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f(x̃)≥0(SONC)
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定理2.9 实值函数局部内点最优化的一阶必要条件
如果可微函数f(x)在点x*处达到了一个局部内点极大 值或极小值,那么,x*为如下联立方程组的解:
f (x* ) =0
x1 f (x* ) = 0
x 2 f (x* ) = 0
xn
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注意0C，依据（P.1）g(0)≤0。由于（P.4），这意味着
zT H(X )z 0
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这意味着H(x)是负半定的,12
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定理A2.5 凹性,凸性与关于变量本身的二 阶便偏导数
设f:DR是一个二次可微函数. 1.如果f是凹的,那么,x,fii(x)≤0,i=1,…,n. 2.如果f是凸的,那么,x,fii(x)≥0,i=1,…,n.
z x
y
x y
= gradf ( x, y) e =| gradf ( x, y) | cos ,
其中 = (gradf ( x, y),e) 当 cos(gradf ( x, y), e) = 1时，
f z
有最大值
.
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结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
斯函数看成为线性齐次生产函数
因此把柯布－道格拉斯函数为：
Q = AL K1
A(L) (K)1 = AL K1 = Q
这说明，生产要素投入量增加的倍数与产量增加 的倍数是相同的。
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定理A2.6 齐次函数的偏导数
如果f(x)是k次齐次函数,那么它的偏导数将是k-1次 齐次函数.
证明:设f(x)是k次齐次函数,
f(tx)= tkf(x),t>0
(P.1)
¶
¶xi
(
f(tx))=
¶f(tx)¶txi ¶xi¶xi
=
¶f¶(xtix)t
¶
¶xi
(tkf(x))=
tk
¶f(x) ¶xi
(P.3)
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由于（P.1）是恒等式,（P.2十分有用的,g(t)f(tx),固定x ,对t微分,有
在t=1时:
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å g (t)
=
n i =1
f (tx) xi
xi
å g (1)
=
n i =1
f (x) xi
xi
(p.2)
(p.3)
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证明必要性
设f(x)是k次齐次,使得对一切t>0与任何x,
f(tx)=tkf(x),由于(P.1),我们有g(t)= tkf(x),求微
=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z)) ≥αf(x+t0z)+(1-α)f(x+t1z)(f是凹的) =αg(t0)+(1-α)g(t1)
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证明2:g是凹的,证明f是凹的
f(αy0+(1-α)y1)
=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z))
=f(x+(αt0+(1-α)t1)z)= g(αt0+(1-α)t1)
g(t)≤g(t0)+ g(t0)(t-t0) t0,t C (P.2) g(t)= f(x+tz)z (P.3)
为充分利用这些结论,我们计算g和f的一阶和二阶导数
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为计算g(t),最简单的方法是将g(t)写成
n
å g = f (x tz) = fi (x tz)zi
i =1
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A2.1.3、齐次函数
定义A2.2 如果下列式子成立，则实值函数f (x)是所谓 的k次齐次函数：f (tx) = t n f (x), 对所有t 0
例子A.2.3: 柯布—道格拉斯生产函数（C-D）
f (x1, x2) = Ax1 x2 , A 0, 0, 0
，表示劳动和资本在产出中的贡献额度
方向导数的最大值．梯度的模为
gradf
| gradf ( x, y) |=
f x
2
f y
2
.
P
当f 不为零时， x
gradf
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梯度与等高线的关系：
函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 的梯度的方向与点P 的等 高线 f (x, y) = c 在这点的法 线的一个方向相同，且从数 值较低的等高线指向数值较 高的等高线，而梯度的模等 于函数在这个法线方向的方 向导数．
都可定出一个向量 f
i
f
j ，这向量称为函数
x y
z = f ( x, y)在点 P( x, y)的梯度，记为
gradf ( x, y) = f
i
f
j.
x y
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设e
=
cosi
sinj 是方向
l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f = f cos f sin = {f , f }{cos, sin }
≥ αg(t0)+(1-α)g(t1) (g是凹的) =αf(x+t0z)+(1-α)f(x+t1z) =αf(y0)+(1-α)f(y1)
(f是凹的)
y0 =x+t0z y1 =x+t1z
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定理A2.4 关于多变量函数的斜率,曲率与凹性
设D是Rn一个凸子集,在此集的一个非空的内部, f是二 次连续可微的. 如下三个命题是等价的:
f(tx)=tkf(x).
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最优化
A2.2
定理A2.8 单变量情形中局部内点最优化的 必要条件
设f(x)是一个二次可微的单变量函数,那么f(x) 将会获得一个局部内点最优值. 1.在 x*处有最大值f´(x)=0(FONC)
f(x)≤0(SONC) 2.在 x*处有最小值f´(x̃)=0(FONC)
设 z = z(z1,..z.n )的方向偏离点 x， f的值将会
由 f (x)开始发生怎样的变化。
设函数为：
g (t) = f (x + tz)，这里定义 tÎ R .
t = 0时， g (t) = f (x)
n
å g (0 ) = fi( x ) zi
i =1
右边项便是f在x点处沿z方向上的方向导数。
x y
故有方向导数
f = lim f (x x, y y) f (x, y)
z
0
= f cos f sin .
x
y
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梯度的概念
问题 :函数在点 P 沿哪一方向增加的速度最快?
定义 设函数 z = f ( x, y)在平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 P( x, y) D，
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证明:
证明思路:我们设f(x)在x*处获得了一个局部内部极值, 并设法证明 f(x*)=0.
证明:选择任意向量zRn,那么,对于任意标量t,我们有:
g(t)=f(x*+tz)
(P.1)
从(P.1)我们知道,g(t)不过是f(x)的另一种表现形 式.t≠0时, x*+tz正好是不同于x*的向量,故g(t)正好 同f的一些值相同.t=0,x*+tz等于x*,因此,g(0)正好是 f在x* 处的值.已经假设 f在x*处取得极值,那么g(t) 必定在t=0处获得一个局部极值.那么,g(0)=0
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定理A2.2 杨格定理
对于二次连续可微函数f(x)
梯度取梯度=海赛矩阵
2 f (x) 2 f (x)
=
,i, j
xix j x ji
f 11(x), f 12(x),..., f 1n(x)
H
(
x)
=
f 21(x), f 22(x),..., f 2n(x)
f n1(
x), fn2(x),..., f
分,
g(t)=ktk-1f(x),并且在t=1处取值.我们得到
g(1)=kf(x).利用(P.3),得到
å kf (x) =
n i =1
f ( x) xi xi
(P.4)
证明充分性
为证明充分性,设(P.4)成立,在tx处取值得到:
å kf (tx)
=
n i =1
f (x) xi txi
给(P.2)式两边同乘t,同(P.5)相比较,发现 tg(t)=kg(t)
1.f是凹的. 2.对于D中的所有x,H(X)是负正定的. 3.对于一切x0D,f(x)≤f(x0)+ f(x0)(x-x0) ,xD. 此外, 4.如果对于D中所有x,H(x)是负定的,那么,f是严格凹
的.
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定理A2.4证明
为充分利用这些结论,我们计算g和f的一阶和二阶导数
由于f是二次连续可微的,它足以在D内建立定理.连续性
将关注边界点.因此,xintD与zRn.设C={tRx+tzR},
并设对于所有tC,g(t)=f(x+tz).注意g承袭f的二次连续
可微性.
根据A2.3
现在,设1成立,f是凹的. g在C是也是凹的
根据A2.1
g(t)≤0,t C
(P.1)
根据P.1
证明1:设f是一个凹函数.令xD且z Rn,我们要证 明g(t)=f(x+tz)在C=tRx+tzD上是凹的.
