．若221a b -=，则1a b -<；B ．若111b a -=，则1a b -<；C 1a b =，则1a b -<；D ．若331a b -=，则1a b -<.4．（2021·江苏南京·二模）已知0a >，0b >，且221a b +=，则（ ） A ．2a b +≤B ．1222a b -<< C ．221log log 2a b -D ．221a b ->-。

2.1等式性质与不等式性质一、单选1．如果a b >，那么下列运算正确的是（）A ．33a b -<-B ．33a b +<+C ．33a b<D ．33a b<--2．下列命题中为真命题的是（）A ．220a b a b >>⇒>B ．220a b a b >⇒>>C ．1b a b a>⇒<D ．33a b a b >⇒>3．已知14a ≤≤，12b -≤≤，则3a b -的取值范围是（）A ．1331a b -≤-≤B ．138a b -≤-≤C ．1313a b -≤-≤D ．1313a b ≤-≤4．下列命题是真命题的为（）A ．若a b >，则11a b<B ．若2b ac =，则2b a >或2b c >C ．若x y <，则22x y <D ．若a b =，则a b=5.（P43.T8）下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b <<D.若0a b <<，则11a b<二、填空6.（P42）用不等号“>”或“<”填空:(1)如果a b >,c d <,那么a c -______b d -;(2)如果0a b >>,0c d <<,那么ac ____bd ;(3)如果0a b >>,那么21a____21b ;(4)如果0a b c >>>,那么c a ____c b.7．已知01,23a b a b ≤+<≤-<，则b 的取值范围是．三、解答8(p43).已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的范围.9(p43).比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++；（3）当1x >时，2x 与21x x -+；第3页共8页◎第4页共8页2.1等式性质与不等式性质答案，⎤⎥⎥⎦330a b >≥；当0a b ³>时，330a b ≥>；综上所述：当a b >时，33a b >，D 正确.故选：D.3．已知14a ≤≤，12b -≤≤，则3a b -的取值范围是（）A ．1331a b -≤-≤B ．138a b -≤-≤C ．1313a b -≤-≤D ．1313a b ≤-≤【答案】D【分析】由不等式的性质求出b -，3a 的范围，两式相加即可得出答案．【详解】因为14a ≤≤，12b -≤≤，所以是假命题．故选：C5.（P43.T8）下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b << D.若0a b <<，则11a b<【答案】B【详解】A.若0a b >>，则22ac bc >错误，如0c =时，22ac bc =，所以该选项错误；B.若0a b >>，则2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以该选项正确；C.若0a b <<，则22()0,a ab a a b a ab -=->∴>，所以该选项错误；D.若0a b <<，则11110,b a a b ab a b--=>∴>，所以该选项错误.故选：B二、填空6.（P42）用不等号“>”或“<”填空:(1)如果a b >,c d <,那么a c -______b d -;(2)如果0a b >>,0c d <<,那么ac ____bd ;(3)如果0a b >>,那么21a ____21b ;(4)如果0a bc >>>,那么c a ____cb.【答案】①.>②.<③.<④.<【详解】解析:(1)c d < ,c d ∴->-.a b > ,a cb d ∴->-.(2)0c d <<Q ,0c d ∴->->.0a b >> ,ac bc bd ∴->->-,ac bd ∴<.(3)0a b >> ,0ab ∴>,10ab>,110a b ab ab ∴⋅>⋅>,110b a∴>>,2211b a ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2211a b <.(4)0a b >> ,所以0ab >,10ab>.于是1a b ab ab 1⋅>⋅,即11b a >,即11a b <.0c >Q ,c ca b∴<.故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键7.（2023·全国·高一专题练习）已知01,23a b a b ≤+<≤-<，则b 的取值范围是．【答案】31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】利用不等式的性质即可求出b 的取值范围.【详解】由题意，在23a b ≤-<中，32b a -<-≤-∵01a b ≤+<，∴321b -<<-，解得：3122b -<<-，故答案为：31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.三、解答8(p43).已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的范围.【答案】225a b <+<第7页共8页◎第8页共8页【详解】解：23a << ，426a ∴<<，又21b -<<- ，225a b ∴<+<.9.(p43).比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++；（3）当1x >时，2x 与21x x -+；【答案】（1）2256259x x x x ++<++.（2）2(3)(2)(4)x x x ->--.（3）221x x x >-+.（4）2212(1)x y x y ++>+-.【详解】解：（1）因为()()2225625930xx x x x ++-++=--<，所以2256259x x x x ++<++.（2）因为()22110x x x x --+=->，所以当1x >时，221x x x >-+.。

专题2.1 等式与不等式性质知识点①等式性质1．如果a ＝b ，那么b ＝a ．2．如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ．3．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ．4．如果a ＝b ，那么ac ＝bc ．5．如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc．知识点②不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a ⇔2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向同正7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点③两个实数比较大小的方法1．作差法：⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a ba b a b a b a 0002．作商法：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∈<⇔<≠∈=⇔=>∈>⇔>010101b R a b a b ab R a b a b ab R a b a b a，，，知识点④常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；(2)a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd；(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.2．两个重要不等式若a ＞b ＞0，m ＞0，则：(1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)；(2)a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m＞0)．一、单选题1．已知R a b c d ∈、、、，下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若,a b c d >>，则ac bd >C ．若a b >，则11a b<D ．若11||||a b <，则||||a b >【来源】四川省乐山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】对于A ，当0c £时不成立；对于B ，当1,2,0,1a b c d ==-==-时，显然不成立；对于C ，当1,2a b ==-时不成立；对于D ，因为110||||<<a b ，所以有||||0a b >>，即||||a b >成立.故选：D ．2．下列命题正确的是（ ）A ．22,0a b c ac bc >≠⇒>B ．a b <⇒<C ．a b >且c d a c b d <⇒+>+D ．22a b a b >⇒>【答案】A【解析】对于选项A ，∵0c ≠，∴20c >，又a b >，22ac bc \> 成立，故A 正确；对于选项B ，当0a <，0b >时，结论明显错误，故B 错误对于选项C ，当4,3,1,2a b c d ====时，a c b d +=+，所以结论错误，故C 错误对于选项D ，当1,2a b ==-时，22a b <，所以结论错误，故D 错误故选：A3．下列命题正确的是（ ）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b =C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b>【答案】D【解析】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.4．已知04x <<，06y <<，则2x y -的取值范围是（ ）A ．(2,0)-B ．(0,2)C ．(8,6)-D ．(6,8)-【来源】第07讲 不等式的基本性质-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）【答案】D【解析】解：因为04x <<，06y <<，所以028x <<，60y -<-<，所以628x y -<-<，所以2x y -的取值范围是(6,8)-，故选：D.5．如果,,a b c ∈R ，且0abc ≠，那么下列命题中正确的是（ ）A ．若11a b<，则a b >B ．若ac bc >，则a b >C ．若33a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b>【来源】山西省运城市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】D【解析】对于A ，若1a =-，1b =，满足11a b<，但a b >不成立，错误；对于B ，若0c <，则a b <，错误；对于C ，若2a =，1b =-，满足33a b >，但11a b<不成立，错误；对于D ，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.6．若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若c a <，则cb ab<C ．若0ab ≠且a b <，则11a b>D ．若a b >，则a c b c+>+【来源】新疆巴音州轮台县三校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题【答案】D【解析】对A ，取1,2a b ==-，则有22a b <，A 错；对B ，取0b =，则有cb ab =，B 错；对C ，取1,2a b =-=，则有11a b<，C 错；对D ，若a b >，则a c b c +>+正确；故选：D7．设a ＞b ＞1，y 12311,,11b b b y y a a a +-===+-，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 3＜y 1【来源】专题2.1 等式性质与不等式性质（4类必考点）【答案】C【解析】解：由a ＞b ＞1，有y 1﹣y 2()()1111b b ab a ab b a ba a a a a a ++---=-==+++＞0，即y 1＞y 2，由a ＞b ＞1，有y 2﹣y 3()()1111b b ab b ab a a ba a a a a a ---+-=-==---0，即y 2＞y 3，所以y 1＞y 2＞y 3，故选：C.8．若,,,R a b c d ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则a c b c->-D ．若0a b <<，则1a<1b【来源】四川省成都市金牛区2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文科）试题【答案】C【解析】对于A ，若2,1,1,2a b c d ===-=-，则2ac bd ==-，所以A 错误，对于B ，若0c =，则220ac bc ==，所以B 错误，对于C ，因为a b >，所以由不等式的性质可得a c b c ->-，所以C 正确，对于D ，因为0a b <<，所以0ab >，所以a b ab ab<，即11b a <，所以D 错误，故选：C9．若0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A ．ac bc>B ．33a b >C ．a b->-D ．a b ab+<【来源】四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题【答案】B【解析】对于A ，若0c =，则ac bc =，所以A 错误，对于B ，因为0a b >>，所以330a b >>，所以B 正确，对于C ，因为0a b >>，所以a b -<-，所以C 错误，对于D ，若2,1a b ==，则32a b ab +=>=，所以D 错误，故选：B10．对任意实数a b c d ,,,，命题：①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >.④若33,0a b ab ><，则11a b>，其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【来源】四川省自贡市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文）试题【答案】C【解析】对于①，若a b >，0c <，则ac bc <，①错；对于②，若0c =，则22ac bc =，②错；对于③，若22ac bc >，则20c >，由不等式的基本性质可得a b >，③对；对于④，若33,0a b ab ><，则0a b >>，则110a b>>，④对故选：C11．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b>D ．11a b a>-【来源】第05讲 等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）【答案】D【解析】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b aa b ab --=>，所以11a b>，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.12．已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（ ）A ．x y >B ．x y <C ．x y=D ．无法确定【答案】B【解析】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B13．已知0,0,0a b c d e >><<<，则下述一定正确的是（ ）A ．ae be >B ．22c d <C ．0e e a c d b+>--D ．()ea d c b->【来源】山东省青岛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】C【解析】解：因为0,0,0a b c d e >><<<，所以ae be <，22c d >，故AB 错误；0c d ->->，所以0a c b d ->->，所以11a c b d<--，所以e ea cb d >--，即0e ea c d b+>--，故C 正确；对于D ，若12,1,1,,12a b c d e ===-=-=-时，则()2ead c b-==，故D 错误.故选：C.14．下列说法中，错误的是（ ）A ．若22a b >，0ab >，则11a b <B ．若22a b c c >，则a b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+D ．若a b >，c d <，则a c b d->-【来源】广东省广州市越秀区2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】A【解析】对A ，取3,2a b =-=-，所以11a b>，故错误；对B ，由20c >，22a b c c >，所以a b >，故正确；对C,()()()m b a a m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+×+×+，由0b a >>，0m >，所以()()0m b a b b m ->×+，所以a m ab m b+>+，故正确；对D ，由c d <，所以c d ->-，又a b >，所以a c b d ->-故选：A15．已知0a b >>，则（ ）A ．22ac bc >B ．22a ab b >>C ．11a b>D 的取值范围是[)2,+¥【来源】山西省吕梁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】当0c =时，22ac bc >不成立，A 错误．因为0a b >>，所以22a ab b >>，11b a>，B 正确，C 错误．当0a >，0b >时，a b +³a b =时，等号成立，而a b >，D 错误．故选：B16．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中的假命题是（ ）A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0,0bc ad bd -³>，则a b c db d++£C ．若0a b <<，则b aa b>D ．若11,a b a b>>，则0,0a b ><【答案】C【解析】对于A ：若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故A 正确；对于B ：若0bc ad -³，0bd >，则0bc ad bd -³，化为c ad b ³，可得a b c d b d++£，故B 正确；对于C ：若0a b <<，所以220a b >>，0ab >，则220b a b a a b ab --=<，故b a a b<，故C 错误；对于D ：若a b >，11a b>，则110b aa b ab --=>，所以0ab <，所以0a >，0b <，故D正确；故选：C。

2.1 等式性质与不等式性质同步练习一．选择题1．（2021•广东学业考试）已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（）A．a＞b＞﹣b＞﹣a B．a＞﹣b＞﹣a＞b C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞b＞﹣a＞﹣b 2．（2021秋•靖远县期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定3．（2021秋•和平区期末）若a＜0，﹣1＜b＜0，则下列各式中正确的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞a＞ab2C．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a 4．（2021秋•南京期中）已知a∈R，则a＞4的一个必要条件是（）A．a＜5B．a＞5C．a＜1D．a＞15．（2021春•深圳期末）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．6．（2021秋•徐汇区校级期中）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．无法确定7．（2021秋•天心区校级期末）已知p＝a+，q＝﹣b2﹣2b+3（b∈R），则p，q的大小关系为（）A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q 8．（2021•济南模拟）已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．二．多选题9．（2021秋•长沙期末）若，则下列不等式正确的是（）A．|a|＞|b|B．a＜b C．a+b＜ab D．a3＞b3 10．（2021•南海区校级模拟）设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（）A．若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1B．若，则a﹣b＜1C．若，则|a﹣b|＜1D．若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1 11．（2021秋•大同期末）下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是（）A．p：x＞y，q：x3＞y3B．p：x＞3，q：x＞2C．p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5D．p：a＞b＞0，m＞0，q：12．（2021秋•新兴县校级月考）下列命题正确的是（）A．∀a∈R，∃x∈R，使得ax＞2B．若c＞a＞b＞0，则C．ab≠0是a2+b2≠0的必要不充分条件D．若a≥b＞﹣1，则三．填空题13．（2021秋•宝山区校级月考）三角不等式中，|a|+|b|≥|a+b|等号当且仅当成立．14．（2020秋•长宁区期末）已知α：x＜3m﹣1，β：x＜2，若α是β充分条件，则m的取值范围是．15．（2021秋•通州区校级月考）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为．16．（2021春•五华区期末）糖水不等式：成立的实数c是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的c的值可以是（只需填满足题意的一个值即可）．四、解答题17．（2021秋•江岸区校级月考）试比较下列各组式子的大小：（1）与，其中x＞1；（2）x3﹣2y3与xy2﹣2x2y，其中x＞y＞0．18．（2021秋•浦东新区期中）已知命题α：﹣3≤x＜7，命题β：k+1≤x≤2k﹣1，且α是β的必要条件，求实数k的取值范围．19．（2021秋•普宁市校级月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围．（1）|a|；（2）a+b；（3）a﹣b；（4）2a﹣3b．20．（2021秋•扬中市校级月考）（1）已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较与a+b的大小；（2）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，求实数a的取值范围．21．（2021•衡阳三模）已知函数f（x）＝|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．22．（2021•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．。

2.1 等式关系与不等式关系一、选择题1．下列说法正确的是( )A.某人月收入x 不高于2000元可表示为" 2 000x <"B.小明的身高x ,小华的身高y ,则小明比小华矮表示为"x y >"C.某变量x 至少是a 可表示为"x a ≥"D.某变量y 不超过a 可表示为"y a ≥"2.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定3．设,,a b c 为实数，且0a b >>，则下列不等式成立的是 （ ）A ．22a b <B ．22ac bc <C ．11a b <D ．c c a b< 4.某公司从2016年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2018年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2018年底这位职工的工龄至少是( )A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年5.已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b <B ．11a b >C ．2211ab a b <D ．11a b a >- 6.已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（ ）A ．ab ac > B ．()0c b a -> C ．()0ac a c -< D ．22cb ab <7．（多选）对于任意实数a ，b ，c ，d ，则下列命题正确的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a b >，c d >，则a c b d +>+C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若a b >，则11a b > 二、填空题8．设2,73,62P Q R ==-=-，则,,P Q R 的大小顺序是______．9.已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____．10.已知两实数22210a x x =-+-，239b x x =-+-，a ，b 分别对应实数轴上两点A 、B ，则点A 在点B 的 （填“左边”或“右边” )．三、解答题11．已知a ，b 均为正实数，求证：a b a b +≥+.12．已知,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.13.甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间，问甲以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m n乙两人谁先到达指定地点？。

人教A版（2019）数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质练习题一、单选题（共8题；共16分）1.若关于x的不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. [-3,0] C. D.2.若，则P，Q的大小关系为（）A. B. C. D.3.设，则下列不等式中不成立的是（）A. B. C. D.4.已知集合，,则（）A. B. C. D.5.已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立．若a=（20.2）•f（20.2），b=（ln2）•f（ln2），c=（log2）•f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A. a＞b＞cB. b＞a＞cC. c＞a＞bD. a＞c＞b6.若，则下列命题中正确的是（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）A. B. C. D.8.设，则（）A. a>b>cB. c>a>bC. b>a>cD. b>c>a二、填空题（共6题；共6分）9.设，，则与的大小关系是________．10.设，，，则a，b，c由小到大的顺序为________．11.已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f（x）=x+sinx，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则a、b、c的大小关系是________．12.已知，有以下命题：①若a>b ，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b ；③若a>b ，则.则正确命题序号为________13.+ 和+ 中较大的为________14.在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是________三、解答题（共2题；共10分）15.设二次函数f(x) = a x2 +bx+c，函数F(x) = f(x)－x 的两个零点为m，n(m < n)．（1）若m =－1，n = 2，求不等式F(x) > 0 的解集；（2）若a >0，且0 < x < m < n < ，比较f(x) 与m 的大小16.已知a＞0，b＞0，试比较M= 与N= 的大小．答案一、单选题1. D2.A3. B4. C5. C6. D7. D8.C二、填空题9. 10.c＜a＜b 11.b＞a＞c 12.②③ 13.+ 14.（2，4）三、解答题15. （1）解：由题意知，当时，不等式即为. 当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为（2）解：且，∴∴，即．16.解：∵．∴M＞N。

新人教A版高一第 2 课时等式性质与不等式性质(2006)1.下列是等式2x+13−1=x的变形，其中根据等式性质4变形的是（）A.2x+13=x+1 B.2x+13−x=1C.2x3+13−1=x D.2x+1−3=3x2.下列说法正确的是（）A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若1a >1b，则a<bC.若b>c，则|a|b⩾|a|cD.若a>b，c>d，则a−c>b−d3.已知a,b,c,d均为实数，则下列结论中正确的是（）A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若ab>0,bc−ad>0，则ca −db>0C.若a>b,c>d，则a−d>b−cD.若a>b,c>d>0，则ad >bc4.已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是（）A.a＋1b >b＋1aB.a＋1a⩾b＋1bC.ba >b＋1a＋1D.b−1b>a−1a5.已知非零实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（）A.a+b>0B.a2>b2C.1a <1bD.a2+b2>2ab6.下列说法中正确的是（）A.在等式ab=ac两边同除以a，可得b=cB.在等式a=b两边同除以c2+1，可得ac2+1=bc2+1C.在等式2c=2a−b两边同除以2，可得c=a−bD.在等式ba =ca两边同乘a，可得ab=ac7.设a>b>c，且a＋b＋c=0，则下列不等式恒成立的是（）A.ab>bcB.ac>bcC.ab>acD.a|b|>c|b|8.已知a<0，−1<b<0，则下列各式正确的是（）A.a>ab>ab2B.ab>a>ab2C.ab2>ab>aD.ab>ab2>a9.已知a>b>0,且c>d>0,则√ad 与√bc的大小关系是.10.若1⩽a⩽5，−1⩽b⩽2，则a−b的取值范围为.11.已知a＋b>0且ab≠0，则ab2＋ba2与1a＋1b的大小关系是.12.已知实数a>b，当a,b满足条件时，不等式1a <1b成立.13.已知c>a>b>0，求证：ac−a >bc−b.14.已知1<a<4，2<b<8，试求a−b与ab的取值范围.15.已知a,b为非零实数，且a<b，则下列不等式中恒成立的是（）A.a2<b2B.ab2<a2bC.1ab2<1a2bD.ba<ab16.已知a，b，c，d均为实数，有下列说法：①若ab>0，bc−ad>0，则ca −db>0；②若ab>0，ca −db>0，则bc−ad>0；③若bc−ad>0，ca −db>0，则ab>0.其中正确的说法是.(填序号)17.某公司有荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往港口，已知一辆甲种货车可装载荔枝4吨，香蕉1吨，一辆乙种货车可装载荔枝、香蕉各2吨.(1)该公司安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助他们设计出来．(2)若甲种货车每辆要付运费2000元，乙种货车每辆要付运费1300元，则该公司选哪种方案时运费最少？最少运费是多少元？参考答案1.【答案】:D2.【答案】:C3.【答案】:B；C【解析】:当a=1，b=−1，c=0，d=−2，满足a>b，c>d，此时ac=0，bd=2，ac<bd，所以A不正确；若ab>0，bc−ad>0，得1ab (bc−ad)>0，即ca−db>0，所以B正确；若a>b，c>d，则a+c>b+d，即a−d>b−c，所以C正确；当a=−1，b=−2，c=2，d=1，满足a>b，c>d>0，此时ad =−1，bc=−1，ad=bc，所以D不正确．故选BC.4.【答案】:A5.【答案】:D6.【答案】:B【解析】:对于选项A，当a=0时，两边不能除以a，所以选项A错误；对于选项C，等式2c=2a−b两边同除以2，可得c=a−b2，所以选项C错误；对于选项D，等式ba =ca两边同乘a，可得b=c，所以选项D错误，只有选项B正确.故选B.7.【答案】:C【解析】:因为a>b>c，且a＋b＋c=0，所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零. 由b>c，a>0知，ab>ac. 故选C.8.【答案】:D【解析】:因为−1<b<0，所以1>b2>0>b>−1，即b<b2<1，同乘a(a<0)得ab>ab2>a.故选D.9.【答案】:√ad >√bc【解析】:因为c>d>0,所以1d >1c>0,因为a>b>0,所以ad>bc>0,所以√ad>√bc.10.【答案】:−1⩽a−b⩽6【解析】:因为−1⩽b⩽2，所以−2⩽−b⩽1，又1⩽a⩽5，所以−1⩽a−b⩽6.11.【答案】:ab2＋ba2⩾1a＋1b【解析】:ab2＋ba2−(1a+1b)=a−bb2＋b−aa2=(a−b)·(1b2−1a2)=(a＋b)(a−b)2a2b2.∵a＋b>0，(a−b)2⩾0，a2b2>0，∴(a＋b)(a−b)2a2b2⩾0，∴ab2＋ba2⩾1a＋1b.12.【答案】:ab>0【解析】:当ab>0时，∵a>b，∴aab >bab，即1b>1a；当ab<0时，∵a>b，∴aab<bab，即1b<1a.综上所述，当a,b满足条件ab>0时，不等式1a <1b成立.13.【答案】:∵c>a>b>0，∴c−a>0，c−b>0，−a<−b，故0<c−a<c−b.∴1c−a >1c−b>0，又a>b>0，故ac−a >bc−b.14.【答案】:因为1<a<4，2<b<8，所以−8<−b<−2，所以1−8<a −b <4−2， 即−7<a −b <2. 又因为18<1b <12， 所以18<ab <42，即18<ab <2.15.【答案】:C【解析】:∵a 2−b 2=(a +b)(a −b)的正负不能确定，∴a 2<b 2不恒成立；∵a 2b −ab 2=ab(a −b)的正负不能确定，∴ab 2<a 2b 不恒成立；∵1ab 2−1a 2b =a−ba 2b 2<0，∴1ab 2<1a 2b 恒成立；∵ba −ab =b 2−a 2ab=(b−a)(b+a)ab的正负不能确定，∴b a <ab 不恒成立.故选C.16.【答案】:①②③【解析】:∵ab >0，bc −ad >0， ∴ca −db =bc−ad ab >0，∴①正确； ∵ab >0，又ca −db >0，即bc−ad ab>0，∴bc −ad >0，∴②正确； ∵bc −ad >0，又ca−d b>0，即bc−ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确.故①②③都正确. 17(1)【答案】设安排m 辆甲种货车，安排n 辆乙种货车，依题意，得{4m +2n ⩾30,m +2n ⩾13，m +n =10,解得5⩽m ⩽7．∵m 为整数，∴m =5，6，7， ∴共有三种方案，方案1：安排5辆甲种货车，5辆乙种货车； 方案2：安排6辆甲种货车，4辆乙种货车； 方案3：安排7辆甲种货车，3辆乙种货车．(2)【答案】方案1所需运费为2 000×5+1 300×5=16 500(元)； 方案2所需运费为2 000×6+1 300×4=17 200(元)； 方案3所需运费为2 000×7+1 300×3=17 900(元)．∵16 500<17 200<17 900，∴该公司应选方案1，使运费最少，最少运费是16 500元．。

2.1等式性质与不等式性质练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1a b< B ．2b aa b +≥C ．2211ab a b< D ．22a a b b +<+2．如果a bc c>，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．22ac bc >B ．a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc >3．若a b <，则下列不等式中正确的是（ ） A ．22a b <B ．11a b< C ．222a b ab +> D ．22ac bc <4．设,a b ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若x y >，a b >，则a x b y ->- B ．若a b >，则11a b< C ．若x y >，a b >则ax by >D ．若||a b >，则22a b >5．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是（ ） A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－m6．已知222P a b =++，22Q a b =+，则（ ） A ．P Q > B ．P Q < C ．P Q ≥D ．P Q ≤7．若m ＝2x 2＋2x ＋1，n ＝(x ＋1)2，则m ，n 的大小关系为（ ） A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜nD ．m ≤n二、多选题8．若0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a=- C ．2211a bc c >++ D ．22a b >9．已知24a b -<+<，228a b <-<，则下列不等式正确的是（ ）A ．04a <<B ．02b <<C ．626a b -<+<D ．028a b <+<10．生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖（a >0，b >0，且a >b ），若再添加c 克糖（c >0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：b c ba c a+>+.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ） A ．若0,0a b m >>>，则b m a m ++与ba的大小关系随m 的变化而变化 B ．若00a b m >><，，则b b m a a m+<+ C ．若00a b c d >>>>，，则b db ca da c++<++ D ．若0,0a b >>，则一定有1111ababa b a b a b +<+++++++ 11．若0a b >>，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b+>+ C ．11a b b a+>+ D ．22a b aa b b+>+三、填空题12．已知23,23x y <<<<．则2x y -的取值范围是________．四、解答题13．若0,0a b m >>>.求证b b m a a m+<+.五、双空题14．已知23,15a b <<-<<，则a b +的取值范围是_________，⋅a b 的取值范围是__________.参考答案：1．C【分析】根据给定条件，举反例说明判断选项A ，B ，D ；利用不等式性质推理判断选项C 作答.【详解】非零实数a ，b 满足a b <，取3,1a b =-=-，则31ab=>，A 不正确； 取3,1a b =-=，则1103033b a a b +=--=-<，B 不正确；因a ，b 是非零实数，则220a b >，而a b <，有2222a b a b a b <，即2211ab a b<，C 正确； 取3,1a b =-=，则226,2a a b b +=+=，有22a a b b +>+，D 不正确. 故选：C 2．D【分析】利用不等式的性质分析判断即可 【详解】若0c <，则由a bc c>可得a b <，22ac bc <，a c b c -<-， 因为a bc c>，20c >，所以ac bc >. 故选：D 3．C【分析】结合不等式的性质，差比较法确定正确选项. 【详解】A ，10-<，但()2210->，所以A 错误. B ，12<，但1112>，所以B 错误.C ，()22222,202a b a ab b a b a b ab <-+=->⇒+>，C 正确. D ，当0c 时，不等式22ac bc =，所以D 错误. 故选：C 4．D【解析】利用特殊值排除判断ABC ，由不等式的性质判断D 即可. 【详解】当1,0x a y b ====时，a x b y ->-不成立，故A 错误； 当1,1a b ==-时，11a b<不成立，故B 错误； 当2,1,0,2x y a b ==-==-时，ax by >不成立，故C 错误；||0a b >≥，由不等式性质知222||a b b >=，故D 正确.故选：D 5．D【分析】利用不等式的性质即可得到.【详解】法一(取特殊值法)：令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n <0⇒m ＜－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立． 【点晴】此题考不等式的性质，属于基础题. 6．C【分析】作差，配方后可得结论．【详解】222222(22)2121(1)(1)0P Q a b a b a a b b a b -=++-+=-++-+=-+-≥，则P Q ≥. 故选：C ． 7．B【分析】运用作差法进行比较即可得到答案.【详解】因为m －n ＝(2x 2＋2x ＋1)－(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1－x 2－2x －1＝x 2≥0. 所以m ≥n . 故选：B. 8．CD【分析】利用作差法对左右两式进行大小比较，即可选出正确答案.【详解】对于A 选项，11b a a b ab --=，0a b >>，0,0ab b a ∴>-<，即11a b<，故A 不正确； 对于B 选项， ()()()11a a b b a b a a b a a a b ---==---，0a b >>，110a b a ∴->-，所以11a b a >-，故B 不正确；对于C 选项，0a b >>，2220111a b a bc c c -∴-=>+++，即2211a b c c >++，故C 正确； 对于D 选项，0a b >>，()()220a b a b a b ∴-=+->，所以22a b >，故D 正确.故选：CD. 9．AC【分析】将24a b -<+<，228a b <-<两个不等式相加即可得到04a <<，即A 正确；将228a b <-<两边同乘以-1，再与24a b -<+<两边乘以2的结果相加即可得到42b -<<，故B 不正确；将42b -<<两边同时乘以2，与04a <<相加，即可判断C 、D 的正误.【详解】24a b -<+<，228a b <-<22248a b a b ∴-+<++-<+0312a ∴<<04a ∴<<，故A 正确；228a b <-<822b a ∴-<-<-24a b -<+<，4228a b ∴-<+<8224228b a a b -<-<-⎧⎨-<+<⎩ 1236b ∴-<<，42b ∴-<<，故B 不正确；设2=()2)a b m a b n a b +++-（， 则()()2=2a b m n a m n b +++-1=22=m n m n +⎧∴⎨-⎩5=31=-3m n ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩()()512=233a b a b a b ∴++--，24a b -<+<10520()333a b ∴-<+<228a b <-<()2182333a b ∴<-<()8122333a b ∴-<--<-()()5162=2633a b a b a b ∴-<++--<故C 正确、D 错误；故选：AC 10．CD【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A ； 举反例，如3,1,2a b m ===-，即可判断B ；若00a b c d >>>>，，则0,0c d a d b d ->+>+>，再根据“糖水不等式”即可判断C ； 利用不等式的性质即可判断D.【详解】解：对于A ，根据“糖水不等式”，若0,0a b m >>>，则b m a m +>+ba，故A 错误； 对于B ，当3,1,2a b m ===-时，1,13b b m b a a m a+==-<+，与题设矛盾，故B 错误； 对于C ，若00a b c d >>>>，，则0,0c d a d b d ->+>+>， 根据“糖水不等式”，b dcd b d a d c d a d++-+>++-+，即b d b ca da c++<++，故C 正确；对于D ，若0,0a b >>，则110,110a b a a b b ++>+>++>+>， 所以1111,1111a b a a b b<<++++++，所以1111ababa b a b a b +<+++++++，故D 正确.11．AD【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可．【详解】解：对于A ，()()()()111111b a a b b b b aa a a a a a +-++--==+++ 0a b >>，所以0a b ->，所以()01b aa a -<+，所以11b b a a +<+，故选项A 一定不成立； 对于B ，不妨取2a =，1b =，则11a b a b +>+，故选项B 可能成立； 对于C ，不妨取2a =，1b =，则11a b b a+>+，故选项C 可能成立； 对于D ，222(2)(2)02(2)(2)a b a a b b a a b b a a b b b a b b a b ++-+--==<+++，故22a b a a b b+<+，故选项D 一定不成立； 故选：AD ． 12．()4,1--【分析】根据题意得624y -<-<-，再求解2x y -的范围即可得答案. 【详解】解：因为23y <<，所以32y -<-<-，所以624y -<-<- 又因为23x <<，所以421x y -<-<-. 所以2x y -的取值范围是()4,1--. 故答案为：()4,1-- 13．证明见解析.【解析】利用不等式的性质得到0am bm >>，不等式两边同时加上一个数不等号方向不变，得到()()am b b m a +>+，在不等式两边同时除以()a a m +，即可得到结论.【详解】由0,0a b m >>>， 得0am bm >>，故得am ab bm ab +>+， 即()()am b b m a +>+，又因为0,0a b m >>>，在不等式两边同时乘以()1a a m +得：b b m a a m+<+，不等式得证.【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质证明不等式成立问题.属于较易题. 14． ()1,8 ()3,15-【分析】根据不等式的性质可求解. 【详解】23,15a b <<-<<，18a b ∴<+<，当10b -<<时，01b <-<，03ab ∴<-<，则30ab -<<， 当05b <<时，015ab <<， 当0b =时，0ab =， 综上，315ab -<<，所以a b +的取值范围是()1,8，⋅a b 的取值范围是()3,15-. 故答案为：()1,8；()3,15-.。

2.1 等式的性质与不等式的性质1. 一元一次方程、一元二次方程的解法；2. 一元二次方程根的判别式；3.一元二次方程根与系数的关系；4. 用不等式表示不等关系；5. 比较数或式子的大小；6.利用不等式性质判断；7. 不等式的证明；8. 利用不等式的性质求值或取值范围一、单选题1．（2021·浙江湖州·高一期中）设集合()(){}110A x x x =-+=，则（ ）A ．AÆÎB ．1A ÎC ．{}1A -ÎD ．{}11A -Î,【答案】B【解析】集合()(){}{}1101,1A x x x =-+==-，A \ÆÍ，所以选项A 错误，1A Î，所以选项B 正确，{}1-￿ A,{}1,1=A -，所以选项C ，D 错误.故选：B2．（2021·浙江高一期中）已知集合2{|1}P x x==， 2{|0}Q x x x =-=，那么P Q U =( )A ．{1,1}-B ．{1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1}【答案】C【解析】因为2{|1}{1,1}===-P x x ，2{|0}{0,1}=-==Q x x x ，所以{}1,0,1P Q È=-，故选：C3．（2021·浙江高一单元测试）已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为A ．t s>B ．t s ³C ．t s<D ．t s ≤【答案】D【解析】s﹣t=a+b 2+1﹣a﹣2b=b 2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0，故有 s≥t，故选D ．4．（2021·武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（ ）A ．若a b >，则11b a >B ．若22a b <，则a b<C ．若a b >，c d >则a d b c->-D ．若a b >，则22ac bc >【答案】C【解析】对于A ，取1,1a b ==-时，11b a<，则A 错误；对于B ，取0,1a b ==-时，a b >，则B 错误；对于C ，因为,a b d c >->-，所以由不等式的性质可知a d b c ->-，则C 正确；对于D ，取0c =时，22ac bc =，则D 错误；故选：C5．（2021·全国高三课时练习（理））若0a b >>，0c d <<，则一定有( )A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<【答案】D【解析】0c d <<Q ，0c d \->->，0a b >>Q ，ac bd \->-，\ac bd cd cd-->，\a b d c <．故选：D ．6．（2021·全国高一课时练习）已知，那么,,,a b a b --的大小关系是（ ）A ．a b b a>>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a>->>-D ．a b a b >>->-【答案】C【解析】由，则0a b >->，所以a b -<，所以a b b a >->>-，故选C.7．（2021·浙江高一单元测试）若12a <<，13b -<<，则-a b 的值可能是（ ）．A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】C【解析】13b -<<Q ，31b \-<-<，23a b \-<-<．故选：C.8．（2021·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B【解析】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立；选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立.故选：B.9．（2021·浙江高一课时练习）设a b c ==-=-，则,,a b c 的大小关系为（ ）．A ．a b c>>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】B 【解析】b ==，c ==+>+<，b c \<.又0a c -==->，故a c >．综上可得：a c b >>．故选：B .10．（2021·安徽金安·六安一中高一期中（文））已知二次函数()y f x =的图象过原点，且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，则(3)f 的取值范围为（ ）A ．[6,10]B ．[21,30]C ．3963,22éùêúëûD ．[4,12]【答案】B【解析】Q 二次函数()y f x =的图像过原点，Q 设二次函数为：2()f x ax bx =+，Q 1(1)2f -≤-≤，3(1)4f ≤≤，\ 12a b ≤-≤……①，34a b ≤+≤……②，则3①+6②得：219330a b ≤+≤即21(3)30f ≤≤，故选：B.二、多选题11．（2021·山东济南·高一期末）若0a b >>,0d c <<,则下列不等式成立的是( )A ．ac bc >B ．a d b c ->-C ．11d c <D ．33a b >【答案】BD【解析】对A,因为0a b >>,0c <,故ac bc <,故A 错误.对B,因为0a b >>,0d c <<,故d c ->-,故a d b c ->-,故B 正确.对C,取2,1d c =-=-易得11d c >,故C 错误.对D,因为()3f x x =为增函数,故D 正确.故选：BD12．（2021·江苏省天一中学高一期中）对于实数,,a b c ，下列说法正确的是( )A ．若0a b >>，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc ³C ．若0a b >>，则2ab a<D ．若c a b >>，则a b c a c b>--【答案】ABC【解析】A.在0a b >>三边同时除以ab 得110b a >>，故A 正确；B.由a b >及2c ³0得22ac bc ³，故B 正确；C.由0a b >>知a b >且0a >，则2a ab >，故C 正确；D.若1,2,3c a b =-=-=-，则2a c a =--，32b c b =--，322-<-，故D 错误.故选：ABC.13．（2021·福建高一期末）（多选题）下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b >D ．若a b >且11a b >，则0ab <【答案】BCD【解析】选项A ：当0c =时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b <<ììÞ>Þ>\>>íí<<îî，所以本命题是真命题；选项C: 22222211000,0c c a b a b c a b a b >>Þ>>Þ<<<\>Q ，所以本命题是真命题；选项D:2111100,00b a a b b a ab a b a b ab->Þ->Þ>>\-<\<Q ，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.14．（2021·湖南雁峰·衡阳市八中高二期中）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（ ）A ．1,43a b ⎛⎫Î ⎪⎝⎭B ．()221,78a b +ÎC ．()12,45a b -Î-D ．7,56a b b +⎛⎫Î ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】A 中，11115181815b b <<Þ<<，又660a <<，所以根据不等式的性质可得1111660418153a a b b ⨯<⨯<⨯Þ<<，故A 正确；B 中，30236b <<，36296a b <+<，故B 错误；C 中，1815b -<-<-，1245a b -<-<，故C 正确；D 中，41,53a b a b b +⎛⎫=+Î ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.三、填空题15．（2021·全国高一）已知a ，b ，x 均为正数，且a ＞b ，则b a ____b x a x++（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】<【解析】由题得()()()b b x ab bx ab ax b a x a a x a a x a x a ++----==+++，因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以()0,()b a x a x a -<+所以b b x a a x+<+.故答案为＜16．（2021·浙江高一课时练习）设,,a b c ÎR ，且满足2643b c a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系为_______．【答案】c b a >…．【解析】因为2244(2)0c b a a a -=-+=-…，所以c b …．又因为)()22211=[()()][(64344122b b c c b a a a a a ù+--=-+--+=+û，所以22131024b a a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以b a >，综上可得，c b a >…．17．（2021·浙江高一课时练习）若x y >，a b >，则在①a x b y ->-，②a x b y +>+，③ax by >，④x b y a ->-，⑤a b y x>这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_______.【答案】②④【解析】令2,1,2,1x y a b ====，则a x b y -=-，故①错误；令2,1,1,2x y a b ==-=-=-，则：ax yb <，故③错误；令1,2,1,2x y a b =-=-=-=-，则：a b y x<，故⑤错误；由于x y >，a b >，根据不等式的性质可知a x b y +>+，故②正确；由于x y >，a b >，则b a ->-，根据不等式的性质可知x b y a ->-，故④正确.故答案为：②④四、双空题18．（2021·全国高一课时练习）关于x 的一元一次不等式组21,52x x m ->ìïí+≤ïî中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是_______，m 的值为_______.【答案】(],1-¥- 2【解析】解21x ->得1x <，解52x m +≤得25x m ≤-.由题图知这个不等式组的解集是(],1-¥-，且251m -=-，\2m =.故答案为(],1-¥-； 219．（2021·湖北高三月考（文））张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x ∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x=________；②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_____.【答案】10 18.5【解析】①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付12070180x +-=元，则10x =.②设顾客一次购买干果的总价为M 元，当0150M <<时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折.当150M ³时，0.8()0.7M x M -³.即8M x …对150M …恒成立，则8150x …，18.75x …，又2x ÎZ ,所以max 18.5x =.20．（2021·上海）（1）“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的________条件；（2）“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的________条件.【答案】充要 充分非必要【解析】（1）根据不等式性质可得“1>0x 且20x >”Þ“120x x +>且120x x >”，所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充分条件；“120x x +>且120x x >”Þ“1>0x 且20x >”，所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的必要条件.所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充要条件.（2）根据不等式性质可得“12x >且22x >”Þ“124x x +>且124x x >”，所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分条件；例如：121,5,x x ==满足“124x x +>且124x x >”，但是不满足“12x >且22x >”.“124x x +>且124x x >”不能推出“12x >且22x >”.所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的非必要条件.所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分非必要条件.故答案为：充要；充分非必要.21．（2021·全国高一课时练习）已知6084,2833x y <<<<，则x y -的取值范围为_______，x y 的取值范围为_________.【答案】(27,56) 20,311⎛⎫⎪⎝⎭【解析】∵2833y <<，∴3328y -<-<-.又∵6084x <<，∴2756x y <-<.由2833y <<，得1113328y <<，即20311x y<<.故答案为：(1)(27,56) (2)20,311⎛⎫⎪⎝⎭.五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）如果0a b >>，0c d >>，证明：ac bd >.【答案】证明见解析.【解析】证明：由0a b >>，0c >，则0ac bc >>，又0c d >>,0b >，则bc bd >，又ac bc >，故ac bd >.23．（2021·全国高一课时练习）已知0a b >>，0c <，求证：c c a b>.【答案】证明见解析.【解析】()---==c b a c c bc ac a b ab ab，因为0a b >>，0c <，所以0b a -<，()0->c b a ，0ab >故()0->c b a ab ，即证：c c a b>.24．（2021·全国高一课时练习）已知a ，b 均为正实数，试利用作差法比较33+a b 与22a b ab +的大小.【答案】3322a b a b ab +³+【解析】∵()()()33223232a b a b ab a a b b ab +-+=-+-()22222()()()()()a a b b b a a b a b a b a b =-+-=--=-+.又a ，b 均为正实数，当a b =时，33220,a b a b a b ab -=+=+；当a b ¹时，2()0,0a b a b ->+>，则3322a b a b ab +>+.综上所述，3322a b a b ab +³+.25．（2021·浙江高一单元测试）当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22px qy +的大小．【答案】222()px qy px qy+≤+【解析】()()()()22222112px qy px qy p p x q q y pqxy +-+=-+-+因为1p q +=，所以1,1p q q p-=--=-因此()()()()2222222px qy px qy pq x y xy pq x y +-+=-+-=--因为,p q 为正数，所以()20pq x y --≤因此()222px qy px qy +≤+，当且仅当x y =时等号成立26．（2021·浙江高一课时练习）甲、乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a ，另一半时间的速度为b ；乙车一半路程的速度为a ，另一半路程的速度为b ．若a b ¹，试判断哪辆车先到达B 地．【答案】甲先到达B 地．【解析】设,A B 两地间的路程为s ，甲、乙两辆车所用的时间分别为12,t t ，则12s t a b =+，222s s t a b=+．方法一 因为22124()2()0222()2()s ab a b s s s s a b t t a b a b ab a b ab a b éù-+-⎛⎫ëû-=-+==-< ⎪+++⎝⎭，即12t t <，所以甲先到达B 地．方法二 1224()t ab t a b =+，因为a b ¹，所以2()4a b ab +>，从而121t t <，即12t t <，所以甲先到达B 地．27．（2021·全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小：（1）231x x -+与221x x +-；（2）当0a >，0b >且a b ¹时，a b a b 与b a a b .【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）a b b a a b a b >.【解析】（1）()()()2222312122110x x x x x x x -+-+-=-+=-+>Q ，因此，223121x x x x -+>+-；（2）1a b a b a b a b b a a b b a a b a a b a a b b b -----⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.①当0a b >>时，即0a b ->，1a b >时，01a b a a b b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b \>；②当0b a >>时，即0a b -<，01a b <<时，01a b a a b b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b \>.综上所述，当0a >，0b >且a b ¹时，a b b a a b a b >.。

2.1 等式性质与不等式性质同步练习卷【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2020春•湖北期中）下列命题中，正确的是（）A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则a2＞b2D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d2．（3分）（2021春•金安区校级月考）已知P=1a2+a+1，Q＝a2﹣a+1，则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P＜Q C．P≤Q D．无法确定3．（3分）（2020春•上饶期末）如果a＞b＞0，t＞0，设M=ba，N=b+ta+t，那么（）A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．M与N的大小关系和t有关4．（3分）（2021春•深圳期末）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（）A．a+1b＜b+1a B．2a+ba+2b＜abC．ba−c ＞ab−cD．√ca3＜√cb35．（3分）（2020秋•开福区校级月考）若P=√a+2+√a+3，Q=√a+√a+5，（a≥0），则P、Q 的大小关系为（）A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．由a的取值确定6．（3分）（2021春•慈溪市期末）已知a，b，c∈R，且a+b+c＞0，则（）A．（a+b）2＞c2B ．a ，b ，c 三数中至少有一个大于零C ．a ，b ，c 三数中至少有两个大于零D ．a ，b ，c 三数均大于零7．（3分）（2020秋•潍坊期中）某学校高一3班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是（ ） A ．3或4B ．4或5C ．3或5D ．4或68．（3分）（2020秋•通化县期末）已知b 克糖水中含有a 克糖（b ＞a ＞0），再添加m 克糖（m ＞0）（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（ ） A ．ba ＞b+m a+mB ．b a＜b+m a+mC ．a b＞a+m b+mD ．a b＜a+m b+m二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021•湖北模拟）设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ac ＞bdD ．ca −d b＞010．（4分）（2020•山东模拟）若非零实数a ，b 满足a ＜b ，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．ab ＜1B ．b a+a b≥2C ．1ab2＜1a 2bD ．a 2+a ＜b 2+b11．（4分）（2020秋•朝阳月考）已知P ＝a 2+b 2，Q ＝2ab ，R =(a+b)22，则（ ）A ．P ≥RB ．Q ≥RC ．P ≤RD ．P ≥Q12．（4分）（2021•长沙模拟）设实数a 、b 、c 满足b +c ＝6﹣4a +3a 2，c ﹣b ＝4﹣4a +a 2，则下列不等式成立的是（ ） A ．c ＜bB ．b ≥1C ．b ≤aD ．a ＜c三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•中山市校级月考）如果a ＞b ，给出下列不等式：①1a＜1b ；②a 3＞b 3；③√a 2＞√b 2；④2ac 2＞2bc 2；⑤ab＞1；⑥a 2+b 2+1＞ab +a +b ．其中一定成立的不等式的序号是 ．14．（4分）（2020秋•吉林期末）已知a ，b 为实数，则2a 2+14b 2+1 ab +2a ．（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）15．（4分）（2020秋•兰州期中）a 克糖水中含有b 克塘（a ＞b ＞0），若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： ．16．（4分）（2020春•西城区校级月考）已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a ﹣b 的取值范围是 ． 四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2020秋•天门月考）已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，比较e a−c与eb−d的大小．18．（6分）（2020春•江都市校级期末）表示下列不等关系 （1）a 是正数 （2）a +b 是非负数（3）a 小于3，但不小于﹣1 （4）a 与b 的差的绝对值不大于5．19．（8分）（2020春•涞水县校级月考）已知﹣6＜a ＜8，2＜b ＜3，分别求2a +b ，a ﹣b ，ab 的取值范围．20．（8分）（2020秋•玄武区校级月考）（1）已知a ，b 均为正实数．试比较a 3+b 3与a 2b +ab 2的大小； （2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11−a与1+a 的大小．21．（8分）（2020春•黄陵县校级月考）已知α，β满足{−1≤α+β≤1①1≤α+2β≤3②，试求α+3β的取值范围．22．（8分）（2020秋•天元区校级月考）甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，问甲乙两人谁先到达指定地点？2.1 等式性质与不等式性质同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2020春•湖北期中）下列命题中，正确的是（）A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则a2＞b2D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d【解题思路】根据不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．【解答过程】解：对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；对于D，由a＜b，c＜d，得出﹣d＜﹣c，所以a﹣d＜b﹣c，D错误．故选：C．2．（3分）（2021春•金安区校级月考）已知P=1a2+a+1，Q＝a2﹣a+1，则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P＜Q C．P≤Q D．无法确定【解题思路】配方可得P和Q都大于0，作商法比较可得．【解答过程】解：∵P=1a2+a+1=1(a+12)2+34＞0，Q＝a2﹣a+1＝（a−12）2+34＞0，QP=（a2﹣a+1）（a2+a+1）＝（a2+1）2﹣a2＝（a2）2+a2+1≥1，故Q≥P当且仅当a＝0时取等号．故选：C．3．（3分）（2020春•上饶期末）如果a＞b＞0，t＞0，设M=ba，N=b+ta+t，那么（）A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．M与N的大小关系和t有关【解题思路】作差即可得出M−N=t(b−a)a(a+t)，然后根据a＞b＞0，t＞0，即可得出M，N的大小关系．【解答过程】解：M −N =b a −b+ta+t =ab+bt−ab−at a(a+t)=t(b−a)a(a+t)， ∵a ＞b ＞0，t ＞0，∴b ﹣a ＜0，a （a +t ）＞0， ∴t(b−a)a(a+t)＜0，∴M ＜N ．故选：A ．4．（3分）（2021春•深圳期末）已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞0＞c ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．a +1b ＜b +1aB ．2a+b a+2b＜abC ．ba−c＞a b−cD ．√c a 3＜√cb 3【解题思路】根据不等式的性质判断A ，根据举实例判断CD ，根据作差法判断B ． 【解答过程】解：A 、∵a ＞b ＞0，∴1a＜1b ，∴a +1b ＞b +1a ，∴A 错误，B 、∵a ＞b ＞0，∴2a+b a+2b−a b=(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b =b 2−a 2(a+2b)b＜0，∴B 正确，C 、当a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1时，∵b a−c=13，a b−c =1，∴b a−c＜a b−c ，∴C 错误，D 、当a ＝8，b ＝1，c ＝﹣1时，√c a3=−12，√c b3=−1，∴√c a 3＞√c b3，∴D 错误， 故选：B ．5．（3分）（2020秋•开福区校级月考）若P =√a +2+√a +3，Q =√a +√a +5，（a ≥0），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜QD ．由a 的取值确定【解题思路】可比较P 2和Q 2的大小关系，然后即可得出P ，Q 的大小关系． 【解答过程】解：P 2=2a +5+2√a 2+5a +6，Q 2=2a +5+2√a 2+5a ， ∵a 2+5a +6＞a 2+5a ， ∴P 2＞Q 2，且a ≥0， ∴P ＞Q ． 故选：A ．6．（3分）（2021春•慈溪市期末）已知a ，b ，c ∈R ，且a +b +c ＞0，则（ ） A ．（a +b ）2＞c 2B ．a ，b ，c 三数中至少有一个大于零C ．a ，b ，c 三数中至少有两个大于零D ．a ，b ，c 三数均大于零【解题思路】可以代入特殊值，利用排除法解答．【解答过程】解：A 、当a +b ＝c ＝0时，该不等式不成立，故不符合题意；B 、由a ，b ，c ∈R ，且a +b +c ＞0知：a ，b ，c 三数中至少有一个大于零，故符合题意；C 、当a ＝4，b ＝c ＝﹣1时，a +b +c ＞0，即a ，b ，c 三数中可以只有一个数大于零，故不符合题意；D 、结合选项C 的分析，a ，b ，c 三数可以不都大于零的实数，故不符合题意． 故选：B ．7．（3分）（2020秋•潍坊期中）某学校高一3班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是（ ） A ．3或4B ．4或5C ．3或5D ．4或6【解题思路】设房间为x ，由题意可得5（x ﹣1）+1≤3x +6＜5x ，解得即可求出房间的数． 【解答过程】解：设房间为x ，由题意可得5（x ﹣1）+1≤3x +6＜5x ，解得3＜x ≤5， ∵x 为正整数， ∴x ＝4或5，故该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是4或5， 故选：B ．8．（3分）（2020秋•通化县期末）已知b 克糖水中含有a 克糖（b ＞a ＞0），再添加m 克糖（m ＞0）（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（ ） A ．ba ＞b+m a+mB ．b a＜b+m a+mC ．a b＞a+m b+mD ．a b＜a+m b+m【解题思路】下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出结论． 【解答过程】解：下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，因此ab ＜a+m b+m正确．故选：D ．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021•湖北模拟）设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ac ＞bdD ．ca −d b＞0【解题思路】利用不等式的性质判断选项A ，D ，利用特殊值法判断选项B ，D ．【解答过程】解：因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以a ＞b ＞0，0＞c ＞d ， 对于A ，因为0＞c ＞d ，由不等式的性质可得c 2＜cd ，故选项A 正确；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则a ﹣c ＝3，b ﹣d ＝3，所以a ﹣c ＝b ﹣d ，故选项B 错误； 对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则ac ＝﹣2，bd ＝﹣2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误； 对于D ，因为ad ＜0，bc ＜0，因为a ＞b ＞0，d ＜c ＜0，则ad ＜bc ，所以ca＞db，故ca−d b＞0，故选项D正确． 故选：AD ．10．（4分）（2020•山东模拟）若非零实数a ，b 满足a ＜b ，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．ab ＜1B ．b a+a b≥2C ．1ab2＜1a 2bD ．a 2+a ＜b 2+b【解题思路】当a ＜b ＜0时，a b＜1不成立可判断A ；当a b＜0时，a b+b a≥2不成立可判断B ；利用作差可判断C ，D ．【解答过程】解：当a ＜b ＜0时，ab ＜1不成立，当a b＜0时，a b+b a≥2不成立，因为1ab 2−1a 2b=a−b (ab)2＜0，则1ab 2＜1a 2b一定成立，因为a 2﹣b 2+a ﹣b ＝（a ﹣b ）（a +b +1）符号不定，故a 2+a ＜b 2+b 不一定成立． 故选：ABD ．11．（4分）（2020秋•朝阳月考）已知P ＝a 2+b 2，Q ＝2ab ，R =(a+b)22，则（ ）A ．P ≥RB ．Q ≥RC ．P ≤RD ．P ≥Q【解题思路】利用作差法可比较出大小．【解答过程】解：P ﹣R ＝a 2+b 2−(a+b)22=(a−b)22≥0，则P ≥R ，故A 正确，C 错误，R ﹣Q =(a+b)22−2ab =a 2−2ab+b 22=(a−b)22≥0， 所以R ≥Q ，故B 错误， 因为P ≥R ，R ≥Q ， 所以P ≥Q ，故D 正确，故选：AD ．12．（4分）（2021•长沙模拟）设实数a 、b 、c 满足b +c ＝6﹣4a +3a 2，c ﹣b ＝4﹣4a +a 2，则下列不等式成立的是（ ） A ．c ＜bB ．b ≥1C ．b ≤aD ．a ＜c【解题思路】两式作差可得b 的范围，再利用作差法即可比较． 【解答过程】解：∵{b +c =6−4a +3a 2①c −b =4−4a +a 2②，由①﹣②得2b ＝2a 2+2，即b ＝a 2+1， ∴b ≥1，又b −a =a 2+1−a =(a −12)2+34＞0， ∴b ＞a ，而c ﹣b ＝4﹣4a +a 2＝（a ﹣2）2≥0， ∴c ≥b ， 从而c ≥b ＞a ． 故选：BD ．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•中山市校级月考）如果a ＞b ，给出下列不等式：①1a＜1b ；②a 3＞b 3；③√a 2＞√b 2；④2ac 2＞2bc 2；⑤ab＞1；⑥a 2+b 2+1＞ab +a +b ．其中一定成立的不等式的序号是 ②⑥ ．【解题思路】①不一定成立，例如取a ＝2，b ＝﹣1； ②利用函数y ＝x 3在R 上单调递增，即可判断出正误； ③不一定成立，例如a ＝1，b ＝﹣2； ④不一定成立，例如取c ＝0时； ⑤不一定成立，例如取a ＝2，b ＝﹣1；⑥a 2+b 2+1＞ab +a +b 化为：（a ﹣1）2+（b ﹣1）2＞（a ﹣1）（b ﹣1），配方变为[a −1−12(b −1)]2+34(b −1)2＞0，进而判断出正误．【解答过程】解：①1a＜1b ，不一定成立，例如取a ＝2，b ＝﹣1；②利用函数y ＝x 3在R 上单调递增，可知：a 3＞b 3，正确；③√a 2＞√b 2，不一定成立，例如a ＝1，b ＝﹣2； ④2ac 2＞2bc 2，不一定成立，例如取c ＝0时； ⑤ab ＞1，不一定成立，例如取a ＝2，b ＝﹣1；⑥a 2+b 2+1＞ab +a +b 化为：（a ﹣1）2+（b ﹣1）2＞（a ﹣1）（b ﹣1），∴[a −1−12(b −1)]2+34(b −1)2＞0，∵b ＝1时，a ＞1，∴左边恒大于0，成立．其中一定成立的不等式的序号是②⑥． 故答案为：②⑥14．（4分）（2020秋•吉林期末）已知a ，b 为实数，则2a 2+14b 2+1 ≥ ab +2a ．（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）【解题思路】根据不等式a 2+b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取等号），即可得出a 2+14b 2≥ab ，a 2+1≥2a （当且仅当a =12b =1时取等号），这样即可得出答案．【解答过程】解：∵a 2+14b 2=a 2+(12b)2≥ab ，当且仅当a =12b 时取等号； a 2+1≥2a ，当且仅当a ＝1时取等号；∴2a 2+14b 2+1=(a 2+14b 2)+(a 2+1)≥ab +2a ，当且仅当a =12b =1时取等号． 故答案为：≥．15．（4分）（2020秋•兰州期中）a 克糖水中含有b 克塘（a ＞b ＞0），若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： x+b a+x＞ba（a ＞b ＞0） ．【解题思路】利用糖水的浓度可得x+ba+x＞ba（a ＞b ＞0）即可．【解答过程】解：由a 克糖水中含有b 克塘（a ＞b ＞0）可得糖水的浓度为ba×100%；在糖水中加入x 克糖，可得糖水的浓度为x+b a+x×100%．∵糖水变甜了，于是可得x+ba+x×100%＞b a×100%；化为x+ba+x＞ba （a ＞b ＞0）．故答案为x+ba+x＞ba（a ＞b ＞0）．16．（4分）（2020春•西城区校级月考）已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a ﹣b 的取值范围是 （﹣2，4） ．【解题思路】直接利用不等式的性质求出2a 的范围和﹣b 的范围，采用不等式的可加性得答案． 【解答过程】解：∵1＜a ＜3， ∴2＜2a ＜6， ∵2＜b ＜4， ∴﹣4＜﹣b ＜﹣2， 则﹣2＜2a ﹣b ＜4． 故答案为：（﹣2，4）．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2020秋•天门月考）已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，比较e a−c与eb−d的大小．【解题思路】利用作差法即可比较． 【解答过程】解：∵e a−c−e b−d=e （1a−c−1b−d）＝e •b−d−a+c(a−c)(b−d)，∵a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，∴a ﹣c ＞0，b ﹣d ＞0，又e ＜0， ∴e a−c −e b−d ＞0，∴e a−c＞e b−d．18．（6分）（2020春•江都市校级期末）表示下列不等关系 （1）a 是正数 （2）a +b 是非负数（3）a 小于3，但不小于﹣1 （4）a 与b 的差的绝对值不大于5．【解题思路】根据各个描述，正确理解正数、非负数、不小于、不大于等术语的含义，用不等式表示出不等关系即可．【解答过程】解：（1）a 是正数，用不等式表示为：a ＞0； （2）a +b 是非负数，用不等式表示为：a +b ≥0；（3）a 小于3，但不小于﹣1，用不等式表示为：﹣1≤a ＜3； （4）a 与b 的差的绝对值不大于5，用不等式表示为：|a ﹣b |≤5．19．（8分）（2020春•涞水县校级月考）已知﹣6＜a ＜8，2＜b ＜3，分别求2a +b ，a ﹣b ，ab 的取值范围．【解题思路】利用不等式的基本性质即可得出．【解答过程】解：∵﹣6＜a ＜8，∴﹣12＜2a ＜16，又∵2＜b ＜3，∴﹣10＜2a +b ＜19．∵2＜b ＜3，∴﹣3＜﹣b ＜﹣2，∴﹣9＜a ﹣b ＜6．∵2＜b ＜3，∴13＜1b ＜12，∵﹣6＜a ＜8，∴﹣3＜a b ＜4． 20．（8分）（2020秋•玄武区校级月考）（1）已知a ，b 均为正实数．试比较a 3+b 3与a 2b +ab 2的大小；（2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11−a 与1+a 的大小．【解题思路】（1）利用“作差法”，可得（a ﹣b ）2（a +b ）≥0，（2）利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出．【解答过程】解：（1）∵a ，b 均为正实数，∴a 3+b 3﹣a 2b ﹣ab 2＝a 2（a ﹣b ）﹣b 2（a ﹣b ）＝（a ﹣b ）（a 2﹣b 2）＝（a ﹣b ）2（a +b ）≥0，即a 3+b 3≥a 2b +ab 2，（2）∵11−a −（1+a ）=a 21−a ． ①当a ＝0时，a 21−a =0，∴11−a =1+a ． ②当a ＜1且a ≠0时，a 21−a ＞0，∴11−a ＞1+a ．③当a ＞1时，a 21−a ＜0，∴11−a ＜1+a ． 综上所述，当a ＝0时，11−a =1+a ； 当a ＜1且a ≠0时，11−a ＞1+a ；当a ＞1时，11−a ＜1+a ．21．（8分）（2020春•黄陵县校级月考）已知α，β满足{−1≤α+β≤1①1≤α+2β≤3②，试求α+3β的取值范围． 【解题思路】该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．【解答过程】解 设α+3β＝λ（α+β）+v （α+2β）＝（λ+v ）α+（λ+2v ）β．比较α、β的系数，得{λ+v =1λ+2v =3， 从而解出λ＝﹣1，v ＝2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．22．（8分）（2020秋•天元区校级月考）甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，问甲乙两人谁先到达指定地点？【解题思路】设出总路程和甲乙所用时间，作比后利用不等式的性质比较甲乙所用时间的大小．【解答过程】解：设总路程s ，甲用时间t 1，乙用时间t 2．则t 12m +t 12n =s ，所以t 1=2s m+n ． t 2=s 2m +s 2n =(m+n)s 2mn ，t 1t 2=2s m+n (m+n)s 2mn =4mn (m+n)2因为m ≠n ，所以，（m +n ）2＞4mn ，所以4mn(m+n)2＜1． 所以，t 1t 2＜1．t 1＜t 2．即：甲先到达．。