一道与糖水定理有关的有理逼近问题的探究及猜想

一杯水由于太甜加水数学题（原创实用版）目录1.引言：介绍一杯水因太甜而需要加数学题的背景2.加水过程：描述如何通过数学计算找到加水的合适比例3.数学题解：展示具体的数学计算过程和答案4.结果与讨论：解释加完水后的口感和糖分浓度5.结论：总结通过数学计算解决实际问题的意义正文在日常生活中，我们可能会遇到一些有趣的问题，比如一杯糖水太甜了，我们需要加一些水来稀释。

这个时候，数学知识就能派上用场。

下面我们就来分享一道关于如何给太甜的糖水加水的数学题。

假设我们有一杯糖水，其中糖的质量分数为 20%，也就是说，每 100 克糖水中有 20 克的糖。

现在我们觉得这杯糖水太甜了，想加入一些水来稀释。

我们每次加入 100 克水，但加入水后糖的质量分数会发生变化。

我们希望通过计算，找到一个合适的加水比例，使得糖的质量分数降至10%。

我们可以用以下的数学公式来计算加入水后的糖质量分数：糖质量分数 = (糖的质量 / 糖水总质量) × 100%设加入 x 次 100 克的水，那么原有的糖水中糖的质量为 20 克，总质量为 100 克。

加入水后，糖的质量仍为 20 克，但总质量变为 100 克 + 100x 克。

我们要求的是加入水后的糖质量分数降至 10%，即：10% = (20 克 / (100 克 + 100x 克)) × 100%解这个方程，我们可以得到：x = 1所以，我们需要再加入 100 克水，才能使糖的质量分数从 20% 降至10%。

这样一来，糖水的口感就会变得更加适口。

这道题目告诉我们，数学知识不仅能解决书本上的问题，还能帮助我们解决日常生活中的实际问题。

S 2=x 2+y 2+z 2=3,根据递推公式,可得S 3=3S 2-3S 1+rS 0=9-9+3r =3r ,S 4=3S 3-3S 2+rS 1=9r -9+3r =12r -9,S 5=3S 4-3S 3+rS 2=36r -27-9r +3r　=30r -27.由③式可得30r -27=3,故r =1.故方程④为　m 3-3m 2+3m -1=0,即　(m -1)3=0.它有三重根1,故x =y =z =1.例3　已知a +b +c =0,求证:(1)a 5+b 5+c55=a 3+b 3+c33・a 2+b 2+c22;(2)a 7+b 7+c 77=a 5+b 5+c 55・a 2+b 2+c 22.解　由a 、b 、c 是f (x )=(x -a )(x -b )(x -c )=x 3-(a +b +c )x 2+(ab +bc +ac )x -abc =x 3+p x 2+qx +r =0的三根,且S 0=a 0+b 0+c 0=3,S 1=-p =a +b +c =0,S 2=a 2+b 2+c 2=(a +b +c )2-2(ab+bc +ac )=-2q.由递推公式可得S 3=-pS 2-qS 1-rS 0=-3r ,S 4=-pS 3-qS 2-rS 1=-q ・(-2q )=2q 2,S 5=-pS 4-qS 3-rS 2=3qr +2qr =5qr ,S 6=-pS 5-qS 4-rS 3=-2q 3+3r 2,S 7=-pS 6-qS 5-rS 4=-7q 2r.比较上面各式便可得S 55=S 33・S 22,S 77=S 55・S 22,即　a 5+b 5+c 55=a 3+b 3+c 33・a 2+b 2+c 22,a 7+b 7+c 77=a 5+b 5+c 55・a 2+b 2+c 22.有兴趣的读者不妨试试用递推公式把例2、例3分别从三个变元推广到四个以上变元的情况.参考文献[1]　祝义宪.一元二次方程两根同次幂之和的一个递推公式及其应用[J ].中学数学月刊,2005,(3).大胆的猜想,严格的推理———由一道竞赛数学题的求解所想到的吴振勇(甘肃省庄浪县第三中学　744600)1　引言数学以其严格的逻辑性在很大程度上决定了数学解题必须遵循严格的逻辑推理,这当然是数学解题以至于中国传统数学教学的一大特色.但是如果把严格的逻辑推理作为数学解题的唯一办法则往往使解题者的思路陷入比较狭窄的境界,这有悖于学生创新能力及发散思维能力等的培养.因此,如果在顺向的严格推理比较困难的情况下,我们不妨进行一下逆向的大胆的猜想,往往会使我们的顺向解题思路显得并非“空穴来风”,其实是在“合情合理”之中.下面笔者以一道竞赛题为例探讨一下这一问题.2　例题解析例　(1989IMO 29—5)在直角△A B C 中,A D 是斜边B C 上的高,过△A B D 的内心与△A CD 的内心的直线分别交边A B 和A C 于K 和L ,△A B C 和△A KL 的面积分别记为S 和T.求证S ≥2T.分析　直接拿到这个题目以后,顺向思考好像有点眉目,但经过几次尝试以后又感到无处下手,那怎么办呢?我们不妨逆向来考虑这一问题.首先看看问题所要证明的结果S ≥2T ,而2T =A K ・A L ,S =12A C ・AB ,现要证明S ≥2T ,即要证明A K ・A L ≤12A C ・AB ,探求到这一步后好象又没有明晰的思路了.试想,这既然是一道IMO 试题,我们不妨进行大胆猜想,从图上所示线段凭直觉可看到,A K 似乎等于A L ,假设这一猜想成立,则有∠L KA =∠KL A =45°.若732006年第5期 数学教学研究∠L KA=45°时,我们不难得到△A M K≌△A M D(这里M是△A B D的内心),从而可得到A K=A D.又因为A D=A B ・A CB C,而A D2=A B2・A C2B C2=A B2・A C2A B2+A C2≤A B 2・A C22A B・A C =12A B・A C=S,这样2T=A K・A L=A D2≤12A B・A C=S.看来我们的这种大胆猜想是合理的,这样原问题的证明就转化为证明∠L KA=45°是否成立,而∠L KA是由线A B与线M N(这里N是△A CD的内心)相交所成,再者线B D与线M D所交的∠B DM=45°,若能证明∠L KA=∠B DM,问题就得以解决了.而要证明∠L KA=∠B DM,我们可视∠L KA及∠B DM为△A B D与△N M D的对应边的交角,自然这两个三角形不可能全等,只可能相似,这样,把证明∠L KA=∠B DM又转化为证明△A B D∽△N M D的问题.显然,在△A B D和△N M D中,有∠M D N=∠B DA=90°,故只需证明DM∶DB=D N∶DA,即DM∶D N=DB∶DA,而要证明该式成立,可由△A B D∽△CA D直接得到.所以这一切都是在假设A K=A L的情况下逆推下来的,而A K=A L成立的最终条件又是△A B D∽△CA D.显然△A B D∽△CA D成立,故A K=A L也成立.这样,我们通过大胆的逆向猜想,把顺向严格逻辑推演比较困难的问题合理化了.证明　如图,将△A B D和△A CD的内心分别记为M、N.由于△A B D∽△CA D,得对应线段之比等于相似比,有DM∶D N=B D∶A D.又∠M D N=∠B DA=90°,故有△A B D∽△N M D,从而对应边的交角相等,有∠L KA=∠B DM=45°,这表明,△A L K是等腰直角三角形.又因为△A M K≌△A M D,所以A K=A D= A L,于是得面积2T=A K・A L=A D2=A B 2・A C2A B2+A C2≤A B 2・A C22A B・A C =12A B・A C=S.3　启示3.1　蕴含奇妙思想方法的竞赛数学题要顺利解决,必须注重平时基本功的训练回顾与总结历次的IMO试题,可以发现,竞赛数学的内容与解题方法并不是凭空出现的,而是通过一个个千姿百态、机智巧妙的问题和解法与中学范围内的数学保持着密切的联系,透视出中学数学的精华和基本的数学思想方法.因此,就本质来讲,竞赛数学从一个侧面反映了以现代数学为背景的中学数学或中学生所能接受的数学的基本概念、基本原理、基本方法和基本应用.实际上,那些在IMO大赛上取得优异成绩的参赛选手与其平日扎实而刻苦的基础训练是分不开的,在这方面,中国参赛选手就是明显的例证.[1]值得注意的是,我国新一轮基础教育数学课程改革在关注学生数学建模、数学探究、数学创新能力的同时,在某些方面有淡化中国传统数学教育教学注重基本功训练的优良传统,一个明显的现象是义务教育阶段的数学课程在几何问题证明的严谨性、计算题目训练的多样性等方面有所淡化.当然,过分强调与追求繁杂冗长的计算与证明确实不可取,但是,必要的计算与严格的逻辑推理对培养学生的基本素质至关重要,这已经引起了大家的注意.那么,如何培养学生的基本功素质呢?笔者认为,第一,应树立学好数学的自信与耐心,这是因为基本功的训练离不开枯燥与单调的数学运算与证明,而有些运算与证明不是一帆风顺就能解决的,这就需要良好的意志品质作为后盾.第二,在平时的数学教学过程中,教师要引导学生正确地理解数学的基本概念,准确掌握数学的基本公式,明确数学基本定理的推导过程,并能将这些基本的数学概念、公式及定理结合不同的问题情景进行熟练应用.第三,教师应举出一些典型例子(如技巧性高的竞赛数学试题),通过创设问题解决情景,把看似技巧性高、思想方法非常独特的竞赛数学题最终分解为学生日常见到的基本知识与方法,从而给学生强调基本功训练的重要性:在平时的数学学习过程中,只有扎扎实实的掌握数学的基础知识,形成基本的数学技能,培养全面的数学能力,才有可能在各类竞赛数学解题中脱颖而出.3.2　基础数学教育教学在培养学生严格论证推理能力的同时,还要注重合情推理能力的培养“数学是思维的体操”,这说明具有严格逻辑性的数学科学是培养学生严格逻辑论证推理能力的最好素材,以欧几里得《几何原本》为代表的古代西方数学之所以流传千古而不衰,就是因为其蕴含的严83数学教学研究 2006年第5期谨的逻辑推理,公理化的思想与方法等对培养学生的严格逻辑论证推理能力是不可替代的.中国传统的数学教学由于注重“双基”,所以在培养学生的严格逻辑论证推理能力方面举世瞩目.但是,如果我们在强调培养学生严格逻辑论证推理能力的同时,而忽视了合情推理能力的培养,那么,学生未来成长所需要的数学能力肯定是不全面的,尤其不利于学生数学创新能力的培养.因为数学创新能力是学生数学能力的核心,是学生素质不竭发展的源动力.著名数学教育专家乔治・波利亚是主张培养学生“合情推理能力”的杰出代表.他认为,“数学被人看作是一门论证科学,然而这仅仅是它的一个方面……在证明一个数学定理之前,你先得猜测这个定理的内容,在你完全作出详细证明之前,你先得推测证明的思路……你得一次又一次地进行尝试.数学家的创造性工作成果是论证推理,即证明;但是这个证明是通过合情合理,通过猜想而发现的.只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话,那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置.”[2]可见,数学教学中对培养学生合情推理能力是很重要的.笔者认为,要培养学生良好的合情推理能力,首先要让学生对“论证推理”与“合情推理”的重要价值有一个辩证的认识,两者都是解决数学问题所需要的基本推理.正如乔治・波利亚所说的,“我们借论证推理来肯定我们的数学知识,而借合情推理来为我们的猜想提供依据”,“论证推理和合情推理,在我看来它们之间并不矛盾,相反地,它们是互相补充的”,[2]也就是先“猜想”后“证明”,不能将两者截然分开.第二,注重数学知识还原点的教学,即在讲述数学问题时,教师不要立即给出该题求解的过程,而应帮助学生仔细分析该题求解的知识背景,通过“尝试”、“猜想”等问题情景的创设,大胆暴露学生的思维过程,引导学生沿着合理的解题思路去思考.第三,改革传统的评价学生解题绩效的标准与手段.一般来说,教师评价学生解题情况时,侧重常规思路与方法,而对有些学生的非常规思路与方法没有引起足够的重视,如果有学生采用了新的方法简化了该问题的解题步骤时,教师此时应给与热情的鼓励;另一方面,教师在评价学生解题绩效时,除了看最后的结果,更应关注学生解题的过程,不要一看结果错误就对学生的整个解题思路“一棒子打死”,这都不利于学生非逻辑思维能力的培养.参考文献[1]　李保臻.谈竞赛数学的内容、特征及其教育价值[J].数学教学研究,2004,(12).[2]　[美]G・波利亚.李心灿等译.数学与猜想[M].北京:科学出版社,2002,3:IV—V过圆锥顶点的截面面积的最大值问题刘世界(甘肃省兰州市第七中学　730000) 过圆锥顶点的所有截面,一定都是等腰三角形,但对于不同的圆锥(底面半径和高不同而言)截面面积取最大值时的情形却不相同.通过教学实践,发现许多学生误认为过顶点的截面中轴截面三角形的面积最大,其实不然,下面谈谈这个问题.求过圆锥顶点的所有截面中截面面积的最大值.分析　过圆锥顶点的截面△PA B如图所示,设圆锥的高为h,底面半径为R,截面与底面的交线A B=2x.取A B的中点C,连OC、OA、PC,则0< x≤R,S△PA B=12・2x・R2+h2-x2=x2(R2+h2-x2)≤R2+h22,①当且仅当x2=R2+h2-x2,即x=R2+h22时,①式取等号.讨论:932006年第5期 数学教学研究。

糖水不等式对数应用
糖水不等式，简单来说就是一个有趣的数学不等式啦。

比如说，
如果糖水里面糖的浓度增加了，那糖水肯定就更甜啦。

数学上就是，
如果有两个正数 a 和 b，而且 a b，还有两个正数 m 和 n，那么
(a + m) / (b + m) > a / b 。

这个不等式在解决很多数学问题的时
候可有用啦！
糖水不等式和对数的关系
其实呀，对数和糖水不等式也能联系起来呢。

比如说，我们在比
较两个对数的大小时，就可能会用到糖水不等式的思想。

比如要比较
logₐ(b) 和 logₐ(c) （a > 0 且 a ≠ 1），如果 b 和 c 的大小关系
类似于糖水不等式中的条件，那就能巧妙地运用这个不等式来得出结
论啦。

糖水不等式对数应用的例子
咱来举个例子瞅瞅。

比如说，有一个对数函数 f(x) = log₂(x + 1) 和 g(x) = log₂(x + 2) ，要比较它们在某个区间的大小。

这时候就能想到糖水不等式，因为 x + 1 和 x + 2 就有点像糖水里面糖的变
化，通过分析就能得出在不同区间谁大谁小啦。

再比如，遇到那种需
要证明某个对数不等式的题目，糖水不等式说不定也能给咱提供思
路，帮助咱们找到解决问题的关键呢！咋样，是不是觉得还挺有意思的？。

浓度问题✍知识网络我们知道，将糖溶于水就得到了糖水。

糖水＝糖＋水，我们把糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液( 即溶液＝溶质＋溶剂 )。

如果水的质量不变，那么糖越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖与糖水二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的浓度（又称含糖量）。

类似的，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精浓度。

这一比值一般我们将它写成百分数。

溶质、溶剂、溶液和浓度具有如下基本关系式︰溶液的质量＝溶质的质量＋溶剂的质量浓度＝溶质质量÷溶液质量溶液质量＝溶质质量÷浓度溶质质量＝溶液质量⨯浓度溶度问题包括以下几种基本题型︰（1）溶剂的增加或减少引起浓度变化。

面对这种问题，不论溶剂增加或减少，溶质是始终不变的，据此便可解题。

（2）溶质的增加引起浓度变化。

面对这种问题，溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的，据此便可解题。

（3）两种或几种不同溶度的溶液配比问题。

面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与混合后溶液的溶质质量相等，据此便可解题。

总之，解答浓度问题，要注意题目中条件与问题的关系，找出所隐含的不变量，问题就迎刃而解了。

✍自学指导浓度问题是围绕溶质、溶剂、溶液及浓度展开的。

解题过程中我们要仔细分析题目，分清在变化前后，谁变了，谁没变，紧紧抓住不变量，这是解题的突破口，也是本节重点。

保持浓度：溶质溶剂齐加减增加浓度：加溶质或减溶剂降低浓度：减溶质或加溶剂✍经典例题[例1] 现有浓度为10%的盐水8千克，要得到浓度为20%的盐水，用甚么方法可以得到，具体如何操作？✍思路剖析要解决这个问题，我们首先想到的是向溶液中加适量食盐，这样溶质增加，浓度变大。

其实，反过来想，我们可以减少溶剂质量即将盐水溶液中的水蒸发掉一部分，同样可以达到将盐水的浓度改变为20%的目的。

若采用加盐的方法︰由于加盐前后，溶液中所含水的量没有改变，我们利用溶液等于溶剂的量除以溶剂在溶液中的百分比即可计算出加盐后溶液的质量。

第十七周浓度问题专题简析：在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。

我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。

如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。

这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。

类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。

因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，浓度＝溶质质量溶液质量 ×100％＝溶质质量溶质质量+溶剂质量×100％ 解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。

在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。

浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。

要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。

例题1。

有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？【思路导航】根据题意，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。

因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。

原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克）现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克）加入糖的质量：620－600＝20（克）答：需要加入20克糖。

练习11、 现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少克？2、 有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？3、 有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。

第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？例题2。

浓度问题
问题：将糖溶于水中就得到了糖水，那么糖水甜的程度由什么决定呢？
糖水甜的程度是由糖与糖水重量的比值决定的，这个比值称为糖水的浓度，一般用百分数表示。

其中糖叫做溶质，水叫做溶剂，整杯糖水叫做溶液。

你还能举出一些生活中见过的溶液吗？
基本关系：
溶液的重量＝溶质的重量＋溶剂的重量
浓度＝溶质的重量÷溶液的重量（请你由此分析一下浓度的取值范围）
例1.一容器内有浓度为25%的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15%，问这个容器内原来含有糖多少千克？
[答疑编号505721540101]
【答案】7.5千克
【解答】
解法一：原糖水浓度为25%，说明原溶液重量是糖的4倍，设糖的重量为单位1，则糖水的总重量为4。

加入20千克水以后，浓度变为15%，这时溶液重量是1÷15%＝。

多出的部分就是加入的水，
因此20千克水所占的份数是。

那么原有糖的重量（单位1）为
千克。

有理数的逼近性质与极限求解策略在数学中，有理数是一类可以表示为两个整数的比值的数，可以用来精确地表示很多实际问题。

有理数的逼近性质以及极限求解策略在数学中起着重要的作用。

本文将探讨有理数的逼近性质以及如何利用这些性质来求解极限问题。

1. 有理数的逼近性质有理数具有以下逼近性质：1.1 任意有理数都可以被其他有理数逼近。

给定一个有理数a，我们可以找到另一个有理数b，使得它们的差的绝对值小于任意正数ε。

换句话说，对于任意正数ε，存在有理数b使得|a-b|<ε。

这个性质表明，有理数在数轴上是稠密分布的。

1.2 有理数的有界性。

有理数的绝对值总是小于某个正数M。

也就是说，对于任意有理数a，存在一个正数M，使得|a|<M。

这个性质与逼近性质密切相关。

2. 极限求解策略通过利用有理数的逼近性质，我们可以采用以下策略来求解极限问题：2.1 利用递归逼近。

对于一个给定的无理数或者不易计算的极限，可以利用有理数的逼近性质，通过构造递归序列来逼近这个极限。

例如，对于圆周率π，可以采用著名的韦尔斯特拉斯逼近法，通过不断逼近π的有理数序列来计算π的近似值。

2.2 利用夹逼准则。

夹逼准则是一种常用的极限求解策略，特别适用于无理数的求解。

夹逼准则指出，如果对于一个极限问题，存在两个数列，一个递增，一个递减，并且它们的极限都是所求极限，那么所求极限就是这两个数列的极限。

通过找到足够接近所求极限的有理数数列，并确定递增或递减性质，可以利用夹逼准则求解极限。

2.3 利用逼近性质来推导极限等式。

有理数的逼近性质可以用于推导一些有用的极限等式。

例如，通过逼近性质，我们可以证明1/2 +1/4 + 1/8 + ... = 1。

利用这个等式，我们可以计算一些类似的级数的极限。

以上是一些常用的极限求解策略，通过利用这些策略，我们可以更好地理解有理数的逼近性质，并解决一些涉及极限的数学问题。

总结：有理数的逼近性质以及极限求解策略在数学中具有重要意义。

有理逼近代数插值，计算简单，光滑性好，是逼近光滑函数的重要工具.但当函数()f x 在某点a 附近无界，或当x →∞而()f x 趋向于某一定数时，采用多项式作()f x 的差值函数，差值效果差。

（1） 多项式不能反映在某点a 附近无界, （2 ）当x →∞时多项式的值总时趋于无穷. 有理分式Ax Bx α+-能很好地反映函数在x α=附近无界，并且也保证了当x →∞时趋于某个定值A 。

用有理函数逼近可得到较好的效果。

所谓有理函数是指用形如00()()()nkkn k nm n km k k a xP x R x Q x b x====∑∑的函数逼近()f x 如果取||()()||nm f x R x ∞-最小就可得到最佳有理一致逼近，如果取2||()()||nm f x R x -最小则可得到最佳有理平方逼近函数。

§1、连分式概念下面介绍运用辗转相除即连分式的方法求有理分式之值，以下例说明. 例1 给出有理分式432322453811353151121157409x x x x R x x x ++++=+++解：将分子分母相除，得到商式及分式，计算过程如下2323222246428423211574094232115740916714236(9)51671423651671942365879x x R x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=+++++=+++++++=+++++++=+++++++=+++++++这个方法称为辗转相除或连分式法，需3次除1次乘，7次加. 而用秦九韶算法则需1次除6次乘，7次加.用秦九韶算法求多项式544225437)6(x x x f x x x --+-+=当x=5时的值.首先将原多项式改写成如下形式 : ()()()()256)7(43f x x x x x x --+-+=，然后由内向外逐层计算一次多项式的值 例2 求1y x =+的连分式逼近。