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零极点分析

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实验-Z变换、零极点分析

实验-Z变换、零极点分析

（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。

【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。

解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。

【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。

解 （1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify( )化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f =a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H = （3-1）如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。

信号、系统分析与控制 第9章 系统函数的零极点

信号、系统分析与控制 第9章 系统函数的零极点


2. 离散系统函数的零极点
M
离散系统函数的多项式形式为：
H (z)
B(z) A(z)
bj z j
j0
N
ai z i
b0 a0
b1z 1 ... bm z m a1z 1 ... an z n
（9.1.2）
将系统函数进行因式分解，可采用根的形式表示多项式，即 i0
M
H (z)
Y (z)
➢ 说明系统正弦稳态特性。
➢ 研究系统的稳定性。从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率，进而了解系统冲激响应的模式，也就 是说可以知道系统的冲激响应是指数型、衰减振荡型、等幅振荡型、还是几者的组合，从而可以了解系统的
响应特性及系统是否稳定。
1. 连续系统的零极点
系统函数一般以多项式形式出现，分子多项式和分母多项式都可以分解成线性因子的乘积，即连续系统函数：
➢ 可预测系统的时域特性。确定系统函数H(s)、H(z)。 ➢ 可以用函数 [r,p,k]=residuez（num,den）完成部分分式展开计算系统函数的留数、极点和增益； ➢ 可以用函数sos=zp2sos（z,p,k）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
➢ 描述系统的频响特性。从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性，从而可以分析系统的正弦稳态 响应特性。 使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应。
2. 使用多项式的roots()函数分别求出多项式和的根，获得系统函数的极点、零点。
3. 用用zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零极点，sys表示系统传递函数。用法如下：
z = zero(sys)：返回 LTI模型 sys的零点z 的列向量。
[z,gain] = zero(sys)：同时返回增益gain。
离散系统的零极点分析

离散系统的零极点分析

axis([-5,45,-700000,500000]);
3.分析各系统的稳定性与系统零极点位置的关系。
根据Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H（Z）的所有极点位于Z平面的单位圆内。
六个图都没有零点，图1，2，4的极点都在单位圆内，所以系统1，2，4是稳定的，图3，5，6的极点
都在单位圆外，所以系统3,5,6是不稳定的。
My1.m
a=[1 -1];
b=[1];
impz(b,a);
axis([-1,15,0,1.2]);
（2）
My2.m
a=[1 -0.5]; b=[1]; impz(b,a);
axis([-1,15,0,1.2]);
（3）
My3.m
a=[1 -1.5]; b=[1]; impz(b,a);
axis([-5,50,0,800000]);
时域条件：离散系统稳定的充要条件为 ，即系统单位响应绝对求和。
Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H（Z）的所有极点位于Z平面的单位圆内。
2、零极点分布与系统单位响应时域特性的关系
离散系统单位响应h(n)的时域特性完全由系统函数H(z)的极点位置决定。H（z）的每一个极点将决定h(k)的一项时间序列。显然，H（z）的极点位置不同，则h(n)的时域特性也完全不同。
a=[1 –1];
b=[1];impz(b,来自)axis([-5,10,0,1.2])
3分析各系统的稳定性与系统零极点位置的关系。
五，实验过程原始记录（数据，图表，计算等）
1.写出上面6图对应系统的系统函数。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.编辑各系统函数的相应的.m文件，输出冲激响应波形；
I型三阶系统典型分析及综合设计

I型三阶系统典型分析及综合设计

I型三阶系统典型分析及综合设计I型三阶系统是指具有三个自由度的积分器的系统，即系统具有三个积分器。

它是一种常见的控制系统结构，常用于系统对静态误差有较高要求的控制应用中。

典型分析：1. 零极点分析：对于I型三阶系统，由于具有三个积分器，系统的开环传递函数的分母可以表示为s^3，即系统有一个零点在无穷远处。

同时，根据系统的需求，可以根据实际情况设计系统的零点和极点位置。

2. 频率响应分析：通过对系统的频率响应进行分析，可以了解系统对不同频率信号的响应情况。

对于I型三阶系统，频率响应主要关注系统的增益和相位特性。

可以通过绘制系统的幅频曲线和相频曲线来进行频率响应分析。

3. 稳定性分析：稳定性是控制系统设计中的重要指标之一。

对于I型三阶系统，可以通过分析系统的极点位置来判断系统的稳定性。

如果系统的极点都在左半平面，即实部为负，那么系统是稳定的。

综合设计：在进行I型三阶系统综合设计时，可以根据系统的要求和性能指标，设计合适的控制器结构来实现系统的控制目标。

常用的设计方法包括PID控制器设计和状态反馈控制器设计。

具体的设计步骤包括：1. 确定系统的需求和性能指标，如静态误差要求、响应速度要求等。

2. 根据系统的需求和性能指标，选择合适的控制器结构，如PID控制器、状态反馈控制器等。

3. 设计控制器的参数，通常可以通过经验法则、频率响应设计法或优化方法来确定控制器的参数。

4. 进行控制系统的仿真和实验验证，根据实际效果对控制器进行调整和优化，确保系统满足设计要求。

综合设计中还需要考虑到系统的稳定性、鲁棒性、控制器结构的实现难度等因素。

根据不同的应用场景，可以进行在线自适应控制和模型预测控制等高级控制方法的设计和实现。

实验-Z变换、零极点分析

实验-Z变换、零极点分析

（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。

【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。

解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。

【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。

解 （1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify( )化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f =a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H = （3-1）如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H ΛΛ （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。

信号与系统系统函数的零极点分析课件

信号与系统系统函数的零极点分析课件


和相频特性。
零点对系统幅值的影响
02
零点的位置会影响系统的幅值响应，可能导致系统幅值出现峰
值或谷值。
零点对系统相位的影响
03
零点的位置也会影响系统的相位响应，可能导致系统相位出现
滞后或超前。
零点对系统稳定性的影响
零点位置与系统稳定性
零点的位置与系统的稳定性密切相关，某些位置的零点可能导致 系统不稳定。
02
频率响应分析
零极点分布影响系统的频率响应特性，通过分析零极点 可以预测系统的频率响应行为。
03
系统设计
通过合理设计系统的零极点，可以实现特定的系统性能 指标，如快速响应、低超调量等。
03 系统函数的零点分析
零点对系统性能的影响
零点位置影响系统性能
01
零点位置的不同会导致系统性能的差异，例如系统的幅述线性时不变系统动态 特性的数学模型，通常表示为复平面 上的函数。
性质
系统函数具有线性、时不变性和因果 性等基本性质，这些性质决定了系统 的动态行为。
零点的定义与性质
定义
零点是系统函数在复平面上的根，即 使得系统函数值为零的点。
性质
零点对系统动态行为的影响主要体现 在系统的传递函数中，影响系统的频 率响应特性。
信号合成与分解
通过分析信号的零极点分布，可以将复杂信 号分解为简单信号的叠加，反之亦然。
在通信系统中的应用
调制解调
在通信系统中，零极点分析用于分析信号的 调制解调过程，以优化信号传输的质量。
信道均衡
在数字通信中，信道均衡器通过调整零极点 位置来补偿信道对信号的畸变影响。
1.谢谢聆 听
极点影响系统噪声性能
极点的位置也会影响系统的噪声性能，极点靠近虚轴时，系统对噪声的抑制能力较强。
零极点分析ppt课件

零极点分析ppt课件


5.1.1 系统函数的定义
设系统的 n 阶微分方程为：
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(1) (t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b1x(1) (t) b0 x(t) 若 y(k) (0 ) 0, x(k ) (0 ) 0
i1 k 1
29
自由响应
强迫响应
例5-4：电路如图所示，输入信号x(t)=5cos2t u(t),求输出电压
y(t),并指出y(t)中的自由响应和强迫响应分量。
R=1Ω +
x(t)
C=1F
1
+ H (s) Y (s) sC 1
y(t)
X (s) R 1 s 1 sC
-
-
X
(s)
5s s2
1
s 1 s 2 s2 3s 2
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
输入信号 x(t) Eetu(t),
S
x(t )
R1
C R2 v2 (t)
（1）求冲激响应h(t)；
(2）求输出电压v2(t)；
1
解:
（1） H (s) V2 (s) 1/ R2 sC K
arctan L
sin(t
)
R
+
H (s) VR (s) R X (s) R sL
x(t)
vR(t)
R 1
L sR
-
L
--------- 转移电压比（电压传输函数6 ）
5.1.2 系统函数H(s)与冲激响应h(t)的关系
Yzs (s) H (s) X (s)
当 x(t) (t) 时， yzs (t) h(t) 而 X (s) [ (t)] 1
上机实验2零极点分析与幅频特性

上机实验2零极点分析与幅频特性

计算零点
使用MATLAB中的roots函数计算系统函数的零 点。
3
计算极点
同样使用roots函数计算系统函数的极点。
系统幅频特性的绘制
01
定义频率范围
确定要绘制的频率范围，例如从 0到10 rad/s。
02
计算幅值和相位角
03
绘制幅频特性图
使用MATLAB中的bode函数计 算系统在给定频率范围内的幅值 和相位角。
理解幅频特性
通过实验，我了解了如何计算系统的幅频特性，并理解了幅频特性在系统分析和设计中 的重要性。
培养实践操作能力
实验过程中，我不仅学习了理论知识，还培养了动手实践的能力，提高了解决实际问题 的能力。
实验不足与改进方向
实验操作不够熟练
在实验过程中，我发现自己在操作MATLAB 软件进行系统分析时还不够熟练，需要进一 步加强练习。
极点的位置决定了系统幅频特性曲线的形状，极点越靠近 虚轴，系统幅频特性曲线的下降越快。
零极点对系统时域响应的影响
零点可以改变系统时域响应的峰值时 间，使峰值时间提前或延后。
极点影响系统时域响应的衰减速度， 极点越靠近虚轴，衰减速度越快。
03
CATALOGUE
上机实验操作步骤
MATLAB软件环境准备
理论知识掌握不全面
在实验过程中，我发现自己对系统函数和零极点分 析的理论知识掌握还不够全面，需要进一步深入学 习。
实验时间安排不够合理
由于实验时间安排紧凑，导致我在实验过程 中有些紧张，影响了实验效果，下次应提前 规划好时间安排。
后续研究展望
深入研究零极点分析方法
未来可以进一步深入研究零极点分析方法，了解其在控制系统分析 和设计中的应用。
信号与系统 系统函数的零极点分析

信号与系统 系统函数的零极点分析


信号与5系.7统.3二、系系统统函零数极的极点点、与零系点与统系频统频率率特响性应的关的系关系
频率特性 频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。 实际上就是系统的傅里叶变换
主要是指幅频特性和相频特性。
在系统是稳定的前提下，系统频率响应和系统函数的关系为
H (? ) ? H (s) 2)2
在虚轴上
h(t) ? t sin ωtu(t)，t ? ? ，h(t) 增幅振荡
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
几种典型情况
j?
jω0
?α
O
? jω0
α
?
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
总体来说，系统函数 H(极s) 点 p ?对? ?时j?域响应特性关系如下
5.7.1 系统函数零极点定义
系统函数零点：使 H (s) ? 0 的 s 值。
系统函数极点：使 H ( s ) ? ? 的 s 值。
对系统函数分子分母多项式进行因式分解得
H (s) ? K(s ? z1)(s ? z2 )L (s ? zm ) (s ? p1)(s ? p2 )L (s ? pn )
将矢量图画在复平面内
信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
零点： j? ? zr ? Nr e j? r
Nr
zr
?r
jω
σ
O
极点: j? ? pk ? Mke j?k
?k
pk
zr
Mk
Nr
?r
jω
σ
O
信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
H (? ) ? K
r ?1 n
实验Z变换、零极点分析

实验Z变换、零极点分析

实验Z变换、零极点分析1. 学会运⽤MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换；⼀、实验原理及实例分析（⼀）离散时间信号的Z 变换1．利⽤MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理⼯具箱提供了⼀个对F(Z)进⾏部分分式展开的函数residuez()，其调⽤形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分⼦多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。

【实例1】利⽤MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。

解：利⽤MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学⼯具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调⽤形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上⾯两式中，右端的f 和F 分别为时域表⽰式和z 域表⽰式的符号表⽰，可应⽤函数sym 来实现，其调⽤格式为()A sym S =的Z 反变换。

解（1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运⾏结果为：z/a/(z/a-1)可以⽤simplify( )化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运⾏结果为f =a^n*n（⼆）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之⽐，即)()()(z X z Y z H = （3-1）如果系统函数)(z H 的有理函数表⽰式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2）那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表⽰)(z H 的分⼦与分母多项式的系数向量。

滤波器的零点和极点分析

滤波器的零点和极点分析

滤波器的零点和极点分析对于滤波器的设计和分析，了解其零点和极点的特性是至关重要的。

零点和极点是滤波器传递函数的根，可以直接影响滤波器的频率响应和滤波效果。

本文将深入介绍滤波器的零点和极点分析，解释它们的物理意义以及对滤波器性能的影响。

一、滤波器的零点和极点是什么？滤波器的零点和极点是指其传递函数在复平面上的根。

在频域中，传递函数可以表示为一个多项式的比值。

这个比值的分子和分母中的根称为零点和极点。

零点可以看作是使传递函数为零的输入信号的频率，而极点是使传递函数无穷大的输入信号的频率。

换句话说，零点是传递函数的归零频率，极点是传递函数的失效频率。

零点和极点的位置和数量直接决定了滤波器的频率响应。

在复平面上，零点和极点可以是实数或者复数，它们共同定义了滤波器的特性。

在滤波器分析中，我们通常将零点和极点画在一个虚轴上，以线的形式表示。

二、零点和极点的物理意义1. 零点的物理意义零点决定了滤波器对不同频率信号的传递特性。

如果输入信号的频率等于零点的频率，则传递函数为零，表示输出信号被完全屏蔽。

零点的存在可以抵消输入信号的某些频率分量，从而改变信号的频率分布。

以低通滤波器为例，其传递函数可表示为H(s) = K(s-s₀)/(s-p₁)(s-p₂)...(s-pn)，其中s₀为零点，p₁到pn为极点。

当输入信号的频率为零点时，传递函数变为H(s) = K，即输出信号与输入信号完全相等。

这意味着低通滤波器通过了低频信号，但屏蔽了高频信号。

2. 极点的物理意义极点决定了滤波器对不同频率信号的信号增益和相位延迟。

当输入信号的频率等于极点的频率时，传递函数会出现无穷大的增益，这会导致输出信号的失真。

在滤波器设计中，我们通常希望极点的位置位于左半平面，以确保系统的稳定性。

而极点位于右半平面可能导致系统不稳定甚至发生振荡。

三、零点和极点对滤波器性能的影响零点和极点的位置和数量直接决定了滤波器的频率特性和滤波效果。

它们可以影响滤波器的增益、带宽、群延迟等性能指标。

零极点的一系列分析

8-6 H(z)的零、极点分析对于阶线性时不变离散时间系统，其系统函数为式中，均为的多项式，并分别进行因式分解后可写为(8-60)式中，是的零点；是的极点；为一个实常数。

它们由差分方程的系数决定。

一、H(z)零、极点分布与系统的时域特性观看动画由于系统函数与单位序列响应是一对z变换，即所以，完全可以从的零、极点分布情况确定单位序列响应的性质。

对于具有一阶极点的系统函数，由前一节讨论可知，其单位序列响应为式中，, 取决于的零、极点及常量。

这样，上式可表示成(8-61)这里，极点可以是实数，也可以是成对的共轭复数。

可见，离散时间系统的时域特性可由反映，而的极点决定的性质，零点只影响的幅度与相位。

对于一阶极点的情况，极点分布与中第个分量形状之间的关系示意于图8-6。

图中“×”表示的一阶单极点位置。

对于一阶单极点，若所有极点位于z平面单位圆内，即，随增大而指数衰减，当时，；当含有单位圆即上极点外，其余极点位于单位圆内时，随增大，逐渐稳定在某一有限范围内变化；当含有z平面单位圆外极点时，随增大而增大，当时，。

对于重极点，也可通过极点分布情况研究的特性，可知只要极点位于z平面单位圆内，必有，。

当含有上的多重极点时，必有，。

图8-6二、H(z)零极点分布与系统频率特性对于线性时不变离散时间系统，当系统函数收敛域包括单位圆时，其频率特性表示为(8-62)式中，称为离散时间系统的幅频特性(或幅频响应)；为的幅角，称为离散时间系统的相频特性(或相频响应)。

对于由实系数差分方程描述的离散系统，有, 。

与连续时间系统正弦激励下的响应类似，也可看做离散时间系统激励为正弦序列时的稳态响应“加权”。

因当时有仅考虑极点位于单位圆内的情况，则式中，，对于稳态响应部分，可求得因此，当激励是正弦序列时，系统的稳态响应也是同频率正弦序列，其幅值为激励幅值与系统幅频特性值的乘积，其相位为激励初相位与系统相频特性值之和。

如果已知系统函数在z平面上零、极点的分布，则可通过几何方法简便直观地求出离散系统的频率响应，即已知有(8-63)仿照连续时间系统中计算的几何作图法，在z平面也可逐点求得离散时间系统的频率响应。

【实验】连续时间系统S域零极点分析

【关键字】实验实验七连续时间系统S域零极点分析一、目的（1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系（2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系（3）掌握利用MATLAB进行S域分析的方法二、零极点分布与系统稳定性根据系统函数的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。

稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。

对任意有界信号，若系统产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。

上述稳定性的定义可以等效为下列条件：●时域条件：连续系统稳定充要条件为，即冲激响应绝对可积；●复频域条件：连续系统稳定的充要条件为系统函数的所有极点位于S平面的左半平面。

系统稳定的时域条件和频域条件是等价的。

因此，只要考察系统函数的极点分布，就可判断系统的稳定性。

对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困难。

这时可利用MATLAB来实现这一过程。

例7-1：已知某连续系统的系统函数为：试用MATLAB求出该系统的零极点，画出零极点图，并判断系统是否稳定。

解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数sjdt即可解决此问题，对应的MATLAB命令为：a=[8 2 3 1 5];b=[1 3 2];[p,q]=sjdt(a,b)运行结果为：p =-0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196iq =-2 -1绘制的零极点图如图7-1所示。

由程序运行结果可以看出，该系统在S平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统是一个不稳定系统。

三、零极点分布与系统冲激响应时域特性设连续系统的系统函数为，冲激响应为，则显然，必然包含了的本质特性。

对于集中参数的LTI连续系统，其系统函数可表示为关于s的两个多项式之比，即（7-1）其中为的M个零点，为的N个极点。

实验Z变换、零极点分析

1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换；一、 实验原理及实例分析（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。

【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。

解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。

【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。

解 （1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify( )化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f =a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H = （3-1） 如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。

折叠共源共栅放大器的零极点分析

折叠共源共栅放大器的零极点分析折叠共源共栅放大器（Folding Cascode Amplifier）是一种常用的放大电路，被广泛应用于射频（RF）电路和通信系统中。

该放大器由共源级和共栅级组成，具有高增益、高输入阻抗和低输出阻抗等特点，适用于宽频带和高频率应用。

在进行零极点分析之前，首先需要明确折叠共源共栅放大器的电路结构和工作原理。

折叠共源共栅放大器的原理图如下：[Image]其中，M1和M2为NMOS管，构成分配级（Source Follower）；M3和M4为PMOS管，构成共栅级（Cascode Stage）。

Vin为输入信号，Vout为输出信号。

在理想情况下，输入信号通过分配级放大，并由共栅级输出。

对于折叠共源共栅放大器，可以通过以下步骤进行零极点分析：1.首先，我们需要确定电路中的输入功率和输出功率。

输入功率Pin = VoltageIn × CurrentIn输出功率Pout = VoltageOut × CurrentOut2.接下来，我们可以计算输入阻抗和输出阻抗。

输入阻抗Zin = VoltageIn / CurrentIn输出阻抗Zout = VoltageOut / CurrentOut3.然后，我们可以使用DC分析来确定电路中的直流偏置电压和直流电流。

DC偏置点是电路中的稳定工作点，通过设置电源电压和电阻值来确定。

4.在得到直流偏置电压和电流后，我们可以使用AC分析来确定电路的增益和带宽。

AC分析是一种线性分析方法，可以对电路进行频率响应分析。

5.在AC分析中，可以使用小信号模型来计算电路的增益和带宽。

小信号模型是对电路进行线性化处理，将非线性元件（如晶体管）近似为线性元件（如电流源）。

6.在小信号模型中，可以计算电路的输入导纳和输出导纳。

输入导纳Yin = CurrentIn / VoltageIn输出导纳Yout = CurrentOut / VoltageOut7.最后，我们可以使用输入和输出导纳来计算折叠共源共栅放大器的零极点。

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+ R2 v2 (t)
+ x(t)
（1）求冲激响应 ）求冲激响应h(t)； ； (2）求输出电压v2(t)； ）求输出电压 ；
1 V2 (s) K 1/ R2 + sC = = 解: （1） H(s) = 1 X (s) R + s+β 1 1/ R2 + sC
−
C
−
K
R 1
+ x(t)
−
C
−αt
−βτ
K H(s) = x(t) = Ee u(t) s+β KE 或： V (s) = H(s) X (s) = 2 (s +α)(s + β ) KE 1 1 = − [ ] β −α s +α s + β
−αt
KE −αt −βt v2 (t) = (e − e )u(t) (α ≠ β ) β −α
若
（1）
y ( k ) (0 − ) = 0, x ( k ) (0 − ) = 0
对式（ ）两边取拉氏变换得： 对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m + bm −1s m −1 + ⋯ + b1s + b0 Yzs ( s ) = X (s) n n −1 an s + an −1s + ⋯ + a1s + a0
H(s) =
ω
(s − a)2 +ω2
↔ h(t) = eat sinωtu(t) (a > 0)
2. 二阶极点 平面坐标原点的二阶极点， （1）s平面坐标原点的二阶极点，如 ） 平面坐标原点的二阶极点
1 H(s) = 2 ↔ h(t) = tu(t) s
（2）负实轴上的二阶极点 ）
1 H(s) = ↔ h(t) = te−a t u(t) (a > 0) (s + a)2
非稳定系统（极点在右半 平面 平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→ 如果在虚轴上 二阶： 二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？ 零点的位置对系统的特性有何影响呢？ 零点的位置对系统的特性有何影响呢
∆2 s + 2s + 1 I 2 (s) = =− 2 V1 ( s ) ∆ s + 5s + 2
2
I 2 ( s) s + 2s + 1 Y21 ( s ) = =− 2 V1 ( s ) s + 5s + 2
2
5.2 零、极点分布与时域响应特性 f (t ) F (s ) h(t ) H (s )
当 而
x(t) = δ (t)时， yzs (t) = h(t)
X (s) = [δ (t)] =1
Yzs (s) = H(s)
所以 或 简记为：
h(t) =
−1
[H(s)]
H(s) =
[h(t)]
h(t)
H(s)
5.1.3 系统函数 系统函数H(s)的求法 的求法 （1）由零状态下系统的微分方程经拉氏变换求得 ） （2）由冲激响应的拉氏变换求得 ） 域模型、 （3）用零状态下的 域模型、应用电路分析方法求得 ）用零状态下的s域模型
例5-2：求下图电路的转移导纳函数 ：
I 2 (s) H ( s ) = Y21 ( s ) = V1 ( s)
1 1F + V1(s) 1 I1(s) 1 I2(s) I3(s) 1F
1 1F + V1(s) 解：列写回路方程 1 I1(s) 1 I2(s) I3(s) 1F
1 1 ( +1)I1(s) + I2 (s) − I3 (s) =V1(s) s s 1 1 I1(s) + ( + 2)I2 (s) + I3 (s) = 0 s s 1 1 2 − I1(s) + I2 (s) + ( +1)I3 (s) = 0 s s s
H(s)
Y(s)
注意： 、 独立于输入， 注意：1、H(s)独立于输入，仅由系统特性决定； 独立于输入 仅由系统特性决定；
2、系统函数是在零状态条件下得到的； 、系统函数是在零状态条件下得到的； 3、线性时不变系统的H(s)是s的有理函数。 、线性时不变系统的 的有理函数。 是 的有理函数
H(s)名称的含义 名称的含义
1 +1 s ∆= 1 1 − s
1 1 +2 s 1 s
1 − s 1 s 2 + 5s + 2 = s s2 2 +1 s 1 − s 1 s 2 + 2s + 1 =− V1 ( s ) 2 s s 2 +1 s
1 + 1 V1 ( s ) s ∆2 = + 2s + 1 I 2 (s) = =− 2 V1 ( s ) ∆ s + 5s + 2
α h2 (t ) = [ H 2 ( s)] = e [cos ω t − sin ω t ] = e −αt A cos(ω t + ϕ ) ω 其中： A = 1 + ( α ) 2 , ϕ = arctan α ω ω
+
x(t) -
vR(t)
--------- 转移电压比（电压传输函数） 转移电压比（电压传输函数）
VR (s) R H(s) = = X (s) R + sL R 1 = ⋅ L s+ R L
5.1.2 系统函数 系统函数H(s)与冲激响应 的关系 与冲激响应h(t)的关系 与冲激响应
Yzs (s) = H(s) X (s)
s→pi s→zi
若lim H(s) = 0， zi为 点 则 零 。
s[(s −1)2 +1] s(s −1+ j)(s −1− j) H(s) = = 2 2 (s +1) (s +4) (s +1)2(s +2j)(s −2j)
p1 = p2 = −1 极点： 极点： p3 = 2 j p = −2 j 4
考虑如下两个系统： 考虑如下两个系统：
s +α H1 ( s) = (s + α )2 + ω 2 h1 (t ) =
−1
[ H1 ( s )] = e −αt cos ω t
α ω s s +α ω H 2 (s) = = − (s + α )2 + ω 2 (s + α )2 + ω 2 (s + α )2 + ω 2
+ R2 v2 (t)
K H(s) = s+β
其中：
−
x(t) = Ee u(t) ∴ h(t) =
（2）
t
R + R2 1 K= , β= 1 RC R R2C 1 1
−β t
−1
[H(s)] = Ke
t 0 −α (t −τ )
u(t)
v2 (t) = h(t) ∗ x(t) = ∫ h(τ )x(t −τ )dτ = ∫ Ke Ee dτ ⋅ u(t) 0 KE −αt −βt = (e − e )u(t) (α ≠ β ) β −α
H(s)能否反映 能否反映h(t)的特性？ 的特性？ 能否反映 的特性 5.2.1 零点与极点的概念
bms +bm−1s +⋯ +bs +b0 B(s) 1 = H(s) = n n−1 ans + an−1s +⋯ + a1s + a0 A(s)
m
m−1
若lim H(s) = ∞,则 i为 点 p 极 ；
5.1 系统函数与冲激响应
5.1.1 系统函数的定义 阶微分方程为： 设系统的 n 阶微分方程为：
an y (t ) + an −1 y
(n)
( n −1)
(t ) + ⋯ a1 y (t ) + a0 y (t )
(1)
= bm x ( m ) (t ) + bm −1 x ( m −1) (t ) + ⋯ + b1 x (1) (t ) + b0 x(t )
下示电路在t=0时开关 闭合，接入信号源x(t),电感起始电流为 时开关S闭合 例：下示电路在 时开关 闭合，接入信号源 电感起始电流为 零，求电流i(t)。 求电流 。
x(t)
x(t ) = Vm sin(ωt )
V mω X (s) = 2 s +ω2
I ( s) 1 1 1 H ( s) = = = ⋅ X (s) sL + R L s + R L
--------- 策动点导纳函数
1 1 Vmω I (s) = H(s) X (s) = ⋅ ⋅ 2 2 L s + R s +ω L
R − t Vm 2 2 2 L i (t ) = 2 2 ωLe + R + ω L sin(ωt − ϕ ) 2 ω L +R
ωL ϕ = arctan R
Yzs (s) bms + bm−1s +⋯b s + b0 1 H(s) = = n n−1 X (s) ans + an−1s +⋯a1s + a0
m
m−1
--------- “系统函数”或“网络函数”
简写为： 简写为：
Y(s) H(s) = X (s)
X(s)
或： Y (s) = H(s) X (s)
d 2 y(t) dy(t) +3 + 2y(t) = x(t) 例5-1：已知 ： 2 dt dt