函数的三种表示法其她版本的例题与习题1、(北师大版) 如图某质点在30 s内运动速度v就是时间t的函数,它的图象如图、用解析法表示出这个函数,并求出9 s时质点的速度、解:速度就是时间的函数,解析式为v(t)=由上式可得,t=9 s时,质点的速度v(9)=3×9=27(cm∕s)、2、(人教实验B版)(1)已知函数,求f(x-1);(2)已知函数,求f(x)、分析:(1)函数,即x→,表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值,与我们选择什么符号表达自变量没有关系、函数y→,t→,u→,…都表示同一个函数关系、同样自变量换为一个代数式,如x-1,平方后对应的函数值就就是,这里f(x-1)表示自变量变换后得到的新函数、(2)为了找出函数y=f(x)的对应法则,我们需要用x-1来表示、解:-2x+1;(2)因为+2(x-1)+1,所以+2t+1,即+2x+1、3、(人教实验B版)设x就是任意的一个实数,y就是不超过x的最大整数,试问x与y之间就是否就是函数关系？如果就是,画出这个函数的图象、解:对每一个实数x,都能够写成等式:x=y+α,其中y就是整数,α就是一个小于1的非负数、例如,6、48=6+0、48,6=6+0,π=3+0、141 592…,-1、35=-2+0、65,-12、52=-13+0、48,…、由此可以瞧到,对于任一个实数x,都有唯一确定的y值与它对应,所以说x与y之间就是函数关系、这个“不超过x的最大整数”所确定的函数通常记为y=［x］、这个函数的定义域就是实数集R,值域就是整数集Z、例如,当x=6时,y=［6］=6;当x=π时,y=［π］=3;当x=-1、35时,y=［-1、35］=-2、这个函数的图象,如图所示、4、(人教实验B版)已知函数y=f(n),满足f(0)=1,且f(n)＝nf(n-1),、求f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)、分析:这个函数用两个等式定义,第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值,然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值、解:因为f(0)=1,所以f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1,f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2×1＝2,f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=3×2=6,f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24,f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120、备选例题与练习1、已知f(x)=求f(f(x))、解:当x>1时,f(x)=1∈［-1,1］,f(f(x))==0;当≤1时,f(x)=∈［0,1］,∴f(f(x))==|x|;当x<-1时,f(x)=|x|>1,∴f(f(x))=1、综上可知,f(f(x))=点评:本题可以用直接法求复合函数的表达式,解这类问题要特别注意内层函数的值落在外层函数的定义域的哪一段,进而选取不同的解析式、2、画出函数y= 的图象、思路分析:要去掉绝对值符号,可按与x的零点(x=-1,0,1)把定义域(-∞,+∞)划分为(-∞,-1),［-1,0),［0,1］,(1,+∞)四部分分别进行化简、解:当x∈(-∞,-1)时,y= y= ==-x-1;当x∈［-1,0)时,y==1+x;当x∈［0,1］时,y==1-x;当x∈(1,+∞),y==x-1、即y=可画出此函数的图象,如图、3、设x∈(-∞,+∞),求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值、思路分析:本题为绝对值函数,应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号,再画出分段函数的图象,然后解之、解:当x≥1时,y=2(x-1)-3x=-x-2;当0≤x<1时,y=-2(x-1)-3x=-5x+2;当x<0时,y=-2(x-1)+3x=x+2、因此y=依上述解析式作出图象如图、由图象可以瞧出,当x=0时,=2、4、某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在如图所示的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示、第t天 4 10 16 22Q(万股) 36 30 24 18t(天)所满足的函数关系式;(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;(3)在(2)的结论下,用y(万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少？解:(1)P=(2)设Q=at+b(a,b为常数),将(4,36)与(10,30)的坐标代入,得解得日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q=40-t,0<t≤30,、(3)由(1)(2)可得y=即y=当0<t≤20时,当t=15时,=125;当20<t≤30时,y=-12t+320在上结合二次函数图象知,y<y(20)<y(15)=125、所以,第15日交易额最大,最大值为125万元、课外拓展函数解析式的确定方法1、直接变换法(配凑法)如果已知复合函数f(g(x))的表达式,要求f(x)的解析式,若f(g(x))表达式右边易配成g(x)的运算形式,则可用直接变换法(配凑法)、例1已知f=+,求f(x)、思路分析:利用配凑法将函数右边+配凑成含“”的形式、解:∵f=+=-+=-=-+1,∴-x+1(x≠1)、点评:函数的解析式y=f(x)就是由自变量x确定y值的关系式,其实质就是对应关系f:x→y、因此这类问题的关键就是弄清对“x”而言,“f”就是怎样的对应关系、整体替换后,不要忽视新“元”的取值范围、2、换元法换元法又称变量替换法,即根据所要求解的式子的结构特征,巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量,对新的变量求出结果后,返回去再求出原变量的结果、例2已知f(+1)=x+2,求f(x)、思路分析:采用整体思想,可把f(+1)中的“+1”瞧作一个整体,然后采用另一参数替代、解:令t=+1,则(t≥1)、代入原式有-1、∴-1(x≥1)、点评:将接受对象“+1”换作另一个元(字母)“t”,然后从中解出x与t的关系,代入原式中便可求出关于“t”的函数关系,此即为函数解析式,但在利用这种方法时应注意自变量的取值范围的变化情况,否则就得不到正确的表达式、此法就是求函数解析式的常用方法、3、待定系数法待定系数法就是数学中的一种重要方法、当某个恒等式中出现某些尚待确定的系数时,我们利用恒等式的性质求出这些尚待确定的系数的方法,就叫做“待定系数法”、当已知函数为一次函数、二次函数、反比例函数等形式时,一般的方法就是设出函数的解析式,然后根据题设条件求待定系数、例3如果f(f(x))=2x-1,则一次函数f(x)= 、思路分析:由于f(x)就是一次式,故可设为f(x)=ax+b(a≠0)的形式,然后只需将a,b确定下来即可、解:∵f(x)为一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0)、则x+ab+b,则由⇔解得或∴f(x)=x+1-,或f(x)=-x+1+、点评:已知所求函数为一次函数,故可设为f(x)=ax+b(a≠0),a≠0的条件不要遗漏,此时目标明确:只需用待定系数法求出a,b即可、4、消去法利用方程思想,采用解方程的方法消去不需要的函数式子,从而得到f(x)的表达式,此种方法称为消去法,也称为解方程法、消去法的重要措施就是:利用相应的未知数去代换不需要的函数式子中的未知数,以达到消去不需要的函数式子,求出函数表达式的目的、例4设f(x)就是定义在(1,+∞)上的一个函数,且有f(x)=2f-1,求f(x)、思路分析:欲求f(x),必须消去已知中的f ,不难想到再寻找一个方程、可由x与的倒数关系,用去替换已知式中的x便可得到另一个方程、然后联立解之可得、解:f(x)=2f-1, ①用代换x,得f =2f(x) √()-1,②将②代入①消去f ,得f(x)=4f(x)-2-1,f(x)=+、又∵x∈(1,+∞),∴f(x)=+,x∈(1,+∞)、点评:本题利用方程思想,采用解方程(组)的方法消去不需要的函数式子,从而得到f(x)的表达式、此类问题的解题关键就是用“活”已知表达式,由于它对于一切有意义的x恒成立,因此x可以用代换,以便问题的解决、例5已知=bx,其中a≠1,n为奇数,求f(x)、思路分析:n为奇数给我们一个启示: ,所以用-x代换x联立方程组进行求解、解:∵a≠1且n为奇数,∴在原式中用-x代换x,得=-bx,于就是得:联立①②,消去得=,而a≠1,n为奇数,∴f(x)=、点评:在求解时,要抓住条件中的每一个细节,而这些细节往往就就是解题的切入口、5、赋值法用常规方法直接求解比较困难或不必要直接求解,若根据条件中所提供的信息,选择某些特殊情况进行分析,或选择某些特殊值进行计算,或将字母参数换成具体数值代入,或以变量换变量,把一般形式变为特殊形式,然后通过解方程组求出f(x)的解析式、例6设f(x)就是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式、思路分析:联系问题,对条件中一个变量进行赋值处理,以消去表达式中的一个变量、解法一:由f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),得f(0)=f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1)=1,∴+x+1、解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),又f(0)=1、∴f(-y)=1-y(-y+1),又令-y=x,∴f(x)=1+x(x+1),即+x+1、点评:(1)所给函数方程含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或者这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数,至于取什么特殊值,根据题目特征而定;(2)通过取某些特殊值代入题设中的某式,可使问题具体化、简单化,从而顺利地找出规律,求出函数的解析式、6、实际问题确定目标函数法根据实际问题求函数解析式,就是应用函数知识解决实际问题的基础,在设定或选定自变量后去寻求等量关系,以求得表达式,要注意函数定义域应由实际问题确定、例7如图,等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,作直线MN⊥AD交AD于M,交折线ABCD于N,设AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域、思路分析:对于应用型问题,若要求函数y=f(x)的表达式,这样就需准确揭示x,y之间的变化关系,建立正确的目标函数、依题意,可知随着直线MN的移动,点N 分别落在梯形ABCD的AB、BC及CD边上,有三种情况,所以需要分类解答、解:作BH⊥AD,H为垂足,CG⊥AD,G为垂足,依题意,有AH=,AG=a,如图所示、(1)当M位于点H的左侧时,N∈AB,由于AM=x,∠A=45°,∴MN=x,∴=,考察可知x满足0≤x≤、(2)当M位于HG之间时,由于AM=x,MN=,BN=x-、∴=·［x+、(3)当M位于点G的右侧时,由于AM=x,MN=2a-x、∴=·(2a+a)-=-=-+2ax-,考察可知x满足a<x≤2a、综上可知,y=点评:求函数解析式时,若不同情形下的表达式不同,则要分段写出、但要注意,分段函数就是一个函数,而不就是几个函数,由实际问题确定的函数,不仅要确定函数的解析表达式,同时要求出函数的定义域(一般情况下都要受实际问题的约束)、7、求分段函数的解析式此类问题往往给出在某给定区间上函数表达式,求另一区间上的函数表达式、解题的策略就是,要充分挖掘已知条件,利用函数的奇偶性、对称性、单调性,采用范围转化法、相关点法、平移法等方法进行求解、问题的解题关键就是要对函数解析式进行分区间分类解析、例8设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称、若当x≤1时,+1,求x>1时f(x)的解析式、思路分析:(1)可以直接从条件出发,采用转化范围法,由x>1⇒2-x<1,利用已知解析式+1进行求解;(2)相关点法,设x>1时函数图象上的任一点(x,y),利用其图象关于直线x=1的对称关系,则其对称点满足+1、解法一:设x>1,则2-x<1、由已知条件得-4x+5、∵函数y=f(x)关于直线x=1对称,∴f(1-x)=f(1+x)、∴f［1-(1-x)］=f［1+(1-x)］,即f(x)=f(2-x)、∴当x>1时,-4x+5、解法二:设当x>1时,函数f(x)图象上任意一点为(x,y),关于直线x=1对称的点为,则点满足+1、∵函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,∴⇒∴+1,即当x>1时,-4x+5、点评:相关点法求函数解析式具有一般性,有时会给解题带来方便,有时也会显得繁琐,所以应根据题目要求选用相应的方法、。
