高中第三分册《奥数教程》(第七版)勘误图示

目录一、数学竞赛介绍 (1)二、数学竞赛学习路径 (1)高联一试备考路径 (2)高联二试备考路径 (3)三、数学竞赛书单推荐 (4)一、数学竞赛介绍一、高中数学竞赛介绍数学竞赛分为高中数学联赛（CMO）高中数学联赛（CMO）中国数学奥林匹克竞赛，英文简称CMO，你也可以叫它冬令营（全国中学生数学冬令营）。

1、举办时间：每年9月的第2个星期日2、周期：一般为期5天左右，2019年为7天3、参与国家：中国内地、中国香港、澳门、俄罗斯、新加坡等国外代表队4、考试时间一共考2天：DAY1-高联一试：8:00-9:20，共80分钟。

试题分为填空题和解答题两部分。

满分120分。

DAY2-高联二试：9:40-12:30，共170分钟。

试题共4道解答题，满分120分。

5、考试难度题目难度接近IMO，奖项与IMO类似，CMO最终成绩与正式获奖名单在决赛结束后的一周左右公布，前60名将组成备战当年IMO 的中国国家集训队，可获得保送清北的资格。

二、数学竞赛学习路径第一轮为高联一试基础知识的系统化学习，提炼高联所需所有知识技巧，重新梳理课程逻辑，且先前全无竞赛经历也可同步学习。

第二轮为高联二试，分为基础课和进阶课，一共8个专题模1块。

第三轮为联赛冲刺，系统复习并讲解提分技巧，原创模拟题及真题分析讲解。

高联一试备考路径：1、学习目标：系统、扎实地学完高联一试要求的知识点，并且会做题2、内容：高联一试，高联考纲涉及所有知识点扎实的过一轮。

3、知识点组成：高中课内数学＋高联一试：集合、函数、数列、导数、不等式、向量、解析几何、立体几何、三角、复数、概率、计数4、学习时间：大约一年下面我们以新高一入坑为例，给出一版通用的第一年时间规划。

以2020年9月入学的新高一同学为例，一轮数竞学习可做如下规划：初三升高一暑假建议学习时间：30小时竞赛学习任务：高中课内数学+集合与函数、三角达成目标：了解所有高中课内知识点+掌握【集合、函数、三角】知识并会做题高一上学期-秋季建议学习时间：45小时竞赛学习任务：数列、计数、概率、向量、立体几何达成目标：掌握【数列、计数、概率、向量、立体几何】知识并会做题高一寒假建议学习时间：30小时竞赛学习任务：解析几何、不等式2达成目标：掌握【解析几何、不等式】知识并会做题高一下学期-春季建议学习时间：21小时知识点+最少24小时刷题竞赛学习任务：复数、函数与导数+刷套题达成目标：掌握【复数、函数、导数】知识并会做题，同时开始刷题，刷套题，不懂的知识点进行专项专练高联二试备考路径：1、内容：高联二试，高联考纲涉及所有知识点扎实的全部学习一遍2、知识点组成：代数、几何、数论、组合学习目标：3、学习目标：【目标省一】系统、扎实地学完高联二试代数、几何、数论、组合的全部定理及知识点，深度掌握代数和几何的解题技巧。

_1.1算法与程序框图1．1。

1 算法的概念算法的概念[提出问题］2014年8月“青奥会”在南京开幕，某人想观看“青奥会”的开幕式，通过网络订票成功，然后按时验票入场，观看完开幕式后退场返回．问题1：观看开幕式的过程是明确的吗？提示：是明确的．问题2：观众订票的方式是唯一的吗？提示:不唯一．问题3：若你想去观看“青奥会"开幕式，如何设计你的行程?提示：首先订票,然后选择合适的交通工具按时到场,验票入场，观看开幕式．［导入新知］［化解疑难］1．对算法概念的理解（1）算法没有一个精确化的定义，可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．(2）算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．事实上，算法的概念很广泛，为解决一类问题而采取的方法和步骤都称为“算法”．但我们这里讲的是计算机能实现的算法，即一类问题的机械的、统一的求解方法，如解方程（组)的算法、函数求值的算法等．2．算法的特征特征具体内容确定性算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可的正确性和算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，上一步是下一步的前提，只有执行完上一步，顺序性才能执行下一步有限性一个算法必须在执行完有限步之后结束，而不能是无限的不唯一性求解某个问题的算法不一定是唯一的，一个问题可以有不同的算法普遍性很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决，写出的算法必须能解决一类问题算法与计算机［提出问题］问题1：在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具,听音乐、看电影、玩游戏、办公、处理数据、收发邮件，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么你知道算法与计算机的关系吗？提示：算法是计算机科学的基础，计算机处理任何问题都要依赖于算法．问题2：如何设计一个利用计算机求当x取任何值时函数f(x)＝x2－x＋2的值的算法？试写出算法步骤．提示：第一步，输入x。

高中第一分册《奥数教程》（第七版）勘误图示1.11，13，15页右下角勘误如图
2.17页例2勘误如图
3.39页例8上方勘误如图
5.65页第11题勘误如图
6.74页勘误如图
8.90页例4勘误如图
9.95页勘误如图
10.110页第9题勘误如图
11.154页解法二勘误如图
12.207页勘误如图
13.209页例5勘误如图
14.231页第2题勘误如图
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16.245页例7勘误如图
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20.263页例10勘误如图
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23.274页第3题勘误如图
24.279页第10讲第11题勘误如图
25.281页第19讲第10题勘误如图
26.282页第20讲第4题勘误如图
高中第一分册《奥数教程·学习手册》勘误图示1.42页11题勘误如图
2.50页第11题勘误如图
3.67页11题勘误如图
4.85页第3题勘误如图
5.106页勘误如图
6.107页首行勘误如图
7.110页第4题勘误如图
9.124页第2题勘误如图
10.127页勘误如图
11.128页第1题勘误如图
高中第一分册《奥数教程·能力测试》（第七版）勘误图示1.1页第6题勘误如图
2.27页第3题勘误如图
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4.116页第9题勘误如图
5.121页第10题勘误如图
6.125页勘误如图。

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7.4.2 超几何分布新版课程标准学业水平要求1.结合生活中的实例,了解超几何分布2.了解超几何分布的均值及其意义1.结合教材实例,了解超几何分布的概念.(数学抽象)2.会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值.(数学运算)3.了解超几何分布与二项分布的关系,能利用超几何分布概率模型解决实际问题.(数学建模)必备知识·素养奠基超几何分布(1)定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品的次品数,则X的分布列为P=,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max,r=min.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.(2)均值:E=np,其中p=是N件产品的次品率.不放回抽取和有放回抽取有何不同?提示:抽取次数不同,不放回抽取只抽取一次,一次抽取n个,有放回抽取要抽取n 次,每次抽取一个;概率模型不同,不放回抽取服从超几何分布,有放回抽取服从二项分布.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X服从超几何分布.( )(2)盒中有4个白球和3个黑球,有放回地摸取3个球,黑球的个数X服从超几何分布.( )(3)某射手的命中率为0.8,现对目标射击3次,命中目标的次数X服从超几何分布.( )提示:(1)×.正面向上的次数X服从二项分布.(2)√.由超几何分布的定义,黑球的个数X服从超几何分布.(3)×.命中目标的次数X服从二项分布.2.在10个村庄中,有4个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为( )A.N=10,M=4,n=6B.N=10,M=6,n=4C.N=14,M=10,n=4D.N=14,M=4,n=10【解析】选A.根据超几何分布概率模型知N=10,M=4,n=6.3.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.若随机变量X表示任取10个球中红球的个数,则X服从参数为N=100,M=80,n=10的超几何分布.取到10个球中恰有6个红球,即X=6,P(X=6)=(注意袋中球的个数为80+20=100).关键能力·素养形成类型一超几何分布模型的概率【典例】1.一批产品共50件,其中5件次品,45件正品,从这批产品中任意抽2件,则出现2件次品的概率为( )A. B.C. D.以上都不对2.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困,现从中任意选3个村,下列事件中概率等于的是( )A.至少有1个深度贫困村B.有1个或2个深度贫困村C.有2个或3个深度贫困村D.恰有2个深度贫困村【思维·引】1.从这批产品中任意抽2件,出现的次品数服从超几何分布,直接利用公式计算;。

§7.4 二项分布与超几何分布7.4.1 二项分布 第1课时 二项分布学习目标 1.理解n 重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布的概率表达形式.3.能利用n 重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 导语某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一块木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为12，20×12不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前去，将仅有的30元押在桌上．那么这个学生的运气如何呢？ 一、n 重伯努利试验问题1 观察下面试验有什么共同的特点？(1)投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；(2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个； (3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次． 提示 ①相同条件下的试验：5次、10次、6次； ②每次试验相互独立；③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；④每次试验发生的概率相同为p ，不发生的概率也相同，为1－p . 知识梳理1．n 重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．2．n 重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n 次． (2)各次试验的结果相互独立．注意点：在相同条件下，n 重伯努利试验是有放回地抽样试验． 例1 判断下列试验是不是n 重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n 重伯努利试验．反思感悟n重伯努利试验的判断依据(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．(2)每次试验相互独立，互不影响．(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生．跟踪训练1(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是()A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标答案ABC解析A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验．二、二项分布的推导问题2(1)连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？提示连续掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用A i(i＝1,2,3)表示第i次掷得针尖向上的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3)．由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.(2)类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？提示用A i(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，用B k(k＝0,1,2,3)表示事件“出现k次针尖向上”，P(B0)＝P(A1A2A3)＝q3＝C03p0q3，P(B1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝3q2p＝C13p1q2，P (B 2)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝3qp 2＝C 23p 2q 1， P (B 3)＝P (A 1A 2A 3)＝p 3＝C 33p 3q 0， 规律：P (B k )＝C k 3p k q3－k ，k ＝0,1,2,3. 知识梳理二项分布：一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )． 注意点：(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布．例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．解 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫232＝49，P (B 2)＝C 12×⎝⎛⎭⎫341×⎝⎛⎭⎫1－34＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16.延伸探究1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．解 记“甲击中目标1次”为事件A 3，“乙击中目标1次”为事件B 3，则P (A 3)＝C 12×23×13＝49，P (B 3)＝38， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为 P (A 3B 3)＝49×38＝16.2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．解 记“甲未击中目标”为事件A 4，“乙击中2次”为事件B 4，则P (A 4)＝C 02×⎝⎛⎭⎫1－232＝19，P (B 4)＝C 22×⎝⎛⎭⎫342＝916，所以甲未击中，乙击中2次的概率为P (A 4B 4)＝19×916＝116. 反思感悟 n 重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n 重伯努利试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练2 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率．解 (1)依题意知，这4个人中，每个人参加甲游戏的概率为13，参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有k 人参加甲游戏”为事件A k (k ＝0,1,2,3,4)．则P (A k )＝C k 4·⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k . 故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34×⎝⎛⎭⎫133×23＋C 44×⎝⎛⎭⎫134＝19， 所以这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为19.三、二项分布的简单应用例3 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为13，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列．解 (1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X .则P (X ＝3)＝C 35×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫232＝40243， P (X ＝4)＝C 45×⎝⎛⎭⎫134×23＝10243， P (X ＝5)＝C 55×⎝⎛⎭⎫135×⎝⎛⎭⎫230＝1243， 所以至少有3次发芽成功的概率为 P ＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5) ＝40243＋10243＋1243＝1781. (2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝2)＝23×13＝29，P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫232×13＝427， P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫233×13＝881， P (ξ＝5)＝⎝⎛⎭⎫234×1＝1681. 所以ξ的分布列为反思感悟 利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．跟踪训练3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．解 由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， ∴P (X ＝k )＝C k 3×⎝⎛⎭⎫34k ×⎝⎛⎭⎫143－k ，k ＝0,1,2,3， 即P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫340×⎝⎛⎭⎫143＝164， P (X ＝1)＝C 13×34×⎝⎛⎭⎫142＝964， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫342×14＝2764， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫343＝2764. ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P164964276427641．知识清单：(1)n 重伯努利试验的概念及特征． (2)二项分布的概念及表示． 2．方法归纳：数学建模．3．常见误区：二项分布的判断错误．1．若随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (X ＝2)等于( ) A.⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233B.⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133C ．C 25×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133 D ．C 25×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233 答案 D解析 ∵随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， ∴P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233.2．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X 表示取得次品的次数，则P (X ≤2)等于( ) A.38 B.1314 C.45 D.78 答案 D解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为48＝12.从中取3次，X 为取得次品的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，12， P (X ≤2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×12＋C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 03×⎝⎛⎭⎫123＝78. 3．在4重伯努利试验中，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( ) A.13 B.25 C.56 D.34 答案 A解析 事件A 在一次试验中发生的概率为p ， 由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13.4．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________． 答案 0.048 6解析 P ＝C 24×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.课时对点练1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( ) A.516 B.25 C.58D.132答案 A解析 P ＝C 25×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫123＝516. 2．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28 答案 A解析 P (X ＝8)＝C 810×0.88×0.22.3．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为( ) A.2027 B.89 C.827 D.1318答案 A解析 该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，有两天出现大潮概率为C 23×⎝⎛⎭⎫232×13＝49， 有三天出现大潮概率为C 33×⎝⎛⎭⎫233＝827， 所以至少有两天出现大潮的概率为49＋827＝2027.4．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学通过测试的概率为( ) A ．(1－p )n B ．1－p n C ．p n D ．1－(1－p )n答案 D解析 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p )n ，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n .5．(多选)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有( )A ．每次出现正面向上的概率为0.5B ．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25C ．出现n 次正面向上的概率为C n 100.510D ．出现n 次正面向上的概率为C n 100.5n答案 BD解析 对于A ，每次出现正面向上的概率都是0.5，故A 正确；对于B ，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故B 错误；对于C ，出现n 次正面向上的概率为C n 10×0.5n ×0.510－n ＝C n 100.510，故C 正确，D 错误． 6．(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，则下列结论中正确的是( ) A ．P 1＝P 2＝P 3＝P 4 B ．P 3＝2P 1C ．P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1D ．P 4＝3P 2 答案 CD解析 由题意知，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4， 则P 1＝⎝⎛⎭⎫123＝18，P 2＝⎝⎛⎭⎫123＝18， P 3＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－12＝38， P 4＝C 13×12×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P 1＝P 2<P 3＝P 4，故A 错误；P 3＝3P 1，故B 错误； P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1，故C 正确； P 4＝3P 2，故D 正确．7．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为________． 答案 4解析 由1－C 0n⎝⎛⎭⎫1－12n >0.9，得⎝⎛⎭⎫12n <0.1，∴n ≥4. 8．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．答案1132解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132. 9．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．解 (1)记“预报一次准确”为事件A ，则P (A )＝0.8， 5次预报相当于5重伯努利试验． “恰有2次准确”的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”．其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72.所以所求概率为1－P ＝1－0.006 72≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.10．两个人射击，甲射击一次中靶概率是12，乙射击一次中靶概率是13.(1)两人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？ (2)两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？ (3)两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99%? 解 (1)共三种情况：乙中靶甲不中靶，概率为13×12＝16；甲中靶乙不中靶，概率为12×23＝13；甲、乙全中靶，概率为12×13＝16.故所求概率是16＋13＋16＝23.(2)共两类情况：共中靶3次，概率为C 22⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫120×C 12⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫231＋C 12⎝⎛⎭⎫121⎝⎛⎭⎫121×C 22⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫230＝16 ；共中靶4次，概率为C 22⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫120×C 22⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫230＝136，故所求概率为16＋136＝736. (3)两人总共中靶至少1次的概率为1－C 05⎝⎛⎭⎫125× C 05⎝⎛⎭⎫235＝1－1243＝242243＞0.99. 所以两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率超过99%.11．(多选)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，下列结论正确的是( )A ．他三次都击中目标的概率是0.93B ．他第三次击中目标的概率是0.9C ．他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1D ．他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12答案 ABD解析 A 正确；由每次射击击中目标的概率为0.9，知他第三次击中目标的概率也为0.9，B正确；3次射击恰好2次击中目标的概率为C 23×0.92×0.1，C 不正确；恰好2次未击中目标，即恰好击中目标1次，概率为C 13×0.9×0.12，D 正确．12．在4重伯努利试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1]答案 A解析 由题意知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，又∵0<p <1，∴0.4≤p <1，故选A.13．(多选)若随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (X ＝k )最大时，k 的值可以为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 AB解析 依题意得P (X ＝k )＝C k 5×⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.则P (X ＝0)＝32243，P (X ＝1)＝80243， P (X ＝2)＝80243，P (X ＝3)＝40243， P (X ＝4)＝10243，P (X ＝5)＝1243. 故当k ＝1或2时，P (X ＝k )最大．14．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(当第n 次出现正面时)，－1(当第n 次出现反面时)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为________． 答案 14解析 S 4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P ＝C 34×⎝⎛⎭⎫123×12＝14.15．规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀．现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果．例如：“101”代表第一次投镖在8环以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投镖在8环以上，该结果代表这一轮投镖为优秀：“100”代表第一次投镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上，该结果代表这一轮投镖为不优秀．经随机模拟实验产生了如下10组随机数，据此估计，该选手投掷飞镖两轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率是( )101111 011 101 010 100 100 011 111 001A.625B.2125C.1225D.425答案 B解析 模拟实验中，总共进行了10轮，10轮中至少两次投中8环以上的有6轮，用频率估计概率可得该选手拿到优秀的概率为P ＝610＝35，因此，该选手投掷飞镖两轮，相当于做两次伯努利试验，那么至少有一轮可以拿到优秀的概率P ＝1－C 02⎝⎛⎭⎫350⎝⎛⎭⎫252＝2125.16．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为12，乙投篮一次命中的概率为23.每人各投4个球，两人投篮是否命中的概率互不影响． (1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的分布列． 解 (1)设“甲至多命中1个球”为事件A ，“乙至少命中1个球”为事件B ，由题意得，P (A )＝⎝⎛⎭⎫124＋C 14⎝⎛⎭⎫121⎝⎛⎭⎫123＝116＋416＝516，P (B )＝1－⎝⎛⎭⎫1－234＝1－181＝8081， ∴甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝516×8081＝2581. (2)乙所得分数η的所有可能取值为－4,0,4,8,12，则P (η＝－4)＝⎝⎛⎭⎫134＝181，P (η＝0)＝C 14⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫133＝881， P (η＝4)＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132＝2481＝827， P (η＝8)＝C 34⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫131＝3281， P (η＝12)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681.故η的分布列为。