线性相位FIR滤波器的零极点分布图

实验十一 FIR 滤波器的相位特性和幅度特性一、实验目的1. 了解 FIR 滤波器具有线性相位的条件。

2. 了解四种类型 FIR 滤波器的幅频特性和相频特性及用途。

3. 学会用 MA TLAB 工具分析 二、 实验原理与方法FIR 滤波器。

实验十六中已经讲过脉冲相应的对称与反对称，即满足)1()(n M h n h --=为对称满足)1()(n M h n h ---=为反对称。

当在M 为奇数偶数的下结合对称和反对称的情况，就可以得到四种类型的线性相位 FIR 滤波器。

对其中每种类型其频率响应函数都有特有的表达式和独特的形状。

可将)(ωj e H 写成：21,2;)()()(-===-M a e H e H a j r j πβωωβω式中)(ωr H 是振幅响应函数。

线性相位实系数FIR 滤波器按其M 值奇偶和)(n h 的奇偶对称性分为四种：1、Ⅰ类线性相位 FIR 滤波器：)(n h 为对称，M 为奇数。

可以证明：2/)1(2/)1(0])c o s()([)(---=∑=M j M n j e n n a e H ωωω式中)(n a 由)(n h 求得为：)21()0(-=M h a ；中间样本。

231),21(2)(-≤≤--=M n n M h n a 。

且振幅响应函数∑-==2/)1(0)cos()()(M n r n n a H ωω。

该幅值关于ππω2,,0=成偶对称。

MATLAB 中用函数Hr_Typel 来计算振幅响应。

2、Ⅱ类线性相位 FIR 滤波器：)(n h 为对称，M 为偶数.可以证明：2/)1(2/1])}21(cos{)([)(--=∑-=M j M n j e n n b e H ωωω式中2,...2,1),2(2)(M n n M h n b =-=且振幅响应函数∑=-=2/1)}21(cos{)()(M n r n n b H ωω可得0)(=πrH 。

4.3.5 全零点格型结构1973年，Gray 和Markel 提出一种新的系统结构形式，即格型结构（lattice structure ）。

这是一种很有用的结构，在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。

这种结构的优点是，对有限字长效应的敏感度低，且适合递推算法。

这种结构有三种形式，即适用于FIR 系统的全极点格型结构和适用于IIR 系统的全极点和零极点格型结构。

下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。

其他两种个性结构将留到第4.3节讨论。

格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。

图7.11 示出其中的第m 极。

与FIR 滤波器的直接型结构一样，全零点格型结构也是没有反馈支路的，图7.10 全零点格型结构图7.11 全零点格型结构的基本单元让我们从一组FIR 滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。

图7.10 中，以)(n x 为输入序列，后接M 个格型级，这样就形成M 个滤波器：第m （M m ,...,2,1=）个滤波器有两个输出，即上输出)(n f m 和下输出)(n g m 。

以)(n f m 为输出的滤波器称为前向滤波器；以)(n g m 为输出的滤波器称为后向滤波器。

对于M 个前向FIR 滤波器，它们的系统函数为：,...,M ,m z A z H m m 21 ),()(== （18） 式中，)(z A m 是多项式： 1 ,)(1)(1M m z k az A kmk mm ≤≤+=-=∑ （19） 这里，为了数学推导的方便，令式子右边第1项为1；下标m 代表滤波器序号，也代表滤波器的阶数，例如，给定 1)0(=a 以及)(),...,2(),1(M a a a ，则第4个滤波器的系统函数为 443424144)4()3()2()1(1)(----++++=z a z a z a z a z H设第m 个滤波器的输入、输出序列分别是)(n x 和)(n y ，则)()()()(1k n x k a n x n y mk m -+=∑= （21）其直接型实现如图12所示。

6.3滤波器指标设计一个16阶的FIR滤波器（h(0)=0），给定的参数如下：(1) 低通滤波器(2) 采样频率F S为48kHz，滤波器F C为10.8kHz(2) 滤波器类型（Filer Type）为低通（Low Pass）(3) 设计方法（Design Method）为FIR，采用窗函数法（Window）(4) 滤波器阶数（Filter order）定制为16(5) 窗口类型为Kaiser，Beta为0.5滤波器分析选择FDATool的菜单“Magnitude Response”，启动幅频响应分析如图B.4所示，x轴为频率，y轴为幅度值（单位为dB）。

图B.1 FIR滤波器幅频响应在图的左侧列出了当前滤波器的相关信息：●滤波器类型为Direct Form FIR（直接I型FIR滤波器）●滤波器阶数为16选择菜单“Phase Response”，启动相频响应分析，如图B.5所示。

由该图可以看到设计的FIR滤波器在通带内其相位响应为线性的，即该滤波器是一个线性相位的滤波器。

图B.2 滤波器相频响应图 B.6显示了滤波器幅频特性与相频特性的比较，这可以通过菜单“Magnitude and Phase Response”来启动分析。

图B.3滤波器幅频和相频响应FDATool还提供了以下几种分析工具：●选择菜单“Group Delay Response”，启动群时延分析。

群时延响应分析。

如下图图B.4群时延响应●选择菜单“Phase Delay Response”，启动相时延分析。

相时延响应分析。

如下图图B.5群时延响应●冲激响应分析（Impulse Response），如下图所示。

图B.5冲激响应●阶跃响应分析（Step Response），如下图所示。

图B.5阶跃响应●零极点图分析（Pole/Zero Plot），如下图所示。

图B.7 零极点图分布6.4基于FDATool的FIR滤波器设计1.1 滤波器指标若需要设计一个最小阶次的FIR滤波器（h(0)=0），给定的参数如下：(1) 低通滤波器(2) 采样频率F S为8Hz，滤波器F C为2kHz(3) 通带截止频率Fp：1KHZ(4) 阻带起始频率Fstop：2KHZ(5) 通带波动1%（经计算，通带最大波动为1.5）(6) 阻带波动10%（经计算，阻带最小衰减为200）在此利用MATLAB来完成FIR滤波器系数的确定。

fir滤波器的零点分布规律
fir滤波器的零点分布规律是具有对称性和离散性的。

在fir滤波器中，零点是滤波器的系统函数的分母为零的解。

根据fir滤波器的定义，其系统函数为一个有限长度的单位脉冲响应序列。

根据fir滤波器的离散性，其单位脉冲响应序列中的系数为有限个非零值，并以序列中心为对称轴分布。

因此，fir滤波器的零点也具有对称性。

fir滤波器的零点分布规律可以通过其频率响应来观察。

由于
fir滤波器的系统函数是实数函数，并且有限长，它的频率响应是周期为1的周期函数。

在频域中，fir滤波器的零点通常以离散的方式分布在单位圆上，即在复平面上，与单位圆相交的点即为零点的位置。

fir滤波器的零点分布规律主要取决于其设计方法和设计参数。

通常情况下，fir滤波器的零点分布是根据所需的滤波器特性和设计要求进行优化和调整的。

常见的fir滤波器设计方法包括窗函数法、最小均方误差法和频率采样法等，它们在设计过程中会对零点的分布进行控制和调整。

总之，fir滤波器的零点分布规律是具有对称性和离散性的，通常以离散方式分布在单位圆上，其具体分布形式取决于滤波器的设计方法和参数。

滤波器的线性相位和非线性相位设计方法滤波器是一种常用的信号处理器件，它可以通过选择特定频率范围内的信号，对信号进行滤波和处理。

滤波器的设计涉及到很多方面，其中一个重要的考虑因素是相位特性。

本文将介绍滤波器的线性相位和非线性相位设计方法。

一、线性相位设计方法线性相位滤波器是指滤波器的相位响应与频率成线性关系。

线性相位滤波器一般使用FIR (Finite Impulse Response) 滤波器来实现，其特点是具有稳定的相移特性，适用于实时信号处理应用。

线性相位滤波器的设计方法有两种常用的方式：窗函数法和最小相位反演法。

1.1 窗函数法窗函数法是一种常用的设计线性相位滤波器的方法。

该方法的基本思想是将滤波器的频率响应与理想滤波器的频率响应进行近似拟合。

常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、黑曼窗等。

在窗函数法中，首先确定滤波器所需的通带、阻带和过渡带的频率范围，然后选择合适的窗函数进行设计。

通过对窗函数进行傅立叶变换，可以得到滤波器的冲激响应。

最后，通过将冲激响应作为滤波器的系数，即可实现线性相位的滤波器设计。

1.2 最小相位反演法最小相位反演法是另一种常用的设计线性相位滤波器的方法。

该方法的基本原理是通过对滤波器的幅度响应进行傅立叶变换，并计算其对数幅度谱，然后将对数幅度谱反变换得到滤波器的冲激响应。

最小相位反演法的优点是可以设计出更短的线性相位滤波器，适用于信号处理时延较为严格的应用场景。

然而，该方法的计算复杂度较高，需要进行频域的计算和反变换，因此在实际应用中需要根据具体情况进行权衡和选择。

二、非线性相位设计方法非线性相位滤波器是指滤波器的相位响应与频率不成线性关系。

非线性相位滤波器常用于对信号的组成部分进行时间或相位延迟的处理。

非线性相位滤波器的设计方法有FIR型和IIR型两种。

2.1 FIR型非线性相位滤波器FIR型非线性相位滤波器是通过设计多通的滤波器来实现的。

其基本思想是在滤波器的频域响应上引入不同频率的群延迟，从而实现非线性相位特性。

DN0409: 四种情况线性相位FIR 滤波器的幅度特性：通信与系统处理专业：王修启（031120507）情况（1）：)1()(n N h n h --=偶对称，N 为奇数为奇数åå-+=----=-+-+=1212123)()21()()(N N n nj N j N n nj j e n h e N h en h e H w w w w在上式右端对第一、三项进行变量代换得到在上式右端对第一、三项进行变量代换得到åå-=-+----=÷øöçèæ----++-+--=211)21(2121121)21()21()21()(N m N m j N j N m m N j j e N m h e N h em N h e H w w w w由于÷øöçèæ-+=úûùêëé÷øöçèæ----=÷øöçèæ--2121121N mh m N N h m N h ，所以可以合并上面第一项和第三项，从而得到下面上面第一项和第三项，从而得到下面{}úúúûùêêêëé-++--=å-=---)21()21()(211)21(N h e e n N h ee H Nn n j n j N j j w w w wïþïýüïîïíì-+--=å-=--211)21()21(cos )()21(2Nn N jN h n n h n N h ew w 令21,2,1,212)(,21)0(-=úûùêëé--=÷øöçèæ-=N n n N h n a N ha 则 úúúûùêêêëé=å-=--21021)cos()()(N n N j jn n a ee H w ww 其频率响应幅度特性为å-==21)cos()()(N n n n a H w w ，关于ω=0,π,2π偶对称。

数字信号处理Digital Signal ProcessingOutlineƒ 线性相位FIR系统 ƒ 几种简单的数字滤波器¾ FIRƒ 低通，高通第 12 讲LTI系统的变换域分析 (Part II)LTI Systems in the Frequency Domain主讲：金连文eelwjin@¾ IIRƒ 低通，高通，带通，带阻¾ 梳状滤波器ƒ 互补传输函数及逆系统12线性相位FIR系统（1）ƒ 设计一个线性相位的LTI系统是有意义的。

ƒ 本节的动机：¾ 在很多场合下，我们希望系统具有线性相位，四、线性相位FIR系统分类如何进行设计？ƒ IIR的线性相位特性很难直接设计 ƒ FIR的线性相位特性可以很好的进行设计¾ 我们考虑实因果冲击响应序列的线性相位设计问题34线性相位FIR系统（2）ƒ 实因果冲击响应FIR系统，其传输函数为：线性相位FIR系统（3）ƒ 利用实冲击响应序列的频率响应的偶对称性及幅频 响应的奇偶对称性，经过推导（书P296），我们可 以得出，满足线性相位的FIR因果系统的冲击序列必 须满足如下关系：ƒ 未来获得线性相位特性，其频率响应应该具 有如下形式：h[n] = ± h[ N − n],0 ≤ n ≤ Nƒ 冲击响应必须是对称或反对称的。

ƒ 分四种情况讨论：¾ h[n] 对称，N为偶数 Æ I型 FIR ¾ h[n]对称， N为奇数 Æ II型 FIR ¾ h[n]反对称，N为偶数 Æ III型 FIR ¾ h[n]反对称，N为奇数 Æ IV型 FIR相位特性 幅频特性，零相位响应56线性相位FIR系统（4）I型FIR因果系统举例ƒ h[n]对称，不妨设N=878I型FIR系统频率响应函数ƒ I型FIR系统频率响应函数的一般形式II 型FIR系统频率响应函数910III 型FIR系统频率响应函数ƒ 频率响应函数：IV 型FIR系统频率响应函数ƒ 频率响应函数：1112FIR系统频率响应函数一般形式ƒ 四种FIR线性相位系统的频率响应函数具有如 下一般形式：线性相位的FIR系统的零点分布ƒ 回想线性相位FIR系统的冲击响应序列满足：h[n] = ± h[ N − n],0 ≤ n ≤ Nƒ 不难推导，其传输函数满足下式：H ( z ) = ± z − N H ( z −1 )ƒ 例子：P299-301ƒ 满足上式的H(z)我们称之为镜像多项式. ƒ 可见:¾ H(z)的零点是关于单位圆镜像对称的。

2北京邮电大学信息与通信工程学院概述:IIR 和FIR 比较IIR 与FIR 性能比较IIR 数字滤波器:幅频特性较好;但相频特性较差; 有稳定性问题;FIR 数字滤波器:可以严格线性相位,又可任意幅度特性因果稳定系统可用FFT 计算(计算两个有限长序列的线性卷积但阶次比IIR 滤波器要高得多3北京邮电大学信息与通信工程学院概述:IIR 和FIR 比较IIR 与FIR 设计方法比较IIR DF :无限冲激响应,H(Z 是z -1的有理分式,借助于模拟滤波器设计方法,阶数低(同样性能要求。

其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。

缺点:只能设计特定类型的滤波器,不能逼近任意的频响。

FIR DF :有限冲激响应,系统函数H(Z 是z -1的多项式,采用直接逼近要求的频率响应。

设计灵活性强缺点:①设计方法复杂;②延迟大;③阶数高。

(运算量比较大,因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元FIR DF 的技术要求:通带频率ωp ,阻带频率ωs 及最大衰减αp ,最小衰减αs 很重要的一条是保证H(z 具有线性相位。

4北京邮电大学信息与通信工程学院概述:FIR DF 设计方法FIR 数字滤波器设计FIR 滤波器的任务:给定要求的频率特性,按一定的最佳逼近准则,选定h(n 及阶数N 。

三种设计方法:n 窗函数加权法o 频率采样法p FIR DF 的CAD --切比雪夫等波纹逼近法5北京邮电大学信息与通信工程学院概述:FIR DF 零极点FIR 滤波器的I/O 关系:10N r y(nh(rx(n r−==−∑0121(, ,,,...,=−h n n N FIR 滤波器的系统传递函数:1211011N N N rN r h(z h(z .....h(N H(zh(rzz −−−−−=++−==∑⇒在Z 平面上有N-1 个零点;在原点处有一个(N-1阶极点,永远稳定。

FIR 系统定义:一个数字滤波器DF 的输出y(n,如果仅取决于有限个过去的输入和现在的输入x(n, x(n-1,. ......, x(n-N+1,则称之为FIR DF 。

数字信号处理综合测试（一）（考试时间：100分钟）一、填空题（1~3题每题3分，第4题6分，第5题5分，共20分）1.写出离散线性移不变系统输入输出间的一般表达式（时域、频域和z域）_____________。

2.离散线性移不变系统的频率响应是以______为周期的ω的周期函数，若h(n)为实序列，则实部______对称，虚部______对称。

（填“奇”或“偶”）3._____________________。

4.判断（填“√”或“×”）（1）设信号x(n)是一个离散的非周期信号，那么其频谱一定是一个连续的周期信号。

_________（2）离散傅里叶变换中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周期性意思。

_________（3）信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。

__________5.快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换__________________________和利用旋转因子的____________来减小计算量，其特点是____________、____________、____________。

二、（共10分）1.（4分）序列如图所示，试将x(n)表示为单位脉冲序列δ(n)及其加权和的形式。

2.（6分）判断系统T，n0为正常数是否为线性系统？是否为移不变系统？三、（10分）已知一个线性移不变离散系统的系统函数为1.画出H(z)的零极点分布图；（2分）2.在以下两种收敛域下，判断系统的因果稳定性，并求出相应的序列h(n)。

（8分）（1）2；（2）0.5 2四、（15分）已知序列x1(n)和x2(n)如下：1.计算x1(n)与x2(n)的15点循环卷积y1(n)，并画出y1(n)的略图；2.计算x1(n)与x2(n)的19点循环卷积y2(n)，并画出y2(n)的略图；3.画出FFT计算x1(n)与x2(n)线性卷积的框图。