一道与糖水定理有关的有理逼近问题的探究及猜想
《奥数教程教程+能力测试+学习手册(七年级)》
第六版，套装共3册，华东师范大学出版社，2014
《奥数教程:教程+能力测试+学习手册(七年级)(第六版)(套装共3册)》包括：《奥数教程学习手册（七年级）》、《奥数教程（七年级）》、《奥数教程能力测试（七年级）》共3册。《奥数教程:教程+能力测试+学习手册(七年级)(第六版)(套装共3册)》由华东师范大学出版社出版。
初中奥数讲座专题篇之5
一道与糖水定理有关的有理逼近问题的探究及猜想
上海文来初中王子龙，相伟
王子龙: 上海市文来初中数学竞赛教练, 热爱中学数学竞赛培训, 对初等数学与高等数学有关的数学问题及初等数学中的高等数学背景的探索发掘极有兴趣. 希望同全国热爱数学竞赛的人士多多交流.
作为六年级的小朋友能够独立自主的查阅资料并且解决有战性的问题,笔者认为两位小朋友非常了不起!
事后笔者把自己的思路和相老师交流之后, 相老师改变之前的观点, 觉得此题非常有意思! 使用加成分数原理在对分数分母做限制的条件下来逼近一个给定的有理数, 这种处理方法显得更有数学味道. 大家一拍即合, 马上着手考虑这个“破”题的思路到底是不是适用于一般情况的问题:
这里为了避免人工计算费时费力, 我们马上求助了我班上朱宝同学的妈妈(某著名公司IT高管, 编程能力和数学思维能力极强) . 有时候隔行如隔山, 我们和朱宝妈妈沟通了很长时间大家才对这一问题达成一致, 朱宝妈妈习惯从计算机角度考虑问题, 尤其是程序的效率, 可执行的命
令等. 而我们却恰恰是纯数学思维, 把计算机编程想的过于容易. 好在大家思维的激烈碰撞最终还是达成了一致, 朱宝妈妈把程序编写了出来, 我们也乘着编写程序的空隙把问题和思路抛到了相关的数学群中.
一道与糖水定理有关的有理逼近问题的探究及猜想 《奥数教程教程+能力测试+学习手册(七年级)》 第六版，套装共3册，华东师范大学出版社，2014 《奥数教程:教程+能力测试+学习手册(七年级)(第六版)(套装共3册)》包括：《奥数教程学习手册（七年级）》、《奥数教程（七年级）》、《奥数教程能力测试（七年级）》共3册。《奥数教程:教程+能力测试+学习手册(七年级)(第六版)(套装共3册)》由华东师范大学出版社出版。 初中奥数讲座专题篇之5 一道与糖水定理有关的有理逼近问题的探究及猜想 上海文来初中王子龙，相伟 王子龙: 上海市文来初中数学竞赛教练, 热爱中学数学竞赛培训, 对初等数学与高等数学有关的数学问题及初等数学中的高等数学背景的探索发掘极有兴趣. 希望同全国热爱数学竞赛的人士多多交流. 作为六年级的小朋友能够独立自主的查阅资料并且解决有战性的问题,笔者认为两位小朋友非常了不起! 事后笔者把自己的思路和相老师交流之后, 相老师改变之前的观点, 觉得此题非常有意思! 使用加成分数原理在对分数分母做限制的条件下来逼近一个给定的有理数, 这种处理方法显得更有数学味道. 大家一拍即合, 马上着手考虑这个“破”题的思路到底是不是适用于一般情况的问题: 这里为了避免人工计算费时费力, 我们马上求助了我班上朱宝同学的妈妈(某著名公司IT高管, 编程能力和数学思维能力极强) . 有时候隔行如隔山, 我们和朱宝妈妈沟通了很长时间大家才对这一问题达成一致, 朱宝妈妈习惯从计算机角度考虑问题, 尤其是程序的效率, 可执行的命
令等. 而我们却恰恰是纯数学思维, 把计算机编程想的过于容易. 好在大家思维的激烈碰撞最终还是达成了一致, 朱宝妈妈把程序编写了出来, 我们也乘着编写程序的空隙把问题和思路抛到了相关的数学群中.
《结构动力学》思考题 第1章 1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？ 响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等， 环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。属于工程反问题的一种。在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。 系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。 2、如何从物理意义上理解线性振动系统 解的可叠加性。 求补充！！！！！ 3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。 复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。 4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。 固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。 圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关 5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。 一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。系统的状态按照阻尼比ζ来划分。把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。 1过阻尼：n n ω> （m c n 2/= m k n =ω），特征根为两个负实数，微分方程的解是一条负指数衰减曲线，不会发生往复振动。2临界阻尼：n n ω=，特征方程的跟为两个相等的实数。3欠阻尼：n n ω<。 6、正确理解自由振动和强迫振动的概念。 自由振动：没有激振力（动荷载）的作用，振动系统在初始扰动后，仅靠恢复力维持的振动。 强迫振动：振动系统在外界干扰力或干扰位移作用下产生的振动 7、一单自由度振动系统的幅－频曲线如图 所示，根据频率大致可划分为三个区域， )(t f kx x c x m =++
1．英国哲学家培根将数学分为：纯粹数学和混合数学。 2．笛卡儿以为：凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关。 3．恩格斯：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 4．巴比伦楔形数字采用六十进制，玛雅数字采用二十进制外，其他均属十进制数系。（P14） 5．古代几何学起源于哪几个方面？ ○1古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量。 ○2古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关。 ○3古代中国几何学起源更多的与天文观测相联系。 6．古埃及数学的特点？ a)古埃及数学是实用数学。 b)古埃及人没有命题证明的思想，不过他们常常对问题的数值结果加以验证。 7．古埃及数学衰落的原因？ a)埃及文明在历代王朝更迭中表现出一种静止的特性，这种静止的特性也反映在埃及数学的发展中。 b)加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复。 c)古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似关系往往不作明确区分，这又使他们的实用几何带上了 粗糙的色彩。 8．如何评价美索不达米亚数学？（p31） 答：1)美索不达米亚人的记数制远胜埃及象形数字之处，还在于他们巧妙地将位值原理推广应用到整数以外的分数。2)美索不达米亚人长于计算。3)美索不达米亚人还经常利用各种数表来进行计算，使计算更加简捷。4)美索不达米亚数学在代数领域内达到了相当的高度，在美索不达米亚泥版文书中已有三次方程的例子。5)美索不达米亚几何也是与测量等实际问题相联系的数值计算。总的说来，古代美索不达米亚数学与埃及数学一样主要是解决各类具体问题的实际知识，处于各类算法的原始积累时期。几何学作为一门独立的学问甚至还不存在。埃及纸草书和巴比伦泥版文书中汇集的各种几何图形的面积、体积的计算法则，本质上属于算术的应用。 9．毕达哥拉斯学派的数学成就？（P32 ） 1)勾股定理的发现和证明；2）正多面体作图；3）在数论方面的成就；4）关于形数的研究。 10．什么是“完全数”、过剩数和不足数？(p36) 答：一个数是完全数、过剩数还是不足数，分别视其因数之和等于、大于或小于该数本身而定。 11．古希腊三大著名几何问题？(P40) a)*化圆为方：做一个与给定圆面积相等的正方形 b)倍立方体：作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍 c)三等分角：分任意角为三等分 12．柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而最先发现并提出：圆锥曲线。（P41）圆锥曲线是阿波罗尼奥斯命名的。圆锥曲线的理论是谁创立的？ 13．阿基米德的数学成就？（P52） 答：1)集中探讨与面积和体积计算相关的问题；2）平衡法实质上是一种原始的积分法。体现了近代积分法的基本思想，可以说是阿基米德数学研究的最大功绩。 14．丢番图的《算术》是希腊算术与代数成就的最高标志。（P63） 15．亚历山大最后一位重要的数学家是：帕波斯——《数学汇编》（被认为是古希腊数学的安魂曲）。（P65） 16．《周髀算经》是中国最早的算经。（P69） 17．《九章算术》的成就及特点？（P71） 成就：一、算术方面：1）分数四则运算法则。在“方田”章给出了完整的分数加，减，乘，除以及约分和通分的运算法则2）比例算法。在粟米，衰分，均输诸章集中讨论了比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。3）盈不足术。盈不足术就是以盈亏问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。 二、代数方面：1）方程术，即线性联立方程组的解法。2）正负术。3）开方术。“少广”章有“开 方术”和“开立方术”给出了开立方和开平方的算法<三>几何方面“方田”“商功”和“勾股”三
有理逼近 代数插值，计算简单，光滑性好，是逼近光滑函数的重要工具.但当函数()f x 在某点a 附近无界，或当x →∞而()f x 趋向于某一定数时，采用多项式作()f x 的差值函数，差值效果差。 （1） 多项式不能反映在某点a 附近无界, （2 ）当x →∞时多项式的值总时趋于无穷. 有理分式 Ax B x α +-能很好地反映函数在x α=附近无界，并且也保证了当x →∞时趋于某个定值A 。 用有理函数逼近可得到较好的效果。所谓有理函数是指用形如 00 () ()() n k k n k nm n k m k k a x P x R x Q x b x ==== ∑∑的函数逼近()f x 如果取||()()||nm f x R x ∞-最小就可得到最佳 有理一致逼近，如果取2||()()||nm f x R x -最小则可得到最佳有理平方逼近函数。 §1、连分式概念 下面介绍运用辗转相除即连分式的方法求有理分式之值，以下例说明. 例1 给出有理分式 432322453811353151121157409 x x x x R x x x ++++=+++ 解：将分子分母相除，得到商式及分式，计算过程如下 23 23 222 2 464284 2321157409 4 2321157409 1671 4 236(9) 516714 236 51671 94 236 58 79 x x R x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=+++++=+++++++=++ +++++=++ +++++=++ ++++ +
拟非扩张映射和平衡问题的弱收敛定理 作者：白敏茹盛夏 来源：《湖南大学学报·自然科学版》2010年第03期 摘要:研究求解拟非扩张映射不动点和平衡问题的公共解问题。构造出了求解平衡问题和 拟非扩张映射不动点的公共解的迭代算法,在较弱的条件下,证明了该迭代序列唯一弱收敛到所 研究问题的某一公共解,并且该迭代序列在公共解集上的投影强收敛到该公共解。通过证明非 扩张映射是满足定理条件(B)的拟非扩张映射,得到一个推论,即非扩张映射不动点与平衡问题的公共解的迭代算法及算法的弱收敛性结果。进一步,给出了例子说明存在满足本文条件(B)的拟非扩张映射,同时该映射不是一个非扩张映射。Tada和Takahashi (.J. Optim. Theory Appl., 2007, 133: 359-370) 论文中的一个主要结果(定理4.1)仅是本文定理的一种特殊情况。 关键词:平衡问题; 非扩张映射;拟非扩张型映射;不动点;弱收敛 中图分类号:文献标识码:A A Weak Convergence Theorem for a Quasi-nonexpansive mapping and an Equilibrium Problem Bai Minru†, Sheng Xia (College of Mathematics Econometrics, Hunan Univ, Changsha 410082,China) Abstract: The aim of this paper is to study an iterative method for common solutions of an equilibrium problem and a fixed point problem of a quasi-nonexpansive mapping. It is proposed an iterative method for finding a common solution of an equilibrium problem and fixed point problem of a quasi-nonexpansive mapping. It is proved that the iterative sequences convergent weakly to a common solution of the problems mentioned above. It is also proved that projections of the iterative sequences onto the set of common solutions of the above problems convergent strongly to the common solution. By proving that nonexpansive mappings are quasi-nonexpansive mappings satisfying condition (B) of the theorem, it is obtained that iterative sequences convergent weakly to a common solution of an equilibrium problem and a fixed point problem of a nonexpansive mapping. Furthermore, an example is given to show that there exists a qusi-nonexpansive mapping, which satisfies condition (B) but is not a nonexpansive mapping. The results take a main result (Theorem 4.1) of Tada and Takahashi (.J. Optim. Theory Appl., 2007, 133: 359-370) as a special case. Key words: Equilibrium problem; Nonexpansive mapping; Quasi-nonexpansive mapping; Fixed point; weak convergence
类比推理问题—高考命题新亮点 类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。 （一）不同知识点之间的类比 数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不仅可以在知识复习中使用，也可以在新知识的学习中进行。 1、立体几何中的类比推理 【例1】若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N 2，则三角形面积之比为：若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分 别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为：。 【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想 （证明略） 评注本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。 【例2】在中有余弦定理：拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。 【分析】根据类比猜想得出其中为侧面为与所成的二面角的平面角。 证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，
在中有余弦定理：，同乘以，得 即 评注本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。 【例3】在平面几何中有“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，那么在立体几何中有什么结论呢？ 解析“正三角形”类比到空间“正四面体”，“任一点到三边距离之和”类比到空间为“任一点到四个面的距离之和”，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值。 图1 如图1，设边长为的正三角形内任一点到其三边的距离分别为、、，将 分割成三个小三角形，则有，即距离之和
《数学归纳法》能力探究 推测解释能力用数学归纳法证明数列恒等式 1.数学归纳法可以证明与自然数有关的恒等式问题,其一般规律及方法关键在于第二步,它有一个基本格式,我们不妨设命题为():()()P n f n g n =. 其第二步相当于做一道条件等式的证明题. 已知:()()f k g k =,求证:(1)(1)f k g k +=+. 通常可采用的格式有三步:(1)找出(1)f k +与()f k 的递推关系;(2)把归纳假设()()f k g k =代入;(3)作恒等变形化为(1)g k +. 2.用数学归纳法证明数列恒等式的注意点 (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值0n 是多少. (2)由n k =时等式成立,推出1n k =+时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法. 典例1 [逻辑推理]用数学归纳法证明:11112446682(22)n n ++++⨯⨯⨯+() *4(1)n n n =∈+N . 思路:本题为数列恒等式证明问题,解决本题要注意,由n k =到1n k =+时,等式两边会增加哪些项. 解析:(1)当1n =时,左边1121(212)8==⨯⨯⨯+,右边=114(11)8 =+.左边=右边,所以等式成立. (2)假设当(*n k k =∈N 且)1k ≥时等式成立,即有 11112446682(22)4(1)k k k k ++++=⨯⨯⨯++, 则当1n k =+时,111112446682(22)2(1)[2(1)2] k k k k +++++⨯⨯⨯++++14(1)4(1)(2)k k k k =++++2(2)1(1)11,4(1)(2)4(1)(2)4(2)4[(1)1] k k k k k k k k k k k +++++====+++++++ 所以当1n k =+时,等式也成立,由(1)(2)可知,对于一切*n ∈N 等式都成立.
§1.4.1有理数乘法（一）课堂实录【教材教学分析】： “有理数的乘法”是新课标人教版7年级上册§1.4.1的内容，是继相反数、绝对值和有理数的加法之后学习的，与小学学习的乘法相比，区别就在于负数参与了运算.因此，探讨并理解积的符号规则是学习的重点，同时也是难点所在. 本节教材设计了一个蜗牛爬行的情境，意在引导学生进行有自身体验感悟的探究，以落实课程标准提出的“让学生经历由实际问题抽象出数与代数问题的过程”的目标要求.但通过实践证明，学生对此不好理解，让“前”、“后”、“左”、“右”搞得晕头转向，不利于学生的心理认同.本来，乘法法则就需要学生做到认同即可，它本身不是什么严格的逻辑关系，因此，能让学生心悦诚服地接受就是成功.基于此，笔者选定前一节的加法为教学的契合点，借助小学学过的乘法的意义以及生活常识，从合情推理的角度，引发学生的猜想，以突破负数与负数相乘规则的难点，顺乎其理，学生学得蛮有情趣.把本节教材的引入背景变成验证所发现的规则的小问题，相互依托，收到良效. 【教学目标】 1、知识与技能： 能说出有理数的乘法法则；会进行有理数的乘法运算. 2、数学思考：
经历探索有理数的乘法法则的过程，发展学生观察、归纳、猜想、验证等能力. 3、解决问题： 通过师生交流、合作，让学生体会从特殊到一般的归纳方法，提高学生认识世界的水平. 4、情感与态度： 激发学生的求知欲望和学习兴趣，使其养成良好的数学思维品质. 【教学重点和难点】 教学重点：有理数的乘法法则的探索、概括及应用 教学难点：有理数乘法法则中符号变化的理解和积的符号的确定 【学情分析】： 我教学的班是走读班，学生来自滨州市区，整体素质较高，思维较活跃，学生对小学里学习的乘法的意义掌握得较好，也有了相反数、绝对值和有理数加法的知识基础，加之初一学生生性活泼、求知欲强，这些都是学习本课内容的有利条件. 另外，通过进入初中学段近两周的研讨性学习，在班级中已初步形成合作交流的学习方式，在我的鼓动下，学生敢于提出问题、敢于探索与实
专题5 开放性问题 开放性试题由于条件、方法与结果的不确定性，所以呈现岀条件开放、过程开放、结论开放等特点，且没有唯一固定答案，因此在教育和评价中有特定的功能．如果说封闭性试题在考査学生思维的严谨性、目标的客观性、方式的规范性上独具优势的话，那么开放性试题则在考査学生思维的灵活性、创造性上更为突出，甚至关注学习者情感、态度和价值观等非智力因素，关注探究性和生成性的考査，所以在评价研究与实践中发挥越来越重要的作用． 一、数学开放题的特点 除了一般开放题的特点，数学开放题还有独特的特征．传统数学试题的特点是条件都是给定的，而且不多不少，全部应用就可以解题．解题的思路是固定的，即使是一题多解的题目，每种解法的思路也是固定的，只要沿着固定的思路就能解题．解题的结果也是唯一、确定的，能得出确切的结论和数值．而数学开放题具有以下的特点： 1．数学开放题的条件是不充分的，需要学生补充条件才能解题，补充的条件不同，解题的思路和解法也会不同． 2．题目的结论不是事先给定的，有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建．3．没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索． 4．实际应用性的开放题，主体必须将生活语言用数学语言将其数学化，建立数学模型才能解决．在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论． 二、高考考查开放题的实践 开放性试题以核心素养和关键能力为考查目标，在命制开放题时，可以从多方面进行探索尝试，如给出一系列事实或数据，要求考生从中发现问题并归纳结论或阐释原理；设置条件缺失试题，要求考生补充条件，解决问题；给出限制条件，列举满足条件的实例；综合开放等等． 1．列举实例，考查学以致用 举例题在2013年的高考新题型测试中已经引入，要求考生通过给出已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干要求的结论或是具体实例．在2021年8省联考中又进一步的测试、考查． 例1 （8省联考试卷第15题） 写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）= ． 解：根据奇函数性质可考虑正弦型函数f（x）= A sinωx，A≠0，再利用周期计算ω，选择一个作答即可.
实验题5 探究滑动摩擦力的大小与那些因素有关系 一．实验:究影响摩擦力大小的因素： 提出问题：摩擦力的大小与什么因素有关？ 猜想与假设： 猜想A:可能与接触面所受的压力有关 猜想B:可能与接触面的粗糙程度有关 猜想C:可能与接触的面积大小有关 猜想D:可能与物体滑动的速度有关 设计实验： 器材：表面光滑长木板、表面粗糙长木板、木块、弹簧测力计、砝码. 进行实验、记录实验数据： 1、把木块放在光滑木板上,用弹簧测力计拉木块匀速运动,读出这时的拉力F1； 2、在光滑木块上放砝码,用弹簧测力计拉木块匀速运动,读出这时的拉力F2； 3、把木块放在粗糙木板上,放上木块,用弹簧测力计拉木块匀速运动,读出这时的拉力F3 4、把木块侧面放在光滑木板上,用弹簧测力计拉木块匀速运动,读出这时的拉力F4； 分析论证、得出结论： F1 高中数学研究性学习 篇一：高中数学研究性学习课题选择 篇二：高中数学研究性学习报告 世界近代史上三大数学猜想——费尔马大定理 现在不少学生认为数学是一门枯燥乏味、难以学习的学科，那是因为他们没有体会到数学的价值就认为数学是没有实际意义的学科，学数学只是为了应付考试。现在的高中生的数学学习的观念主要有： （1）学数学主要靠记忆、模仿； （2）学数学就是为了在考试中取得好成绩； （3）学数学就是要会做数学题； （4）学数学就是要培养一个人的运算能力； （5）学数学就是用数学知识解决实际问题 这些信念说明了现在的多数高中生的数学观念不够健全和科学。而数学史对改变学生的数学观念能产生积极的影响，同时对激发学生学习数学的兴趣十分有帮助。 1、学习数学史能使学生体会到数学的价值，认识数学的本质。 2、学习数学史能调动学生学习数学的积极性，激发学习数学的兴趣。 3、学习数学史有助于培养学生正确的数学观念。 4、学习数学史有助培养学生的爱国主义思想和民族自尊心。 5、学习数学史有助于培养学生坚强的意志品质和实事求是的态度以及创新精神。 （第二部分世界近代史上三大数学猜想）： ① 接下来我们就从下面几个方面来谈谈数学史中最有名的理论或人物。首先请三位同学来 说说“世界近代史上三大数学猜想”，第一，费尔马大定理 ② 接下来，讲讲第二大猜想———四色猜想。（第5-6页） ③下面我们说说第三大猜想———哥德巴赫猜想。（第7-8页） （第一部分的小结） 现在大家对三大猜想是不是有了一定的了解？是不是觉得数学也有很多有趣的看似简单但其实非常难以解决的问题呢？希望大家今后多注意简单的问题，多从简单的问题深入思考，说不定你就是第四大猜想的发现者哟！ （第二部分阿拉伯数字的起源）： 我们现在每天学数学都在跟一些数字打交道，什么数字呀？（同学回答：阿拉伯数字），那你们知不知道阿拉伯数字是怎么来的呀？ 下面我们说说阿拉伯数字的起源。（第9-10页） （第三部分解析几何的创始人笛卡儿） 我们现在正在学习的是必修2的第二章——解析几何初步，那大家知不知道解析几何是谁创始的吗？下面我们搜集了一些资料来帮助我们了解这一部分历史。请宋嘉彬同学来给我们讲讲这里的故事。（第11-12页）（第三部分小结） 解析几何是我们高中数学非常重要的一部分，希望通过今天的学习让大家对解析几何有一个更全面一点的认识，从而加强对这一部分的学习。 （第四部分菲尔兹奖） 大家知道数学上最高荣誉奖是什么奖吗？不知道吧？下面我们也来了解一下数学中的诺贝尔奖，我们介绍一下。（第13页） （第五部分总结） 希望通过今天的学习大家能明白数学并不是你们现在所想的那样枯燥无味，在这块领域里要好多感人的有趣的故事，更别说它对其它学科的渗透力。所以希望今后大家能多了解一些数学史的知识，从而能更全面的学好数学这门学科 1丢番图逼近 数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。 1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜ 《中考压轴题全揭秘》 专题16 新定义和阅读理解型问题 一、单选题 1．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（） A． B． C． D． 2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距5的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（） A．13 B．14 C．15 D．16 3．已知点A在函数 11 y x =-（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B 两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（） A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对4．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（） A．2 3 B．1 C． 4 3 D． 5 3 5．根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值是4或7时，输出的y 值相等，则b 等于（ ） A ．9 B ．7 C ．﹣9 D ．﹣7 6．已知: 表示不超过的最大整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例： =1，则下列结论错误．．的是（ ） A ． B ． C ． D ．或1 7．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：()()22@a b a b a b =+--，则下列结论： ①若@0a b =，则a =0或b =0； ②()@@@a b c a b a c +=+； ③不存在实数a ，b ，满足22@5a b a b =+； ④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a =b 时，@a b 最大． 其中正确的是（ ） A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③ 8．在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为（ ） A ． B ． C ．34 D ．10 9．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直 ---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印- -- 要 ⅇ和π是人们不断研究探讨的两个特殊的无理数，本文将这两个数结合在一起对其的有关性质进行了分析讨论，讨论了ⅇ和π的无理性。根据实数的完备性可以知道无理数是可以用有理数的极限逼近表示的。进而用傅里叶级数展开和夹逼定理等方法，研究一些有理数列的极限，探讨有关ⅇ和π用有理数列极限逼近的问题。ⅇ、π相关的逼近问题研究结果可以推广到其他一些无理数用有理数列极限逼近问题，加深ⅇ和π此类特殊无理数有深刻的理解和熟练的应用，也同时可以帮助在一些有理数列极限的证明方面获得更多思路。 关键字：ⅇ和π无理数有理逼近极限 Abstract ⅇ and π are two special irrational numbers that have been studied and discussed continuously for many years.This paper analyzes and discusses the properties of ⅇand πincluding their irrationality. According to the completeness of the real numbers, we know that irrational numbers can be represented by the limit approximation of rational numbers.We can use the Fourier series expansion, Squeeze theorem and other methods to study the limit of some rational number sequences and discuss the problem of using the limit of rational number sequences to approximate ⅇand π. The results of the approximation problem research on ⅇ andπ can be extended to some other problems of using the limit of rational number sequences to approximate irrational number, which can deepen our understanding and application of special irrational numbers such as ⅇ 《实数》复习与巩固练习 一、单选题 1．实数1-，0.4，27，3，π-中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．若a ＋1和－5是实数m 的平方根，则a 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4或－6 3．已知312a -=-，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．无理数26的值在（ ） A ．2和3之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间 5．实数a 、b 、c 在数轴上对应点的位置如图所示．如果0a b +=，那么下列结论正确的是（ ） A ．a c > B ．0a c +< C ．0abc < D ．1a b = 6．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A 18 B 13 C 23x D ab 7．若Rt ABC 的两边长a ，b 满足()2430a b --=，则第三边的长是（ ） A ．5 B 7 C ．5或7 D ．57 83729的算术平方根等于（ ） A ．9 B ．9± C ．3 D ．3± 9．若913a ，小数部分为b ，则2a +b 等于（ ） A ．1213 B ．1313 C ．1413 D ．151310．已知{}2min ,,x x x 表示取三个数中最小的那个数，例如：当9x =，{}{}22min ,,min 9,9,93x x x ==．当{}2 1min ,,16x x x =时，则x 的值为（ ） A ．14- B ．14 C ．116 D ．1256 11．已知：a ＝ 123-，b ＝123+，则a 与b 的关系是（ ） A ．a －b ＝0 B ．a ＋b ＝0 C ．ab ＝1 D ．a 2＝b 2 12．化简1156 +的结果为（ ） A ．1130 B ．30330 C ．33030 D ．3011 二、填空题 13．在3220,,0.101001,,87 π-中无理数的个数是_______个． 14．计算：1192-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ _________． 15．方程380x -=的根是__________． 16．写出一个比3大且比11小的整数_____________ 17．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简 ()2a b a c -++=__________． 18．计算2232-的结果为______． 19．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形和矩形分别称为格点三角形和格点矩形．如图，已知Rt ABC 是55⨯网格图形中的格点三角形，则在该网格图形中，与ABC 面积相等的格点矩形的周长所有可能值是_________．高中数学研究性学习
丢番图逼近
专题16 新定义和阅读理解型问题-决胜中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
eΠ等无理数的有理逼近问题-毕业论文
第4章《实数》复习与巩固练习(含答案)
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