2.1不等式的基本性质

第二章 不等式2.1 不等式的基本性质一、教学目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质1、2、3。

二、教学重点：比较实数的大小、不等式的基本性质。

三、教学难点：会比较两个实数的大小。

四、教学过程：2课时一、引入新课1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。

2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个与不等式有关的名称 （例略）1．“同向不等式与异向不等式”2．“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 课堂练习：P33页练习2．1.2、不等式的基本性质1．性质1（传递性）：如果b a >，c b > 那么c a >证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >2．性质2（加法法则）：如果b a >，.c b c a +>+证明3. 性质3（乘法法则）：如果b a >，bc c c >>a 0，则；如果b a >，bc c c ∠∠a 0，则；文字归纳不等式性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.例1 利用不等式的性质，填”>”,“<”(1)若a>b,则2a+1 2b+1;(2)若-1.25y<10,则y -8;(3)若a<b,且c>0,则ac+c bc+c;(4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c 0.变式训练 ：用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由.(1) 3a 3b;（ ） (2) a －8 b －8; （ ） (3) －2a －2b;（ ） (4) 2a －5 2b －5;（ ） (5) －3.5a －1 －3.5b －1. （ ）课堂练习：P36页练习 P37页的习题五、归纳小结：1.本节重点(1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3；(2)能正确应用性质对不等式进行变形；2.注意事项（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点；（2）当不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定范围的字母，应分情况讨论.。

专题2.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】【北师大版】【题型1 不等式的概念及意义】 (1)【题型2 取值是否满足不等式】 (1)【题型3 根据实际问题列出不等式】 (2)【题型4 在数轴上表示不等式】 (2)【题型5 利用不等式的性质判断正误】 (3)【题型6 利用不等式性质比较大小】 (4)【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】 (5)【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】 (6)【题型10 不等关系的简单应用】 (6)【题型1 不等式的概念及意义】【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（）A．1个B．3个C．4个D．5个【变式11】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（）A．x+4y＝3B．x C．x+y D．x﹣3＞0【变式12】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（）A．3%以上B．6.15gC．6.15g及以上D．不足6.15g【变式13】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是．【题型2 取值是否满足不等式】【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有个．【变式21】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（）A．x+2＜4B．1x＞3C．2x﹣1＜3D．3x+2＞103【变式22】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A．﹣2B．0C．2D．3【变式23】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．（1）0是这个不等式的一个解：；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：；（3）0不是这个不等式的解：.【题型3 根据实际问题列出不等式】【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x 可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260B．210＜x≤300C．210＜x≤250D．250＜x≤260【变式31】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（）A．t＜32B．t＞25C．t＝25D．25≤t≤32【变式32】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为．【变式33】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是．【题型4 在数轴上表示不等式】【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为．【变式41】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝．【变式42】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式（1）x＜﹣1 （2）﹣2＜x≤3．【变式43】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（）A．B．C．D．【题型5 利用不等式的性质判断正误】【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a2＜ab C．2a＜2b D．−a3＞−b3【变式51】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若ab＜0，则a＞0，b＜0 C．若a＞0，b＜0，则ab＜0D．若ab＞1，则a＞b【变式52】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有（填序号）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab ＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果ac2＜bc2，那么a＜b．【变式53】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）（6）若a＞b＞0，则1a ＜1b．．【题型6 利用不等式性质比较大小】【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣31．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【变式61】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空（1）a﹣4b﹣4（2）a5b 5（3）﹣2a﹣2b．【变式62】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．【变式63】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b）b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）【题型7 利用不等式性质化简不等式】【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．【变式71】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【变式72】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a 为常数）．（1）13x ＞−23x ﹣2（2）12x ≤12（6﹣x ） 【变式73】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式．（1）x+7＞9（2）6x ＜5x ﹣3（3）15x ＜25． 【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：【问题背景】小明在学习完不等式的性质之后，思考：“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：①已知：a ＞b ，c ＜0．求证：ac ＜bc ．②已知：a ＞b ，c ＜0．求证：a c ＜b c ． 【问题探究】（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：∵c ＜0，即c 是一个负数∴c 的相反数是正数，即﹣c ＞0∵a ＞b∴a •（﹣c ）＞b •（﹣c ）（依据： ）即﹣ac ＞﹣bc不等式的两端同时加（ac +bc ）可得：﹣ac +（ac +bc ）＞﹣bc +（ac +bc ）（依据： ）合并同类项可得：bc ＞ac即：ac ＜bc 得证．（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．【变式81】（2022春•武侯区期末）求证：如果a ＞b ，e ＞f ，c ＞0，那么f ﹣ac ＜e ﹣bc ．【变式82】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．【变式83】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求证：（1）a＞c；＜−1．（2）﹣2＜ba【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】【例9】（2022春•龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【变式91】（2022春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是．【变式92】（2022•天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为．【变式93】（2022春•朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．【题型10 不等关系的简单应用】【例10】（2022春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？【变式101】（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（）A．D＜B＜A＜C B．B＜D＜C＜A C．B＜A＜D＜C D．B＜C＜D＜A【变式102】（2022春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1S2（填“＞，＜或＝”）．【变式103】（2022•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（）A．a+b2＞c+d2B．c+d2＞a+b2C．c+d2=a+b2D．以上都不对。