一类(2+1)维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的有理解及怪波李倩;舒级;汪春江;王云肖;杨袁【摘要】利用painleve分析,判别非线性微分方程的可积性,根据双线性导数,借扩展同宿呼吸检验法检验方程变换后的形式,讨论了非线性波动方程的有理解.在同宿呼吸子孤波中,当孤波的周期趋于无穷时得到了怪波解.%This paper discusses a class of classical (2+1)-dimensional KP equation, which has found wide applications in hydrodynamics, plasma physics, gas dynamics.By use of the Painleve analysis, the integrability of nonlinear differential equation is determined.Double linear method of Hirota is a transformation in nature.By testing the form with expanded homoclinic breather limit method, the form of the transformed equation is tested and the rational solution of the nonlinear wave equation is put under examination.Among homoclinic breather solitary waves, the cusp wave solution is worked out when the period of the solitary wave tends to be infinite.【期刊名称】《内江师范学院学报》【年(卷),期】2017(032)002【总页数】5页(P68-71,81)【关键词】KP方程;精确解;同宿呼吸子极限法;有理解;怪波【作者】李倩;舒级;汪春江;王云肖;杨袁【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066【正文语种】中文【中图分类】O17.27非线性科学问题的研究可用非线性偏微分方程来简练而准确地描述，求解非线性偏微分方程的精确解具有非常重要的理论和应用价值，尤其是孤立子解，其中KP方程是一类具有代表性的方程.1970年,Kadomtsev等[1]提出了一种二维波色散方程[1]，即一类KdV方程的孤子解在弱横向扰动影响下的稳定性，这个方程被称为KP方程,并认为其原型是二维上的可积的非线性色散波方程.KP方程是一个完全可积系统且有非常丰富的数学结构.数学结构包括N-soliton解的存在性、逆散射变换的Lax形式、无限维对称性的存在.1981年,佐藤提出了佐藤通用格拉斯曼流,给出KP方程是一个Plucker Grassmannian关系.近年来已出现了许多研究方法，如反散射法[6]，Backlund变换[7]，Darboux变换法[8]，Hirota方法[9]，tanh 函数方法[10]等.耦合的KdV方程组和扩散长水波方程组也进行了探讨并获得了一些孤子解[11].KP方程的解用图像模拟出来就形成怪波现象，也就是“畸形波”(freak wave)的概念[12]. Draper首次提出[12]，此后越来越多的学者开始关注这一现象，有的把它叫做怪波，杀人波，极端风浪等[13].从直观上看，怪波具有超常的波高，因此大多数学者和研究人员只能从波高角度对其进行定义[14]，即认为波高大于有效波高2倍(或2.2倍)的单波可以称为怪波[15-18](H>2Hs，或H>2.2Hs).怪波产生的原因包括外在影响因素和内在作用机理两种.调制不稳定性(Benjamin-Feir不稳定性)是生成怪波的一个重要机理[19-20].目前对此类方程研究主要有达布变换、反散射方法、代数几何极限方法等.已有的研究结果有: 常系数的非线性Schrodinger方程[21]、非线性导数Schrodinger方程[22]、耦合的NLS-MB方程[23]、两分量的非线性Schrodinger方程[24-25]、变系数的非均质的非线性Schrodinger方程[26]、非自治的非线性Schrodinger方程[27]、变系数非线性导数Schrodinger方程[28]、Hirota方程[29]、高阶方程[30]、KP方程[31]等.本文结合painleve分析、双线性导数和扩展同宿呼吸检验法得到uxt+6(+uuxx)+uxxxx+λuyy=0的有理解和怪波解.其中，u是关于x，y，t的函数，λ=1.该方程在流体动力学、等离子物理、气体动力学等方面有广泛应用. 下面给出一般的非线性偏微分方程形式:P(u,ut,ux,uy，…)=0,其中，P是一个多项式，u(t，x，y): Rx×Ry×Rt→R.下面求解u(t，x，y).步骤1 借助于Painleve分析，作代换u=T(f),f是一个未知函数.步骤2 由步骤1，将原始方程转变为Hirota双线性形式 G(Dt，Dy；f)=0, D有如下定义步骤3 采用扩展同宿呼吸检验法求出以上方程的同宿呼吸子孤波解.步骤4 在同宿呼吸子孤波解中，令周期趋于无穷，可以得到同宿波的有理解，即怪波解.定理2.1 在参数p1=p条件下，(2+1)维KP方程的有理解为证明由行波变换ξ=x+ct(c为常数)，得容易看到方程(6)有平衡解u0,其中u0为任意常数.假定其中，f(ξ，y)是实函数，将方程(7)代入(6)，得到下面双线性形式其中，·f=2(ff4ξ-4fξ)·f=2().对于方程(8)，可以通过下面的形式运用同宿检验法求解其中，p1，p，a，b，δ1，δ2是常实数.将方程(4)代入方程(3)，得到关于ep1(ξ-ay)的代数方程，即令ejp(ξ-ay)(j=-1,0,1)前的系数全为0，得令p1=p,方程组(5)化简如下求解方程组(6)其中，a，b，u0，δ2是任意实常数.令u0≠且δ2>0，有或将(7)代入(4)，有其中，，p=±，a，b为实数.将(8)代入(4)，可得有理解其中u1(ξ，y)，u2(ξ，y)体现了一种新的族波即双波.其振幅随时间的演变呈周期性振荡，向后向的周期波发生弹性碰撞，一列波以速度b传播，另一列波以向相反方向传播.定理2.2 在参数δ2=1,周期趋于,m1趋于1时，(2+1)维KP方程的怪波解为证明令δ2=1,即(δ2)=0,将其代入u2(ξ，y),可化简为其中考虑(ξ，y)的呼吸子极限，当周期趋于,即p趋于0.经计算，得其中，,并假定m1趋于，p趋于0时有a=b.包含两种不同方向和速度的波.易验证Urouguewave为(6)的有理解，同时Urouguewave也是呼吸子类型解.实际上，对于固定的，当y→±时，有U→0.所以，U不仅是呼吸子的有理解，也是怪波解，它比周围一般的波振幅高2～3倍，而且通常在短时间内形成.这就说明怪波可以来自实方程中的呼吸子孤波解.因此，可以认为在一定时间内的能量聚集或叠加是产生怪波的原因之一.令ξ=x+ct,代入(9)，得到(2+1)维KP方程的怪波解其中，,并假定m1趋于，p趋于0时有a=b.文中运用同宿呼吸子极限法求解(2+1)维KP方程，得到同宿呼吸解和同宿有理解，其中同宿有理解包含怪波解.下一步将应用其它方法得出更多可积和不可积系统的怪波解.对于满足Lax可积的方程或方程组可改写为其他等价形式，借助达布变换得到其平凡解和非平凡解.【相关文献】[1] Kadomtsev B B, Petviashvili V I. 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