第三章波动方程

波动方程的标准形式
波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。

波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。

在实际应用中，波动方程的标准形式经常需要结合边界条件和初值条件来求解。

例如，对于一维的弦波振动问题，可以在波动方程中加入弦的边界条件和初始位移等条件来求解波动的形状和传播速度。

波动方程标准式各参数意义
波动方程的标准式通常表示为：
∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²
在这个方程中，各参数的意义如下：
• u：表示波动的物理量，通常是指波动的位移或振幅。

该方程描述了这个物理量随时间和空间的变化。

• t：表示时间，是波动过程中的独立变量。

方程中的∂²u/∂t²表示物理量在时间上的二阶导数，描述了物理量随时间变化的加速度。

• x：表示空间的位置，是波动过程中的独立变量。

方程中的∂²u/∂x²表示物理量在空间上的二阶导数，描述了物理量在空间中的曲率或变化率。

• v：表示波速，是波动在媒介中传播的速度。

它决定了波动的传播速度和性质。

波速与媒介的性质有关，不同媒介中的波速可能不同。

通过这个方程，可以描述各种类型的波动现象，例如声波、光波、机械波等。

它描述了波动的传播行为和演化规律，可以用于分析波动现象的特性和预测波动的行为。

需要注意的是，上述方程是一个简化的形式，适用于一维波动的情况。

对于更复杂的波动情况，例如二维或三维的波动，方程形式可能会有所不同。

此外，具体问题中的物理量和参数可能会有所不同，需要根据具体情况进行适当调整和解释。

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第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。

公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。

若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。

方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。

顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。

波动理论波动方程知识点总结波动方程是波动理论中的重要内容，研究波的传播和特性具有重要意义。

本文对波动方程的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用波动理论。

一、波动方程的基本概念波动方程是描述波的传播过程中波动量随时间和空间的变化关系的数学表达式。

一般形式为：∂²u/∂t² = v²∇²u其中，u表示波动量，t表示时间，v表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。

二、波动方程的解法1. 分离变量法：将波动量u表示为时间和空间两个变量的乘积，将波动方程转化为两个偏微分方程，分别对时间和空间变量求解。

2. 化简为常微分方程：将波动方程应用于特定情境，通过适当的变换，将波动方程化简为常微分方程，再进行求解。

3. 利用傅里叶变换：将波动方程通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化为频域或复频域的代数方程，再进行求解。

三、波动方程的应用1. 声波传播：声波是由介质中的分子振动引起的机械波，通过波动方程可以描述声波在空气、水等介质中传播的特性，如声速、声强等。

2. 光波传播：光波是电磁波的一种，通过波动方程可以研究光的干涉、衍射、反射等现象，解释光的传播规律和光学器件的性质。

3. 地震波传播：地震波是地震过程中的弹性波，通过波动方程可以描述地震波在地球内部传播的规律，有助于地震监测和震害预测。

4. 电磁波传播：电磁波是由电场和磁场耦合产生的波动现象，在电磁学中应用波动方程可以研究电磁波在空间中传播的特性和应用于通信、雷达等领域。

5. 水波传播：水波是液体表面的波动现象，通过波动方程可以研究水波的传播和液面形态的变化，解释液体中的波浪、涌浪、潮汐等现象。

四、波动方程的性质和定解问题1. 唯一性：波动方程的解具有唯一性，即满足初值和边值问题的解是唯一的。

2. 叠加原理：波动方程具有线性叠加性质，一系统的波动解可以通过各个部分的波动解线性叠加而得到。

3. 边界条件：波动方程的求解需要给定适当的边界条件，例如固定端、自由端、吸收边界等，以确保解满足实际问题的物理要求。

第三章地震波动方程现在,我们用前一章提出得应力与应变理论来建立与解在均匀全空间里弹性波传播得地震波动方程。

这章涉及矢量运算与复数,附录2对一些数学问题进行了复习。

3、1 运动方程(Equation of Motion)前一章考虑了在静力平衡与不随时间变化情况下得应力、应变与位移场。

然而,因为地震波动就是速度与加速度随时间变化得现象,因此,我们必须考虑动力学效应,为此,我们把牛顿定律用于连续介质。

3、1、1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差得存在而使质点产生振动。

如图13所示,考虑一薄棒向x轴延伸,其位移量为u:Fig31则其作用力为“应力”X“其所在得质点面积”,所以其两边得作用力差为惯量﹙inertia﹚为所以得出……………………………………………………、、、(31)其中ρ为密度﹙density﹚,σ为应力﹙stress﹚=。

31式表示,物体因介质中得应力梯度﹙stress gradient﹚而得到加速度。

如果ρ与E为常数,则31式可写为 (32)其中运用分离变量法求解(32)式,设u=F(x)T(t),(32)式可以变为设则可得:考虑欧拉公式:(33)其中A,B,C,D为根据初始条件与边界条件确定得常数。

考虑到可正可负,方程式得解具有得形式,其中f及g为波得函数,以c得波行速度向+x 与x方向传递。

我们可以采用如下程序模拟地震波得传播。

平面波在均匀介质里沿方向传播,剪切波得齐次微分方程可表达为:这里就是位移。

对100公里得波长与假定得情况,我们写出用有限差分法解这方程得计算机程序。

用长度间距,时间间距秒。

假定在(50公里)震源时间函数得形式为:0＜＜5秒用(0公里)得应力自由边界条件与(100公里)得固定边界条件。

用有限差分图解来近似二次导数:以4秒得间隔画出133秒得图。

M = moviein(101);dx=1;dt=0、1;tlen=3;beta=4; %初始化变量,tlen为震源持续时间,beta为波传播得速度u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;%u1为前一个时刻得各点得位移,u2为当前时刻得位移,u3为下一个时刻得位移值,开始均假定为零t=0;jj=0;while (t<=33) %模拟得最长时间为33秒for ii=2:100rhs=beta^2*(u2(ii+1)2*u2(ii)+u2(ii1))/dx^2; %方程得解u3(ii)=dt^2*rhs+2*u2(ii)u1(ii); %对时间求导数end%左边为自由边界条件,右边为固定边界条件u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件u3(101)=0、0; %右边为固定边界条件%左右两边为自由边界条件% u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件% u3(101)=u3(100); %右边为自由边界条件%左右两边为固定边界条件% u3(1)=0、0; %左边为固定边界条件% u3(101)=0、0; %右边为固定边界条件if(t<=tlen)u3(51)=(sin(pi*t/tlen))、^2; %地震震源时间函数endfor ii=1:101u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii); %时刻得更新endplot(u2); %绘制目前得波形图ylim([1、2 1、2]);M(:,jj+1) = getframe; %获得当前得图像t=t+dt; %时间延长endmovie(M) %演示波形传播3、1、2三维空间之振动方程式推导三维空间之振动方程式得过程,与上节中所采用得一维空间讨论方式类似,如图32所表示,先探讨在x方向之位移量u:Fig32在yz面上得作用力差为:在xz面上得作用力差为:在xy面上得作用力差为:惯量为:得出…………………………………、、﹙34﹚其中σxx、σyx及σzx分別为stress tensor在xx﹙x面方向、x力方向﹚,yx﹙y面方向、x 力方向﹚及zx﹙z面方向、x力方向﹚方向得分量。

第三章 地震波动方程现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。

这章涉及矢量运算和复数，附录2对一些数学问题进行了复习。

3.1 运动方程（Equation of Motion ）前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和位移场。

然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律（ma F =）用于连续介质。

3.1.1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。

如图1-3所示，考虑一薄棒向x 轴延伸，其位移量为u ：Fig3-1则其作用力为“应力”X “其所在的质点面积”，所以其两边的作用力差为()()()dxds xx dx x ds ∂∂=-+σσσ 惯量﹙inertia ﹚为22tu dxds ∂∂ρ所以得出xt u ∂∂=∂∂σρ22 ……………………………………………………... （3-1）其中ρ为密度﹙density ﹚，σ为应力﹙stress ﹚=xuE ∂∂。

3-1式表示，物体因介质中的应力梯度﹙stress gradient ﹚而得到加速度。

如果ρ与E 为常数，则3-1式可写为222221tuc x u ∂∂=∂∂ …………………………………………………… （3-2）其中ρEc =运用分离变量法求解（3-2）式，设u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为T X cT X ''=''21设22ω-=''=''TT X X c 则可得：cx iti eX eT ωω±±∝∝,考虑欧拉公式：)sin()cos(),sin()cos(t i t e t i t et i ti ωωωωωω-=+=-()()()()ct x cict x cict x cict x ciDeCeBeAeu ---+-++++=ωωωω （3-3）其中A,B,C,D 为根据初始条件和边界条件确定的常数。