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2020高中物理竞赛江苏省苏州高级中学竞赛班上课讲义第九章 机械振动§ 9.2 平面简谐波的波动方程一、平面简谐波波动方程简谐波：如果波源和介质中的各质点都持续地作简谐振动，这种波称为简谐波。
平面简谐波：波面为平面的简谐波。
平面简谐波也称为一维简谐波，其表达式也称波函数(wave function)沿+x 方向传播的一维简谐波 (波速u ，振动角频率为ω)，假设媒质无吸收(质元振幅均为A )介质中任一质点（坐标为 x ）相对其平衡位置的位移（坐标为 y ）随时间的变化关系，即 称为波动方程。
设O 点处质点的振动方程为波线上坐标为x 的任意点P 处质点的振动方程振动从O 点传到P 点所需的时间为t 时刻点 P 的振动与 t-x/u 时刻点O 的振动状态相同，只是落后了Δt 点P 振动方程(,)y x t cos O y A tω=(,)P y f x t ==？x t u∆=cos ()P xy A t uω=-xo任一点p参考点a波速u式中称上式为沿x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程波方程的其它表示式讨论：（1）如果原点的初相位不为零设：点 O 振动方程则：波动方程为（2） 如果平面简谐波沿x 轴负方向传播 则 P 点处质点相位比O 点处质点的相位超前波动方程为二、波动方程的物理意义由 从几方面讨论1 当 x 一定时(设x =x 0，即考察波线上某一点x 0) 给出x =x 0处质点的振动方程即x 0处质元的振动表达式，表示x 处的质点在各个不同的时刻位移随时间的变化情况，由它画出的曲线是x 0处质元的振动曲线。
cos 2π()xy A t νλ=-2πων=u λν=[]0cos O y A t ωϕ=+cos[2π()]xy A t νϕλ=-+cos[2π()]xy A t νϕλ=++0cos[2π()]x y A t νϕλ=-+()y y t =2cos()y A t x πωλ=-0cos ()x y A t u ωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦0cos ()x y A t u ωϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦0cos ()x y A t u ωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2 当t 一定时(设t = t 0，即在某一时刻t 0)，给出t = t 0时刻各质点的位移y 分布情况反映t 0时刻各不同x 处质元的位移状况，即同一时刻x 轴上各个质点离开它们平 衡位置的位移分布，由它画出的曲线即t 0时刻的波形曲线。
第 2 节平面简谐波一、平面简谐波的描述；二、平面简谐波函数 如果波源做简谐振动，介质中各点也将相继做同频率的简谐振动，这样形成的波叫简谐波。
如果波面为平面，则这样的波称为平面简谐波。
由于平面简谐波的波面上第一点的振动和传播规律完全一样，可以对平面简谐波用一维的方式来处理。
振动相位相差 的两点之间的距离叫波长，常用 表示。
它实际上就是相邻两振动状态相同的点之间的距离。
设一简谐波沿 x 轴方向传播，t 时刻，原点 O 处振动位移的表达式为：在同一时刻 t，到 O 距离为 x 的 P 点的振动表达式与 O 点的振动具有相同的振幅和 频率，但相位比 O 点落后，这是因为 P 点开始振动的时刻比 O 点晚，所晚的时间就是波从O 点传到 P 点所经历的时间，， 称为波的位相速度 ，也称为波速，它表示单位时间某一振动位相所传播的距离，于是 P 点的位移为：这就是简谐波的运动学方程，由于波是向左传播的，又称为右行波，令： 其中 为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
于是：令：其中， 称为波数，它表示 米内所包含的波长数。
于是简谐波方程可写成：以上各式都是简谐波的方程， 们由波速相互联系，即：是和时间有关的量， 是和空间有关的量，它若 不随 的变化而变化，则称波是无色散的。
简谐波运动学方程的物理意义 ： 波的运动学方程是一个二元函数，位移 y 既是时间 t 的函数，又是位置 x 的函数。
（1）当 x 一定，y 仅为 t 的函数 。
当时，即盯住其一位置看：它表示处的质点随时间做简谐振动，是一个振动方程。
且时刻 t 和 t+T 振动状态相同，说明波动过程在时间上具有周期性，振动的周期、频率、和振幅都与波源相同，但是相位落后：（2）t 一定时，y 仅为 x 的函数，当时：其中，。
此方程表示任意一时刻各质点离开平衡位置位移分布。
可以看出波动过程在空间 上具有周期性，波长就是波动的空间周期。
（3）波表达式的宗量一定，即位相一定，，随着时间 t 的增加，x 也要相应地增加，波必须在空间传播一定的距离，将宗量对时间求微分：其中 为波的位相速度 ，简称相速。
