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u1((a, b))
{x Rn+ a u(x) b} （定义）
{x
R
n +
ae
u(x) e
b e}（单调性）
{x
R
n +
ae
x
b e}
（传递性）
(ae) (be) 是开集
（因为 (ae)和 (be) 的补集是闭集）
Slide 22
III、u(x) 是连续函数
数学基础：函数
连续性（Cauchy）
函数f : D R m在点x0 D处连续，如果 0，都 0,使得：f (B (x0 ) D) B ( f (x0 ))
Slide 3
数学基础：函数
象与原象（inverse image）
A D, f (A)是A的象； S Rn , f －1(S)是S的原象
定理A1.6：（P429）
f ( ) : R n R m，在任意开集S Rm
的逆央射 f 1(S ) 在 R n 是开集
f ( ) : R n R m 连续
u1((a, b)) 是开集
u(
)
:
R
n
R
连续
Slide 23
1.2.2.2 效用函数的唯一性
设u(x) 表示的是偏好关系 · 的结构。
· 严格单调 u(x) 严格递增
x x0 ,都有x S(u(x0 ))
x2
S ( y0 )
x2 x0
L( y0)
x3
x1
Slide 29
1.2.2.3 效用函数的性质
· 具有凸性 u(x) 拟凹
x1 · x2 xt · x2 t [0,1]
u(xt ) min{u(x1),u(x2 )}
R
n
由（P.1）式得到u(x1) 和u(x2 )
x1 · x2
u(x1) e · u(x2 ) e （传递性）
u(x1) u(x2 ) （严格单调性）
——u(x)是表示偏好关系 · 效用函数
Slide 21
III、u(x)是连续函数
效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆央射(原象)
S(y) {x f (x) y}
证明：充分性 S( y)是凸集 f 是拟凹函数，
x1,x2 D，设f (x1) f (x2 ) y2 ＝min{ f (x1), f (x2 )}
x1,x2 S ( y2 ) S( y2 )是凸集 xt S ( y2 )
f (xt ) y2 min[ f (x1), f (x2 )]
e
x
B :{t 0 te ¶ x}
A, B 是非空闭集 0
x1
Slide 17
I、效用函数的构造
严格单调性
如果t A 那么 t t 都有t A
t, A [t, ) （A是有下界闭集）
如果 t B 那么t tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ都有t B
t , B [0, t ] （B是有界闭集）
Slide 34
1.2.2.4 效用函数实例
位似偏好(homothetic preference)
x1 x0
x2
x1 x0 0
2X1
X1
2X0
X0
x1
Slide 35
1.2.2.4 效用函数实例
位似偏好效用函数
如果 · 是位似偏好，那么就可以用一
个一次齐次效用函数来表示。
·
x1 u(x0 ) u(x1)
存在性
唯一性
Slide 14
1.2.2.1 效用函数存在性
定理1.1 (P14)
定义在 X 的偏好关系满足连续性
和严格单调性，那么就存在一个
连续的实值函数
u(
)
:
R
n
R
表
示· 。
Slide 15
1.2.2.1 效用函数存在性
定理1.1证明思路
1.2.2.2 效用函数的唯一性
定理1.2：效用函数对正单调不欢的 不变性 实值函数u(x)能够表示偏好关系· ， 那么，当且仅当v(x)是u(x)的正单 调变换,v(x)也能够表示该偏好关系。
Slide 26
1.2.2.3 效用函数的性质
效用函数与无差异曲线
无差异集：L(x0 ) {x u(x) u(x0) u0} u(x1, x2 ) u0 x2 g(x1, u0 )
假设 t1e x和t2e x
t1e t2e（传递性）
t1 t2 （严格单调性）
x R+ 存在唯一的 t*(x) 0使得 t*e x
Slide 19
I、效用函数的构造
（P.1）u(x) : t*
x2
u(x)e x
e
0
x1
Slide 20
II、u(x) 是效用函数
x1 ,x 2
x2
x0
L (x0 )
x1
Slide 27
1.2.2.3 效用函数的性质
上等值集(Superior Set)
S(u0) {x x X ,u(x) u0}
S(u0) {x x X ,u(x) u0}【严格上等值集】
x2
S (u0 )
x2 x0
L(u0 )
x3
x1
Slide 28
1.2.2.3 效用函数的性质
2. if 0 u(x1, x2 ) x1 x2 3. if u(x1, x2 ) min{x1 , x2 ]
Slide 40
作业2：
1.12、1.13、1.14、1.15
Slide 41
u(x) x sin(x) u(x) 1 cos(x)
u()
Slide 32
1.2.2.3 效用函数的性质
¿ 拟凹 边际效用递减
u(x) 是凹函数
Slide 33
1.2.2.3 效用函数性质
海塞矩阵 H (x) 满足
u(x) 拟凹 zT H(x) z 0 s.t. " u(x) z=0
zMz 0
那么，称M是半负定矩阵； 如果不等号严格成立，那么称M为负定矩阵。
Slide 8
数学基础：拟凹函数
f : D R是拟凹函数，如果对 x1,x2 D,都有 f (xt ) min[ f (x1), f (x2 )] t [0,1]
Slide 9
数学基础：拟凹函数
定理 f : D R是拟凹函数，当且仅当 上等值集S( y)是凸集
Slide 5
数学基础：函数
极值存在性定理
设S是Rn上的非空紧集，如果f : S R连续，
那么，存在x*，x S,使得：
f (x) f (x) f (x*) x S
Slide 6
数学基础：多变量函数的微分
y f (x1, x2,.., xn )
一阶微分： f (x) f (x)
如果 · 是位似偏好，那么就可以用一
个一次齐次函数的正单调变换来表示。
u(x) g( f (x))
f ( )是一次齐次函数 g( )是单调递增函数
Slide 37
1.2.2.4 效用函数实例
拟线性偏好(quasilinear preference)
偏好关系 · 是相对于商品1的拟 线性偏好，如果
先构造一个实值函数 然后证明它满足效用函数的条件
Slide 16
I、效用函数的构造
e=(1,1,...,1)
te
X
R
n
t0
E {t e t 0} X
EA :{t e t e · x ,t 0} x2
EB :{t e t e ¶ x ,t 0}
连续性EA, EB是非空闭集 A :{t 0 te · x}
Slide 11
数学基础：拟凹函数
f : D R是严格拟凹函数，如果对 x1,x2 D,都有 f (xt ) min[ f (x1), f (x2 )] t (0,1)
上等值集S( y)是严格凸集
x x
x
Slide 12
数学基础：拟凹函数
定理：连续可微函数 f
f : D R是拟凹函数
x0 · x1 u(x0 ) u(x1)
v(x) u(x) 8
v(x) u(x)3
v(x) u(x)2
Slide 24
1.2.2.2 效用函数的唯一性
正单调变化
v(x) f (u(x)) 其中
u f : R R在 的取值范围上是严格递增函数。
Slide 25
" f (x)（ x-x） 0 f (x) f (x) （1）
z H (x) z 0 f (x) z=0 （2）
Slide 13
1.2.2 效用函数
定义1.5：
实值函数
u(
)
:
R
n
R
是表示偏
好关系 · 的效用函数，如果
x0
,x1
R
n
,
x0
f(x)是拟凹函数
Slide 10
数学基础：拟凹函数
必要性：f 是拟凹函数 S( y)是凸集
x1,x2 S( y)，y R 有f (x1) y, f (x2 ) y
f (x)是拟凹函数 f (xt ) min[ f (x1), f (x2 )] f (xt ) y xt S(y) S(y)是凸集
