组合之插板法7-5-4.
教学目标
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；
2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；
3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；
4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．
知识要点
一、组合问题
日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．
一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元nm?nnm素中取出个元素的一个组合．m从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的
nm?mmnn m组合数．记作．C nm可分成以下两步：个元素的排列数一般地，求从个不同元素中取出的Pmn nm第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；Cmn nm第二步：
将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．Pm mmmm．根据乘法原理，得到CP?P?nmnm Pn （?n?1）（?n?2)?（?n?m?1）mn．因此，组合数?C?n m m （?m?1）（?m?2）??3?2?1P m这个公式就是组合数公式．
二、组合数的重要性质
mn?m?CCm?n)
(一般地，组合数有下面的重要性质：nnmn?m CC表示从个个元素中取出这个公式的直观意义是：个元素组成一组的所有分组方法．表示从nmn nn元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个nn?mnm元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．mmn?32?CC．人不去开会的方法是一样多的，即例如，从人中选人开会的方法和从人中
选出553255n0?1C?1C规定．，nn
例题精讲
插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．
在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．
使用插板法一般有如下三种类型：
⑴个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(n?1)nm m?1个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．C1)?(m1?n⑵个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下[n?m(a?1)]1)?(aamn m?1个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．C1?a?1)n?m(⑶个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就mnm m?1和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了，因此分法的数目为．C)m?(n个1?m?n
【例1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有
种不同的放法。
【考点】计数之插板法【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第18题
5?4?33【解析】四盆黄花摆好后，剩下5个位子可插进红花，选三个位置将三盆红花插入，，所以=10=C53?2?1有10种选择.
【答案】种10
【例2】在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有______ 种．
【考点】复杂乘法原理【难度】4星【题型】解答
【关键词】西城实验
【解析】这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3．
8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入
但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况．
奇数的排列一共有种24?4!对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插
再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有种24?3?24?所以一共有种．1728?24?24?3【答案】1728
【例3】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？
【考点】计数之插板法【难度】2星【题型】解答
【解析】如图：○○|○○○○|○○○○，将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有种方法．362?9?8?【答案】36 【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？
【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
【解析】分三种情况来考虑：
⑴当小红最多一天吃块时，其余各每天吃块，吃块的这天可以是这七天里的任何一天，有种7414吃法；
⑵当小红最多一天吃块时，必有一天吃块，其余五天每天吃块，先选吃块的那天，有种选73312择，再选吃块的那天，有种选择，由乘法原理，有种吃法；4266?7?2⑶当小红最多一天吃块时，必有三天每天吃块，其四天每天吃块，从天中选天，有371227?6?53(种)吃法．35C??7
3?2?1根据加法原理，小红一共有(种)不同的吃法．84??7?423563?C?84C个空放挡板，有个空，选块糖有另外还可以用挡板法来解这道题，)(种不同的吃610999．
法．
【答案】84
【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．
【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
【关键词】西城实验
【解析】将12块糖排成一排，中间共有11个空，从11个空中挑出5个空插挡板，把12块糖分成6堆，则11?10?9?8?75这样的每一种分法即对应一种吃法，所以共有种．462C??11
1?2?3?4?5【答案】462
【巩固】把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有
种．
【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
【关键词】十三分，小升初，入学测试
【解析】把5件相同的礼物排成一列，中间有4个间隔，现在用两个板去隔，每个间隔最多放一个板．这2个板的每一种放法都把5件礼物分成3份，所以这两个板的每一种放法都对应一种分礼物的方法．而2种，所以分礼物的不同方法有6种．板的放法有C6?4【答案】 6
【巩固】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
【解析】将铅笔排成一排，用两块挡板将这一排铅笔隔开成三份，然后分与甲、乙、丙，挡板可插入的位置一共有个，6个位置中安插两个不分次序的挡板一共有种方法．处理分东西的152?667?1??5?问题用隔板(挡板)法可以顺利解决．
【答案】15
【巩固】学校合唱团要从个班中补充名同学，每个班至少名，共有多少种抽调方法？861【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
7?652【解析】插板法，8名同学之间有7个空，插5块板，一共有(种)方法．21CC???772?1【答案】21
【例4】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？
【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
【解析】把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着，然后在每个盘子里再另加一个橘子，这就变成了把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，不允许任何一个盘子空着．反过来也是一样，把13只橘子放到3个盘子里，不允许任何一个盘子空着，再从每一个盘子中取出一个橘子，这就变回题目中的放法．所以把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且允许有的盘子空着的放法数目，和把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目相同．
我们现在来计算把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目．这时我们用隔板地方法，把这13只橘子排成一列，则这13只橘子之间有12个空隙．我们只要选定这12个空隙中的2个空隙，再这两个空隙中分别放一块隔板，这样就分成了3组，就相当于把这13只橘子分成了3堆，如下图．所以只要求出从12个空隙中选出2个空隙有多少种方法就可以了．
2C?12?11?2?66，所以题目中所求的不同的放法有66种．12【答案】66
【巩固】将个相同的苹果放到个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。313【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，第8题
2C?105种。【解析】15【答案】种105
个，可以有多少种不同的分法？3个小朋友，每人最少分3个苹果分给20把】5 【例
【考点】计数之插板法【难度】3 【题型】解答
2种分法．【解析】先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板，有C?7813【答案】78
【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？
【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
【解析】由于每校至少演出3个节目，所以可以由每所学校先分别出2个节目，剩下的8个节目再由3所学校分，也就是在8个物体间插入2个挡板，8个物体一共有7个间隔，这样的话一共有7?6?（2?1）?21种方法．
【答案】21
【例6】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?
(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?
【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
【解析】将10拆成8个自然数的和，
有两种拆法，10=1+1+1+1+1+1+1+3=1+1+1+1+1+1+2+2．
若8天中有7天每天吃一块，另外一天吃三块，有8种吃法．
若8天中有6天每天吃一块，另外2天每天吃两块，有8×7÷2=28种吃法．
8+28=36，所以共有36种吃法．
（2）考虑有n块糖，每天至少吃1块，n天之内吃完的情况．将n块糖排成一行，这样在n块糖之间就产生了n-1个空隙．可以在这些空隙中插入竖线，如果一条竖线都没有插，就代表着1天把所有的糖吃完．如果每个空隙都插入竖线，就代表着每天吃一块糖，n天吃完．每个空隙都可以选择插或者不插，这样每一种插法都代表着一种吃法．由于每个空隙都有插或者不插两个选
择，所以n-1n-1n-1种不同的吃法．当有10块，一共有2块糖时，个空隙就有2101种插法，即n 块糖每天至少吃9=512种吃法．天之内吃完共有210块糖9天吃完时，其中1天要吃2块，其余8天每天吃1块，共有9种吃法．10块糖10天吃完时，每天吃1块，有1种吃法．512-9-1=502，所以10块糖8天或8天之内吃完，共有502种吃法．
【答案】502
【巩固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？
【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
【解析】初看本题似乎觉得很好入手，比如可以按天数进行分类枚举：
1天吃完的有1种方法，这天吃10块；2天吃完的有9种方法，10=1+9=2+8=……=9+1；
当枚举到3天吃完的时，情况就有点错综复杂了，叫人无所适从……所以我们必须换一种角度来思考．
不妨从具体的例子入手来分析，比如这10块糖分4天吃完：
第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块．
我们可以将10个“○”代表10粒糖，把10个“○”排成一排，“○”之间共有9个空位，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线(如下图)．
○○|○○○|○|○○○○
比如上图就表示“第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块．”
这样一来，每一种吃糖的方法就对应着一种“在9个空位中插入若干个‘|'的方法”，要求有多少个不同的吃法，就是要求在这9个空位中插入若干个“|”的方法数．
由于每个空位都有画‘|'与“不画‘|'两种可能：
每个空位都有画“|”与不画“|”两种可能9?2512?22?2??2，这也就说明吃完根据乘法原理，在这9“|”的方法数有：个空位中画若干个910颗糖共有512种不同的吃
法．
【答案】512
【例7】马路上有编号为，，，…，的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯10321关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？
【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
【解析】只灯关掉只，实际上还亮只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在只710733种方法．亮着的路灯之间的个空档中放入只熄灭的灯，有C?20366【答案】20 【巩固】学校新修建的一条道路上有盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中盏灯，212但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？2【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答
【解析】要熄灭的是除两端以外的盏灯，但不相邻．可以看成有盏灯，共有个空位，在这个空
位中910929?82找个空位的方法数就是熄灭盏灯的方法数，那么熄灯的方法数有(种)．2236?C?9 2?12【答案】C36?9
【例8】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？
【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
原四位数为，按照题意，我们有，但是对、、析】设、要求不同，因【解ABCDC?C?D?4A?BBAD 为这是一个四位数，所以应当有，而其他三个字母都可以等于0，这样就不能使用我们之前的0A?插板法了，因此我们考虑将、、都加上1，这样、、都至少是1，而且这个时候它们CCBBDD的和为，即问题变成如下表达：73??4一个各位数字不为0的四位数，它的各位数字之和为7，这样的四位数有多少个？
3个，对应着原四位数也应采用插板法，共有6个间隔，要插入3个板，可知这样的四位数有C?206该有20个．
【答案】20
【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？
【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答
【解析】大于2000小于3000的四位数，首位数字只能为2，所以后三位数字之和为7，后三位数字都有可能为0，为使用隔板法，先将它们变成至少为1的数，可以将每个数都加上1，这样它们的和为10，2种方法，且每个数都至少为1，那么采用隔板法，相当于在9个间隔中选择2个插入隔板，有C?369所以满足题意的四位数有36个．
【答案】36
【例9】兔妈妈摘了15个相同的磨菇，分装在3个相同的筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法？如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，又有多少种不同的装法？【考点】计数之插板法【难度】4星【题型】解答
【解析】⑴分装在3个相同的筐子里，两种不同的装法意味着这两种装法中3个筐子里的蘑菇数量不完全相同．可以进行分类讨论：
①如果每个筐至少有个，有种情况；51 ②如果每个筐至少有个，则相当于把个蘑菇分装在3个筐子里，且至少有1个筐子是3?4??3154空的(否则没有筐子是空的，将与①中的情况相同)，有(0，0，3)和(0，1，2)种情况；2 ③如果每个筐至少有个，则相当于把6个蘑菇分装在3个筐子里，且至少有1个筐子是空的，有(0，30，6)，(0，1，5)，(0，2，4)和(0，3，3)种情况；4 ④如果每个筐至少有个，类似分析可知有种情况；52 ⑤如果每个筐至少有个，类似分析可知有种情况．71所以共有种不同的装法．19?7?41?2??5 ⑵如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，可以把这15个蘑菇排成一列，中间有14个间隔，现在用两个板去隔，每个间隔最多放一个板．这2个板的每一种放法都把15个蘑菇分成3份，所以2?91C而板的放法有这两个板的每一种放法都对应一种装蘑菇的方法．所以装蘑菇的不同方法种，14有91种．
【答案】91
组合之插板法7-5-4. 教学目标 1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等． 知识要点 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元nm?nnm素中取出个元素的一个组合．m从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的 nm?mmnn m组合数．记作．C nm可分成以下两步：个元素的排列数一般地，求从个不同元素中取出的Pmn nm第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；Cmn nm第二步：
将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．Pm mmmm．根据乘法原理，得到CP?P?nmnm Pn （?n?1）（?n?2)?（?n?m?1）mn．因此，组合数?C?n m m （?m?1）（?m?2）??3?2?1P m这个公式就是组合数公式． 二、组合数的重要性质 mn?m?CCm?n) (一般地，组合数有下面的重要性质：nnmn?m CC表示从个个元素中取出这个公式的直观意义是：个元素组成一组的所有分组方法．表示从nmn nn元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个nn?mnm元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．mmn?32?CC．人不去开会的方法是一样多的，即例如，从人中选人开会的方法和从人中 选出553255n0?1C?1C规定．，nn 例题精讲 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现． 在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法． 使用插板法一般有如下三种类型： ⑴个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(n?1)nm m?1个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．C1)?(m1?n⑵个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下[n?m(a?1)]1)?(aamn m?1个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．C1?a?1)n?m(⑶个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就mnm m?1和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了，因此分法的数目为．C)m?(n个1?m?n 【例1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有 种不同的放法。 【考点】计数之插板法【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第18题 5?4?33【解析】四盆黄花摆好后，剩下5个位子可插进红花，选三个位置将三盆红花插入，，所以=10=C53?2?1有10种选择. 【答案】种10 【例2】在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有______ 种． 【考点】复杂乘法原理【难度】4星【题型】解答 【关键词】西城实验 【解析】这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3． 8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合 技巧，如排除法、插板法等． 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某 项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元 素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的 组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?． 因此，组合数12)112321 m m n n m m P n n n n m C m m m P ?-?-??-+==?-?-????（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式． 二、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤) 这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个 元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法． 例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n n C =，01n C =． 例题精讲 知识要点 教学目标 7-5-4.组合之插板法
1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21 223(2)2 n n n ++++=++……个部分； n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． E D C B A 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个． 模块一、立体几何计数 【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。 教学目标 例题精讲 知识要点 7-8-3.几何计数（三）
小学奥数计数之插板法习题【三篇】 【第一篇】 插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？ b 添板插板法 3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有
几个？ 5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？ 答案： 1、3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是c12 2=66 2、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？c8 2=28 3、-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10个小球，-表示空位 11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空 此时若在第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空 则每一组都可能取球为空c12 2=66 4、因为前2位数字对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
第22讲计数综合一 兴趣篇 1、现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张。如果从中取 出一些钞票（至少取1张），可能凑出多少种不同的总钱数？ 2、一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码。这本书共有多 少页？ 3、费叔叔带着昊昊、铮铮、包包一起到圆明园游玩。他们四人站成一排照相，其中费叔叔 要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法？ 4、有13个球队参加篮球比赛。比赛分两个组，第一组7个队，第二组6个队。各组内先 进行单循环赛（即每队都要与本组中其他各队比赛一场），然后由两组的第1名再比赛一场决定冠亚军。请问：一共需要比赛多少场？ 5、从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料， 共有多少种不同的选法？ 6、从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子 电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法？
7、从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36，共有多少种不同的取法？ 8、用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？ 9、用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数？ 10、在所有不超过1000的自然数中，数字9一共出现了多少次？ 拓展篇 1、把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213…0620072008。 请问： （1）这个多位数一共有多少位？ （2）从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少？ 2、商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球。其中红色的、黄色的和绿色的球各 有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号。顾客从箱子里摸出3个球，如果3个球的颜色全部相同或者各不相同，就可以中奖。已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少。问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种中奖方式是二等奖呢？
第二十讲计数综合提高下 一、上楼梯模型 找寻每种情况与前面若干种情况之间的关系 二、几何图形分平面——增量分析 考虑每次增加一个图形时，所增加的平面数，在分析问题时，要注意以下几点： 1.交点越多越好； 2.交点多决定段数多（两种情况，即封闭图形和不封闭图形）； 3.有几段则增加几部分（有直线要先画直线）． 三、传球法 1.传球法是树形图的简化版本； 2.传球规则决定累加规则； （1）首先从传球者角度考虑传球方法； （2）其次从接球者角度考虑如何累加； 3.可以使用传球法的题型； （1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数问题； （2）环形染色问题． 四、插板法 用于求解“把m个相．同．的球放到n个不．同．的盒子中”这类问题． a)注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的． b)如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为n1 C（把n1个板插到m1个 m1 空隙中）． c)如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为n1 C（先借n个球，然后按照每 m n1 个盒子至少1个去放，最后再从每个盒子中拿出1个还回去）． d)对其它情况，如：每个盒子至少2个，或者某些盒子可以没有，某些盒子至少 2个等，则需要做相应调整后才可应用上述结果． 五、对应法解计数问题 关键在于看出问题的本质，根据问题本质找到合适的方法，进行解题． 六、对于可以旋转或者可以翻转的题目，解题时要注意区分是否是不同情形． 这种题目通常要先固定一个部分，使之不能旋转或翻转，如果固定一个不够，则还 需要再固定一个．
例1．满足下面性质的三位数称为“红数”：它的个位比十位大，十位比百位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如246、367 是“红数”，但278 就不是“红数”．请问：一共有多少个“红数”？ 「分析」大家还记得“传球法”吗？ 练习1、满足以下条件的四位数称为“N 数”：它的个位比十位大，十位比百位小，百位比千位大，并且任意相邻两位数字差不超过2，例如3524 是“N 数”，但1234 不是“N 数”．一共有多少个“N 数”？ 例2．（1）在一个平面上画出 6 个正方形，最多可以把平面分成几个部分？ （2）在一个平面上画出 3 个三角形、2 个圆、1 条直线，最多可以把平面分成几个部分？ 「分析」本题可以采用递推计数法． 练习2、在一个平面上画 1 条直线， 2 个三角形和 3 个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？ 例3．一个长方形被分成7 部分，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四 种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？ 「分析」这道题目是否可以转化为一道环形染色问题呢？ 练习3、将如图的8 部分用 3 种不同的颜色着色，且相邻的部分不能 使用同一种颜色，不相邻部分可以同色，那么共有多少种着色方法？ A B H C G D F E
计 数 问 题 教学目标 1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合； 3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。 5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。 知识点拨： 例题精讲： 一、 排 列 组 合 的 应 用 【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法 （1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。 【解析】 （1）775040P =（种）。 （2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×6 6P =1440(种)． （4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ?= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ?=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）. （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所 以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情 况再去全排列。 【例 2】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数 【解析】 个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n =，2m =，根据排列数公式， 一共可以组成255420P =?=(个)符合题意的三位数。 【巩固】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数 【解析】 可以分两类来看： ⑴ 把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有 44432124P =???=(种)放法，对应24个不同的五位数； ⑵ 把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P =种选择．由乘法原理，可
第四讲对应计数 有9个球排成一行： 我们往其中插入两块（相同的）木板，就能够把这9个球分成三堆，例如： 可以看到，插入两块木板把9个球分成三堆的方法很多，那么到底有多少种插入木板的方法呢？每相邻两个小球之间有一个空隙，一共有8个空隙．插入的两块木板要把小球分成三堆，说明两块木板要放在两个不同的空隙之中．8个空隙选两个，共有 2 828 C 种方法．
如果要把三堆小球分别装入颜色为红、黄、蓝的三个袋子里，又有多少种装法呢？其实，所谓装入红、黄、蓝三个袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是28．这样我们就把“小球装袋”问题转化成“小球插板”问题来求解了，这种方法我们称之为“插板法”． “插板法”是一种特殊的对应技巧，能够帮我们解决很多计数问题． 例1． 把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？ 如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？ 【分析】 「分析」题目的第一问与我们上面的小球插板问题非常相似，如何用“插板法”求解呢？第二问允许有的“小朋友没有分到苹果”，还能不能用“插板法”呢？ 练习1、龟丞相把7个顶级乌龟壳分给4只小乌龟．如果每只小乌龟至少分一 个，共有多少种分法？如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳，共有多少种方法？ 例2． 某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？ 「分析」题目只关心三个选项的统计数字，需要具体考虑每个学生所作的选择吗？ 放入红色 放入黄色 放入蓝色
尹老师奥数教程---小升初培优班 计数综合----计数的方法 在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题。【排列概念】： 从n个不同元素中，任取m()个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列； 从n个不同元素中取出m()个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号表示. 【组合概念】 从n个不同的元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 组合数，用符号表示． 【典型例题】～【排列】 1、有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？ 2、幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？ 3、9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？ 4、由0，1，2，3，4，5可以组成多少个满足下列条件的数： (1)四位数；(2)四位偶数；(3)没有重复数字且能被5整除的四位数；(4)比5000小的自然数. 【典型例题】～【组合】 1、从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问： ①有多少个不同的乘积？②有多少个不同的乘法算式？ 2、某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要进行多少场比赛？ 3、一个口袋里装有5个不同的白球和3个不同的红球，从口袋中任取4个球： (1)共有多少种不同的取法？(2)其中不含红球，共有多少种不同的取法？
六年级数学同步提分 Q有七个同学4、B、C、D、E、F、GHE队，如果4必须站在B、C的中间(不一定相邻), D和两能相邻,F和G必须相邻,那么满足要求的排法有多少种？ ❷有七个同学4、B、C、D、E、F、曲E队，如果4不能站两边，且他必须与3相邻，有多少种排法? Q解答下列问题: (1 )四个男生与两个女生轮流唱一首歌，两个女生必须连着唱，有多少种不同的唱歌顺序？ (2)四个男生与两个女生轮流唱一首歌,两个女生必须不挨着，有多少种不同的唱歌顺序？ Q 4个男孩和4个女孩参加歌唱比赛，他们一个接着一个地唱.如果任意两个女孩不能连着唱,必须隔开,那么能排成_________________ 种不同的顺序. O三名男生、三名女生和三名老师一起排队照相，要求三名女生位置相邻，而三名男生位置不相邻，共有多少种不同的排列方式？ Q马路上有编号为1 ,2,3 ........................ , 9九只路灯，现在要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条］牛的关灯方案有多少种？ Q若3个男生4、B、C, 2个女生D、础E成一排. (1 )两个女生不相邻，共有多少种排法？ (2)正中间是女生，排头和排尾是男生的排法有多少种?
一次文艺表演共有3个不同的舞蹈节目,4个不同的唱歌节目,现在要安排这些节目,要求任何两个舞蹈节目不能连续出场,有几种安排方法？ 请回答下列问题： （1 ） 10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？ （2 ） 3男2女共5个孩子排成一列,至少有两个男孩挨在一起的排法共有多少种？ 一条马路上有编号1,2, 3,4,5, 6, 7,8, 9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的 三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种？ 8个人排成一排,甲要站在乙的右侧（不一定相邻）,丙要站在丁的右侧（不一定相邻）,且丙、丁、戊互不相邻,一共有____________ 种排法. 甲、乙两人进行台球比赛,甲需要把1一7号球打进,再把8号球打进为获胜,乙需要把 9 - 15号球打进，再把8号球打进为获胜.现在台面上还剩下1、2、3、8、13、15号球，那么，如果甲获胜，在剩余比赛过程中的进球顺序有____________ 种可能• 8个人排成一排，甲要站在乙的右侧（不一定相邻），丙要站在丁的右侧，且丙、丁、戊互不相邻,一共有___________ 种排法• 一条小街上JI励欠安装有10盏路灯，为了节约电又不影响照明,要关闭除首末两灯以外的8盏灯中的4盏灯，但被关闭的灯不能相邻,共有_________ 种不同的关法. a、b、c、d、e五个人排成一排，a与b不相邻，共有_____ 种不同的排法.
（1） 归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下 的数量关系． （2） 整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑， 从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系． （3） 对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两 种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式． （4） 递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一 递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法． 【例 1】 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面 为多少部分? 【巩固】 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部 分？ 【例 2】 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？ 例题精讲 知识框架 计数方法与技巧
【巩固】10个三角形最多将平面分成几个部分？ 【例 3】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？ 【巩固】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分? 【例4】一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀? 【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？ 【例 5】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？
小学奥数(第022课)排列组合进阶(捆绑法，插空法，隔板法)练习题 小学奥数(第022课) 排列组合进阶(捆绑法，插空法，隔板法)的相应练习题，大家可以练一练。 ①心算 (1)将A、B、C、D四个小朋友排成一列，其中B与C必须相邻，共有( )多少种排法。 (2)将A、B、C、D四个小朋友排成一列，如果B与C不能相邻，共有( )多少种排法。 (3)方程 x + y + z = 10 有( )组正整数解。 ②1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字4，5不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种。 ③有3名男生，4名女生排成一列，要求3名男生必须挨在一起，共有多少种排法。 ④晚会有6个歌唱节目，3个小品节目，要求不能连续演出小品节目，那么共有多少种安排方法。 ⑤男子乒乓球国家队张继科、马龙、许昕三人进行一次训练，刘教练拿出320个乒乓球分给三人，如果每人至少分100个乒乓球，那么共有多少种分法。 ①心算 (1)答案：12 解析：捆绑法，把B和C当做一个整体，所以是A(3，3)×A(2， 2)=6×2=12(种) (2)答案：12 解析：插空法，A，D的排列A(2，2)，然后在A，D的3个空插入B和C，是A(3，2)。所以答案是A(2，2)×A(3，2)=12(种)。或者用4人总排列数 A(4，4)减去BC相邻的排列数，24-12=12(种)。 (3)答案：36 解析：隔板法，可以看成10个1，有9个空，隔2个板，所以是C(9， 2)=36(种) ②答案：72
解析：根据题意，4与5不相邻，所以用插空法1，2，3共四个空。答案是 A(3，3)×A(4，2)=72(种)。 ③答案：720 解析：捆绑法A(5，5)×A(3，3)=720(种)。 ④答案：151200 解析：根据题意，不能连续演出小品节目，即不相邻，所以用插空法。先排6个歌唱节目是A(6，6)，然后6个歌唱节目共7个空，插入3个小品节目(小品也是有顺序的)。 答案是A(6，6)×A(7，3)=151200(种)。 ⑤答案：231 解析：想利用隔板法(每人至少分一个)，可以每人先分99个，剩下23个隔板，所以答案是C(22，2)=231(种)。
1. 了解排列、组合的意义 2. 明白排列和组合的联系与区别 3. 掌握排列和组合的常用解题方法。 4. 会分析排列组合与其他专题的综合应用，培养学生的逻辑思维能力。 一、 排列与组合 在生产生活中，常常用到排列与组合，尤其在计算机研究中。 (一) 排列 （1） 从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列 中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． （2） 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（ ）（） ． (二) 组合 （1） 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个 不同元素的组合数．记作m n C ．12)112321 ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m m n n m m P n n n n m C P m m m （）（（） （）（）．这个公式就是组合数 公式． （2） 一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)。这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成 一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法． 排列组合 考试要求 知识框架
组合之排除法7-5-3. 教学目标 1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等． 知识要点 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元nm?nnm素中取出个元素的一个组合．m从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的 nm?mmnn m组合数．记作．C nn一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：Pmn mm第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；Cmn n种排法．第
二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有m m P mmmm．根据乘法原理，得到CP?P?nmnm Pn （?n?1）（?n?2)?（?n?m?1）mn．因此，组合数??C nm1?3?22（?m?）??mPm（??1）m这个公式就是组合数公式． 二、组合数的重要性质 mn?m一般地，组合数有下面的重要性质：() C?Cn?m nnn?mm CC表示从个这个公式的直观意义是：个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从nmn nn元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个nn?mnm元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．mmn?32．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即C?C5352550n?1C1?C，规 定．nn 例题精讲 对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况． 【例1】在的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？~1995100【考点】组合之排除法【难度】2星【题型】解答 【解析】先考虑100～1995这1896个数中，百位与个位相同的数有多少个，在三位数中，百位与个位可以是1～9，十位可以是0～9，由乘法原理，有个，四位数中，千位是1，百位和个位可以是0～9010?9?9，十位可以是0～9，由乘法原理，个，但是要从中去掉1999，在100～1995中，百位10010?10?与个位相同的数共有个，所以，百位数与个位数不相同的自然数有：个．1707??189189690?99?189【答案】1707 【例2】1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？ 【考点】组合之排除法【难度】3星【题型】解答 【解析】从问题的反面考虑：1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，不发生进位？这样的数，个位数字有2种可能(即0，1)，十位数字有3种可能(即0，1，2)，百位数字有4种可能(即0，1，2，3)，千位数字有2种可能(即0，1)．根据乘法原理，共有个．注意上面的计算中包括482?3?4?2?了0(0000)这个数，因此，1到1999的自然数中与5678相加时，不发生进位的数有个?47?48?1所以，1到1999的自然数中与5678相加时， 至少发生一次进位的有个．1952?1999?47【答案】1952 【巩固】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？ 【考点】组合之排除法【难度】3星【题型】解答 【解析】与456相加产生进位在个位、十位、百位都有可能，所以采用从所有三位数中减去与456相加不产生进位的数的方法更来得方便，所有的三位数一共有个，其中与456相加不产生进位900?99?999的数，它的百位可能取1、2、3、4、5共5种可能，十位数可以取0、1、2、3、4共5种可能，个位数可以取0、1、2、3共4种可能，根据乘法原理，一共有个数，所以与456相加产1004?5?5?生进位的数一共有个数．800?100?900【答案】800 【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进
组合组合计数排列1星题 课程目标 知识提要 排列 • 定义从n 个不同的元素中取出m 个〔m ≦n 〕，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列。记作：A n m • 公式A n m = n ×(n −1)×(n −2)×⋯×(n −m +1) • 注意n 个元素的全排列就是n 的阶乘1!＝1；2!＝2；3!＝6；4!＝24；5!＝120；6!＝720特别地，规定0!＝1． 精选例题 排列 1. 3个人排成一排，有种不同的排法． 【答案】6 【分析】3个人全排列，3×2×1=6，有序排列． 2. 计算：〔1〕A 32 =；〔2〕A 63−A 102 =． 【答案】〔1〕6；〔2〕30 【分析】〔1〕A 32=3×2=6； 〔2〕A 63−A 102=6×5×4−10×9=120−90=30． 3. 计算：〔1〕C 123=；〔2〕C 1000998=；〔3〕A 82−C 82=． 【答案】〔1〕220；〔2〕499500；〔3〕28 【分析】〔1〕C 123=12×11×103×2×1=220； 〔2〕C 1000998=C 10002=1000×9992×1=499500； 〔3〕A 82−C 82=8×7−8×72×1=56−28=28．
4. 奥运桔祥物中的5个“福娃〞贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮取“北京欢送您〞的谐音．如果 在盒子中从左向右放5个不同的“福娃〞，有种不同的放法． 【答案】120 【分析】5个“福娃〞各不相同，全排列为A55=120． 5. 彼此不等且大于0的偶数a,b,c,d满足a+b+c+d=20，这样的偶数组(a,b,c,d)共有组． 【答案】24 【分析】20=2+4+6+8，即20只能拆为2,4,6,8这四个符合条件的偶数，顺序不同是不同偶数组，故有A44=24． 6. A64=； 4A53=； A75−A92=； 4A83+A91−A65=． 【答案】360；240；2448；633 【分析】A64=6×5×4×3=360； 4A53=4×5×4×3=240； A75−A92=7×6×5×4×3−9×8=2520−72=2448； 4A83+A91−A65=4×8×7×6+9−6×5×4×3×2=1344+9−720=633． 7. 小宝记得英语单“ℎello〞，是由三个不同的字母ℎ，e，o和两个相同的字母l组成的，但不记 得排列顺序，那么小宝可能出现的拼写错误共有种． 【答案】59 【分析】确定3个不同的字母顺序即可，A53=5×4×3=60，除去一种正确的写法，所以可 能出现的拼写错误共有60−1=59(种)． 8. 4个人围坐在一张圆桌就餐，有种不同的坐法． 【答案】6 【分析】先选定一个人，然后其他3个人在他右边开始全排列，1×A33=6． 9. 5个人围坐在一张圆桌就餐，有种不同的坐法． 【答案】24 【分析】先选定一个人，然后其他4个人在他右边开始全排列，4×3×2×1=24，有序排列．10. 用6颗颜色不同的彩色珠子串成一个手链，有种不同的串法． 【答案】60 【分析】先选定一颗珠子，其他珠子在其后边开始全排列．手链可以翻转，再除以2． A55÷2=60 11. —台综艺节目，由2个不同的舞蹈和3个不同的演唱组成．如果第一个节目是舞蹈，那么共 有种不同的安排方法． 【答案】48 【分析】详解：设舞蹈是第一个和第n个节目，那么n可取2、3、4、5，有4种取法．同时两个舞蹈的顺序有A22=2种，3个演唱的顺序有A33=6种，所以一共有4×2×6=48种不同的安排 方法． 12. 有身高各不相同的5个孩子，按以下条件排成一行： 条件1：最高的孩子不排在边上．
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和 逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别， 并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等． 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学 中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⋅． 因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L m m n n m m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式． 二、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤) 这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方 法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元 知识要点 教学目标 7-5-3.组合之排除法
组合组合计数加法原理2星题 课程目标 知识提要 加法原理 •概述加法原理：如果完成一件事情有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数． •加法原理根本特征每一种方法都可以单独完成任务． •加法原理解题步骤〔1〕完成一件事分n类方法〔2〕找每一类方法的种数〔3〕将每一类的种数相加 精选例题 加法原理 1. 过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和摇控汽车中选一件．那么妈妈送出这5件礼物共有种方法． 【答案】180 【分析】假设小强选的是智力拼图，那么小玉可以拿学习机或摇控汽车有2种，剩下的再运用乘法原理，共有2×5×4×3=120〔种〕方法． 假设给小强的是摇控汽车，那么小玉只能拿学习机，共1×5×4×3=60〔种〕方法． 总共有120+60=180〔种〕方法． 2. 用红、黄、蓝3种颜色把下列图中的8个小圆圈涂上颜色，每个圆圈只涂一种颜色，并且有连线的两个圆圈不能同色．那么，不同的涂法有种． 【答案】288 【分析】利用相邻原那么进行染色．经过分析可知需要对A、C进行讨论： 〔1〕假设A、C同色，那么有：3×1×2×2×2×2×2×2=192(种)；
〔2〕假设A、C异色，那么有：3×2×1×2×1×2×2×2=96(种)； 综上共有192+96=288种涂法． 3. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数中取3个数组成一组，使它的平均数是5，有种取法． 【答案】8 【分析】三个数的平均数是5，也就是三个数的和为15，这3个数从最小的考虑：最小数为1的 有(1,5,9)、(1,6,8)两种；最小数为2的有(2,4,9)、(2,5,8)、(2,6,7)三种；最小数为3的有(3,4,8)、(3,5,7)两种；最小数为4的有(4,5,6)一种，最小数为5,6,7,8,9的没有，因此一共有2+3+2+ 1=8〔种〕取法． 4. 用数字1、2、3、4四个数字可组成个没有重复数字且能被3整除的三位数？ 【答案】12 【分析】能被3整除数字和应是3的倍数，所以这四个数字中三个数字和是3的倍数的有1，2， 3或2，3，4两类． 第一类：数字1，2，3组成3×2×1=6(个)； 第二类：数字2，3，4组成3×2×1=6(个)． 共6+6=12(个)． 5. 用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是． 【答案】510234 【分析】以1开头的六位数有5×4×3×2×1=120〔个〕，以2、3、4开头的六位数也有 120个，即以1、2、3、4开头的六位数共有120×4=480〔个〕，所以第505个六位数首位数 字是5；以50为开头的六位数有4×3×2×1=24〔个〕，480+24=504，所以第505个六 位数是510234． 6. A,B,C,D四个人住进编号为1，2，3，4的四个房间，每个房间恰住一人；那么B不住2号房间，并且B,C两人要求住在编号相邻房间的住法共有种． 【答案】8 【分析】假设B住在1号房间，那么C住在2号房间，A、D住在3、4号房间，共2种住法； 假设B住在3号房间，那么C住在2号或4号房间，A、D住在剩下两个房间，共2×2=4种住法；假设B住在4号房间，那么C住在3号房间，A、D住在1、2号房间，共2种住法； 综上，合计2+4+2=8种住法． 7. 从1到2004这2004个正整数中，共有个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？ 【答案】1941 【分析】据题意可知：个位、十位、百位、千位不进位的数字个数分别是4，4，2，2． 那么当是一位数时有3个， 是两位数时有3×4=12(个)， 是三位数时有1×4×4=16(个)， 是四位数时有1×2×4×4=32(个)； 故不发生进位的共有3+12+16+32=63(个)， 于是至少发生一次进位的有2004−63=1941(个)． 8. 玩具厂牛生产一种玩具棒．共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色．这家玩具厂共可生 产种颜色不同的玩具棒． 【答案】45