两个推论公式、纸带数据处理及两种图像

高中物理：匀变速直线运动的两个重要推论[探究导入] 设物体的初速度为v 0，做匀变速直线运动的加速度为a ，时间t 内的末速度为v .试求t ′＝t 2时的瞬时速度和时间t 内的平均速度的关系． 提示：由x ＝v 0t ＋12at 2得平均速度v ＝x t ＝v 0＋12at ，由速度公式v ＝v 0＋at 知，当t ′＝t 2时，v t 2＝v 0＋a t 2，故v ＝v t 2 ，又v ＝v t 2＋a t 2，联立以上各式解得v t 2＝v 0＋v 2，所以v ＝v t 2＝v 0＋v 2.1．平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t 内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半，即v ＝v t 2 ＝12(v 0＋v t )＝x t. 2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T 内，位移之差是一个常量，即Δx ＝x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2推导：时间T 内的位移x 1＝v 0T ＋12aT 2① 在时间2T 内的位移x 2＝v 0×2T ＋12a (2T )2② 则x Ⅰ＝x 1，x Ⅱ＝x 2－x 1③联立①②③得Δx ＝x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．[易错提醒](1)以上推论只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用此推论式来处理问题．(2)推论式x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2 ，常在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据打出的纸带求物体的加速度．[典例3] 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m 和64 m ，每一个时间间隔为4 s ，求物体的初速度、末速度及加速度.[解析] 法一：平均速度法画出运动过程如图所示连续两段相等时间T 内的平均速度分别为v 1＝x 1T ＝244 m /s ＝6 m/s ，v 2＝x 2T ＝644m /s ＝16 m/s且v 1＝v A ＋v B 2，v 2＝v B ＋v C 2， 由于B 是A 、C 的中间时刻，则v B ＝v A ＋v C 2＝v 1＋v 22＝6＋162m /s ＝11 m/s 解得v A ＝1 m /s ，v C ＝21 m/s.加速度为a ＝v C －v A 2T ＝21－12×4m /s 2＝2.5 m/s 2. 法二：逐差法由Δx ＝aT 2可得a ＝Δx T 2＝64－2416m /s 2＝2.5 m/s 2 又x 1＝v A T ＋12aT 2，v C ＝v A ＋a ·2T 联立解得v A ＝1 m /s ，v C ＝21 m/s.[答案] 1 m /s 21 m/s 2.5 m/s 2[方法技巧]速度的四种求解方法(1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解．(2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度．(3)平均速度公式法，利用中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度求解．(4)图像法，通过画v -t 图像求解．3．(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s 内的位移是2 m ，第4 s 内的位移是2.5 m ，那么以下说法正确的是( )A ．这2 s 内的平均速度是2.25 m/sB ．第3 s 末的瞬时速度是2.25 m/sC ．质点的加速度是0.125 m/s 2D ．质点的加速度是0.5 m/s 2解析：由Δx ＝aT 2，x 1＝2 m ，x 2＝2.5 m ，T ＝1 s ，得a ＝Δx T 2＝0.5 m/s 2.由v ＝x t 得v ＝x 1＋x 22T＝2.25 m/s.第3 s 末速度为这2 s 内的中间时刻的瞬时速度，即v ＝v ＝2.25 m/s.答案：ABD。

班级：姓名：匀变速直线运动规律的两个推论及应用两个重要推论v t＝＝＝(1)2(2)Δx＝（Δx表示两段的位移差；T表示的时间）此式可推导得出：x m-x n＝应用1：判断物体是否做匀变速直线运动。

（如果任意连续相等时间内的位移差Δx为恒量，则说明物体做匀变速直线运动）应用2：计算加速度。

（a = ）例1：（多选）一列火车做匀加速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个8s内，火车从他跟前分别驶过6节车厢和8节车厢，每节车厢长8 m(连接处长度不计)，则：（）A．火车加速度为0.25 m/s2 B. 开始观察时火车速度为6 m/sC．观察结束时火车速度为10 m/s D. 观察结束时火车速度为9m/s例2：（多选）一辆小车做匀加速直线运动,历时5s,已知前3s的位移是12m,后3s的位移是18m,则小车在这5s内的运动中()A.平均速度为6m/sB.平均速度为5m/sC.加速度为1m/s2D.加速度为0.67m/s2例3：某同学在测定匀变速直线运动的加速度时，得到了几条较为理想的纸带，已在每条纸带上每5个计时点取好了一个计数点，即两计数点之间的时间间隔为0.1 s，依打点先后编为0、1、2、3、4、5.由于不小心，纸带被撕断了，如图所示．请根据给出的A、B、C、D四段纸带回答：(填字母)(1)从纸带A上撕下的那段应该是B、C、D三段纸带中的________．(2)打A纸带时，物体的加速度大小是________m/s2.（例3答案：(1)C (2)0.6）例4：在“测定匀变速直线运动的加速度”的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，计时器所用电源的频率为50 Hz，如图所示是一次实验得到的一条纸带，纸带上每相邻的两计数点间都有四个点未画出，按时间顺序取0、1、2、3、4、5、6七个计数点，用刻度尺量出1、2、3、4、5、6点到0点的距离分别为1.40 cm、3.55 cm、6.45 cm、10.15 cm、14.55 cm、19.70 cm.由纸带数据计算可得计数点4所代表时刻的瞬时速度大小为v4＝__________ m/s，小车的加速度大小a＝______m/s2.(结果保留三位有效数字)（例4答案：0.405 0.756）巩固练习1、（多选）一质点做匀加速直线运动，第三秒内的位移2m，第四秒内的位移是2.5m，那么可以知道( )A.这两秒内平均速度是2.25m/sB.第三秒末即时速度是2.25m/sC.质点的加速度是0.125m/s2D.质点的加速度是0.5m/s22、做匀变速直线运动的物体，第3s内的位移是20m，第9s内的位移是50m，则其加速度是( )A．2m/s2B．3m/s2C．4m/s2D．5m/s23、（多选）物体由静止做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则( )A．第3 s内平均速度是1 m/s B．物体的加速度是1.2 m/s2C．前3 s内的位移是6 m D．3 s末的速度是3.6 m/s4、从斜面上某位置，每隔0.1 s释放一个小球，在连续释放几个后，对在斜面上的小球拍下照片，如图所示，测得s AB =15 cm，s BC =20 cm，试求（1）小球的加速度.（2）拍摄时B球的速度v B=?（3）拍摄时s CD=?（4）A球上面滚动的小球还有几个？5、在研究某物体的运动规律时，打点计时器打下如图所示的一条纸带．已知打点计时器使用的交流电频率为50 Hz，相邻两计数点间还有四个打点未画出．由纸带上的数据可知，打E点时物体的速度v＝________，物体运动的加速度a＝________(结果保留两位有效数字)．6、某同学用打点计时器测量做匀加速直线运动的物体的加速度，电源频率f＝50 Hz.在纸带上打出的点中，选出零点，每隔4个点取1个计数点，因保存不当，纸带被污染，如图所示，A、B、C、D是依次排列的4个计数点，仅能读出其中3个计数点到零点的距离：s A＝16.6 mm，s B＝126.5 mm，s D＝624.5 mm.若无法再做实验，可由以上信息推知：(1)相邻两计数点的时间间隔为________s；(2)打C点时物体的速度大小为________m/s(取2位有效数字)；(3)物体的加速度大小为____________________(用s A、s B、s D和f表示)．。

求纸带的加快度及速度一.公式：S 1-S 2=△X=aT 2留意;△X 指的是两段位移的差值,T 代表每段时光,认为每段时光只能是相等的.同理可得,S m -S n =(m-n)aT 2二.某段时光内里间时刻的瞬时速度等于这段时光内的平均速度：.证实：由v t =v 0＋at 可知,经后的瞬时速度为：1.某同窗用如图10所示的装配测量重力加快度g,打下如图11所示的纸带.假如在所选纸带上取某点为0号计数点,然后每隔4个点取一个计数点,相邻计数点之间的距离记为x1.x2.x3.x4.x5.x6.图10图11(1)试验时纸带的端应和重物相衔接.(选填“A”或“B”)(2)该同窗用两种办法处理数据(T 为相邻两计数点间的时光距离)：办法A ：由g1＝x2－x1T2,g2＝x3－x2T2,…,g5＝x6－x5T2取平均值g ＝9.767 m/s2;办法B ：由g1＝x4－x13T2,g2＝x5－x23T2,g3＝x6－x33T2取平均值g ＝9.873 m/s2.从数据处理办法看,在x1.x2.x3.x4.x5.x6中,对试验成果起感化的数据,办法A 中有;办法B 中有.是以,选择办法(填“A”或“B”)更合理.2.在“研讨匀变速直线活动的纪律”s,用米尺测量出的数据如图12所示. 则小车在C点的速度V C =m/s,小车在D点的速度V d=m/s,小车活动的加快度a =______________m/s2．3.在做“研讨匀变速直线活动”的试验中,取下一段如图所示的纸带研讨其活动情形.设O点为计数的肇端点,在四个持续的计数点中,相邻两计数点间的时光距离为0.1 s,若物体做幻想的匀加快直线活动,则计数点A与肇端点O之间的距离x1为cm,打计数点O 时物体的瞬时速度为m/s,物体的加快度为m/s2(成果均保存三位有用数字).4.在“研讨匀变速直线活动纪律”的试验中,小车拖纸带活动,打点计时器在纸带上打出一系列点,如图11所示,选定五个计数点,每相邻两个计数点间的时光距离为0.1s,用米尺测量出的数据如图所示.则小车在C点的速度v=m/s,小车活动的加快（成果保存三位有用数字）参考答案1.解析：(1)与重物相衔接的纸带一端点间距较小,故为A端.(2)从概况上看,办法A中六组数据均得到应用,现实上只用了x1和x6两组数据,而办法B采取的是逐差法,六组数据均得到应用,故办法B更合理.答案：(1)A(2)x1.x6x1.x2.x3.x4.x5.x6B2.解析;V C =S BD除以2T 解得V C m/sV D =S CE除以2T 解得V D m/sS BC -S AB =△X=aT 2m/s 2答案3.解析：依据匀变速直线活动的特色Δx ＝k (常数)可得10.00－x 1－x 1＝18.00－10.00－(10.00－x 1),解得：x 1＝4.00 cm.依据Δx ＝aT 2,可得物体的加快度为a ＝Δx T2＝ m/s 2＝2.00 m/s 2,依据平均速度公式,打计数点A 时物体的瞬时速度为v A ＝ m/s ＝0.500m/s,再依据x 1＝12(v O ＋v A )T ,解得：v O ＝0.300 m/s. 答案：4.004.。

纸带的处理作者：刘清发来源：《理科考试研究·高中》2016年第11期利用打点计时器打出纸带的目的是利用纸带上的点迹分析物体的运动情况.处理纸带的过程中，学生普遍感到处理起来比较困惑，比较混乱，现在把处理纸带的有关方法汇总如下，便于大家掌握用纸带分析物体运动的基本技能.一、逐差法1.相邻逐差法由于物体做匀变速直线运动，所以满足在连续相等的时间间隔内位移之差相等，即Δx=aT2，可解得a=ΔxT2.例1一打点计时器固定在倾角为θ的斜面上，一小车拖着穿过打点计时器的纸带从斜面上滑下，打出的纸带的一段如图1所示.纸带上0、1、2、3、4、5、6是按先后顺序打出的计数点，每相邻两个计数点之间还有四个实验点未画出.（1）根据纸带上记录的数据判断小车做运动.（2）若小车做匀加速运动，则加速度大小a=.（3）小车在计数点3对应的速度大小为v=.解析（1）x1=6.00 cm，x2=16.00 cm -6.00 cm=10.00 cm，x3=30.00 cm-16.00 cm=14.00 cm，x4=48.00 cm-30.00 cm=18.00，x5=70.00 cm-48.00 cm=22.00 cm，x6=96.00 cm-70.00 cm=26.00 cm.可得Δx=x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=x6-x5=4.00 cm，即相邻的相等时间内的位移之差为常数，所以可以判断物体做匀加速直线运动.（2）每相邻两个计数点之间还有四个实验点未画出，所以相邻的计数点间的时间间隔T=0.1 s，根据匀变速直线运动的推论公式Δx=aT2得a=ΔxT2=0.040.12 m/s2=4 m/s2.（3）根据匀变速直线运动中时间中点时刻的速度等于该过程中的平均速度，所以v=x3+x42T=1.6 m/s.2.隔项逐差法理论上说，由于物体做匀变速直线运动，所以满足在连续相等的时间间隔内位移之差相等，即Δx=aT2.但在实际的实验过程中不可避免的出现或多或少的误差，造成相邻时间内的位移差测量的并不相等，如果再利用一个Δx求解加速度，偶然误差太大，为了减小实验中的偶然误差，分析纸带时，纸带上的各段位移最好都用上，如图2纸带上测得连续6个相同的时间间隔T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，则x4-x1=（x4-x3）+（x3-x2）+（x2-x1）=3a1T2，同理，x5-x2=3a2T2，x6-x3=3a3T2，物体的加速度a=a1+a2+a33=（x4-x1）+（x5-x2）+（x6-x3）9T2=（x4+x5+x6）-（x1+x2+x3）9T2.由此可以看出，各段位移都用上了，有效地减小了偶然误差，这种方法被称为逐差法.所以利用纸带计算加速度时，应使用逐差法.所谓逐差法，就是把测量的数据逐项相减或按顺序分为两组进行对应项相减，然后将所得差值作为因变量的多次测量值进行数据处理的方法.它也是物理实验中处理数据常用的一种方法.二、v-t图象法例2某同学在做“探究小车运动的速度与时间关系”的实验中某同学选择了一条清晰的纸带，在纸带上确定出A、B、C、D、E、F、G共7个计数点.其相邻点间的距离如图所示，每两个相邻的计数点之间还有四个点未画出.（1）根据纸带上各个计数点间的距离，计算出打下B、C、D、E、F五个点时小车的瞬时速度，请将vC、vE的速度值填入下表（要求保留3位有效数字）vBvCvDvEvF数值（m/s）0.4000.5600.721（2）将B、C、D、E、F对应的各瞬时速度标在如图4所示的坐标纸上，并画出小车的瞬时速度随时间变化的关系（3）根据第（2）问中画出的v-t图线，求出小车运动的加速度为 m/s2.（保留两位有效数字）解析（1）每两个相邻的计数点之间还有四个点未画出，所以两个相邻的计数点之间的时间间隔为0.10 s.根据在匀变速直线运动中时间中点时刻的瞬时速度等于该过程中的平均速度可以求出各点的瞬时速度大小.vC=xBD2T=4.38+5.202×0.1 cm/s=0.479 m/s，vE=xDF2T=5.99+6.802×0.1 cm/s=0.640 m/s.（2）以开始打A点时为计时起点，每隔0.10秒选一个点，适当的选取纵横数值，根据表格中所给出的各个点速度大小，用描点法即可画出速度-时间图象如图4中斜线所示.（3）根据图象的物理意义可知，在速度-时间图象中，图象的斜率大小表示物体的加速度大小，故a=ΔvΔt=0.80 m/s2.点评（1）利用纸带进行计算，要注意三点：①计数点是如何取的；②长度采用什么单位；③所给的纸带数据是谁与谁之间的距离.（2）作v一t图线时，要使描得的点尽可能的分布在直线的两侧，偏差过大的点不予考虑.（3）由a=ΔvΔt求a时，要在图线上取两个相对较远的点.三、贴纸法例3做匀加速直线运动的小车，牵引一条纸带通过打点计时器，交流电源的频率是50 Hz，由纸带上打出的某一点开始，每5个点剪下一段纸带，按图5所示，每一条纸带下端与x轴相重合，左边与y轴平行，将纸带粘在坐标系中，求：（1）第一个0.1 s内中间时刻的速度是多少？（2）运动物体的加速度是多少？解析方法一（1）匀加速直线运动中，中间时刻的速度等于这个过程中的平均速度.纸带剪断处的瞬时速度等于被剪断处两侧的这两条纸带的总长度除以打在这两条纸带所用的时间.第一个0.1 s内中间时刻的速度v=x1T=22.5×10-30.1 m/s=0.225 m/s.（2）加速度可以由Δx=aT2求出，其中Δx为相邻两条纸带的长度差，由图可知相邻两条纸带的长度差都为8.0 mm，所以a=ΔxT2=8.0×10-30.12 m/s2=0.80 m/s2.方法二（1）匀加速直线运动中，中间时刻的速度等于这个过程中的平均速度.纸带剪断处的瞬时速度等于被剪断处两侧的这两条纸带的总长度除以打在这两条纸带所用的时间.第一个0.1s内中间时刻的速度是：v=x1T=22.5×10-30.1 m/s=0.225 m/s.（2）纸带的高度之比等于中间时刻速度之比，也就是说图6中第一段纸带高度代表0.05s 时的瞬时速度，第二段纸带高度代表0.15s时的瞬时速度，第三段纸带高度代表0.25s时的瞬时速度，第四段的高度代表0.35s时的瞬时速度，第五段代表0.45s时的瞬时速度，第六段代表0.55s时的瞬时速度.因此可以用纸带的长度表示每小段时间中间时刻的瞬时速度，将纸带上端中间各点连接起来，可得到如图6所示的v-t图象，利用图象求斜率可以求得小车加速度a=0.80 m/s2.。

2010年高考试题中的力学实验解析陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室邢彦君2010年高试题中的力学实验问题，从试题背景到设问，涵盖了《考试大纲》规定的基本实验，大多涉及到纸带法，即涉及到瞬时速度或加速度的测量。

设计性实验也是以基本实验为蓝图进行创新与变通，符合中学物理教学实际，符合学生的实验能力水平。

一、测量匀变速直线运动的加速度1．（重庆理综-22-1）某同学用打点计时器测量做匀变速直线运动的物体的加速度，电源频率f=50 Hz，在纸带上打出的点中，选出零点，每隔4个点取1个计数点，因保存不当，纸带被污染，如图1所示，A、B、C、D是本次排练的4个计数点，仅能读出其中3个计数点到零点的距离：s A=16.6mm ；s B=126.5mm、s D=624.5 mm若无法再做实验，可由以上信息推知：①相邻两计数点的时间间隔为s；②打 C点时物体的速度大小为m/s（取2位有效数字）③物体的加速度大小为（用s A、s B、s D和f表示）解析：本题以测量匀变速直线运动加速度实验为背景，主要考查数据处理能力及对匀变速直线运动规律的理解与灵活运用能力。

（1）因每两个计数点间还有四个点，因此打相邻两计数点的时间间隔是：。

（2）由匀变速推论“匀变速直线运动一段时间的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度”可得：，代入数据解得：。

（3）由匀变速直线运动的推论可得：和，代入解两式得：点评：纸带法实验中，若纸带匀变速直线运动，测得纸带上的点间距，利用匀变速直线运动的两个推论和，可计算出打出某点时纸带运动的瞬时速度和加速度。

二、探究胡克定律2．（浙江理综-21-Ⅰ）在“探究弹簧弹力大小与伸长量的关系”实验中，甲、乙两位同学选用不同的橡皮绳代替弹簧，为测量橡皮绳的劲度系数，他们在橡皮绳下端面依次逐个挂下钩码（每个钩码的质量均为m=0.1kg ，取g=10m/s 2），并记录绳下端的坐标X 加i （下标i 表示挂在绳下端钩码个数）。

【导语】学习⾼⼀物理必修⼀第⼆章的知识点需要学会归纳整理。

下⾯是为⼤家整理的⾼⼀物理必修⼀第⼆章的知识点，希望对⼤家有所帮助!⾼⼀物理必修⼀第⼆章知识点总结 第⼆章匀变速直线运动的研究 匀变速直线运动是运动学中最典型的也是最简单的理想化的运动形式，学习本章的有关知识对于运动学将会有更深⼊地了解，难点在于速度、时间以及位移这三者物理量之间的关系。

要熟练掌握有关的知识，灵活的加以运⽤。

最后，本章末讲学习⼀种有代表性的匀变速直线运动形式：⾃由落体运动。

考试的要求： Ⅰ、对所学知识要知道其含义，并能在有关的问题中识别并直接运⽤，相当于课程标准中的“了解”和“认识”。

Ⅱ、能够理解所学知识的确切含义以及和其他知识的联系，能够解释，在实际问题的分析、综合、推理、和判断等过程中加以运⽤，相当于课程标准的“理解”，“应⽤”。

要求Ⅱ：匀速直线运动，匀变速直线运动，速度与时间的关系，位移与时间的关系，位移与速度的关系，v-t图的物理意义以及图像上的有关信息。

⾼⼀物理必修⼀第⼆章知识点：⼀、匀变速直线运动的基本规律 ●基本公式： (速度时间关系) (位移时间关系) ●两个重要推论： (位移速度关系)(平均速度位移关系) ⾼⼀物理必修⼀第⼆章知识点：⼆、匀变速直线运动的重要导出规律 ●任意两个边疆相等的时间间隔(T)内的，位移之差(△s)是⼀恒量，即 ●在某段时间的中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度，即 ●在某段位移中点位置的速度和这段位移的始、末瞬时速度的关系为 ⾼⼀物理必修⼀第⼆章知识点：三、初速度为零的匀变速直线运动以下推论也成⽴ (1) 设T为单位时间，则有 ●瞬时速度与运动时间成正⽐， ●位移与运动时间的平⽅成正⽐ ●连续相等的时间内的位移之⽐ (2)设S为单位位移，则有 ●瞬时速度与位移的平⽅根成正⽐， ●运动时间与位移的平⽅根成正⽐， ●通过连续相等的位移所需的时间之⽐。

⾼⼀物理必修⼀第⼆章知识点：四、⾃由落体运动 ●定义：物体只在重⼒作⽤下从静⽌开始下落的运动。