【范文】第七单元数学广角-植树问题、鸡兔同笼问题知识点归纳

小学鸡兔同笼问题归纳总结鸡兔同笼问题是一个经典的数学题目，常常出现在小学数学课本中。

这个问题考察的是对于数量关系的理解和解决问题的能力。

在这篇文章中，我们将对小学鸡兔同笼问题进行归纳总结，希望可以帮助读者更好地理解和解决这类问题。

1. 问题背景鸡兔同笼问题通常以以下的形式出现：假设一个笼子里面关着鸡和兔，它们的数量加起来一共有若干只，脚的数量加起来一共有若干只。

现在要求计算鸡和兔的数量各是多少。

2. 问题分析对于鸡兔同笼问题的解答，我们需要做以下几个步骤：首先，设定变量并建立方程；其次，根据已知条件列方程，并进行转化；最后，求解方程并得出结论。

3. 解题步骤3.1 设定变量并建立方程设鸡的数量为x只，兔的数量为y只。

根据题目条件，可以得到两个方程：x + y = 总数量2x + 4y = 总脚数3.2 列方程并进行转化由第一个方程可以得到y = 总数量 - x。

将其代入第二个方程中，可以得到2x + 4(总数量 - x) = 总脚数。

整理方程后得到2x - 4x = 总脚数 - 4(总数量)。

进一步化简得到-2x = 总脚数 - 4(总数量)。

3.3 求解方程并得出结论根据上述方程，我们可以求解出x的值。

通过代入x的值到第一个方程中，可以得到相应的y的值。

最终，我们就可以得出鸡和兔的数量。

4. 解题技巧4.1 观察题目条件在解题过程中，我们需要注意观察题目给出的条件。

通常来说，题目给出的总数量和总脚数是已知的，我们能够根据这些量来进行计算。

4.2 引入变量引入变量是解决数学问题的常见方法，可以帮助我们建立方程从而求解问题。

在鸡兔同笼问题中，我们引入x和y作为鸡和兔的数量，并通过两个方程来建立问题的模型。

4.3 方程求解求解方程需要运用一些基本的代数运算。

通过消元、分配律等运算规则，我们可以将多元方程转化为单元方程，从而求解出变量的值。

5. 实例分析以下是一个具体的鸡兔同笼问题的例子：假设一个笼子中共有20只鸡和兔，一共有52只脚。

鸡兔同笼知识点归纳鸡兔同笼是一个经典问题，源于中国古代的算学家算经中的一个问题，随着时间的推移，这个问题成为了现代数学、思维训练以及逻辑思维的一个经典问题。

鸡兔同笼问题的基本形式是：在一只笼子里，有若干只鸡和兔子，头数上共有35个，脚的总数是94个，问笼中鸡和兔各有多少只？这篇文章会就鸡兔同笼问题的知识点进行归纳，帮助读者更好地理解这个问题。

1. 鸡兔同笼问题的基本概念首先，我们需要了解鸡兔同笼问题的一些基本概念。

鸡兔同笼问题是一个有限制条件的不定方程问题，问题中涉及到未知数的个数和方程的个数不相等，因此这个问题是一个有多解的问题。

对于有多解的问题，我们需要有一些特殊的解法，例如列出二元一次方程组等。

2. 鸡兔同笼问题的解法接着，我们需要了解鸡兔同笼问题的解法。

鸡兔同笼问题的解法有多种，其中比较常见的方法是利用数学的代数方程解法和图像解法，也可以利用逻辑思维的方法进行求解。

代数方程解法主要是通过列出若干个方程组，解出问题中的未知数。

图像解法主要是通过画图，找到鸡和兔的个数之间的特殊关系。

逻辑思维的解法主要是通过分析信息，进行逻辑推断，从而得出鸡和兔的个数。

3. 鸡兔同笼问题存在的注意事项除此之外，鸡兔同笼问题还存在一些注意事项。

首先，在解题过程中，需要关注限制条件，注意题目中给出的限制条件，这有助于我们快速地解题。

其次，需要注意到这个问题有多解的特点，因此需要对结果进行检验确认。

最后，这个问题多种解法，需要根据题目难度、自身能力和时间来选择合适的解法进行求解。

4. 鸡兔同笼问题的扩展除了基本形式之外，鸡兔同笼问题还存在许多扩展。

一些经典的扩展问题包括：用鸡翅和兔耳来替代原问题中的鸡和兔，用重量来替代数目，用面积、周长等来替代脚的总数。

这些扩展问题，不仅能够加深我们对于鸡兔同笼问题的理解，也能够拓展我们的思维方式，让我们富有创造性地解决问题。

总之，鸡兔同笼问题是一个经典的数学与逻辑思维问题，其解法有多种，并存在多解的特性，因此在学习、研究这个问题时需要更全面、深入、科学的策略，并应用于实际生活中。

植树问题同学们，植树问题，其实就是数学中设置等分点的计算问题。

因此题中的情节不局限于植树，生活中的跨楼梯，锯木头，插红旗，安路灯等问题，都可以按照植树问题的数量关系和思路解答。

例1.有一个窗框长1米60厘米，准备安装7根铁栏杆，栏杆的距离是多少厘米？分析与解答：（这是两端都不植树问题）观察下图不难发现，7根铁栏杆把窗框平均分成8段，我们只要把1米60厘米平均分成8 份就可以了。

（1）先求有多少个间隔？7+ 1 = 8（个）（2）再求栏杆间的距离1米60厘米=160厘米160- 8= 20（厘米）答：栏杆的距离是20厘米。

例2.在一个正方形池塘四周栽树，四个顶点各栽一棵，这样每边都栽有25棵，如果每相邻两棵之间相距2米，这个正方形池塘的周长有多少米？分析与解答：这道题有两种解答方法，一种是先求一共有多少棵树，再求周长；另一种是先求正方形的边长，再求周长。

解法一：（1）先求一共有多少棵树25X4-4 = 96（棵）或：（25- 1）X 4= 96（棵）⑵再求池塘的周长2X 96= 192（米）解法二：（1）先求池塘的边长2X（25-1）= 48（米）⑵再求池塘的周长48 X 4= 192（米）答：池塘的周长有192米。

☆例3.电梯坏了，小红要步行走回在10楼的家，她从1楼出发到达4楼后看了一下时间，发现自己用去了2分钟，如果小红以不变的速度走上10楼，她一共用了多少时间。

分析：这个题目的关健在于我们要弄清楚从1楼到4楼，1楼到10楼各有多少层，这样我们就可以求出小红走一层楼所用的时间，从而求出她一共用的时间。

从1楼到4楼一共是要走3层楼梯，我们可以总结从1楼到n层楼走的楼梯是（n-1）层楼, 因此从1楼走到10楼是9层楼梯。

2解：小红走一层楼用的时间：2七=（分钟）32小红走9层楼梯用的时间：X9 =6 （分钟）答：略例4.（两端都植树问题）时钟4点钟敲4下，用12秒敲完。

那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？分析：12 秒* _第1下第2下第3下第4下第5下第6下时钟敲4下，经過了 3個時间间隔，每个時间间隔是：12*（4—1）= 4 （秒）。

编号：00012744523444276565859893850004学校：陆基市图缲镇建国小校*教师：腾聊松*班级：快乐玖班*重点单元核心归纳与易错警示学习目标1.利用学生熟悉的生活情境，通过探索让学生进一步从实际问题中发现间隔数与植树棵数之间的规律，培养应用规律解决问题的能力。

2.能够借助图形，利用规律来解决实际生活中简单的植树问题。

培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。

3.通过小组合作观察、探索、交流的实践活动，发现间隔数与植树棵数之间的关系，经历和体验将“复杂问题简单化”的解题过程和思想。

学习重点能够正确运用所学习的三种植树的情况解决各种实际问题。

学习准备教具准备：PPT课件教学环节1：重点单元核心归纳知识点具体内容不封闭路线两端都栽树的问题不封闭路线两端都栽树的解题方法：总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数+1。

不封闭路线两端都不栽树的问题不封闭路线两端都不植树的解题方法：总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数-1。

封闭路线上的植树问题封闭路线上的植树问题：棵数=间隔数=总距离÷株距。

教学环节2：易错警示素养延伸【例题1】学校有一条长600m的小路，准备在小路的两旁栽树，每隔4m栽一棵，如果两端都栽树，那么共需要多少棵树苗？错误答案：600÷4+1=151（棵）正确答案：600÷4+1=151（棵）151×2=302（棵）错点警示：注意小路旁植树时要考虑路两旁。

规避策略：弄清是否在路两旁都植树。

【例题2】一根钢管长10m，要把它锯成5段，每锯下一段平均需要6分钟，锯完一共需要多少分钟？错误答案：5×6=30（分钟）正确答案：（5-1）×6=24（分钟）错点警示：锯的次数要比段数少1。

规避策略：锯钢管问题可以看成不封闭路线两端都不植树的问题，锯的次数=段数-1。

教学环节3：单元复习训练1.在600m长的公路一旁从头到尾栽101棵树，每2棵树之间距离相等，每两棵树之间距离是多少？分析：这题是两端都植树的情况，间隔数=棵数-1，再用总距离除以间隔数得到每段距离是多少。

人教版五年级数学上册期末复习重难点知识点第七单元数学广角-植树问题同学们，经过一个学期的学习，你一定进步了吧！今天，让我们共同回顾一下本学期的知识吧，并且通过完成这些练习，看看自己在哪些方面做得还真不错，以便继续发扬；哪些方面存在不足，需要在今后的学习中注意赶上。

每个人的成功都要经历无数次历练，无论成功还是失败对我们都十分重要。

加油！知识点一：两端都栽的植树问题在一条不封闭路线上两端都植树的问题总路线长÷株距=间隔数间隔数+1=棵数。

知识点二：两端都不栽的植树问题在一条不封闭路线上两端不植树的问题总路线长÷株距=间隔数间隔数−1=棵数知识点三：封闭曲线上植树的问题封闭路线上的植树问题棵数=间隔数重点：通过动手摆、动手画等数学活动过程探究出植树问题中间隔数与棵数之间的关系，抽象出植树问题的数学模型。

难点：把现实生活中类似的问题同化为“植树问题”,应用植树问题的模型灵活解决一些相关的实际问题。

考点一：在一条不封闭路线上两端都植树的问题总路线长÷株距=间隔数间隔数+1=棵数。

考点二：在一条不封闭路线上两端不植树的问题总路线长÷株距=间隔数间隔数−1=棵数考点三：封闭路线上的植树问题棵数=间隔数一、填空题1．杭州地铁2号线北向南，除了首站良渚站和末站朝阳站，还需要停靠31个站，平均每两个站点相距约1.35千米，这条地铁路线长约( )千米。

2．首届“中国国际航空航天展览会”（简称“中国（珠海）航展”）于1996年举行，每两年举行一次，直至今年（2022年）已经连续举办了14届，照此规律举办航展，2050年将是举办第( )届中国（珠海）航展。

3．工人们在池塘边植树（下图），每隔相等的一段植一棵树，池塘边被分成了( )段，共植了( )棵树，植树的棵数和段数( )。

4．在2022杭州马拉松赛事中，比赛项目分健康跑、半程马拉松和全程马拉松。

比赛自起点开始每5km设置一个饮料站（起点也设），两个饮料站中间设置一个供水的用水站。

七年级鸡兔同笼知识点鸡兔同笼问题是初中数学中经典的问题之一，考察了学生的代数式建立、方程组求解和解释问题能力。

接下来，我们将从几个方面介绍鸡兔同笼问题的相关知识点。

一、问题描述鸡兔同笼问题是指在一个闭合的笼子里，有若干只鸡和兔子，它们的脚加起来一共有n只。

问笼子里分别有多少只鸡和兔子？二、常用方法1. 代数法设鸡的数量为x，兔子的数量为y，因为一个鸡有两只脚，一只兔子有四只脚，所以有方程组：x+4y=n2x+2y=n通过解方程组可以求出鸡和兔子的数量。

2. 矩阵法通过矩阵的方法将问题转换为矩阵运算，进而求解出鸡和兔子的数量。

这种方法需要一定的矩阵知识，适合于数学竞赛等高难度场合。

3. 枚举法由于鸡兔同笼问题中的鸡和兔子都是整数，可以通过枚举的方法一步步找出符合条件的鸡和兔子的数量。

这种方法比较简单易懂，适合于初学者。

三、解题步骤1. 完整理解问题描述，明确问题中的条件和要求。

2. 根据问题中的条件写出数学表达式。

3. 根据表达式构建方程组。

4. 通过代数法、矩阵法或者枚举法求解方程组，得到鸡和兔子的数量。

5. 确认答案是否符合题意，是否合理。

四、题目变式1. 已知鸡和兔子的总数是m，它们的腿数加起来为n，请问其中鸡和兔子的数量各是多少？2. 一个笼子里有48只动物，其中鸡和兔子的总数为20，问鸡和兔子各有多少只？3. 一只鸡的价格是5元，一只兔子的价格是30元，一个商贩带了x元钱去市场买鸡兔，问他最多可以买几只动物？五、注意事项1. 在建立数学模型的过程中，尽量用变量表示未知数，不要已知未知混淆。

2. 在使用方程组进行求解时，应该根据题目的需要，确定未知数的个数和方程的组数。

3. 在用矩阵法解决问题时，应该注意矩阵的性质和计算方法，以免计算错误。

4. 在使用枚举法时，应该注意选取合适的步长和枚举范围，以免出现漏解和多解。

综上所述，鸡兔同笼问题需要透彻理解问题的要求和限制条件，合理选择解题方法，耐心解决方程组或者矩阵运算，在确认答案的正确性之后，才能得出正确的答案。

数学广角——植树问题知识集结知识元数学广角-植树问题知识讲解知识点一：在不封闭的路线上植树.不封闭路线是指植树的路线是一条线段.一、在一条线段上植树（两端都栽树）问题的规律：1.总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数+12.株距=总距离÷间隔数，株距=总距离÷（棵数-1）3.总距离=株距×间隔数，总距离=株距×（棵数-1）二、在一条线段上植树（两端都不栽树）问题的规律：1.总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数-12.株距=总距离÷间隔数，株距=总距离÷（棵数+1）3.总距离=株距×间隔数，总距离=株距×（棵数+1）三、在不封闭路线上一端栽树，另一端不栽树问题的规律：棵数=间隔数知识点二：在封闭的路线上植树.封闭的路线是指植树的路线是一条首尾相接的封闭曲线，如正方形、长方形、圆等.在一条首尾相接的封闭曲线上植树问题的规律：1.棵数=间隔数=总距离÷株距2.株距=总距离÷间隔数株距=总距离÷棵数3.总距离=间隔数×株距总距离=棵数×株距知识点三：运用植树问题的解题思路解决生活中的实际问题.锯木头、锯钢管问题可以理解成在线段的两端都不植树的问题.1.“锯木头”问题：锯的次数=段数-12.“上楼梯”问题：楼层数-1=楼梯段数（间隔数）3.方阵问题：四周实物数量=（每边实物数量-1）×4每边实物数=四周实物数量÷4+1例题精讲数学广角-植树问题例1.'同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离是40米，相邻两个人隔多少米？'例2.'在一个边长为12米的正方形四周围篱笆，每隔4米打1根木桩，一共要准备多少根木桩？'在一个边长是40米的正方形花园周围，每隔2米放一盆花，一共可放多少盆花？'例4.'一位木工锯一根长14米的木条.由于木条两头都有部分损坏，他把每头损坏部分各锯下1米，然后又锯了5次，锯成若干个同样长的短木条，每根短木条有多长？'例5.'一块正方形草坪的边长是8米，四周有一条1米宽的小路，在小路靠着草坪的一侧每隔1米放1盆红花，四个顶点都要放.在小路的另一侧每隔2米放1盆黄花，四个顶点也都要放.一共需要多少盆花？'例6.'一个3层中空方阵，最内层共有28人，这个方阵共有多少人？'当堂练习单选题练习1.小明沿着马路栽树，每隔9米栽一棵，从头到尾共栽了7棵，这条路一共长（）米。

第七单元数学广角-植树问题、鸡兔同笼
问题知识点归纳
34、不封闭栽树问题：
（1）一条路的一边两端都栽树=路长÷间隔+1；
已知间隔数，树的棵树，求路长。

路长=间隔数×（树的棵树-1）
（2）一条路的两边两端都栽树=（路长÷间隔+1）×2 （3）一条路的一边两端不栽树=路长÷间隔-1
（4）一条路的两边两端不栽树=（路长÷间隔-1）×2 （5）锯木头时间问题：锯一段木头时间=总时间÷（段数-1）
35、封闭图形四周栽树问题：栽树棵树=周长÷间隔
36、鸡兔同笼问题：只
根据“兔子脚+鸡脚=总脚数”列方程解答先求兔子只数，再算出鸡的只数。

即：4x+2×（总头数-x）=总脚数
解4x+2×总头数-2x
=总脚数
4x-2x+2×总头数-2×总头数=总脚数-2×总头数
2x=
X=。

一、概述在五年级上学的数学课上，我们学习了数学广角一植树问题。

这个问题是一个非常实用的数学问题，它能够帮助我们理解数学知识，并且在实际生活中也能够得到应用。

通过学习这个问题，我们可以更好的理解数学的应用，并且培养我们的逻辑思维能力。

在本篇文章中，我们将对这个问题进行深入的探讨和总结。

二、问题描述1.问题背景：在某个城市，为了美化环境，计划植树2000棵。

2.计划实施：第一年植树1000棵，接下来每年递增100棵。

3.问题一：第n年植树的数量是多少？4.问题二：第几年植树的数量达到或超过1500棵？三、问题分析1.根据问题描述，我们可以得知第n年植树的数量是以一定的递增规律增加。

2.问题一即是求解递增数列的通项公式。

3.问题二即是求解递增数列的和，使其达到或超过1500棵。

四、解决方法1.问题一的解决方法：利用数列求和的公式，推导出递增数列的通项公式。

2.问题二的解决方法：求解递增数列的部分和，直到满足条件时的项数。

五、具体计算1.问题一的具体计算：(1) 根据题意，第n年植树的数量可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为第一年植树数量，d为递增数量，n为年数。

(2) 第一年植树数量a1 = 1000，递增数量d = 100。

(3) 第n年植树数量的通项公式为an = 1000 + (n-1)100。

2.问题二的具体计算：(1) 根据题意，第n年植树的数量的部分和可以表示为Sn = n/2 * (a1 + an)。

(2) Sn >= 1500，求解满足条件的最小n值。

六、实际应用这个问题在实际生活中也有很多应用，比如在规划植树造林工程时，可以利用这个问题来合理安排每年植树的数量，以达到最佳的效果。

另外，这个问题也可以引申到其他领域，比如投资理财、人口增长等方面。

七、总结数学广角一植树问题是一个非常实用的数学问题，通过对这个问题的学习和探讨，我们可以更好的理解数学知识，并且培养我们的逻辑思维能力。

第7讲数学广角-植树问题知识点一：两端都栽的植树问题1.植树问题基本解决思路：间隔数=总长÷间隔距离。

2.两端都栽：棵数=间隔数＋1。

知识点二：两端都不栽的植树问题两端不栽：棵数=间隔数－1。

知识点三：封闭图形的植树问题在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于线段上一端栽一端不栽的情况。

一端栽一端不栽：棵数=间隔数。

考点一：植树问题【例1】一根绳子长18米，每3米剪成一段，需要剪几次？（1）求这根绳子一共可以剪几段。

（2）画图表示这根绳子被剪成的段数。

从图中可知，需要剪次。

1.在一个正方形的花坛的四周摆放16盆花，怎样摆放可以使每边摆放的花盆数都是5盆？（4分）（1）请画出示意图。

（用O表示花盆）（2）已知花坛的边长是2.4米，平均每盆花之间的距离是多少米？2.史冬鹏是我国著名的男子110米栏运动员，多次代表中国参加奥运会等重要体育赛事。

下面是男子110米栏赛道的示意图。

问：每两栏之间的距离是多少米？3.公路旁每隔2.5米栽一棵树，丽丽从第1棵树跑到第40棵树，妈妈说丽丽跑了100米，丽丽说没有100米。

你认为谁说的对？请说明你的理由。

一．选择题（共5小题）1．小区花园是一个长50米，宽40米的长方形，现在要在花园的四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米。

一共要栽（）棵树。

A．18 B．36 C．37 D．402．同学们围着圆桌吃午饭。

每张圆桌的周长是3米，如果每隔50厘米坐一人，一张圆桌一共可以坐（）人。

A．7 B．5 C．63．在一条环形跑道上，等距离插着8面红旗，这条跑道被平均分成（）段。

A．8 B．7 C．94．锯一根木头，锯一次需要n分钟，把这根木头锯成7段，需要用（）分钟。

A．7n B．6n C．8n5．在300米长的道路一边种树（两端都种），每20米一棵，一共要种（）棵。

A．15 B．16 C．17二．填空题（共5小题）6．把6米长的木料锯成每2米一段的短木料，每锯一段需要15分钟，这根木料全部锯完需要分钟。