信号与信息处理作业题解(第2章)

2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别（注意标上横坐标的值以及波形与横坐标的交点。

较简单，出错的不多）1）x 1(t) = sin Ω t ·u(t )2）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u(t )3）x 3(t) = sin Ω t ·u ( t – t 0 )-14）x2(t) = sin[ ( t – t0) ]·u( t – t0)2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图（6.7.8较容易出错，其中8出错的最多，没有标明微分；其他题出错的很少）（1）x ( t-2 )（2）x ( t+2 )（3）x (2t)（4）x ( t/2 )（5）x (-t)（6）x (-t-2)（出错较多，对负号的处理不正确）（7）x ( -t/2-2 )（出错较多，对负号的处理不正确）（8）dx/dt（出错较多，主要是忘记-δ (t-2)部分）2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值（第（7）题注意化简，其他题目出错的很少）(1)⎰+∞∞--)(0t t x δ(t) dt = x(-t 0) (2)⎰+∞∞--)(0t t x δ(t) dt = x(t 0) (3)⎰+∞∞--)(0t t δ u(t -2t ) dt = u(2t )(4)⎰+∞∞--)(0t t δ u(t – 2t 0) dt = u(-t 0) (5)()⎰+∞∞--+t etδ(t+2) dt = e 2-2(6)()⎰+∞∞-+t t sin δ(t-6π) dt =6π+21(7) ()()[]⎰+∞∞-Ω---dt t t t e t j 0δδ=()⎰+∞∞-Ω-dt t etj δ–⎰+∞∞-Ω--dt t t e t j )(0δ= 1-0t j eΩ- = 1 – cos Ωt 0 + jsin Ωt 02-4 求下列各函数x 1(t)与x 2(t) 之卷积，x 1(t)* x 2(t) (1) x 1(t) = u(t), x 2(t) = e -at · u(t) ( a>0 ) x 1(t)* x 2(t) =⎰+∞∞---ττττd t u eu a )()( =⎰-ta d e 0ττ = )1(1ate a--x 1(t)* x 2(t) =ττδτδτπd t t u t )]1()1([)]()4[cos(---+-+Ω⎰+∞∞-= cos[Ω(t+1)+4π]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+4π]u(t-1)(3) x 1(t) = u(t) – u(t-1) , x 2(t) = u(t) – u(t-2) （一部分同学没有根据t 的范围分情况讨论） x 1(t)* x 2(t) =⎰+∞∞-+-----τττττd t u t u u u )]1()()][2()([当 t <0时，x 1(t)* x 2(t) = 0 当 0<t <1时，x 1(t)* x 2(t) =0td τ⎰= t 当 1<t <2时，x 1(t)* x 2(t) =21d τ⎰= 1当 2<t<3时，x 1(t)* x 2(t) = 12t d τ-⎰=3-t当 3<t 时，x 1(t)* x 2(t) = 0(4) x 1(t) = u(t-1) , x 2(t) = sin t · u(t) x 1(t)* x 2(t) =⎰+∞∞---ττττd t u u )1( )( )sin(=⎰⎰∞==01-t 01-t 0| cos - d sin 1)d --u(t sin ττττττ= 1- cos(t-1)2-5 已知周期函数x(t)前1/4周期的波形如图2-77所示，根据下列各种情况的要求画出x(t)在一个周期( 0<t<T )的波形（（3）.(6)出错较多）(1) x(t)是偶函数，只含有偶次谐波分量f(t) = f(-t), f(t) = f(t±T/2)(2) x(t)是偶函数，只含有奇次谐波分量f(t) = f(-t), f(t) = -f(t±T/2)(3) x(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量（出错较多）f(t) = f(-t)(4) x(t)是奇函数，只含有奇次谐波分量f(t) = -f(-t), f(t) = -f(t±T/2)(5) x(t)是奇函数，只含有偶次谐波分量f(t) = -f(-t), f(t) = f(t±T/2)(6) x(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量f(t) = -f(-t)2-6 利用信号x(t)的对称性，定性判断图2-78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量（该题全部做对的同学不是很多：有的同学会忽略直流分量）(a)这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称，所以含有直流、正弦等所有谐波分量，因为去除直流后为奇函数，所以不含余弦分量。

第二章作业答案2 - 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下, 此系统的零输入响应(1)y (t) 3y(t) 2y(t) 2e(t) e(t)y(0 ) 2，y(0 ) 1解：y (0 ) y(0 ) 1。

解:23 2 0( 1)( 2) 0所以, 其特征根为：i2, 21所以, 零输入响应可设为：y zi (t)C 1e 2tC 2e ty(° ) C i C 22C 1 1又因为y (0 ) 2C iC 21C 2 3所以,y zi (t) 3e t e 2tt根据微分方程, 可知 特征方程为:t 0试求(2)y (t) 5y (t) 6y(t) e(t) 2e(t)根据微分方程，可知特征方程为:(2)( 3) 0所以，其特征根为：i 2 , 2 3所以，零输入响应可设为：y zi(t) C1e 2t C2e 3t t 0”y(0 ) C i C2 1 C1 4又因为y (0 ) 2C i 3C2 1 C2 3所以，y zi (t) 4e 2t 3e 3t t 0某LTI连续系统的微分方程为y (t) 3y(t) 2y(t) e (t)3e(t) 已知y(0 ) 1，y(0 ) 2，试求:(1)系统的零输入响应y zi(t)；(2)输入e(t) (t)时，系统的零状态响应y zs(t)和全响应y(t)解：(1 )根据微分方程，可知特征方程为：2 3 2 0 ( 1)( 2) 0所以，其特征根为： 1 2, 2 1所以，零输入响应可设为：y zi (t) C1e 2t C2e t t 0y(0 ) C i C 2 1 y (0 ) 2C i C 2 2所以，yd)4e ' 3e 2t t 0C i 3C 2 4(2) 可设零状态响应为:y zs (t) C xi e 2t C x2e t p其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。

因为e(t) (t)所以，p 为常数，根据系统方程可知，p 于是，零状态响应可设为为：y zs (t)C xi e” C x2e t 3 232。

第二章 连续时间系统的时域分析1．与()t δ相等的表达式为：A ．1()4t δ B ．2(2)t δ C ．(2)t δ D ．1(2)2t δ解：由()t δ函数的性质1()()t t δαδα=可得，选B2．()j tet dt ωδ∞--∞'=⎰。

解：运用性质0()()()(0)t f t t dt f t f δ∞=-∞'''=-≡-⎰，得到()()j tet dt j j ωδωω∞--∞'=--=⎰。

3．两个线性时不变系统的级联，其总的输入-输出关系与它们在级联中的次序没有关系。

（正确）解：以冲击响应为例。

因为级联时，系统总的冲击响应等于各子系统冲击响应的卷积，而卷积与顺序没有关系，所以冲击响应与子系统顺序没有关系。

4．若()()()y t x t h t =*，则()()()y t x t h t -=-*-。

（错误）解：由()()()y t x h t d τττ∞-∞=-⎰，得()()()y t x h t d τττ∞-∞-=--⎰。

而()()()()()x t h t x h t d y t τττ∞-∞-*-=--+≠-⎰5．已知(21)f t -+波形如图所示，试画出()f t 的波形。

解：根据1反2展36．用图解法求图中信号的卷积()()()t f t f t f 21*=。

（03北邮A,8分）解：当10t -<时，即1t <时，由图1所示，12()()*()0f t f t f t ==图1当1020t t ->⎧⎨-<⎩时，即12t <<时，由图2所示，11201()()*()sin()[cos()1]t f t f t f t d t πττππ-===+⎰图2当1220t t -<⎧⎨->⎩时，即23t <<时，由图3所示，11222()()*()sin()cos()t t f t f t f t d t πττππ--===⎰图3当1222t t ->⎧⎨-<⎩时，即34t <<时，由图4所示，21221()()*()sin()[cos()1]t f t f t f t d t πττππ-===-⎰图4当4t >时，如图5所示，12()()*()0f t f t f t ==图57．如图所示系统由几个子系统组成，各子系统的冲激响应为)()(1t u t h =，)1()(2-=t t h δ，)()(3t t h δ-=，试求此系统的冲激响应)(t h ；若以()()t u e t e t -=作为激励信号，用时域卷积法求系统的零状态响应。

信号与信息处理基础习题及题解目录第1章绪论 (3)第2章连续时间信号的时域分析 (3)第3章连续时间信号的频域分析 (8)第4章连续时间信号的复频域分析 (15)第5章离散时间信号的时域分析 (19)第6章离散傅里叶变换 (22)第7章离散时间信号的复频域分析 (27)第一章1.1 结合具体实例，分析信息、消息和信号的联系与区别。

答：具体实例略。

信息、消息和信号三者既有区别又有联系，具体体现在：⑴ 信息的基本特点在于其不确定性，而通信的主要任务就是消除不确定性。

受信者在接收到信息之前，不知道发送的内容是什么，是未知的、不确定性事件。

受信者接收到信息后，可以减少或者消除不确定性。

⑵ 消息是信息的载体。

可以由消息得到信息，以映射的方式将消息与信息联系起来，如果不能建立映射关系就不能从消息中得到信息。

例如，一个不懂得中文的人看到一篇中文文章，就不能从中获取信息。

⑶ 信号是消息的具体物理体现，将消息转换为信号才能够在信道（传输信号的物理媒质，如空气、双绞线、同轴电缆、光缆等）中传输。

1.2 说明连续时间信号与模拟信号、离散时间信号与数字信号间的联系和区别。

答：按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号划分为连续时间信号与离散时间信号，简称连续信号与离散信号。

第二章2.2 试写出题2.2图示各波形的表达式。

题2.2图解：左图：()()()[]()()()[]31312-------=t u t u t t u t u t f()()()()()33112--+---=t u t t u t t u中图：()()()()()321-----+=t u t u t u t u t f 右图：()()()()221---+=t u t u t u t f连续时间信号离散时间信号幅值连续幅值离散模拟信号幅值连续幅值离散数字信号抽样2.3 试画出时间t 在（-4，6）内以下信号的波形图。

⑴ t 2πsin ；⑵()1 2-t πsin ；⑶()t t u 21πsin -；⑷ ()t t u 2πsin ； ⑸()()1 2-t t u πsin ； ⑹()()1 21--t t u πsin 。

第二章习题参考解答求下列系统的阶跃响应和冲激响应;1解当激励为时,响应为,即：由于方程简单,可利用迭代法求解：, ,…,由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系,可以求得阶跃响应：2解 a求冲激响应,当时,;特征方程,解得特征根为;所以：…2.1.2.1通过原方程迭代知,,,代入式2.1.2.1中得：解得, 代入式2.1.2.1：…2.1.2.2可验证满足式2.1.2.2,所以：b求阶跃响应通解为特解形式为,,代入原方程有, 即完全解为通过原方程迭代之,,由此可得解得,;所以阶跃响应为：3解4解当t>0时,原方程变为：;…2.1.3.1…2.1.3.2将2.1.3.1、式代入原方程,比较两边的系数得：阶跃响应：求下列离散序列的卷积和;1解用表格法求解2解用表格法求解3和如题图2.2.3所示解用表格法求解4解5解6解参见右图;当时：当时：当时：当时：当时：7 ,解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：8 , 解参见右图当时：当时：当时：当时：9 ,解10 ,解或写作：求下列连续信号的卷积;1 ,解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：当时：2 和如图2.3.2所示解当时：当时：当时：当时：当时：3 ,解4 ,解5 ,解参见右图;当时：当时：当时：当时：6 ,解7 ,解8 ,解9 ,解试求题图示系统的总冲激响应表达式;解已知系统的微分方程及初始状态如下,试求系统的零输入响应;1 ；解,,2 ；,解,,,,可定出3 ；,解,,,可定出某一阶电路如题图所示,电路达到稳定状态后,开关S于时闭合,试求输出响应;解由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变,所以;根据电路可以立出ｔ＞０时的微分方程：, 整理得齐次解：非齐次特解：设代入原方程可定出Ｂ＝２则：,积分电路如题图所示,已知激励信号为,试求零状态响应; 解根据电路可建立微分方程：当时：由可定出,根据系统的时不变性知,当时：当时：求下列离散系统的零输入响应;1 ；,解由,可定出,,2 ；,解由,, 可定出.3 ；,,解特征方程,,由可定出求下列离散系统的完全响应;1 ；解齐次方程通解：非齐次方程特解：代入原方程得：由可定出2 ；,解齐次方程通解：非齐次方程特解：代入原方程定出由可定出试判断下列系统的稳定性和因果性;1解因果的；稳定的;2解因为冲激响应不满足绝对可和条件,所以是不稳定的；非因果的;3解稳定的,非因果的;4解不稳定的,因果的;5解不稳定的,因果的;6 为实数解时：不稳定的,因果的；时：稳定的,因果的；时：不稳定的,因果的;7解不稳定的,非因果的;8解稳定的,非因果的;用方框图表示下列系统;123根据系统的差分方程求系统的单位脉冲响应;1解当时：,由原方程知当时：,由此可定出2解当时：齐次方程的通解为, 由原方程迭代求解可得为：由此可以定出根据系统的微分方程求系统的单位冲激响应;1解当时：,,代入原方程可确定2解当时：代入原方程,比较两边系数得：试求下列系统的零输入响应、零状态响应、强迫响应、自由响应;1 ；,,解 a求强迫响应：假设特解为：代入原方程,可定出；则强迫响应a求自由响应：利用冲激平衡法可知：可定出；所以完全解形式：,由定出即完全响应为：所以自由响应为：b求强迫响应：假设特解为：代入原方程,可定出；则强迫响应c求零输入响应：由可定出d求零状态响应零状态响应＝自由响应＋强迫响应－零输入响应＝综上所求,有：2 ；,,解法一用z变换求解;方程两边进行z变换,则有：解法二：时域解法;求强迫响应：当时：即为常值序列,设特解为,代入原方程可定出当时：仅在激励作用下,由原方程知,即：特解在时均满足方程;求自由响应：完全解：由经迭代得：由可定出完全解中系数为：则自由响应分量为：零输入响应：由可以定出：零状态响应：试证明线性时不变系统具有如下性质：1 若系统对激励的响应为,则系统对激励的响应为；2 若系统对激励的响应为,则系统对激励的响应为;证1 已知,根据系统的线性试不变性有：；令,则有：证2 已知,根据系统的线性试不变性有：令则 ,所以证毕;考察题图a所示系统,其中开平方运算取正根;1 求出和之间的关系；2 该系统是线性系统吗,是时不变系统吗3 若输入信号是题图b所示的矩形脉冲时间单位：秒,求响应;解 1 由系统框图可得2 由输入一输出关系可以看出,该系统不满足可加性,故系统是非线性的;又因为当输入为时,输出为,故系统是时不变的;3 由输入一输出关系,可以求得输出为图示波形;一个线性系统对的响应为,1 该系统是否为时不变系统2 该系统是否是因果系统3 若 a；b,求该系统对每个输入的响应;解1当时,输入为输出为当时,输入为输出为显然,是时变系统;2 当时,如显然,响应出现于激励之前,所以是非因果系统;3 因为不是LTI系统,所以输出响应不能用来计算;对于线性时变系统,输出响应可求解如下：任意信号仍可分解为冲激函数的和,即有：因为这里是的二元函数由于系统为线性的,故有：对于此例有,当时：注意：即当时：第三章习题参考解答求下列信号展开成傅里叶级数,并画出响应相应的幅频特性曲线;解 a解 b解 c解 d求题图所示信号的傅里叶变换;解 a解 b 设,由傅氏变换的微积分性质知：解 c利用傅氏变换性质知：解 d或解 e解 f若已知,试求下列信号的傅里叶变换;1解2解3解4解5解6解令则有：,,在题图b中取,将进行周期为的周期延拓,得到周期信号,如题图a所示；取的个周期构成截取函数,如题图b所示;1 求周期信号傅里叶级数系数；2 求周期信号的傅里叶变换；3 求截取信号的傅里叶变换;解 1 设单个三角波脉冲为,其傅里叶变换根据傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系知：2 由周期信号的傅里叶变换知：3 因为绘出下列信号波形草图,并利用傅里叶变换的对偶性,求其傅里叶变换;1 2提示：参见脉冲信号和三角波信号的傅里叶变换解1 , 根据对偶知：解2已知的波形如题图a所示,1 画出其导数及的波形图；2 利用时域微分性质,求的傅里叶变换；3 求题图b所示梯形脉冲调制信号的频谱函数;解1 及的波形如下：23求下列频谱函数的傅里叶逆变换;1解2解3解4解5解………3.7.5.1 又………3.7.5.2由3.7.5.1、式可知：6解设输入信号为,系统的频率特性为,求系统的零状态响应;解理想低通滤波器的幅频特性为矩形函数,相频特性为线性函数,如题图所示;现假设输入信号为的矩形脉冲,试求系统输出信号;解利用傅里叶变换的对称性,可以求得该系统的冲激响应为：,,令得：其中：在题图a所示系统中,采样信号如图b 所示,是一个正负交替出现的冲激串,输入信号的频谱如图c所示;1 对于,画出和的频谱；2 对于,确定能够从中恢复的系统;解1由此可以绘出及的频谱图如下：2 从的频谱可以看出,由恢复的系统如图所示:在题图a所示系统中,已知输入信号的傅里叶变换如题图b所示,系统的频率特性和分别如图c和图d所示,试求输出的傅里叶变换;解：参见题图的标注;在题图a所示的滤波器中,;如果滤波器的频率特性函数满足：,为常数则称该滤波器为信号的匹配滤波器;1 若为图b所示的单个矩形脉冲,求其匹配滤波器的频率特性函数；2 证明图c所示系统是单个矩形脉冲的匹配滤波器；3 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的冲激响应,并画出的波形；4 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的输出响应,并画出的波形;解 1解 2 参见图c标注.又,即与１中有相同的函数形式;解 3 ,解 4 取ｋ＝１为一三角波求题中和的功率谱密度函数;解 1 参见3-1题;首先推出周期信号功率谱密度函数的表达式：周期信号的傅里叶变换为：其中是傅里叶级数展开式系数;考虑截取信号：根据频域卷积定理,截取信号的傅里叶变换为：当时,趋向于集中在处,其他地方为零值,所以功率谱密度函数为：由于,,所以：由此可求题给信号的功率谱密度函数：解 2求题中和的能量谱密度函数;解设的能量谱密度函数为,;设的能量谱密度函数为,;信号的最高频率为500Hz,当信号的最低频率分别为0,300Hz,400Hz时,试确定能够实现无混叠采样的最低采样频率,并解释如何从采样后信号中恢复;解1 ,所以2 ,,取当代入式中可知,只有当不等式才能成立：,所以采样频率只能取Hz;3 ,,当代入式中可知,当不等式成立：,所以最低采样频率;正弦信号的振幅电平为V,现采用12位的量化器进行舍入式量化,求量化误差的方均根值和量化信噪比; 解,,；,；,；绘出,的波形,并证明它们在0,1区间上是相互正交的;解由三角函数和符号函数的意义可绘出的波形如图所示;显然：即在0,1区间上满足正交的定义;求信号的自相关函数;解当：当：第四章习题解答求下列离散周期信号的傅里叶级数系数;1解,若取则：2解若取：则3解, 若取则：4 ,周期解5解6解已知周期信号的傅里叶级数系数及其周期,试确定信号;1 ,解,将此式与的定义式比较可知：若取则2 ,解求下列序列的傅里叶变换;1解2解令有：3解4解5解6解利用傅里叶变换的性质求下列序列的傅里叶变换;1解2解3解4解已知的傅里叶变换为,求下列序列的傅里叶变换; 1解；2解,3解4解已知离散信号的傅里叶变换为,求其对应的时域信号;1解2解和的定义式比较知：3解4解5解设两个离散LTI系统的频率响应分别为将这两个系统级联后,求描述整个系统的差分方程;解将这两系统级联后,求描述整个系统的差分方程级联后系统的频率响应为：的频率响应为：比较后得知级联后系统的差分方程为：设一离散LTI系统的差分方程为,1 求该系统的频率响应；2 若系统的激励为,求系统的零状态响应;解 1 方程两边进傅里叶变换得：解 2设和是周期信号,且,试证明离散时间调制特性,即证明其中;证明令类似可证：证毕;周期三角形序列如题图a所示,其单个周期内的序列构成有限长序列、,如图b和图c所示;1 求的傅里叶变换；2 求的傅里叶变换3 求的傅里叶级数系数；4 证明傅里叶级数系数表示或的等间隔采样,即有：或N为周期解1解2解3 周期,,解 4 由上面知：而比较知：一个离散时间系统的单位冲激响应为,利用傅里叶变换求该系统对下列输入信号的响应;解,,如果为系统的输入,为系统的输出,对下面每组信号判断是否存在一个离散时间LTI系统,当输入为时,输出为如果不存在,说明为什么;如果存在,它是否是唯一的求出该LTI系统的频率响应;1 ,解所以输人－输出为非线性关系,则不存在一个LTI系统能满足此输人－输出关系;2 ,解；所以该输人－输出关系可以对应一个频率响应为的LTI系统,且是唯一的;当然该输人－输出关系也可以对应一个的非线性系统;注意该题和1的区别,在题2中,所对应的LTI系统的输人－输出关系可以用差分方程：描述,而在题1中,则找不到满足线性的时域方程;3 ,解该输人－输出关系可以对一个LTI系统,其频响可为：显然能产生这种输人－输出关系的LTI系统不是唯一的,如则是另一个LTI系统; 用闭式表达以下有限长序列的DFT;1解2解3解4解5解6解已知以下,试求IDFT;1 2其中为某一正整数且;解 1解 2已知有限长序列,DFT=,试利用频移定理求1 2解 1解 2题图是的有限长序列,试绘图解答1 与的线性卷积；2 与的4点圆周卷积；3 与的10点圆周卷积；4 若与的圆周卷积和线性卷积相同,求长度L的最小值;解 1 利用表格法可求得线性卷积为：解 2当L=4时：根据上面信号波形的图示,直接按照周期卷积取主值来计算圆周卷积：上式中周期卷积的具体计算过程和线性卷积的计算过程类似;或者根据线性卷积和周期卷积的关系以及周期卷积和圆周卷积的关系求解;周期卷积和线性卷积的关系：〔这里〕圆周卷积是周期卷积的主值区间0,3;同时考虑到线性卷积的非零值区间为0,6所以利用上式计算圆周卷积时,只需考虑在0,3区间内有非零值的移位的叠加：=解 3当L=10时根据上图可求得：解 4 使卷积与圆周卷积结果相同的最小长度分别为两参与运算的序列长度;已知两个有限长序列,分别用卷积与DFT两种方法求解;解法一直接卷积和：解法二用DFT计算：类似可求得若1 求频率特性,作出幅频特性草图；2 求DFT的闭式表达式;解 1解 2第五章习题解答根据定义求下列信号的单边拉普拉斯变换,并注意比较所得结果;1 为任意值解2解3解4解5解由1～3; 4～5 之间的比较知,在ｔ＞０时具有相同函数形式的两个不同时域函数,具有相同的单边拉普拉斯变换;求下列信号的单边拉普拉斯变换;1解2解3解4解5解6解7解8解9解10解已知的拉普拉斯变换为,求下列信号的拉普拉斯变换; 1解2解,3解4解,求下列信号的拉普拉斯逆变换;1解2解3解；4解；5解,6解,,,7解8解求下列函数拉普拉斯逆变换的初值和终值;1解2解比例积分器的电路如题图所示,输入信号分别为以下二种情况时,求输出信号,并画出其波形草图;12解 1波形参见右图.解2某一LTI系统的微分方程为：系统的初始条件为,激励信号,试求：1 冲激响应；2 零输入响应,零状态响应及全响应；3 用初值定理求全响应的初值；4 用初值定理求零状态响应的初值;解 1解2 对原方程二边进行拉普拉斯变换得：解 3解 4在题图所示电路中,以前开关S位于“1”端,已进入稳定状态;时,开关从“1”倒向“2”,求;解由题意知根据电路可列出时的微分方程为：整理得设,方程二边进行拉普拉斯变换得：求题图所示电路的传输函数;1 题图a2 题图b解1 设一中间参量,参见图ａ,根据极点电压法可立方程如下由第2个方程解得,代入第1个方程得解2 设置中间参量参见图b,根据电路可立方程：整理得：,用复频域等效模型法求解题;解复频域等效模型参见下图;根据电路可立方程：已知传输函数的零极点分布如题图所示,并知,试写出的表示式,并说明系统的稳定性; 解根据零极点分布图可知：又由,可确定;由于所有极点均位于左半ｓ平面,所以该系统是稳定系统;求下列信号的单边变换,并注明收敛域;1解2解3解4解5解6解7解求下列的逆变换;1解2解3解利用卷积定理求;1 ,解；；2 ,解；用单边变换求解差分方程,,解方程两边取ｚ变换,并考虑初始条件得：整理得：系统结构如题图所示1 求该系统的单位冲激响应；2 若激励为,求输出;解1 系统差分方程为：两边取ｚ变换得：；则解2系统的微分方程为,试用下面三种方法求系统的冲激响应;1 用时域分析法求解微分方程；2 用频域分析法求；3 用复频域域分析法求;解1将代入微分方程,比较方程两边的系数得：；解得：解2 原方程两边同取傅里叶变换得：解3 原方程两边同取拉氏变换得：离散时间系统的差分方程为,试用下面三种方法求系统的单位冲激响应;1 用时域分析法求解微分方程；2 用频域分析法求；3 用域分析法求;解1齐次方程通解：又：；将代入通解表达式中得：解2 原方程两边进行拉氏变换得：解3: 原方程两边进行z变换得：电路如题图所示,激励信号,试用下面二种域分析法求解电路的全响应;1 根据电路建立微分方程,对方程进行拉普拉斯变换,求得；2 根据电路的复频域模型求得;解1 由电路可建立微分方程为：即：,两边取拉氏变换得：解2 电路的复频域等效模型为右图：试用拉普拉斯变换的性质求下列函数的拉普拉斯变换;1解2解3解4解某电路如题图所示,已知,,为受控电流源;使用复频域分析法求受控电流源两端的电压;解复频域等效电路如下：用节点电压法,设节点电压为参见上图;；根据电路有：代人参数并整理得：即有：由此确定出：已知系统及其输入信号如题图所示,系统的初始条件为零,试求输出电压; 解根据电路,可立复频域回路电流方程：整理得：设：则：利用变换的性质,求下列序列的单边变换;1解2解3解4解5解又6解7解8解设：则：由题7知: 又：9解10解11解。

数字信号处理第2章习题解答2.1 今对三个正弦信号1()cos(2)a x t t π=，2()cos(6)a x t t π=-，3()cos(10)a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求这三个序列输出序列，比较其结果。

画出1()a x t 、2()a x t 、3()a x t 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。

解：采样周期为2184T ππ== 三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下：1()cos(2)cos()42a n x n n ππ=⋅=2()cos(6)cos()42a n x n n ππ=-⋅=-3()cos(10)cos()42a n x n n ππ=⋅=输出序列只有一个角频率2π，其中1()a x n 和3()a x n 采样序列完全相同，2()a x n 和1()a x n 、3()a x n 采样序列正好反相。

三个正弦信号波形及采样点位置图示如下：tx a 1(t )tx a 2(t )tx a 3(t )三个正弦信号的频率分别为1Hz 、3Hz 和5Hz ，而采样频率为4Hz ，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。

2.3 给定一连续带限信号()a x t 其频谱当f B >时，()a X f 。

求以下信号的最低采样频率。

（1）2()a x t （2）(2)a x t （3）()cos(7)a x t Bt π解：设()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω（1）2()a x t 的傅里叶变换为22()[()]Ba a BX j X j d ππωωω-⋅Ω-⎰因为22,22B B B B πωππωπ-≤≤-≤Ω-≤ 所以44B B ππ-≤Ω≤即2()a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。

第二章习题与答案1．求以下序列的z 变换并画出零极点图和收敛域。

分析：Z 变换概念∑∞-∞=-==n nzn x z X n x Z )()()]([，n 的取值是)(n x 的有值范围。

Z 变换的收敛域 是知足∞<=∑∞-∞=-M zn x n n)(的z 值范围。

解：(1) 由Z 变换的概念可知：∞====<<<<z z az a z az a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域：)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n nn x 为常数）00(0,)sin()()5(ωω≥=n n n n x 10,)()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()()1(<=a an x nnn nzaz X -∞-∞=⋅=∑)(nn n nn n z a za-∞=---∞=-∑∑+=1nn n nn n z a z a -∞=∞=∑∑+=01))(1()1()1)(1(1111212a z az a z a az az a za az az ---=---=-+-=-解：(2) 由z 变换的概念可知：n n nz n u z X -∞-∞=∑=)()21()( ∑∞=-=0)21(n n n z 12111--=z 211121><⋅z z 即：收敛域： 0 21==z z 零点为：极点为：解:（3）nn n z n u z X -∞-∞=∑---=)1()21()(∑--∞=--=1)21(n n n z∑∞=-=12n n n z zz212--= 12111--=z 21 12 <<z z 即：收敛域：0 21 ==z z 零点为：极点为： 解： (4) ∑-⋅∞==11)(n nz n z X∑∞--=-=•••11)(1)(n n z n n dz z dX 21)(11z z z n n -=-=∑∞=-- ，1||>z。