数学广角──植树问题

第7讲数学广角-植树问题知识点一：两端都栽的植树问题1.植树问题基本解决思路：间隔数=总长÷间隔距离。

2.两端都栽：棵数=间隔数＋1。

知识点二：两端都不栽的植树问题两端不栽：棵数=间隔数－1。

知识点三：封闭图形的植树问题在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于线段上一端栽一端不栽的情况。

一端栽一端不栽：棵数=间隔数。

考点一：植树问题【例1】一根绳子长18米，每3米剪成一段，需要剪几次？（1）求这根绳子一共可以剪几段。

（2）画图表示这根绳子被剪成的段数。

从图中可知，需要剪次。

1.在一个正方形的花坛的四周摆放16盆花，怎样摆放可以使每边摆放的花盆数都是5盆？（4分）（1）请画出示意图。

（用O表示花盆）（2）已知花坛的边长是2.4米，平均每盆花之间的距离是多少米？2.史冬鹏是我国著名的男子110米栏运动员，多次代表中国参加奥运会等重要体育赛事。

下面是男子110米栏赛道的示意图。

问：每两栏之间的距离是多少米？3.公路旁每隔2.5米栽一棵树，丽丽从第1棵树跑到第40棵树，妈妈说丽丽跑了100米，丽丽说没有100米。

你认为谁说的对？请说明你的理由。

一．选择题（共5小题）1．小区花园是一个长50米，宽40米的长方形，现在要在花园的四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米。

一共要栽（）棵树。

A．18B．36C．37D．402．同学们围着圆桌吃午饭。

每张圆桌的周长是3米，如果每隔50厘米坐一人，一张圆桌一共可以坐（）人。

A．7B．5C．63．在一条环形跑道上，等距离插着8面红旗，这条跑道被平均分成（）段。

A．8B．7C．94．锯一根木头，锯一次需要n分钟，把这根木头锯成7段，需要用（）分钟。

A．7n B．6n C．8n5．在300米长的道路一边种树（两端都种），每20米一棵，一共要种（）棵。

A．15B．16C．17二．填空题（共5小题）6．把6米长的木料锯成每2米一段的短木料，每锯一段需要15分钟，这根木料全部锯完需要分钟。

《数学广角──植树问题》是人教版五年级数学上册的一个教学单元，旨在通过实际问题的解决，让学生掌握数学知识，提高解决实际问题的能力。

本教案将按照教学目标、教学内容、教学方法、教学过程和教学评价五个方面进行设计。

一、教学目标1. 让学生理解植树问题的概念，掌握植树问题中涉及的数学知识。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的合作意识和团队精神。

二、教学内容1. 植树问题的概念及分类2. 植树问题中的数学知识：间隔、棵数、总长等3. 植树问题的解决方法4. 植树问题在实际生活中的应用三、教学方法1. 讲授法：讲解植树问题的概念、分类及解决方法。

2. 案例分析法：分析实际生活中的植树问题，引导学生运用数学知识解决。

3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

4. 实践操作法：让学生动手操作，加深对植树问题的理解。

四、教学过程1. 导入新课：通过展示现实生活中的植树场景，引出植树问题的概念。

2. 讲解植树问题的分类：根据植树的方式，将植树问题分为直线植树、环形植树和网格植树等。

3. 讲解植树问题中的数学知识：介绍间隔、棵数、总长等概念，并举例说明。

4. 讲解植树问题的解决方法：以直线植树为例，讲解如何运用数学知识解决植树问题。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，解决实际问题。

6. 实践操作：让学生动手操作，加深对植树问题的理解。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调植树问题在实际生活中的应用。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、发言积极性和合作意识。

2. 作业完成情况：检查学生作业的完成情况，了解学生对植树问题的掌握程度。

3. 实践操作：评价学生在实践操作中的表现，了解学生对植树问题的理解程度。

4. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作意识和团队精神。

本教案旨在通过植树问题，让学生掌握数学知识，提高解决实际问题的能力。

在教学过程中，教师应根据学生的实际情况，灵活运用教学方法，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和团队精神。

数学广角——植树问题一、教材分析“植树问题”主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，借助线段图等手段让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的简单实际问题。

植树问题通常是指沿着一定的路线植树,这条路线的总长度被树平均分成若干段(间隔),由于路线的不同、植树要求的不同,路线被分成的段数(间隔数)和植树的棵数之间的关系也就不同。

在现实生活中类似的问题还有很多,比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、锯木头、架设电线杆,等等,这些问题中都隐藏着总数和间隔数之间的关系教材将“植树问题”分为三个层次：在一条线段上植树（两端都栽）、在一条线段上植树（两端都不栽）、在一条首尾相接的封闭曲线上植树。

例1：在一条线段上植树（两端都栽）。

主要是让学生在解决这个问题的过程中发现规律,找到解决问题的有效方法,经历解决问题的过程。

教材从具体到抽象,从特殊到一般,呈现分析、思考、解决问题的全过程。

教材先由一个男孩说出容易出错的想法“每隔5m栽一棵,共栽100÷5=20（棵）”，接着由“对吗?检验一下”引出解决问题常用的方法——从简单的情况入手解决复杂的问题,渗透简单的化归思想。

然后,呈现同学们用示意图和线段图分析问题的过程。

通过画图先解决20m和25m的植树情况,并从中发现它们共同的规律:栽树的棵树比间隔数多1,接下来应用所发现的规律猜想30m和35m的植树情况,并加以验证。

最后，引导学生概括出一条线段两端栽树的植树问题的一般规律，并据此解决数据更大的问题。

例2：在一条线段上植树（两端都不栽）。

教材继续通过画线段图的方法帮助学生分析、理解，找出一般规律来解决例题提出的问题。

已文字配情境图的方式呈现问题，以帮助学生理解题意。

由于有了前面探索的经验，学生自然会想到借助线段图来分析，所以教材呈现了3位同学的分析和思考过程，引导学生继续画线段图进行分析，从而发现当两端都不栽数时，植树的棵树比间隔数少1，然后利用发现的规律解决例题的问题。

数学广角——植树问题整理与复习整理：刘新民一、基础知识整理植树问题的基本数量关系：棵距×间隔数=总距离。

一般分两种情况：（一）、在一条线段上一边植树，有三种情况：1、两端都植的解题方法：棵数=间隔数+1（开头的树）；棵距=总距离÷（棵数-1）；总距离=棵距×（棵数-1）；总距离÷棵距=间隔数2、一端植，另一端不植的解题方法：棵数=间隔数；总距离÷棵距=间隔数；总距离=间隔数×棵距3、两断都不植的解题方法：棵数=间隔数-1（末尾的树）；总距离=棵距×（棵数+1）；棵距=总距离÷（棵数+1）；总距离÷棵距=间隔数解决植树问题的关键要弄清以下两点：1、是否两旁都要植树，如果两边都植树还要乘2。

2、理清棵数与间隔数之间的关系。

（二）、在封闭图形上植树也有两种情况：1、在曲线图形上植树的解题方法：棵数=间隔数；总距离÷棵距=间隔数；总距离=间隔数×棵数2、在多边形上植树的解题方法：棵数=每边上的树×边数-顶点数注意：在封闭图形上植树相当与在一条线段上植树中一端植一端不植的情况。

二、例题讲解：例1：在一条100米的跑道的一侧从头到尾每隔5ｍ插一面红旗，一共需要准备多少面红旗？分析与解答：这道题属于在一条线段一边植树两端都植的问题，所以红旗的面数=间隔数+1，关键求出间隔数，由于间隔数=总距离÷棵距=100÷5=20（个），那么一共需要准备的红旗数=20+1=21（面）例2：某市政公司要在一条公路两旁等距离安装路灯（两端都不安装），每两盏路灯相隔25ｍ，一共装了40盏灯。

这条路长多少米？分析与解答：解答这道题应先求出每边装的路灯数，即每边装了40÷2=20（盏），又由于两端不装，那么间隔数应该比路灯数多1，即间隔数=20+1=21（个），再根据“总距离=间隔数×棵距”来算出这条路长，所以这条路长=25×21=525（ｍ）例3：南门幼儿园要在长88ｍ，宽40ｍ的长方形的操场四周栽树，要求四角各栽一棵，并且每相邻两棵树的距离是4ｍ。

数学广角----植树问题
1、植树问题通常指沿一定的路线植树，路线的总长度被平均分成
若干段（间隔），由于路线的不同，植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和指数的棵数之间的关系就不同。

植树的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线。

在一条线段上植树，也可能有不同情形：两端都要栽；只在一端栽另一端不载；两端都不栽。

2、例1，讨论在一条小路一边植树问题。

一条小路长100米，每
隔5米栽一棵，（两端都要栽），一共要栽多少棵？
让学生采用画线段图的方法，把一条线段平均分成4段，一共有5个点。

发现了什么规律？也就是在的棵树不间隔数多1.然后启发学生用发现的规律，不画图解决问题：100米长的小路，按5米长可以分成20段，也就是20个间隔，在的棵数要比间隔多1，一共要栽21棵。

例2，在例1 的基础上讨论一条小路一边植树，而两端都不栽树的问题。

学生继续借助线段图帮助分析，发现两端都不栽的规律：植树的棵树比间隔数少1.
例3，关于封闭图形的植树问题。

采用线段图的方法，假设周长40米，每隔10米载一棵，能载4棵。

如果把园拉成线段，发现相当于一端栽，一端不载。

得出：120÷10＝12棵。

五年级数学上册_数学广角植树问题五年级数学上册：数学广角植树问题在我们五年级数学上册的学习中，有一个非常有趣且实用的部分——数学广角中的植树问题。

这看似简单的植树场景，背后却蕴含着丰富的数学知识和规律。

让我们先从最基本的情况说起。

想象一下，在一条笔直的道路上种树，如果道路两端都种树，那么树的数量就会比间隔数多 1。

比如说，道路长 10 米，每隔 2 米种一棵树，那么间隔数就是 10÷2 ＝ 5 个，而树的数量就是 5 ＋ 1 ＝ 6 棵。

那如果道路两端都不种树呢？这时候树的数量就会比间隔数少 1。

还是刚才那条 10 米长的道路，每隔 2 米种一棵树，此时树的数量就是5 1 ＝ 4 棵。

还有一种情况，就是道路一端种树，另一端不种，那树的数量就和间隔数相等啦。

通过这些简单的例子，我们能总结出一些重要的公式。

当两端都种树时，棵数＝间隔数＋ 1；两端都不种时，棵数＝间隔数 1；一端种一端不种时，棵数＝间隔数。

那这些知识在生活中有什么用呢？其实用处可多啦！比如，在城市规划中，要在道路两旁安装路灯，就需要考虑间隔和路灯数量的问题。

如果间隔太大，照明效果不好；间隔太小，又会浪费资源。

再比如，在排队问题中，同学们排成一列，人与人之间也有间隔。

知道了间隔数和总人数的关系，就能更好地安排队伍。

还有在锯木头的问题中，锯的次数就相当于间隔数。

把一根木头锯成几段，锯的次数就比段数少 1。

接下来，让我们做几道练习题来巩固一下这些知识吧。

例 1：在一条 80 米长的小路一侧每隔 5 米种一棵柳树，两端都种，一共要种多少棵柳树？首先，我们算出间隔数：80÷5 ＝ 16 个。

因为两端都种，所以棵数＝间隔数＋ 1，即 16 ＋ 1 ＝ 17 棵。

例 2：一条公路全长 120 米，在公路的一侧从头到尾每隔 6 米安装一盏路灯，一共需要安装多少盏路灯？间隔数为：120÷6 ＝ 20 个，因为从头到尾都安装路灯，所以路灯数＝间隔数＋ 1，即 20 ＋ 1 ＝ 21 盏。

第7讲数学广角——植树问题（思维导图+学问梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、学问点梳理学问点一：植树问题（1）两端都栽树的问题在一条线段上植树（两端都栽树）的问题：总距离÷株距=间隔数，植树棵树=间隔数+1（2）两端都不栽树的问题在一条线段上植树（两端都不栽树）的问题：总距离÷株距=间隔数，植树棵树=间隔数-1（3）在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题：棵数=间隔数=总距离÷株距三、例题精讲考点一：数学广角——植树问题【典型一】将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（）分钟。

A．7 B．10 C．12 D．14【分析】将一根木棒锯成4段需锯的次数是（4－1）次，需要6分钟，锯一次用的时间就是6÷（4－1）分钟，将这根木棒锯成7段需要锯的次数是（7－1）次，然后依据乘法的意义进行解答。

【详解】锯一次用的时间是：6÷（4－1）＝6÷3＝2（分钟）据7段需用的时间是：（7－1）×2＝6×2＝12（分钟）故答案为：C【点睛】本题属于植树问题，锯的次数＝段数－1是本题的关键。

【典型二】学校要在周长为60米的圆形花坛一周每隔5米摆放一盆栀子花，可以摆放( )盆，每2盆栀子花之间摆放2盆长寿花，需要( )盆。

【分析】依据题意，可以把圆形花坛可知看作封闭图形，所以摆栀子花的盆数等于间隔数；用花坛的周长除以间隔的米数，即可求出一共需要摆多少盆栀子花。

每2盆栀子花之间摆放2盆长寿花，由于摆长寿花的间隔数与摆栀子花的间隔数相等，用间隔数乘2即可求出需要多少盆长寿花。

【详解】60÷5＝12（盆）12×2＝24（盆）【点睛】在一个封闭图形里面植树，封闭图形的周长除以间隔距离就是植树棵数。

【典型三】画图，用“〇”表示。

（1）在下面正三角形的每条边上摆4盆花，怎样摆需要的花最少？（2）12名同学在操场上做玩耍。