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离散数学试题及答案一、选择题1. 在集合论中，下列哪个选项表示两个集合A和B的并集？A. A ∩ BB. A ∪ BC. A - BD. A × B答案：B2. 命题逻辑中，下列哪个符号表示逻辑非？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C3. 在有向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，那么称顶点v为顶点u的：A. 祖先B. 后代C. 邻居D. 连接点答案：B二、填空题1. 一个命题函数P(x)表示为“x是偶数”，那么其否定形式为________。
答案：x是奇数2. 在关系R上，如果对于所有的a和b，如果(a, b)∈R且(b, a)∈R，则称R为________。
答案：自反的三、简答题1. 简述什么是等价关系，并给出其三个基本性质。
答案：等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。
自反性指每个元素都与自身相关；对称性指如果a与b相关，则b也与a相关；传递性指如果a与b相关，b与c相关，则a与c也相关。
2. 解释什么是图的连通分量，并给出如何判断一个图是否是连通图。
答案：连通分量是指图中最大的连通子图，即图中任意两个顶点之间都存在路径。
判断一个图是否是连通图，可以通过深度优先搜索或广度优先搜索算法遍历整个图，如果所有顶点都被访问，则图是连通的。
四、计算题1. 给定命题公式P：((p → q) ∧ (r → ¬p)) → (q ∨ ¬r)，证明P是一个重言式。
答案：通过使用命题逻辑的等价规则和真值表，可以证明P在所有可能的p, q, r的真值组合下都为真，因此P是一个重言式。
2. 给定一个有向图G，顶点集合V(G)={1, 2, 3, 4}，边集合E(G)={(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (2, 4)}。
找出所有强连通分量。
答案：通过Kosaraju算法或Tarjan算法，可以找到图G的强连通分量，结果为{1, 4}和{2, 3}。
《离散数学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，则A∩B的结果是（）A. {1,2,3,4,5}B. {2,4}C. {1,3,5}D. {1,2,3,4,5,6,8,10}答案：B2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. ≤B. ≠C. |D. ≠答案：A3. 设图G有5个顶点，每两个顶点之间都有一条边相连，则图G的边数是（）A. 5B. 10C. 15D. 20答案：C4. 下列哪一个图是欧拉图？（）A. 无向图B. 有向图C. 树D. 环答案：D5. 下列哪一个命题是正确的？（）A. 若p→q为真，则p为真B. 若p∧q为假，则p为假C. 若p∨q为真，则q为真D. 若p→q为假，则p为假答案：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 设集合A={a,b,c,d}，B={c,d,e}，则A-B=________。
答案：{a,b}2. 设p是命题“今天是晴天”，q是命题“我去公园玩”，则命题“如果今天不是晴天，那么我不去公园玩”可以表示为________。
答案：¬p→¬q3. 设图G有n个顶点，e条边，则图G的度数之和为________。
答案：2e4. 一个连通图至少有________个顶点。
答案：25. 设图G的邻接矩阵为A，则A的转置矩阵表示________。
答案：图G的转置图三、判断题（每题5分，共25分）1. 离散数学是研究离散结构的数学分支。
（）答案：正确2. 两个集合的笛卡尔积是这两个集合的直积。
（）答案：正确3. 有向图中，顶点u和顶点v之间的长度为2的路径是指路径上有3条边。
（）答案：错误4. 树是一种无向图。
（）答案：正确5. 哈夫曼编码是一种贪心算法。
（）答案：正确四、应用题（每题25分，共50分）1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，C={3,6,9,12,15}，求A∪(B∩C)。
离散数学期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A∩B是（）A. {1, 2, 3, 4, 5}B. {2, 4}C. {1, 3, 5}D. {2, 4, 6, 8}2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于关系B. 大于等于关系C. 模2同余关系D. 整除关系3. 设P(x)是谓词逻辑公式，下列哪个命题与∀xP(x)等价？（）A. ∃x¬P(x)B. ¬∀xP(x)C. ¬∃xP(x)D. ∃x¬P(x)4. 一个图的欧拉回路是指（）A. 经过每一条边的路径B. 经过每一个顶点的路径C. 经过每一条边的环D. 经过每一个顶点的环5. 设G是一个无向图，下列哪个说法是正确的？（）A. G的每个顶点的度数都相等B. G的每个顶点的度数都不相等C. G的任意两个顶点之间都有一条边D. G的任意两个顶点之间都不一定有边6. 下列哪个图是哈密顿图？（）A. K3,3B. K5C. K4,4D. K67. 设G是一个具有n个顶点的连通图，则G的最小生成树至少包含（）A. n个顶点B. n-1条边C. n+1条边D. 2n条边8. 下列哪个算法可以用来求解最短路径问题？（）A. Dijkstra算法B. Kruskal算法C. Prim算法D. Floyd算法9. 设P和Q是两个命题，下列哪个命题与(P→Q)∧(Q→P)等价？（）A. P∧QB. P∨QC. P↔QD. ¬P∨¬Q10. 设A是一个有限集合，A的幂集是指（）A. A的所有子集B. A的所有真子集C. A的所有非空子集D. A的所有非空真子集二、填空题（每题3分，共30分）11. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A-B=______。
12. 设P(x)是谓词逻辑公式，∃xP(x)表示“存在一个x使得P(x)成立”，那么∀x¬P(x)表示“______”。
离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合，下列哪个式子是成立的？A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案：B2. 对于一个有n个元素的集合S，S的幂集中包含多少个元素？A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案：B二、判断题1. 对于两个关系R和S，若S是自反的，则R ∩ S也是自反的。
答案：错误2. 若一个关系R是反对称的，则R一定是反自反的。
答案：正确三、填空题1. 有一个集合A，其中包含元素1、2、3、4和5，求集合A的幂集的大小。
答案：322. 设a和b是实数，若a \(\neq\) b，则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。
答案：不等四、解答题1. 证明：如果关系R是自反且传递的，则R一定是反自反的。
解答：假设关系R是自反的且传递的，即对于集合A中的任意元素x，都有(x, x) ∈ R，并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时，(x, z) ∈ R。
反证法：假设R不是反自反的，即存在一个元素a∈A，使得(a, a) ∉ R。
由于R是自反的，所以(a, a) ∈ R，与假设矛盾。
因此，R一定是反自反的。
答案完整证明了该结论。
2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和B的笛卡尔积。
解答：集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A，b∈B}。
所以，集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。
离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c dA BCa b cda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。
10．下图所示的偏序集中，是格的为。
二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C．若R，S 是对称的，则SR 是对称的；D．若R，S 是传递的，则SR 是传递的。
5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsApt st sR=∧∈><=则P（A）/ R=（）A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
离散考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念不是布尔代数的基本运算？A. 与B. 或C. 非D. 模答案：D2. 集合论中，下列哪个符号表示“属于”关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A3. 命题逻辑中，下列哪个符号表示“蕴含”关系？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C4. 关系R在集合A上是自反的，意味着什么？A. 对于所有a∈A，(a, a)∈RB. 对于所有a∈A，(a, a)∉RC. 对于所有a∈A，(a, b)∈RD. 对于所有a∈A，(a, b)∉R答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个集合的基数是集合中元素的________。
答案：数量2. 在有向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，则称顶点v 是顶点u的________。
答案：可达的3. 一个图是连通的，当且仅当图中任意两个顶点都是________。
答案：连通的4. 在命题逻辑中，一个命题的否定是________。
答案：它的对立命题三、简答题（每题10分，共30分）1. 请解释什么是图的哈密顿回路。
答案：哈密顿回路是一个图中的闭合回路，它恰好访问图中的每个顶点一次。
2. 描述一下什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是数字集合上的一个二元关系。
3. 什么是图的生成树？答案：图的生成树是图的一个子图，它包含图中的所有顶点，并且是一棵树，即它是连通的且没有环。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1,2,3,4,5}，计算它的幂集。
答案：幂集P(A)={∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5},{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, A}。
最新离散数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个不是命题逻辑的基本联结词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 模（%）答案：D2. 以下哪个选项不是命题逻辑的真值表的正确形式？A. P | Q | P ∧ QB. P | Q | P ∨ QC. P | Q | P → QD. P | Q | P ↔ Q答案：B3. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B的结果。
A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 3, 4}D. {4}答案：C4. 以下哪个是等价关系的属性？A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 所有选项都是答案：D5. 以下哪个是图论中的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 所有选项都是答案：D6. 在有向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的有向路径，那么称v为u的后继。
以下哪个选项不是后继的定义？A. 存在一条从u到v的有向路径B. 存在一条从v到u的有向路径C. 存在一条从u到v的有向简单路径D. 存在一条从v到u的有向简单路径答案：B7. 以下哪个是二元关系R的自反性的定义？A. 对于所有a，(a, a) ∈ RB. 对于所有a，(a, a) ∉ RC. 对于所有a和b，如果(a, b) ∈ R，则(b, a) ∈ RD. 对于所有a和b，如果(a, b) ∈ R，则(a, a) ∈ R答案：A8. 在命题逻辑中，以下哪个是德摩根定律的表达式？A. ¬(P ∧ Q) ↔¬P ∨ ¬QB. ¬(P ∨ Q) ↔¬P ∧ ¬QC. P ∧ Q ↔¬P ∨ ¬QD. P ∨ Q ↔¬P ∧ ¬Q答案：B9. 以下哪个是集合的幂集？A. 包含集合本身的所有子集的集合B. 包含集合本身的所有超集的集合C. 包含集合本身的所有真子集的集合D. 包含集合本身的所有非空子集的集合答案：A10. 在图论中，以下哪个是强连通性的图？A. 任意两个顶点之间都存在有向路径B. 任意两个顶点之间都存在无向路径C. 任意两个顶点之间都存在有向简单路径D. 任意两个顶点之间都存在无向简单路径答案：C二、填空题（每空1分，共10分）11. 命题逻辑中的“与”操作可以用符号________表示。
自考离散数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，下列哪个符号表示“属于”关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 命题逻辑中，下列哪个表达式表示“非”操作？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C3. 在下列哪个图论的术语中，表示图中任意两个顶点都相连？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：C4. 布尔代数中，下列哪个操作是“或”？A. ∧C. ¬D. →答案：B5. 以下哪个是等价关系的属性？A. 自反性B. 对称性C. 反对称性D. 传递性答案：A6. 有限自动机中，状态可以被分为哪两种类型？A. 初始状态和终止状态B. 接受状态和拒绝状态C. 确定状态和非确定状态D. 静态状态和动态状态答案：B7. 在关系数据库中，下列哪个操作用于删除表中的行？A. INSERTB. DELETEC. UPDATED. SELECT答案：B8. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？B. ∃C. ∧D. ∨答案：A9. 在命题逻辑中，德摩根定律描述了哪些逻辑运算的对偶性？A. ∧ 和∨B. ¬和→C. ¬和↔D. → 和↔答案：A10. 树的深度优先搜索（DFS）算法通常使用哪种数据结构来实现？A. 队列B. 栈C. 链表D. 哈希表答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 在集合{1, 2, 3, 4, 5}中，子集的总数是_________。
答案：3212. 如果命题P为真，则命题P → Q的真值表中，Q的值必须为_________。
答案：真13. 在有向图中，一个顶点的入度是指_________。
答案：指向该顶点的边的数量14. 一个关系R(A, B, C)中，如果对于任意两个元组，当它们在属性A上的值相等时，它们在属性B和C上的值也相等，则称R具有_________。
答案：候选键15. 在布尔代数中，表达式(A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)的结果是_________。
离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1,2,3}和{3,4,5}的笛卡尔积中，元素(2,4)是否存在？A. 存在B. 不存在C. 无法确定D. 以上都不对2. 函数f: A→B是单射的，当且仅当对于任意的a1, a2∈A，若f(a1)=f(a2)，则a1=a2。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对3. 以下哪个命题是真命题？A. 所有的狗都会游泳。
B. 有些狗不会游泳。
C. 所有的狗都不会游泳。
D. 以上都不是真命题。
4. 如果p蕴含q为假，那么p和q的真值可以是？A. p为真，q为假B. p为假，q为真C. p为真，q为真D. p为假，q为假5. 以下哪个图是连通图？A. 一个孤立点B. 两个不相连的点C. 一个包含三个点且每对点都相连的图D. 以上都不是连通图6. 在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的路径，那么称v是u的后继顶点。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对7. 以下哪个等价关系是集合{1,2,3}上的？A. {(1,1), (2,2), (3,3)}B. {(1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}C. {(1,1), (2,3), (3,2), (3,3)}D. {(1,1), (2,2), (3,3), (1,3)}8. 以下哪个命题是假命题？A. 所有的鸟都有羽毛。
B. 有些鸟不会飞。
C. 所有的哺乳动物都是温血动物。
D. 以上都不是假命题。
9. 在图论中，一个图的生成树是包含图中所有顶点的最小连通子图。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对10. 如果命题p和q互为逆否命题，那么它们具有相同的真值。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1,2,3}和{3,4,5}的并集是________。
2. 函数f: A→B是满射的，当且仅当对于任意的b∈B，存在a∈A，使得f(a)=________。
离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中，含有3个元素的子集有多少个？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B解析：含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算，其中n为集合的元素个数，k为子集中的元素个数。
在本题中，n=4，k=3，所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。
2. 下列哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数。
B. 所有整数都是偶数。
C. 所有整数都是奇数。
D. 所有奇数都是整数。
答案：A解析：偶数是指能被2整除的整数，因此所有偶数都是整数，选项A是真命题。
选项B、C和D都是错误的，因为并非所有整数都是偶数或奇数。
二、填空题1. 逻辑运算符“非”（NOT）的真值表是：当输入为真时，输出为______；当输入为假时，输出为真。
答案：假解析：逻辑运算符“非”（NOT）是一元运算符，它将输入的真值取反。
如果输入为真，则输出为假；如果输入为假，则输出为真。
2. 命题逻辑中，合取词“与”（AND）的真值表是：当两个命题都为真时，输出为真；否则输出为______。
答案：假解析：合取词“与”（AND）是二元运算符，只有当两个命题都为真时，输出才为真；如果其中一个或两个命题为假，则输出为假。
三、简答题1. 解释什么是等价关系，并给出一个例子。
答案：等价关系是定义在集合上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。
例如，考虑整数集合上的“同余”关系。
对于任意整数a，b，如果a和b除以同一个正整数n后余数相同，则称a和b模n同余。
这个关系是自反的（a同余a），对称的（如果a同余b，则b同余a），并且是传递的（如果a同余b且b同余c，则a同余c）。
2. 什么是图的连通性？一个图是连通的需要满足什么条件？答案：图的连通性是指在无向图中，任意两个顶点之间都存在一条路径。
一个图是连通的需要满足以下条件：图中的任意两个顶点v和w，都可以通过图中的边相互到达。
一、填空题1 设集合A,B ，其中A ＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B ＝ {3} ; (A) - (B)＝ {3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |(A×A)| = 22n .3. 设集合A = {a , b }, B = {1, 2}, 则从A 到B 的所有映射是1= {(a ,1), (b ,1)},2={(a ,2), (b ,2)},3= {(a ,1), (b ,2)},4= {(a ,2), (b ,1)}, 其中双射的是 3,4.4. 已知命题公式G ＝(P Q)∧R ，则G 的主析取范式是 (P ∧Q ∧R)5.设G 是完全二叉树，G 有7个点，其中4个叶点，则G 的总度数为 12 ，分枝点数为 3 .6 设A 、B 为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A B ＝ {4} ; A B ＝{1,2,3,4}; A －B ＝ {1,2} .7. 设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是 自反性 , 对称性 传递性 . 8. 设命题公式G ＝(P (Q R))，则使公式G 为真的解释有 (1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A ＝{1,2,3,4}, A 上的关系R 1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R 2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R 1R 2 = {(1,3),(2,2),(3,1)} , R 2R 1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R 12= {(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B ，|A| = m, |B| = n, 则| |(A B)| = nm ⨯2.11 设A,B,R 是三个集合，其中R 是实数集，A = {x | -1≤x ≤1, x R}, B = {x | 0≤x < 2, x R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x R} ,A ∩B = {x | 0≤x ≤1, xR} , .13. 设集合A ＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是A 上的整除关系，则R 以集合形式(列举法)记为 {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} . 14. 设一阶逻辑公式G = xP(x)xQ(x)，则G 的前束范式是x(P(x)∨Q(x)) .15.设G 是具有8个顶点的树，则G 中增加 21 条边才能把G 变成完全图。
(完全图的边数2)1(-n n ，树的边数为n-1) 16. 设谓词的定义域为{a , b },将表达式xR(x)→xS(x)中量词消除 ，写成与之对应的命题公式是_ (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) _.17. 设集合A ＝{1, 2, 3, 4}，A 上的二元关系R ＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S ＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。
则R S ＝ {(1, 3),(2, 2)} , R 2＝ {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.二、选择题1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E 为全集，则下列命题正确的是( C )。
(A){2} A (B){a} A (C){{a}}B E (D){{a},1,3,4} B.2 设集合A={1,2,3},A 上的关系R ＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R 不具备( D ).(A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A 的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B 的( B )。
(A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对4 下列语句中，( B )是命题。
(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人(C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗 5 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b},1 0 1b)P(b,a) P(b,b) P(a,),(a a P则在解释I 下取真值为1的公式是( D ).(A)x yP(x,y) (B)x yP(x,y) (C)xP(x,x) (D)x yP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( C ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6). 7. 设G 、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G ＝xP(x), H ＝xP(x),则一阶逻辑公式G H 是( C ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式. 8 设命题公式G ＝(P Q)，H ＝P (Q P)，则G 与H 的关系是( A )。
(A)G H (B)H G (C)G ＝H (D)以上都不是. 9 设A, B 为集合，当( D )时A －B ＝B.(A)A ＝B (B)A B (C)B A (D)A ＝B ＝.10 设集合 A = {1,2,3,4}, A 上的关系R ＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R 具有( B )。
(A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对 11 下列关于集合的表示中正确的为( B )。
(A){a}{a,b,c} (B){a}{a,b,c} (C){a,b,c} (D){a,b}{a,b,c} 12 命题xG(x)取真值1的充分必要条件是( A ).(A) 对任意x ，G(x)都取真值1. (B)有一个x 0，使G(x 0)取真值1. (C)有某些x ，使G(x 0)取真值1. (D)以上答案都不对.13. 设G 是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G 的边数是( A ). (A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.14. 设G 是5个顶点的完全图，则从G 中删去( A )条边可以得到树. (A)6 (B)5 (C)10 (D)4.12 3 4 5615. 设图G 的相邻矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110110101110110010111110，则G 的顶点数与边数分别为( D ).(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10(D)5, 8.三、计算证明题1.设集合A ＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R 为整除关系。
(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出A 的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界； (3) 写出A 的最大元，最小元，极大元，极小元。
解：（1）（2） B 无上界，也无最小上界。
下界1, 3; 最大下界是3 （3） A 无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 9; 极小元是12. 设集合A ＝{1, 2, 3, 4}，A 上的关系R ＝{(x,y) | x, y A 且 x y}, 求(1) 画出R 的关系图； (2) 写出R 的关系矩阵.解：（1）1234（2）1000110011101111R M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 设R 是实数集合，,,是R 上的三个映射，(x) = x+3, (x) = 2x, (x) ＝ x/4,试求复合映射•，•, •, •，••. 解： (1)•＝((x))＝(x)+3＝2x+3＝2x+3.(2)•＝((x))＝(x)+3＝(x+3)+3＝x+6, (3)•＝((x))＝(x)+3＝x/4+3, (4)•＝((x))＝(x)/4＝2x/4 = x/2, (5)••＝•(•)＝•+3＝2x/4+3＝x/2+3.▲4. 设I 是如下一个解释：D = {2, 3},a b f (2) f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));(2)x y P (y, x).解：(1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))= P(3, 2)∧P(2,3)= 1∧0= 0.(2) x y P (y, x) = x (P (2, x)∨P (3, x))= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3))= (0∨1)∧(0∨1)= 1∧1= 1.5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。
(1)画出半序集(A,R)的哈斯图；(2)写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；(3)写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.解：(1) (2)无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.(3) B无上界，无最小上界。
下界1, 2; 最大下界2.6.设命题公式G = (P→Q)∨(Q∧(P→R)), 求G的主析取范式。
解：G = (P→Q)∨(Q∧(P→R))= (P∨Q)∨(Q∧(P∨R))= (P∧Q)∨(Q∧(P∨R))= (P∧Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)= (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)= (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = (3, 4, 5, 6, 7).7.(9分)设一阶逻辑公式：G = (xP(x)∨yQ(y))→xR(x)，把G化成前束范式.解：G = (xP(x)∨yQ(y))→xR(x)= (xP(x)∨yQ(y))∨xR(x)= (xP(x)∧yQ(y))∨xR(x)= (x P(x)∧y Q(y))∨zR(z)= x y z ((P(x)∧Q(y))∨R(z))9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},(1)求出r(R), s(R), t(R)；(2)画出r(R), s(R), t(R)的关系图.解：（1）r(R)＝R∪I A＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)}, s(R)＝R∪R－1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b),(b,c), (b,d), (c,d)}；(2)关系图:11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：(1) G = (P∧Q)∨(P∧Q∧R)(2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(P∧R))解：G＝(P∧Q)∨(P∧Q∧R)＝(P∧Q ∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)＝m6∨m7∨m3＝ (3, 6, 7)H = (P ∨(Q ∧R))∧(Q ∨(P ∧R)) ＝(P ∧Q)∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R)＝(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R) ＝(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R) ＝m 6∨m 3∨m 7G,H 的主析取范式相同，所以G = H.13. 设R 和S 是集合A ＝{a , b , c , d }上的关系，其中R ＝{(a , a ),(a , c ),(b , c ),(c , d )},S ＝{(a , b ),(b , c ),(b , d ),(d , d )}.(1) 试写出R 和S 的关系矩阵； (2) 计算R •S , R ∪S , R －1, S －1•R －1.解：(1)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000101R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000011000010S M(2)R •S ＝{(a , b ),(c , d )},R ∪S ＝{(a , a ),(a , b ),(a , c ),(b , c ),(b , d ),(c , d ),(d , d )}, R －1＝{(a , a ),(c , a ),(c , b ),(d , c )}, S －1•R －1＝{(b , a ),(d , c )}.四、证明题1. 利用形式演绎法证明：{P →Q , R →S , P ∨R }蕴涵Q ∨S 。
