§4-2平面简谐波的波动方程
振动与波动
最简单而又最基本的波动是简谐波！
简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。
对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。
波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。
一、平面简谐波的波动方程
设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点
参考点原点的振动方程为
x
区别
联系
振动研究一个质点的运动。
波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。
振动是波动的根源。 波动是振动的传播。
()00cos y A t ω?=+ 任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？
A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢？
沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π
现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相位比 O 点落后
22x
x π
πλ
λ
=
P 点的振动方程为
02cos P y A t x πω?λ?
?=+-
??
?
由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉
02cos y A t x πω?λ?
?=+-
??
?
就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。
如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x π
λ
沿 x 轴负向传播的波动方程为
x
02cos y A t x πω?λ??=++ ???
利用 2ωπν=， u λν=
沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为
02cos y A t x πω?λ??=-+ ??? 02cos A t x u πνω???
=-+ ???
0cos x A t u ω???
??=-+ ???????
即 0cos x y A t u ω???
??=-+ ???????
原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 x
t u
?=
P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ??
- ???
时刻的振动状态
波动方程也常写为
02cos y A t x πω?λ??=-+ ???
()0cos A t kx ω?=-+ 其中 2k π
λ
=
波数，物理意义为 2π 长度所具有完整波的数目。
☆ 波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向
二、波动方程的物理意义
1、固定x ，如令0x x =
()002cos y t A t x πω?λ?
?=+-
??
? 振动方程
0x 处质点的振动方程
0x 处的振动曲线 该质点在 1t 和 2t 两时刻的相位差 ()21t t ?ω?=- 2、固定t ，如令0t t =
()002cos y x A t x πω?λ?
?
=+-
??
?
波形方程 0t 时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，即 0t 时刻的波形方程。
波形曲线 3、x 和 t 都在变化
()02,cos y t x A t x πω?λ?
?=+-
??
?
y
y
各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情况，不同时刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程 ? 行波
t 时刻，x 处的某个振动状态经过 t ? 的时间，传播了 x u t ?=? 的距离，传到了 x x +? 处，显然
()(),,y t t x x y t x +?+?= 行波必须满足此方程 其中 x u t ?=?
波是振动状态的传播！
习题类型
（1） 由某质元的振动方程（或振动曲线） ? 求波动方程 （2） 由某时刻的波形曲线 ? 求波动方程
例4.2：一平面波在介质中以速度 20u =m/s 沿直线传播，已知在传播路径上某点A 的振动方程为 ()3cos 4A y t π=，如图4.8所示。
（1）若以A 点为坐标原点，写出波动方程，并求出C ，D 两点的振动方程；
y
x
O
t 时刻
t t +? 时刻
u
x u t ?=?
（2）若以B 点为坐标原点，写出波动方程，并求出C ，D 两点的振动方程。
解：（1）振幅 3A =m ，圆频率4ωπ=rad/s ，频率 22ω
νπ
=
=Hz ， 波长 10u
λν
=
=m
波动方程为
23cos 43cos 45y t x t x ππππλ?
??
?=-
=-
? ??
??
?
m C 点坐标为 13C x =-m ，振动方程为
133cos 43cos 455C C y t x t ππππ???
?
=-=+
? ?????
m D 点坐标为 9D x =m ，振动方程为
93cos 43cos 455D D y t x t ππππ???
?
=-=-
? ?????
m （2）A 点坐标为 5A x =m ，波动方程为
()23cos 43cos 45A y t x x t x πππππλ????
=--=-+ ???????
m C 点坐标为 8C x =-m ，振动方程为
133cos 43cos 455C C y t x t πππππ???
?
=-+=+
? ?????
m D 点坐标为 14D x =m ，振动方程为
93cos 43cos 455D D y t x t πππππ???
?
=-+=-
? ????
?
m 例4.3：一平面简谐横波以 400u =m/s 的波速在均匀介质中沿x +方向传播。位于坐标原点的质点的振动周期为0.01秒，振幅为0.1m ，取原点处质点经过平衡
A
C
D
位置且向正方向运动时作为计时起点。 （1）写出波动方程；
（2）写出距原点2m 处的质点P 的振动方程； （3）画出0.005t =秒和0.007秒时的波形图； （4）若以距原点2m 处为坐标原点，写出波动方程。 解：（1）由题意 0.1A =m ，0.01T =秒，400u =m/s 可得圆频率 2200T
π
ωπ=
= rad/s ， 波长 4uT λ==m 由旋转矢量图知，原点处质点的初相位 032
π?=
故原点处质点的运动方程为
030.1cos 2002y t ππ?
?=+
??
?
m 波动方程为
30.1cos 20022y t x πππ?
?=+- ??
? m （2）2P x = m 处质点的振动方程为
ω