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不等式的基本性质二

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不等式的性质(第三课时)

不等式的性质(第三课时)

解：移项，得 移项， 8x－ 7x ≤3+2 － ∴ x ≤5 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 这个不等式的解集在数轴上表示如下： -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
思考： 思考：求满足不等式 8x－2≤7 ＋3 的正整数解 －2≤7x＋
3 x ＋ 3 < 10 －3 x＜10 － 3 ＜
︱ 0 33
○
圣诞节到了，小明去买贺卡花了 元 圣诞节到了，小明去买贺卡花了x元，买邮票花了 他总共花了10 10元 请问小明买贺卡花了多少元？ 3元，他总共花了10元，请问小明买贺卡花了多少元？ 列方程求解） （列方程求解）
如果小明总共花的钱不足10元 如果小明总共花的钱不足10元 10 呢？根据题意你能列出一个式子 －3 移项，得 x ＝10－3 吗？ 合并同类项，得 x ＝7 x＋3＜10 解：由题意，得 x＋3＝10 由题意， ＋ ＋3 答：小明买贺卡花了7元.
3 2
1 2
从中你得到什么规律？
例2 三角形中任意两边之差 与第三边有怎样的大小关系？ 与第三边有怎样的大小关系？
解：如图，设a,b,c为任意一个三角 如图， 为任意一个三角 形的三条边的长， 形的三条边的长，则 c a＋b＞c, b＋c＞a, c＋a＞b. ＋ ＞ ＋ ＞ ＋ ＞ 由式子a＋b＞c 移项可得 a＞c－b, b＞c－a . ＞ － ＞ － 类似地，由式子b+c＞a及c+a＞b移项可得 类似地，由式子 ＞ 及 ＞ 移项可得 c＞a-b, b＞a-c 及 c＞b-a, a＞b-c
不等式基本性质2： 不等式基本性质 ：
a b < 如果a>b，c<0 那么 那么ac<bc(或 c 如果 ， 或 就是说 c )就是说

二2.不等式的基本性质

二2.不等式的基本性质

如果a>b，那么b<a
不等式传递性：
如果a>b，b>c,那么a>c
作业：百分导学2.1、2.2。
即：
例2
把下列不等式化为x >a或x< a的形式： （1）x + 6 > 5 ； （2） 3x < 2x -2 .
根据不等式基本性质1
解 （ 1 ） x + 6 > 5，
不等式的两边都减去6，由不等式基本性质1，得 x +6-6 > 5-6； 即： x > -1 （2） 3x < 2x -2， 根据不等式基本性质1 不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1，得 3x -2x < 2x-2-2x； 即： x < -2
-1×(- 4)____3 ＞ ×( - 4), -1÷ (- 4)____3 ＞ ÷ ( - 4) 你能再总结一下规律吗？
完成P40：做一做
如果_________, a>b且c>0
ac>bc 那么_______ (或
a b c c
)
不等式基本性质2：不等式的两边都 正数，不等号 乘以（或除以）同一个____ 的方向不变 ____。
练习：根据不等式的基本性质,把下列不等式化
成“x>a”或“x<a”的形式:
1 (1)5x>4x+8.(2)5+x>-2.(3)-2x< 3 . 1 1 (4)7-x<3.(5)- 5 x<-2.(6)x< 2 x+3.
例3：不等式的基本性质的应用 1.由x>y得到ax>ay的条件是 ( A A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0

不等式的性质与证明方法总结

不等式的性质与证明方法总结

不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。

不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。

本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。

这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。

2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。

这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。

3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。

这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。

4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。

这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。

二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。

2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。

均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。

3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。

不等式的基本性质有哪些

不等式的基本性质有哪些

不等式的基本性质有哪些基本性质：①对称性；②传递性；③加法单调性，即同向不等式可加性；④乘法单调性；⑤同向正值不等式可乘性；⑥正值不等式可乘方；⑦正值不等式可开方；⑧倒数法则。

不等式的基本性质有哪些1不等式8个基本性质如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；如果x>y，y>z；那么x>z；如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;如果x>y，z>0，那么xz>yz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;如果x>y，z<0，那么xz<yz,即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。

2不等式定理口诀解不等式的途径，利用函数的性质。

对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。

数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。

求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。

非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。

图形函数来帮助，画图、建模、构造法。

3基本不等式两大技巧“1”的妙用。

题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。

如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。

调整系数。

有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

不等式的基本性质 2

不等式的基本性质 2
（根据不等式的基本性质2）
例1 将下列不等式化成“x＞a”或“x<a”的形式：
(1) x 5 1
(2) 2 x 3
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
x 1 5
即
x4
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得
3 x 2
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x<a”的形式：
×
比较大小 4
2 2
• 2
2 x - 4 x 5, x - 2 x 4
2 2
• 3、
2a和a
你今天这节 课有什么收 获呢？
我今天学到了 ……
P
9
习题1.2
(1) 4 x 1 2
解：
4x 11 2 1 4x 3 3 x 4
解：
5 (2) x 6
1 (3) x 3 解： 2
5 x 1 (1) 6 5 x 6
1 2 x 3 2 2 x6
2.已知x＞y，下列不等式一定成立吗？
(1) x 6 ＞ y 6;
2 3 , 2 5 ___ 3 5; 1 1 3 ; 2 3 , 2 ___ 2 2
完成下列填空：
2 3 , 2 (1) ___ 3 (1) ; 2 3 , 2 (5) ___ 3 (5) ; 1 1 3 ( ) ; 2 3 , 2 ( ) ___ 2 2
(2)3x ＞ 3y ;
不成立
(3) 2 x 2 y ;
不成立
(4) 2 x 1 2 y 1 .
成立
成立
例 下列各题是否正确?请说明理由 (1)如果a＞b,那么ac＞bc × (2)如果a＞b,那么ac2 ＞bc2 × (3)如果ac2＞bc2,那么a＞b √ (4)如果a＞b,那么a-b＞0 √ (5)如果ax＞b且a≠0,那么x＞b/a

不等式及其基本性质(二)

不等式及其基本性质(二)

教学设计7．1 不等式及其基本性质（二）教材内容：九年义务教育课程标准沪科版第七章第一节第二课时教材分析不等式是刻画现实世界数量不等关系的重要数学模型，实际生活中的许多问题往往用不等式表示，用不等式的知识去解决，由于不等式的基本性质如等式的基本性质，在等式变形中的作用一样，是不等式变形的理论依据，所以对不等式的研究学习，离不开其基本性质，它是学好本章内容的基础，是本章的重点内容，在此之前由于掌握了有理数的大小比较，等式及其基本性质，以此为基础，展开不等式基本性质的探索，也就顺理成章了。

教学目标：一、知识与技能掌握不等式的基本性质，能正确灵活运用不等式的基本性质将不等式变形。

二、过程与方法通过类比不等式的基本性质，探索不等式的基本性质，经历运用不等式的基本性质，进行不等式的变形，进一步理解掌握不等式的基本性质，感受类比的思想方法在学习中的运用。

三、情感态度与价值观经历探索不等式的基本性质的过程，提高学生观察、分析、思考、归纳的能力，体验合作交流在数学学习中的重要性，培养学生乐于探索知识的兴趣和创新意识。

教学重点：不等式的基本性质及运用教学难点：不等式的基本性质在不等式变形中的正确运用教学关键：了解不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，将不等式的基本性质2与3进行比较，从而加深对不等式基本性质的理解。

教法与学法1、充分发挥老师的主导作用，着力调动学生学习的积极性、主动性。

组织、引导学生活动，使学生广泛参与学习的全过程。

2、结合内容特点，在老师的操作下，引导学生，通过观察，分析思考，采用类比法探索归纳不等式的基本性质，通过运用加深理解记忆完成教学。

教具准备天平、若干砝码、小黑板教学过程一、知识回顾，创设情境师：前面我们学习了等式的基本性质，同学们还记得等式的基本性质内容是什么吗？生：记得。

等式的基本性质：1、等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

2、等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不等于0）所得结果仍是等式。

2.1(2)不等式的基本性质Ⅱ

2.1(2)不等式的基本性质Ⅱ

n 1
n 1
iff = b时 号 立 a 等 成
ax>b
例4
ax<b
( 解:移项整理得: m 1) x < m ( )当m 1 = 0 即m = 1时, 0 x < 1 x ∈ φ Ⅰ
解关于 x的不等式 (1) m ( x + 2) < x + m
m (Ⅱ )当m 1 > 0 即m > 1时, x < 1 m m (Ⅲ )当m 1 < 0即m < 1时, x > 1 m 综上: m =1 , 等 解 为 当 时 不 式 集 φ
3,预习2.2节
�
b (2)a > 0 x > a b (3)a < 0 x < a
小结 1,掌握比较两个实数大小的基本方法——作差法. 2,会利用不等式的基本性质比较两实数的大小或 证明简单的不等式. 3,解带有参数的不等式(或方程),要对系数进行 分类讨论. 作业
1,习题2.1 A组ex6 ex8,B组(做在习题册上) 2,《一课一练》 1(2) 2.
性质7. 性质 . a > b > 0, 那么(0 < ) 1 < 1 如果 a b
证明: 证明:
1 1 ba = a b ab
∵ b a < 0, ab > 0 1 1 ∴ <0 a b
1 1 ∴ 0< < a b
1 1 如果a < b < 0, 那么 ____ (< 0) a b
(同号倒数性质 同号倒数性质) 同号倒数性质
性质1.如果 性质 如果 性质2.如果 性质 如果
1 性质3. 性质 . 2
(传递性 传递性) 传递性 (加法性质 加法性质) 加法性质 (乘法性质 乘法性质) 乘法性质 (同向相加 同向相加) 同向相加 (正数同向相乘) (正数同向相乘) 正数同向相乘 1) (乘方性质 乘方性质) 乘方性质 2) (开方性质 开方性质) 开方性质

不等式的基本性质(2)

不等式的基本性质(2)
向改变
即：如果a＜b,c>0那么ac＜bc，
如果 a＞b，c＜0 那么 ac<bc 。
（乘法法则）
选择适当的不等号填空： （1)∵0 ∴a
＜ 1,
＜ a+1(不等式的基本性质1）；
（2）∵(a-1)2 ≥ 0, ∴(a-1)2-2 ≥ -2(不等式的基本性质1）
< (2) –2<3, (-2)×6____3 ×6 , > (-2)×(-6)____3 ×(-6) 不变 当不等式的两边同乘同一个正数时,不等号的方向______; 改变 而乘同一个负数时,不等号的方向________.
结论3： 不等式的基本性质:3： 不等式 的两边都乘以同一个正数，不等号的方 向不变.
x ＞-1 (3)若x+1＞0,两边同加上-1,得____________ 不等式的基本性质2 (依据:_____________________).
x ＞-3 依据 (4)若2 x ＞-6,两边同除以2,得________, 不等式的基本性质3 _______________.
X≥-2 依据 (5)若-0.5 x≤1,两边同乘以-2,得________, ___________ 不等式的基本性质3
c。
（不等式的传递性）
你能举几个具体的例子说明吗？
新课引入：(2)观察:用“<”或“>”填空,并找 一找其中的规律.
(2) –1<3 , -1+2____3+2 , < (1) 5>3, ＞ 5+2____3+2 ,
< －3 ; -1－3____3
＞ －2 ; 5－2____3
会发现:当不等式两边加或减去同一个数时,不等 不变 号的方向______

不等式的基本性质

不等式的基本性质

结论：
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
探究：
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
Байду номын сангаас
例题解析：
例4：用符号“<”或“>”填空，并说出应用了不等式的哪条性 质。 (1)设a>b，a-3 b-3; (2)设a>b，6a 6b; (3)设a<b,-4a -4b; (4)设a<b,5-2a 5-2b. 解：（1）>; （2） >;
小结：
不等式的三条基本性质内容。
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
课后作业：
必作：习题2.1 A组1—2题； 选作：习题2.1 B组
看一看：
想一想：
问题一：
有A、B、C三个人玩跷跷板游戏，如果A比B重，B 比C重，A与B玩后，B下来换上C与A比较，跷跷板 的方向会不会改变？
问题二：
有A、B二人玩跷跷板游戏，如果A比B重，现在在跷 跷板两端添加相同重量的物体后，跷跷板的倾斜方 向会不会改变？
做一做：
请用天平验证你的结论。

不等式及其性质与解法

不等式及其性质与解法

（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。

（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。

热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。

（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。

[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。

A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。

不等式的基本性质(第2课时)

不等式的基本性质(第2课时)
ca cb ac bd
【解题指南】先分析各不等式的特点，分析待证式与已知条 件的关系，然后结合不等式的性质证明.
【证明】1.因为a＞b＞0,所以 0＜1 ＜1 , 因为c＞d＞0,所以 0＜1 ＜1 , 所以 1 1 ＜0, 1 1 ＞0,
c d a b
2.因为a>b,所以-a<-b,又c>a>b>0,
a
3. 已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞ b－d”的( ) B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
c＞d
A．充分而不必要条件 C．充要条件
a－c＞b－d, 【解析】选B.由 a＞b；
而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足
a＞b, 但a－c＞b －d不成 c＞d,
立，所以“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要而不充分条件.
4.已知0<a<b<1,x a b , y log ba,z log 1 b, 则x,y,z的大小关系为
a
( A.x>y>z C.y>x>z B.x<y<z D.z>x>y
)
【解析】选C.因为0<a<b<1,所以x=ab>0,
y log b a 0, z log 1 b 0,
【拓展提升】利用不等式性质证明简单不等式
利用不等式性质证明简单不等式的实质就是根据性质把不等 式进行变形，要注意不等式性质成立的条件.若不能直接由不 等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等 式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.
【变式训练】1.已知a＞b＞0,c>d>0.求证： ac ＞ bd . 2.已知c>a>b>0,求证： a b .

3.2_不等式的基本性质

3.2_不等式的基本性质

一.回顾等式具有哪些基本性质
1.传递性：若a=b,b=c,则a=c
2.如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c
a b 3.如果a=b,且c≠0,那么ac=bc, c c
合作学习
已知a<b，b<c，比较a,c的大小？ a<c
若a b，b c，则a c.
不等式的传递性
不等式的基本性质2: 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 成立吗？ 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c. 把a>b表示在数轴上， 不妨设c>0 c b b+c c b-c b c a a+c c a-c a ∴a+c>b+c
3 1 1 x≥ （2）若 x≤ ，两边同乘-3， 得 _________ 2 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
不等式的基本性质 3 ）. （依据： ________________
9m 4n 9 , 两边都除以 , 得________ （3）若 7 3 7
（依据：________________）
2.选择适当的不等号填空，并写出依据
数形结合 平移思想
∴a-c>b-c
选择适当的不等号填空
1.若a>b，则b < a；
2.若a>b，且b>c，则a > c
3.∵0 < 1 ∴a < a+1 ( 不等式的基本性质2 ) 4.∵(a-1)2 ≥ 0, ∴ (a-1)2-2 ≥ -2 (不等式的基本性质2 )
比较下列大小
8＿＿ ＜ 12
（1）若a-b>0，则a____b ； > > （2）若a>-b，则a+b____0 ； （3）若a<b，b<2a-1，则a____2a-1. <

2.2 不等式的基本性质

2.2 不等式的基本性质
1 x3 2
1 x 2 32 2
即：x 6
2.已知x＞y，下列不等式一定成立吗？
(1)x 6 y 6 ; X (2)3x 3y ; X
(3) 2x 2y ; √ (4) 2x 1 2y 1. √
3.若a<b,且 c<0,则ac+c > bc+c 。
2 (5) __>_ 3 (5);
2 ( 1) _>__ 3 ( 1);
2
2
不等式的两边都乘（或 除以）同一个负数
你能总结规律吗？
不等式的基本性质2： 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等
号的方向＿＿不＿变＿。 a b, c 0,
ac bc, a b cc
你能总结一下规律吗？
性质1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不 等号的方向不变
ab
ac bc
不等式的基本性质2
❖ 完成下列填空：
2 3 , 2 5 _<__ 3 5;
23,
2

1 2
_<__
3
1 2
;
不等式的两边都乘（或除 以）同一个正数
23, 23,
23,
2 (1) _>__ 3 (1);
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等 号的方向＿＿改＿变＿。 a b, c 0,
ac bc, a b cc
任何代数式与0相乘都得0，不能除以0
在上一节课中，我们猜想，无论绳长 l 取何值，
圆的面积总大于正方形的面积，即 l2 l2
4 16
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性 质解释这一结论吗？

不等式的基本性质(2)

不等式的基本性质(2)

课 题：不等式的基本性质(2课时)教学目标：1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。

2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。

3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。

教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。

教学难点：不等式的性质的运用教学过程：第1课时：问题情境：现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A 、B 容器的底面积为a 2，高分别为a 、b ，C 、D 容器的底面积为b 2，高分别为a 、b ，其中a ≠b 。

甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。

问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取法。

问题可以转化为比较容器两两和的大小。

研究比较大小的依据：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。

在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。

在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ，点A 在点B 右边，那么a ＞b 。

而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。

命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。

类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。

逆命题也都正确。

结论：(1)“a ＞b ”⇔“a －b ＞0”(2)“a ＝b ”⇔“a －b ＝0”(3)“a ＜b ”⇔“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。

正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。

研究不等式的性质：性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性)证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0∵b ＞c ∴b －c ＞0∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质)则a ＞c反思：证明要求步步有据。

不等式的基本性质(二)

不等式的基本性质(二)

不等式的基本性质(二)执教: 江南中学陈瑶一创设情境,引入课题师: 同学们:今天给你们讲一个小幽默吧!生: 好(学生很开心)师: (点开课件:展示熊大.熊二的对话图片,学生很兴奋)熊大对熊二说:”我比你大两岁”熊二说:”呵呵!再过两年我就赶上你啦! ”师: 大家说熊二说的有道理吗?为什么?生: 没道理,因为再过两年熊大也长大两岁,熊大还是比熊二大.师: 非常正确师: 若设熊大现在的年龄为x岁, 熊二现在的年龄为y岁, 上述问题中存在哪些不等关系?生：(1) x>y (2)x+2>y+2师：由（1）得到（2）的依据是什么？生：(不等式的基本性质1)不等式两边都加上2，不等号的方向不变。

师：你真棒！师：老师想啊，如果不等式的两边都乘（或除以）同一个数，不等号的方向是否也不变呢？生：变吧？师：我也不知道。

师：带着这个问题我们一起来探究。

二.合作交流，提炼性质师：（点开课件，出示问题）1.已知苹果的价格是a元/kg,梨的价格是b元/kg,且a>b,小李各买了3kg苹果和梨，则买哪种水果花的钱多？用不等号填空：3a___3b生：3a>3b师：正确!再看问题22.在某次知识抢答赛中，甲.乙两队的总分分别为a,b,其中a>b,已知每队人员均为3名，则哪队的平均得分高?用不等号填空：a生：a师：对了师：同学们：由这两个问题我们发现：不等式两边同乘或除以一个相同的数，不等号的方向变了没？生：没变（学生齐答）师：再看问题3（点开课件，展示问题3）3.用不等号填空（1）6(2)①6①②6②(3) 6(4)①6①②6 ② 生：齐答上述问题师：同学们：发现了没，有些不等号的方向变了，有些又没变，你们能从中发现什么规律吗？生：我发现不等式两边都乘（或除以）同一个正数的时候，不等号的方向不变，两边都乘（或除以）同一个负数的时候，不等号的方向改变。

师：非常好！（掌声鼓励）师：这就是我们今天要学习的不等式的基本性质2和基本性质3三.全面剖析，理解性质教师板书在黑板上，并指导学生用符号语言表示这两条基本性质。

不等式的基本性质2

不等式的基本性质2
7 8 7 x≥− 5. − x ≤ 1, 两边都乘 − ，得______ . 8 7 8
6.解下列不等式， 6.解下列不等式，并把它们的解在数轴上 解下列不等式 表示出来。 表示出来。
（1 ）x ＋4 ＞3 （2 ）7 x ＋6 ≥ 6 x ＋3 （3 ）4 x －1 ≤ 3 x ＋4 （ 4 ）3 － 5 x 2（ < 2（2－3x）
例1
某长方体形状的容器长5cm，宽3cm， ， 某长方体形状的容器长 ， 3 高10cm。容器内原有水的高度为 cm ， 。容器内原有水的高度为3cm， 现准备向它继续注水。 单位： 现准备向它继续注水。用V(单位： ） 表示新注入水的体积，写出V的取值范围 的取值范围。 表示新注入水的体积，写出 的取值范围。
不等式的基本性质2 不等式的基本性质2
复习回顾
不等式的性质1 不等式的性质
不等式的两边加（或减）同一个数 或式子 或式子)， 不等式的两边加（或减）同一个数(或式子 ， 不等号的方向不变.
不等式的性质2 不等式的性质
不等式的两边乘（或除以）同一个正数， 不等式的两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变. 不等号的方向不变
不等式的性质 3
不等式的两边乘（或除以）同一个负数， 不等式的两边乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变
试一试
1.若-m>5，则m
<
-5.
x 2.如果 >0, y
那么xy
> >
-1-b.
0.
3.如果a>-1,那么a-b
3 >1 4.-0.9＜-0.3,两边都除以(-0.3),得_______.
小试牛刀： 小试牛刀：
某次环保知识竞赛中共有 20道题，每答对一道题得 道题， 道题 10分，答错或不答扣 分， 分 答错或不答扣5分 至少要答对几道题得分才 不少于80分 不少于 分？
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（1）若a＞b，则2a+1
（2）若－
5 4
－8，
y＜10，则y
2b+1，
（3）若a＜b，且c＞0，则
ac+c
bc+ c，
（4）若a＞0，b＜0，c＜0，则
实用文档
8、试一试：
比较2a与a的大小
(1)当a>0时，2a>a； (2)当a=0时，2a=a； (3)当a<0时，2a<a；
(1) 2a和a+1 (2)2a和a-1
不等式的基本性质
填空:
60 < 60+10 < 60-5 < 60+a <
80 80+10
80-5 80+a
如果ab，那么 ac< bc
性质1，不等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，不等号的方向不变.
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不等式的基本性质
填空(1)：
填空(2)：
60 < 80 60 ×0.8 < 80 ×0.8
括号内填写理由.
(1)∵a＞b
(2)∵ a＞b
∴a-4 ＞ b-4(不等式基 ) ∴ 4a＞ 4b(不等式基)
(3)∵3m＞5n 本性质1 (4)∵4x＞5x 本性质2
∴ -m＜ 5 n (不等式基 ) ∴ x＜ 0(不等式基 )
(5)∵
a
＜
3
b 本性质3
(6)∵a-1＜8本性质1
∴
a
4
2
＞2b( 不等式基
二、探究新知：
1. 商场A种服装的价格为60元，B种服装的价格 为80元 （1）两种服装都涨价10元，哪种服装价格高？ 涨价15元呢？ （2）两种服装都降价5元，哪种服装价格高？降 价15元呢？ （3）两种服装都打8折出售，哪种服装价格高？
2.已知 4 > 3，填空：
4×（-1）——3 ×（-1） 4×（-5）——实3用文档 ×（-5）
实用文档
比较不等式与等式的基本性质
变形
关系式 等式
两边都加上（或减去）
同一个整式
仍成立
两边都乘以（或除以）
同一个正数
仍成立
两边都乘以（或除以）
同一个负数
仍成立
不等式
仍成立 仍成立
？
不等号的方向改变才成立
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四、典型例题：
例1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化 成x＜a或x＞a的形式：
(1) x-2＜ 3
B.3x2>2x2
C.3+x>2
D.3+x2>2
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4、单项选择：
(1)由 x＞y 得 ax＞ay 的条件是（ B ）
A.a ≥0 B.a ＞ 0 C.a＜ 0 D.a≤0
(2)由 x＞y 得 ax≤ay 的条件是（ D）
A.a＞0 B.a＜0 C.a≥0 D.a≤0
(3)由 a＞b 得 am2＞bm2 的条件是（ C ）
)
∴ a ＜9(不等式基 )
本性质3 实用文档
本性质1
(2)
6x＜ 5x-1
解：((13))根据1/不2 等x式＞基5 本性质1，两边都加(4上) 2，
-4x＞3 得：
x-2+2＜3+2
x＜5
(2)根据不等式基本性质1，两边都减去
5x，
得：
6x-5x＜5x-1-5x
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例2.设a＞b，用“＜”或“＞”填空：
(1)a-3
b-3
a 2
(2)b2
解：(1) ∵a＞b
第二节 不等式的基本性质
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一、学前练习
1. ＞1+4
-7 ≤ -5,
5+3≠12-5, a+2＞a+1，
3+4
x ≥8 x+3 ＜6
(1)上述式子有哪些表示数量关系（的表符示不号等？关系）
这些符号表示什么关系？
(2)这些符号两侧（的不代可随数意式互可换位随置意）交换
位置吗？
(3)（什用么不叫等不号表等示式不？等关实用系文档的式子叫不等式）
同一个负数，不等号的方向改变。
ab
如果a>b，c<0
，那么ac<b 实用文档
c， c
c
三、小结： 不等式的三条基本性
质
1. 不等式两边都加上（或减去）同一个 数或同一个整式，不等号的方向不变；
2. 不等式两边都乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变；
3.*不等式两边都乘（或除以）同一个 ---如何负用数数，学不语等言号表的示方？向改变 ； ---与等式的基本性质有什么联系与区别？
) ∴a＞×0
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6、下列各题是否正确?请说明理由 (1)如果a＞b,那么ac＞bc (2)如果a＞b,那么ac2 ＞bc2 (3)如果ac2＞bc2,那么a＞b (4)如果a＞b,那么a-b＞0 (5)如果ax＞b且a≠0,那么x＞b/a
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7、利用不等式的基本性质填空，
（填“＜”或“＞”）
∴两边都减去3，由不等式基本性质
得
a-3＞b-3
(2) ∵a＞b，并且2＞0
∴两边都除以2，由不等式基本性质
(3) ∵a＞ba2，并＞得且-b2 4＜0
∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3
得 -4a实＜用文档-4b
五、变式训练：
1、已知x＜y,用“＜”或“＞”填空。
（1）x+2
y+2
质 1） 1
3
4>3 4×5> 3×5 4÷2> 3÷2
性质2，不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变。
ab
如果a>b，c>0 ，那么ac>b c，
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cc
不等式的基本性质
填空：
4 >3
4×(-1)< 3×(-1)
4×(-5)< 3×(-5)
4÷(-2)< 3÷(-2)
性质3，不等式的两边都乘以（或除以）
(2)
x3
本性质
）
（不等式的基本性 y （不等式的
（3）－x
质
）
－y
（不等式的基本性
(4)x－m
质
）
y－m （不等式的基本性
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2、若a-b<0，则下列各式中一定成立
的是（ D ）
A.a>b
B.ab>0
C. a 0
D.-a>-b
b
3、若x是任意实数，则下列不等式中，
恒成立的是（ D ）
A.3x>2x
A.m＞0 B.m＜0 C.m≠0 D.m是任意有理数
(4)若 a＞1，则下列各式中错误的是（ D ）
A.4a＞4 B.a+5＞6 C. a ＜ 1 D.a-1＜0
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2
2
5、判断正误：
(1)∵a+8＞4
(2)∵3＞2
∴a＞-√4 ( )
× ∴3
(3)∵-1＞-2
(4)∵ab＞
∴a-1＞a-√2 (
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六、归纳小结：
1.本节重点
(1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质 (2)能正确应用性质对不等式进行变形；
2.注意事项
（1）要反复对比不等式性质与等式性质 的异同点；
（2）当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数时，一定要看清是正数还
负数；对于未给定范围填空，并在题