《不等式的性质2》----性质的应用

审核人签字：授课年级七年级学科数学课题不等式性质2任课教师课型问题解决课课时 1 授课时间教材分析本节课在认识性质的基础上，初步认识利用性质1.2.3解比较简单的一元一次不等式。

明确与方程“移项、合并、系数化为1”的过程相类似，重点对系数化为1的步骤做好分情况分析。

学生分析学生可以通过类比方程的解法，得出解不等式的一般步骤。

主要问题估计虎出现在系数化为1 上，在应用中应该加强分析。

设计理念本课采用启发诱导、实例探究、讲练结合的教学方法，揭示知识的发生和形成过程．这种教学方法以“生动探索”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力，使学生真正成为学习的主体．教学目标知识目标：通过类比、猜测、发现解不等式一般过程，掌握性质的应用；过程与方法目标：能通过自主计算，发现结论，体会每一步的依据情感目标：通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性．。

重点、难点教学重点：一元一次不等式的解法。

教学难点：不等式性质3在解不等式中的运用。

教学方法在整个新授过程中，充分发挥了学生的主体作用，以问题训练贯穿整节课。

新知识通过学生自主探索，在合作交流过程中得到．教师在过程中扮演了的参与者、合作者、引导、启迪者的角色．这充分体现“有效教学”的教学理念．关键问题掌握一般步骤，特别是系数化为1时分情况讨论教学准备三单教学环节时间问题情境教师行为期望的学生行为复习回顾，提出问题2′明确本节课的学习目标1.导语：解一元一次方程的一般步骤是？2明确：本节课的学习目标学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考。

通过计算一元一次方程，明确步骤。

小组讨论交流，检查预习效果5′-15′1学生自学2讨论更正，合作探究1.深入各个学习小组进行巡视，指导学生对完成的《导读单》中的问题进行讨论交流2.关注学困生，进行“一分钟”指导策略3.指导学生将讨论后的有些结果展示在小黑板上。

不等式性质与应用不等式作为数学中一种重要的关系式，在数学领域具有广泛的应用。

通过研究不等式的性质以及应用，可以帮助我们理解数值关系并解决实际问题。

本文将介绍不等式的基本性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式具有传递性，即若对于任意的实数 a、b 和 c，若a ≤ b 且b ≤ c，则有a ≤ c。

这个性质在不等式的推导和证明过程中起着重要的作用。

2. 不等式的加减性若对于任意的实数 a、b 和 c，若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。

若a ≥ b，则 a - c ≥ b - c。

这个性质允许我们在不等式的两侧同时加减相同的数，保持不等式的方向性。

3. 不等式的乘除性若对于任意的实数 a、b 和 c（其中 c > 0），若a ≤ b，则ac ≤ bc。

若a ≥ b，则ac ≥ bc。

若a ≤ b 且 c < 0，则ac ≥ bc。

若a ≥ b 且 c < 0，则ac ≤ bc。

这个性质允许我们在不等式的两侧同时乘除相同的正数，并保持不等式的方向性。

二、不等式的应用1. 不等式在数学问题中的应用不等式在数学问题中起到了重要的作用，尤其在解方程和证明中经常出现。

通过合理运用不等式的性质，我们可以推导出问题的解析解，或者通过大小关系找到某个变量的取值范围。

同时，不等式也是数学竞赛中常见的考点，解题技巧更是需要灵活运用。

2. 不等式在实际问题中的应用不等式在解决实际问题中也扮演着关键角色。

以线性规划为例，通过建立合适的线性不等式模型，可以帮助决策者在资源有限的情况下做出最优决策，例如生产计划、配送路线等。

此外，不等式还能应用于经济学、物理学等领域，解决有关优化、约束条件等方面的问题。

三、不等式的拓展应用1. 不等式的推广除了简单的线性不等式外，还存在多项式不等式、指数不等式、对数不等式等更为复杂的类型。

这些不等式的性质和应用要求我们有更加深入的数学理解和技巧，才能处理更加复杂的问题。

不等式的性质与应用不等式在数学中起到了重要的作用，它不仅仅只是一个数学概念，更是数学知识在实际生活中的应用。

本文将从不等式的基本性质出发，介绍不等式的常见类型及其应用。

一、不等式的基本性质不等式是数学中用于表示大小关系的一种关系式。

在不等式中，一般常用的符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

不等式的性质主要包括以下几点：1. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

2. 反对称性：如果a > b，且a < b，则a = b。

3. 加减性：当a > b时，对两边同时加上（或者减去）同一个数c，不等号的方向不发生改变。

例如：若a > b，则a + c > b + c；若a > b，则a - c > b - c。

4. 乘除性：当a > b时，对两边同时乘以（或者除以）同一个正数c，不等号的方向不发生改变；当c为负数时，会改变不等号的方向。

例如：若a > b，则ac > bc；若a > b，则a/c > b/c。

5. 幂对数性：如果a > b，且c > 0，则a^c > b^c；如果a > b，且c< 0，则a^c < b^c。

二、常见的不等式类型及应用1. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次式构成的不等式。

常见的一元一次不等式类型有：（1）线性不等式，形如 ax + b > c 或 ax + b < c。

其解集通常表示为一个区间。

（2）带有绝对值的一元不等式，形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c。

首先需要求得绝对值式子的值域，然后根据不等号的方向确定解集。

2. 一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次式构成的不等式。

常见的一元二次不等式类型有：（1）二次函数的不等式，形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。

不等式的性质（二）1．理解同向不等式，异向不等式概念；2．掌握并会证明定理1，2，3；3．理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；4．初步理解证明不等式的逻辑推理方法.教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法教学方法：引导式教学过程（）一、复习回顾上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.二、讲授新课在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：是同向不等式.异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：是异向不等式.2．不等式的性质：定理1：若，则定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.证明：∵，∴由正数的相反数是负数，得说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.定理2：若，且，则.证明：∵∴根据两个正数的和仍是正数，得∴说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.定理3：若，则定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.证明：∵∴说明：（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若，则即.定理3推论：若.证明:∵,∴ ①∵∴ ②由①、②得说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）三、课堂练习1．证明定理1后半部分；2．证明定理3的逆定理.说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.课堂小结通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.课后作业1．求证：若2．证明：若板书设计§6.1.2 不等式的性质1．同向不等式3.定理2 4.定理3 5.定理3异向不等式证明证明推论2．定理1 证明说明说明证明第三课时教学目标1．熟练掌握定理1，2，3的应用；2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；3．掌握反证法证明定理5.教学重点：定理4，5的证明.教学难点：定理4的应用.教学方法：引导式教学过程（）：一、复习回顾上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.（学生回答）好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.二、讲授新课定理4：若若证明：根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.推论1：若证明： ①又∴ ②由①、②可得.说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；（2）所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论.（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.推论2：若说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；（2）应强调学生注意<i>n</i>∈N的条件.定理5：若我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.说明：假定不大于，这有两种情况：或者，或者.由推论2和定理1，当时，有；当时，显然有这些都同已知条件矛盾所以.接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.例2 已知证明：由例3 已知证明：∵两边同乘以正数说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.三、课堂练习课本P₇练习1，2，3.课堂小结通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.课后作业课本习题6.1 4，5.板书设计§6.1.3 不等式的性质。

不等式的性质和应用不等式是数学中比较大小关系的一种表示形式，它在实际生活中和各个学科中有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨不等式的性质以及它们在不同领域的应用。

一、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果a>b，b>c，则可以得出a>c。

这一性质在比较大小时起到了重要的作用。

2. 相加性对于任意的实数a、b、c，如果a>b，则a+c>b+c；如果a>b且c>0，则ac>bc。

这些相加性质可以方便地对不等式进行加减运算。

3. 相乘性对于任意的实数a、b、c，如果a>b且c>0，则ac>bc；如果a>b且c<0，则ac<bc。

这些相乘性质在不等式的乘除运算中起到了重要的作用。

4. 反向不等式两边同时取反，不等号的方向也会改变。

例如，如果a>b，则-b>-a。

这一性质在求解不等式时需要注意。

二、不等式的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有着广泛的应用。

例如，用来描述消费者的预算约束条件、生产者的约束条件以及市场的供求关系等。

通过建立相应的不等式模型，可以对经济现象进行分析和预测。

2. 物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。

例如，牛顿定律中的不等式关系、能量守恒定律中的不等式条件等，都可以通过不等式的运算和推导来得到。

3. 几何学中的应用在几何学中，不等式被广泛应用于证明和问题的求解中。

例如，通过不等式可以证明三角形的一些性质，如三角不等式；也可以用不等式求解最优化问题，如构造一个具有最大面积的矩形等。

4. 概率与统计学中的应用在概率与统计学中，不等式被用来描述和推导随机事件的概率关系。

例如，通过马尔可夫不等式可以得到随机变量的上界；通过切比雪夫不等式可以估计随机变量偏离其均值的程度等。

5. 计算机科学中的应用在计算机科学中，不等式在算法设计和复杂性分析中起到重要的作用。

例如，在排序算法中，通过不等式可以证明算法的正确性和效率；在算法复杂性的分析中，通过不等式可以得到问题的下界和上界等。

课题：不等式的性质（2）教学目的：理解同向不等式，异向不等式概念；2理解不等式的性质定理1—3及其证明；理解证明不等式的逻辑推理方法．通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a＞b⇔b＜a和a＞b，b＞c⇒a ＞c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则定理3的推论，即“a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程：一、复习引入：1．判断两个实数大小的充要条件是：ab>ba⇔>-aba=b⇔-=aab<b⇔<-2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?从而引出不等式的性质及其证明方法．二、讲解新课：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，c<d，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性)即：a>b⇒b<a；b<a⇒a>b证明：∵a>b ∴a-b>0由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) ．点评：可能个别学生认为定理l 没有必要证明，那么问题：若a>b ，则a1和b1谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a 、b 的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性． 定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ⇒a>c证明：∵a>b ，b>c ∴a-b>0， b-c>0 根据两个正数的和仍是正数，得 (a-b)+( b-c)>0 即a -c>0∴a>c根据定理l ，定理2还可以表示为：c<b ，b<a ⇒c<a点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n 个的情形． 定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ． 即a>b ⇒a+c>b+c 证明：∵a>b ， ∴a-b>0，∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c 点评：(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c ，那么a>c-b ，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ． 证法一：⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a a+c>b+d证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a a+c>b+d点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向； （2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论； 三、讲解范例：例 已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．(相减法则)分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的证法一：∵a ＞b ，c ＜d ∵a －b ＞0，d －c ＞0 ∴（a －c ）－（b －d ）＝（a －b ）＋（d －c ）＞0(两个正数的和仍为正数) 故a －c ＞b －思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d 又∵a ＞b∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ） ∴a －c ＞b －d四、课堂练习：判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么ca ＞cb分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真答案：(1)真因为推理符号定理3(2)假由不等式的基本性质2，3(初中)可知，当c ＜0时，ca 即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负回答下列问题：（1)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a ＋c 与b ＋d 谁大谁小?举例说明； (2)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a －2c 与b －2d 谁大谁小?举例说明答案：(1)不能断定例如：2＞1，1＜3⇒2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0８⇒2－1＞1－0８异向不等式作加法没定论(2)不能断定例如a ＞b ，c ＝1＞d ＝－1⇒a －2c ＝a －2，b ＋2＝b －2d ，其大小不定a ＝８＞1＝b 时a －2c ＝６＞b ＋2＝3而a ＝2＞1＝b 时a －2c ＝0＜b ＋2＝3求证：(1)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a －d ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c －2a ＜c －2b证明：(1).c b d a d b c b d c d c d b d a b a ->-⇒⎪⎭⎪⎬⎫-<-⇒-<-⇒>->-⇒>(2)a ＞b ⇒－2a ＜－2b ⇒c －2a ＜c －2b已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且dc ba =，求证：a ＋d ＞b ＋c 证明：∵d cba =∴dd c bb a -=-∴（a －b ）d ＝（c －d ）b 又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且db ＞1∴db dc b a =--＞1∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧五、小结 ：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法 六、课后作业：1．如果R b a ∈,，求不等式bab a 11,>>同时成立的条件．解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a abab b a 2．已知Rc b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证：0111>++cba证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab∵abccabc ab c b a ++=++111 0<abc 且0<++bc ac ab∴0111>++cba3．已知||||,0b a ab >> 比较a1与b1的大小．解：a1-b1aba b -=当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-aba b ∴a1<b1当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-aba b ∴a1>b14．如果0,>b a 求证：a b ab >⇔>1证：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a <0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-ab aa b ∴1>a b七、板书设计（略） 八、课后记：。

不等式的性质（2）一、不等式的基本性质回顾在不等式的性质（1）中，我们已经学习了不等式的基本概念和性质。

在本文档中，我们将进一步探讨不等式的性质，包括一些特殊的不等式类型以及它们的应用。

回顾一下，不等式就是表示两个数之间大小关系的数学表达式。

常见的不等式符号包括小于等于（≤），大于等于（≥），小于（<）和大于（>）。

二、特殊不等式类型1. 绝对值不等式绝对值不等式是指不等式中含有绝对值符号的不等式。

绝对值不等式可以分成两种情况讨论：•当绝对值的表达式大于等于0时，可以去掉绝对值符号，并根据不等式的性质进行求解。

•当绝对值的表达式小于0时，不等式无解。

例如，考虑绝对值不等式 |x - 2| < 3，我们可以进行如下的求解：•将绝对值不等式拆分为两个不等式，即 x - 2 < 3 和 x - 2 > -3。

•对第一个不等式进行求解，得到 x < 5。

•对第二个不等式进行求解，得到 x > -1。

•综合两个不等式的解集，得到 -1 < x < 5，即 x 的取值范围为开区间 (-1, 5)。

2. 比例不等式比例不等式是指含有比例符号的不等式。

比例不等式的求解步骤与常规不等式的求解步骤类似。

考虑比例不等式 a/x > b/y，其中 a、b 是正实数，x、y 是大于零的实数。

可以进行如下的求解：•将比例不等式转化为 a * y > b * x。

•根据不等式的性质进行求解，得到 x < a/b * y。

•结合 x 和 y 的约束条件，得到比例不等式的解集。

3. 幂函数不等式幂函数不等式是指不等式中含有幂函数的不等式。

幂函数不等式的求解需要根据幂函数的性质和不等式的性质进行判断。

常见的幂函数不等式包括二次函数不等式、立方函数不等式等。

在解这些不等式时，我们可以将幂函数不等式转化为对应的关于变量的一元二次不等式，并通过解二次不等式求解。

4. 参数不等式参数不等式是指含有未知参数的不等式。