第4章 波动方程的积分解

1.1 波动方程的形式一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例）（1）边界条件①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。

②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立0=∂∂=ox xu 。

也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0，其中()t μ是t 的已知函数。

③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。

也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ，其中()t v 是t 的已知函数。

1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。

即如果函数()t x u ,1和()t x u ,2分别是下述初值问题（I ）()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂-∂∂2.1.....................,:0t 1.1. (022)222x t u x u x u a t u ψϕ和 （II ）()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂-∂∂4.1....................................................................0,0:0t 3.1................................................................,22222t u u t x f x u a t u的解，那么()()t x u t x u u ,,21+=就一定是定解问题（1）的解。

波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。

它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。

波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。

解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。

相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。

下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。

一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。

具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。

通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。

二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。

具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。

三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。

通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。

这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。

四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。

这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。

综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。

这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。

在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。

波动方程及其解法波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述的是波的传播和变化。

而在实际问题中，如声波、光波、电磁波等的研究中，波动方程的解法是被广泛使用的。

本文将介绍波动方程的基本概念及其解法。

一、波动方程的基本概念波动方程最基本的形式是一维波动方程，其数学表达式如下：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示波的位移，$c$是波的速度。

可以看出，波动方程是一个描述时间和空间之间关系的方程。

在这个方程中，偏微分算子表达了波动的传播和变化的规律。

二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是解波动方程的最常见方法之一。

其主要思想是，将变量$x$和$t$分离出来，分别让它们满足不同的微分方程。

如一维波动方程可以假设其解为$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入波动方程可得：$XT''=c^2X''T$进一步变形，可得：$\frac{T''}{c^2T}=\frac{X''}{X}$由此得到两个方程：$\frac{T''}{c^2T}=-\omega^2$$X''=-\omega^2X$其中，$\omega$为角频率，$-\omega^2$为分离出来的常数倍。

对于这两个微分方程，可以分别求解。

2. 叠加原理在叠加原理中，可以将波看做是多个波的叠加。

这种方法可以用于特定场合下的波动方程求解。

例如，在弹性绳的研究中，可以将弹性绳的振动看作是多个波的叠加。

在这种情况下，可以对不同的波求解，并把它们的解加起来成为最终的解。

3. 直接积分法直接积分法是一种基本的解微分方程的方法，同样也适用于波动方程的求解。

在直接积分法中，可以通过对波动方程进行积分，逐步求解出波的变化规律。

这种方法的实现需要考虑初值条件的限制，而条件的不同可能导致问题的复杂性。

第四章 波动方程的积分解4.1非其次标量亥姆霍兹方程的积分解电磁波问题的求解，都可以归结为求解其次或非其次标量或矢量波动方程。

对这类二阶偏微分方程，一般可以采用微分法和积分法。

在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场满足非其次亥姆霍兹方程：()()()22r k r f r φφ∇+=- (4-1)考虑在体积V 中，Φ和Ψ标量场和二阶导数连续，在包围体积V 的封闭截面S 上标量场Φ和Ψ的一阶导数存在，由标量格林函数：()22-d ()d VSV S φψψφφψψφ∇∇=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰ (4-2)建立了标量场Φ和Ψ在闭合界面内的体积分和闭合界面上的面积分关系。

格林函数满足齐次亥姆霍兹方程。

()()220g r k g r ∇+='r r ≠ （4-3）整理以上三个算式得()()d [()()]d Vs s g r f r V g r g r S φφ+=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰ （4-4）'[]d -[dS-()dS]n s s s gg g S g r a e R φφφφ∂∇-∇==∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4-5） 积分结果为()'''''''''''1()d d 44jk r r jk r r jk r r V S e e e r f r V r r S n n r r r r r r φφφππ------⎛⎫∂∂ ⎪=-- ⎪∂∂--- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰（）（） (4-6)电磁波遇到障碍物时，会发生绕射现象。

标量基尔霍夫公式可以用来近似计算电磁波通过电屏上孔径的绕射场，但需要假定条件： （1） 封闭面上除口径面外，标量场及其法向导数为零。

（2） 在口径面上，标量场及其法向导数等于无障碍物时的入射场。

可以看出，基尔霍夫近似必然导致在口径面的边缘场发生突变，从而产生突变。

但基尔霍夫近对物理光学的许多绕射问题仍然给出了许多满意的答案。

关于弦振动波动方程的求解方法一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。

考虑无界的定解问题一般方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φϕ 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。

2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φϕ 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：(I) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ，　)(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ(II) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ，　0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。

第四章规则波导理论前面介绍了几种无色散的TEM波传输线，它们在结构上都属于双导体系统。

其中平行双线是用在米波波段和分米波低频端的一种传输线；同轴线是用在分米波~厘米波段的一种传输线；带状线和微带是最近20多年来发展起来的新型平面传输线，它们在微波集成电路（MIC）中做传输线或元器件之用，是属于厘米波高频端的一种传输线。

当频率再升高时，上述几种传输线出现了一系列缺点，致使它们失去了实用价值。

比如，随着频率的增高，趋肤效应显著，因而导体热损耗增加；介质损耗和辐射损耗也随之增加；横向尺寸减小，功率容量明显下降，加工工艺也愈加困难。

上述缺点促使人们寻找一种新的，适用于更高频率，具有大功率容量的传输手段，于是产生了波导管。

实际上早在第二次世界大战前的1933年就已在实验室内被证明，采用波导管是行之有效的微波功率的传输手段。

现代雷达几乎无一例外地采用波导作为其高频传输系统。

波导管的使用频带范围很宽，从915MHz（微波加热）到94GHz（F波段）都可使用波导传输线。

本章所讲的“波导”是指横截面为任意形状的空心金属管。

所谓“规则波导”是指截面形状、尺寸及内部介质分布状况沿轴向均不变化的无限长直波导。

最常用的波导，其横截面形关是矩形和圆形的。

波导具有结构简单、牢固、损耗小、功率容量大等优点，但其使用频带较窄，这一点就不如同轴线和微带线了。

导行波理论不仅用于分析各类波导传输线本身，还是下面分析谐振腔、各种微波元件等的理论基础。

§4-1 电磁场基础同前面讨论同轴线、双线传输线所用的“路”的方法不同，本章所讨论的规则波导采用的是“场”的方法，即从麦克斯韦方程出发，利用边界条件导出波导传输线中电、磁场所服从的规律，从而了解波导中的模式及其场结构（即所谓横向问题）以及这些模式沿波导轴向的基本传输特性（即所谓纵向问题）。

一、麦克斯韦方程麦克斯韦总结了一系列电磁实验定律，得出一组反映宏观电磁现象所服从的普遍规律的方程式，这就是著名的麦克斯韦方程组。

常用的波动方程求解方法主要有以下几种:有限差分法、有限元法和伪谱法、积分方程法等。

1、有限差分方法由于适应性强，计算快速，因此是最先发展起来而且使用范围最广的数值方法，有限差分方法最大的弱点之一就是会产生数值频散。

有限差分法采用差分算式近似逼近偏导数运算，从而使波动方程的偏导数运算问题转化成差分代数问题，最后通过求解差分代数方程组得到近似解结果。

有限差分法的差分算式本身就是一种局部点运算，不需要考虑原函数中所求点值在邻域范围上的函数的变化情况，而只需要用到所求点值附近点上的值，所以能够很好的适用于复杂情况, 但是难保模拟精度。

有限差分方法有较高的空间域分辨率，而在频率域上分辨率反而会极低，稳定性同时还受到网格间距和时间步长的影响。

同时，虽然有限差分法还伴随有数值频散的问题，但是计算速度较快。

有限差分法目前主要有以下三大类:规则网格方程、弹性方程和交错网格方程。

有限差分法的具体操作可以分为两个部分:(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式:(2)求解差分方程组。

在第一步中，通过网格剖分法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。

通常采用的是规则的剖分方式，最常用的是正方形网格。

这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。

网格线划分的交点称为节点。

若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点;反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。

在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在 所有这些节点上的离散近似值。

目前最常用的两种有限差分方法包括:基于位移 波动方程的二阶中心差分法和基于一阶速度-应力波动方程的高阶交错网格法， 前者算法简单，易于实现，但差分精度具有局限性，最后得到的是节点上z x ,分量的位移离散近似值，后者算法稍复杂，但可以提高差分精度，最终得到的是节点上的位移速度离散近似值。

1.1 波动方程的形式一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 二维波动方程（例如薄膜振动）()t y x f y u x u a t u ,,2222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂ 三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）()t z y x f z u y u xu a t u ,,,222222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例）（1）边界条件 ①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。

②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立0=∂∂=ox xu。

也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0，其中()t μ是t 的已知函数。

③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。

也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ，其中()t v 是t 的已知函数。

1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。

《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场第4章时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。

电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。

在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。

本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。

电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。

本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。

4. 1 波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。

下面建立无源空间中电磁场的波动方程。

在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。

在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为t ε=?EH （4.1.1） tμ=-?HE （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有()()tμ=-E H 将式（4.1.1）代入上式，得到22()0t με+=?EE利用矢量恒等式2()()=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到2220tμε??-=?EE （4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。

同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为2220tμε??-=?H H （4.1.6）无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。

在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。

例如，式（4.1.5）可以分解为222222220x x x xE E E E x y z tμε++-= （4.1.7） 222222220yyyyE E E E x y z t με++-= （4.1.8）222222220z z z zE E E E x y z t με++-= （4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。