波动方程的简谐平面波解
在建立了波动方程之后，我们来讨论其解的形式及其特性。 1、 简谐平面波
（1）波动方程的简谐平面波解
声波在空间中传播，其传播方向和波阵面垂直。平面波是波阵面是平面的声波，而简谐平面波是波阵面（对简谐波而言，波阵面也是等相位面）是平面的简谐声波。具有任意波形的声波可以通过付里叶变换分解为多个具有不同频率的简谐平面波的叠加。因此，简谐波传播是波动传播的基础。 一般简谐平面波的声压幅值在等相面上有一定的分布。这里只讨论声压幅值在等相面上处处相同（均匀平面波）的简单情况，较为复杂的非等声压幅值平面波（非均匀平面波）在后面的学习中会遇到。
对一维均匀简谐平面波，声压幅值可以只用一个坐标来描述。若取平面波的传播方向为x 轴正方向，假设波动方程中c 为常数，则波动方程的均匀简谐平面波解可以分离变量有如下形式：
(,)()()p x t p x T t =，
(2-23) 其中，()p x 和()T t 分别为(,)p x t 的空间坐标相关因子和时间相关因子。将(2-23)式代入到 (2-15)中，并分离变量，得
222222
1()()
()()d T t c d p x T t dt p x dt
ω==-， (2-24) 其中，2ω-为分离常数。由(2-24)式可得两个方程：
22
2
()()0d T t T t dt
ω+=， (2-25) 222
()
()0d p x k p x dt
+=。 (2-26) 其中，222k c ω=，为常数。
(2-25)式的两个特解为j t e ω和()j t e ω-，后者描述具有“负频率”的振动，无实际意义，只保留j t e ω；(2-26) 式的两个特解为jkx e 和jkx e -。由此得到波动方程的简谐平面波解为
j[t-kx]
j[t+kx]
(,)(,)(,) =Ae
e
p x t p x t p x t B ωω+-=++ 。 (2-27)
对推导过程中几个量物理意义的讨论：
① 由(2-25)的解j t e ω可以看出，ω是简谐波的圆频率，也可以理解为：在简谐波
传播的过程中，介质中某一质点经过单位时间变化的相位值(对应着周期数)。 ②先讨论(2-27)式的第一项(,)p x t +。当0t =时，声压(,)p x t +在0x x =处的值(状态)为0kx Ae -；当1t t =时，在01x x t k
ω
=+
位置上，(,)p x t +的值也为0kx Ae -。这说明由
(,)p x t +描述的声波在1t 时间间隔上，由0x x =位置传播到了01x x t k
ω
=+
位置上，
即声波传播了距离01x x t k
ω
-=
。
由此可知，i. (,)p x t +描述的是沿x 轴正方向传播的声压幅值为A 的均匀简谐平面波；ii. 声传播的速度是：c k ω=。回顾c 的定义(2-9)式，当时我们还不清楚这个量的真实物理意义，在此得到了明确。
另外一种解释方法：观察者站在等相面上，等相面将向波前进方向移动。此时，等相面的相位值不随时间变化而变化。因此有
[]0d
t kx dt
ω-=， 即 0dx
k dt
ω-=。
由此得
dx
c k dt
ω==。
同样道理，(,)p x t -描述的是沿x 轴负方向传播的声压幅值为A 的均匀简谐平面波。
(3) k c ω=，ω是简谐平面波的频率，c 是声波的速度，由2f ωπ=和f c λ= （f 和λ分别为声波的频率和波长）可知，2k πλ=。波长λ的意义可以理解为：沿波传播方向，不同质点的振动状态不同，波长x λ∆=这样一个距离上，不同质点的振动状态刚好变化一个周期2k x π∆=。也可以直观理解为：在单位长度上，不同质点的振动状态变化的周期数，亦即表示波动状态沿空间上变化的快慢。类比时间域的周期和圆频率，λ可以理解为空间域的周期，而k 可以理解为空间域的频率。为和时间域频率区分开来，我们把空间域的频率k 称为波数。 (4) (2-24)式中的分离变量常数取纯负数2ω-，为何不取纯正数2ω？理论上，两
者都应该保留。但当分离变量常数取纯正数2ω时，分离变量后的时间相关部分的微分方程为
22
2
()()0d T t T t dt
ω-=。 该方程的解为t t Ae Be ωω-+，第一项和第二项分别是随时间指数减小和增加的函数，而不代表波动，在此无意义，故此舍去。
通过求解波动方程，我们已经得到了均匀简谐平面波的声压。下面我们进一步讨论均匀简谐平面波的质点振速，并由此给出其声强。
由运动方程(2-14)式，并分别代入沿x 轴正、反方向传播的均匀简谐平面波的声压可得质点振速为
[]
001
1(,)=j t
kx p u x t dt e
x c ωρρ±∂=-
±∂⎰ 。 (2-28)
由(2-22)式，沿x 轴正、反方向传播的均匀简谐平面波的声强分别为
002
22
000
001
Re[]Re[]1 =cos()cos()A 1 =222
T
T I p u dt
T A A t kx t kx dt T c
p cu c c ωωρρρρ+++=--==⎰⎰， (2-29a)
02
2
2
00
001
Re[]Re[]A 1 =-222
T
I p u dt
T p cu c c ρρρ---==-=-⎰。 (2-29b)
两式中，0p A =，000
A
u c ρ=。(2-29b)式右端的“-”号表示声能流沿x 轴反方向传播。
由(2-29a)和 (2-29b)两式可以看出，均匀简谐平面波的声强不随距离变化，即均匀简谐平面波声强不随距离衰减。这是其非常重要的一个物理特征。
为方便记忆，可将声功率、声压幅值、质点振速幅值及阻抗同交流电中电功
