- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即
y
Acos t
2 x1
上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
上页 下页 返回 退出
t 一定:令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
即
y
A
cos
t1
2 x
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移 所构成的波形曲线(波形图)。
T
上页 下页 返回 退出
平面简谐波的波函数
一、波函数（定量描述波在空间的传播）
数学函数式表示ur介质中质ur点的振动状态随时间
变化的关系. (r，t) f (r，t) f (x，y，z，t) 二、平面简谐波的波函数 y
平面简谐波：
波面为平面的简谐波.
x
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简
波速 V 0.6 0.6m / s
T1
当t=0时,对P点有： y p0 0 Vp0 > 0
yp
0.2cos(2 t
)
2
p
2
m
上页 下页 返回 退出
⑵ 任意位置x与P点的距离为(x-OP)
由图可知： op 0.3m
2
yp
x
⑵ 由已知图可得： A 0.2m, 0.4m
T 0.4 5(s) 2 2 / s
V 0.08
T5
由图有：初始时
｛ y0 0 V0 0
O点有
2
y0(t )
0.2cos( 2 t
5
)
2
m
⑶ 至此可写出波动方程为：
y( x,t) 0.2cos[2 (t x ) ] m
y(x,t) Acos[(t x) ]
u y(x,t) Acos[(t x) ]
u
(P后振) (P先振)
上页 下页 返回 退出
利用关系式
2
2
和 uT
y(x,t) Acos[(t
，得
mx u
)
0
]
波函数其它形式 T
y
A cos
2
0.5
M1
M2
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70
x /cm
0.4
t =0
0.5
上页 下页 返回 退出
(4)质点的最大速率
vm
A
A 2
T
0.5 102
2 m/s
1 30
0.94 m/s
(5)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点
(t T
mx)
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2
y
A cos(t
m2
x
0
)
角波数 ：表示
单位长 度上波 的相位 变化
上页 下页 返回 退出
波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
Acos
t1
x1
u
y
t1
t x1 ut u
0 u y(t1)
0
o
x
x1 x
在Δt 时间内,整个波形向波的传播方向移动
了 x x2 x1 ut ，波速u 是整个波形向前传
播的速度。
上页 下页 返回 退出
x u
0
o x1 x
x
当t2=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的质点平衡位置用x1和x2表示，
则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y(t1
t)
A cos
y /cm
0.5
M1
M2
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70
x /cm
0.4
t =0
0.5
上页 下页 返回 退出
解: 由波形曲线图可看出：
(1) A=0.5cm；
(2) =40cm；
(3)波的周期
y /cm
T
u
0.4 m 12 m s1
1s 30
y
u
A
x
上页 下页 返回 退出
沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：
2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x1 x
上页 下页 返回 退出
y
u
当t=t1时，y
A
cos
t1
机械波
振动在空间的传播过程叫做波动
上页 下页 返回 退出
波动的形式是多种多样的，一般可分为： 机械波： 机械振动在弹性介质中的传播。
电磁波： 电磁振动在空间的传播。
物质波： 运动物体伴随的波动。
各种类型的波有其特殊性，例如:声波需要介质才 能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可 以直接把它看作粒子—光子的运动，但各种类型的波 也有普遍的共性 。
5 0.08 2
上页 下页 返回 退出
例4：一列沿ox正向传播的简谐波，在时刻t1=0,t2=0.25s的两个 波形如图所示。求：(1)P的振动表达式，(2)此波的波动表
式，(3)画出O点的振动曲线。
解：⑴ 由已知图分析可得：
T 1s 2 rad / s
及：A 0.2m, 0.6m
u
时间
t = t - x
t = t + x
u
波函数为：
y( x, t )
A
cos[
(tຫໍສະໝຸດ Baidu
mx u
)
u
0
]
上页 下页 返回 退出
上述过程给出了一个写出简谐波方程的步骤： ⑴ 已知某点的振动方程（不一定是波源）
⑵ 根据波的传播方向，判断各点振动的先后次序,
找出时间差 ( > 0)
⑶ 将时间差 代入已知振动方程，即可得波动方程：
例5：平面简谐波某时刻波形如图。求：OP点距离。设此波向右传
播
解：由图易得： 2 20 40m
波向右传播，则得图示时刻 有（见下图）：
O: yo 3m Vo 0
o
6
P: y p0 0 Vp0 > 0
p
2
设波表达式
y Acos(2 t 2 x )
求：(1) a、b两点振动方向; (2) O点振动方程; (3) 波动表式
解：⑴ 由于波沿x正向传播，因 此任意时刻任意点都将重复其前 的点（图中左侧点）的振动，由 此可知：
a点将向下振动； b点将向上振动。
此外：
这个问题也可以由下一时 刻的波形曲线得到，如左图黄 线示，而且比较直观。
上页 下页 返回 退出
的相位落后 。
(6)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3
4 而到达
y /cm
M1'和 M 2 '处。
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
上页 下页 返回 退出
例3 ：如图是一平面余弦横波在时刻t=0的波形。此波形以 v=0.08m/s 的速度沿ox轴正向传播。
O点处质点的振动表达式为：
y0 (t ') Acos( t '0 )
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
y0 (t)
=
y0 (t
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
上页 下页 返回 退出
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
5
x 103
)
m
0.1103 sin 5 x m
y
0.1103
O
x
0.4
上页 下页 返回 退出
例2一横波沿一弦线传播。设已知t =0时的波形 曲线如下图中的虚线所示。波速u为12m/s，求(1)振 幅；(2)波长；(3)波的周期；(4)弦上任一质点的最大 速率；(5)图中a、b两点的相位差；(6)3T/4时的波形 曲线.（a、b两点的对应的横坐标分别为15和35cm）
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
上页 下页 返回 退出
沿x轴正方向传播
u
y
O
P
x
沿x轴负方向传播
u
y
O
P
x
P点落后o点
x u
时间
P点超前o点x
上页 下页 返回 退出
y Acos(2 t 2 x )
o
6
p
2
可知：对同一时刻O、P两点位相差为：
o
p
(2 t
2
xo
) (2 t
2
xp
)
2
(xp
xo )
又：o
p
6
2
2
3
OP间距离：x p
25
103
(t
5
x 103
)
m
上页 下页 返回 退出
y
0.1103
cos
25
103
(t
5
x 103
)
m
（3）原点10cm处质点的振动表达式
y
0.1103
cos
25
103
(t
1 5 104
)
m
0.1103
cos
25
103
t
2
m
（4）两点间距离
x 10cm 0.10m
4
相位差
2
上页 下页 返回 退出
y
（5）t
00.1.0100231coss时25的1波03形 (t
5
x 103
)
m
y
0.1103
cos
25
103
(0.0021
例1 频率为 12.5kHz 的平面余弦波沿细长的
金属棒传播，波速为 5.0103 m / s. 如以棒上某点取为
坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为 A 0.1mm， 试求：（1）原点处质点的振动表达式；
（2） 波函数（向右传播）； （3）离原点10cm处质点的振动表达式； （4）离原点20cm和30cm处质点的振动相位差； （5）在原点振动0.0021s时的波形；
谐振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们 的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同 一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡 位置有相同的位移。
上页 下页 返回 退出
波动表式：描述介质中各质点的位移随时间的变
化关系.
y
yp
u
P
O
t
x
yP(t)= y0(t)
x
t= t - x u
t1
t
x2 u
0
上页 下页 返回 退出
令 x2 x1 t ，得
y(t1
y(tt1))AAcocsost1t1t xu1xu200
y(t1 t) Acos
上页 下页 返回 退出
弹性介质和波源——（机械波产生的条件）
纵波和横波：
(1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播
(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动
(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现---波是振动状态的传播
波长、频率、和波速之间的关系
u
mx u
0
2 y x2
1 u2
2 y t 2
平面波的波 动微分方程
上页 下页 返回 退出
家庭作业：5.8、5.11、5.12、5.14
上页 下页 返回 退出
上页 下页 返回 退出
解： 由题意 波长 周期
u 0.40 m
T 1 8105 s
（1）原点处质点的振动表达式
y0 A cost 0.1103 cos(25103 t) m
（2）波函数
y Acos(t x)
u
0.1103
cos
0.2cos(2
OP ( x
t)
2
0.3)m
y( x,t) 0.2cos[2 (t x 0.3) ] m
0.6 2
⑶ 当t=0时，O点有： yo 0 Vo 0
o
2
（或不判断初相而直接由原图分析）
则有O点振动曲线如下:
上页 下页 返回 退出
xo
1
3
40 m 3
上页 下页 返回 退出
三、波动方程的微分形式
对
y
A
cos
t
mx u
0
求
x、t
的二阶偏导数,得到
2 y t 2
A2
cos
t
mx u
0
2 y x2
A
2
u2
cos
t
