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第六章_波动方程

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波动方程的标准形式

波动方程的标准形式

波动方程的标准形式
波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。

波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。

在实际应用中，波动方程的标准形式经常需要结合边界条件和初值条件来求解。

例如，对于一维的弦波振动问题，可以在波动方程中加入弦的边界条件和初始位移等条件来求解波动的形状和传播速度。

波动方程_精品文档

波动方程_精品文档

u
l
=
=
12
50
600
s
=
1
(
)
υ
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为：
u = 600m/s 。试写出波动方程。
=
5m
A
24m
l
=
从波形图中可知：
ω
=
π
2
=
π
50
(
)
rad.
s
1
υ
原点处质点的振动方程为：
波动方程为：
y
0
2
π
由旋转矢量法：
u
l
=
=
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
1.时间推迟方法
x
x
u
y
o
P
·
A
已知振源（波源）的振动方程为：
振源的振动状态从0点以传播速度u传送到P 点，显然时间要落后：
´
u
x
＝
t
u
x
j
=
t
+
cos
(
)
A
ω
－
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
´
t
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
－
P
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
＝
0
波动方程PPT课件

波动方程PPT课件


Q
P
波函数:
y
=A
cos ω
(t－
x -x0
u
)+j
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
l =uT
ω =2Tπ
平面简谐波波动方程的标准像
必
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
做
须 牢
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
题 对
记
y
=A
cos ω
(
t－
x -x0
u
)+j
l
x
o
· A P
x
j P
=-
2π
l
x
+j
x
j P
=-
2π uT
x +j
=-ω
x u
+j
l =uT
ω =2Tπ
y =A cos(ω t +j )
P
P
=A cos (ω t －ω
x
u
)
+j
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
波波
函 数
动 方 程
y
=A
cos ω
x
x
任何复杂的波都可以看成是由若干个频率不同简谐波叠 加而成到的，所以研究简谐波仍具有特别重要的意义。
波动方程的一般表达式求波长

波动方程的一般表达式求波长

波动方程的一般表达式求波长波动方程是描述波动现象的一种数学模型，它可以用来描述各种不同类型的波，包括机械波、电磁波等。

其一般形式可以表示为：y(x,t) = A sin(kx - ωt + φ)其中，y是波的位移，x是空间坐标，t是时间，A是振幅，k是波数，ω是角频率，φ是相位常数。

我们可以从这个表达式中推导出波的性质，包括波长。

首先，波速v定义为波传播的距离与时间的比值，即v = Δx/Δt。

对于波动方程，我们可以观察到波传播的距离Δx与时间Δt的关系为Δx = λ，即波长。

将波动方程写为y(x,t) = A sin(kx - ωt + φ)，我们可以看到波动方程中的x和t都是以k和ω为系数的，而y(x,t)是一个周期性变化的函数。

因此，我们可以得到：kx - ωt + φ = 2πn其中，n是一个整数，表示波在位移y(x,t)上的周期性变化。

设n 为0，我们可以得到：kx - ωt + φ = 0由此，我们可以解出x和t之间的关系：x = ωt/k - φ/k这表明，在波传播过程中，当t增加时，x也会增加，它们的关系由k和ω的比值决定。

这个比值就是波的速度v，即v = ω/k。

将波速v代入Δx = λ中，我们可以得到：λ = vΔt这就是波的波长，它是波在一个周期内传播的距离。

综上所述，波的波长可以由波速和一个周期的时间Δt计算得到，其一般表达式为：λ = vΔt其中，v是波速，Δt是一个周期的时间。

需要注意的是，以上推导只是对一维情况的波动方程而言，对于二维和三维的波动方程，波长的定义和计算方法会有所不同。

在这种情况下，波长被定义为波在传播方向上的距离。

总结起来，波动方程的一般表达式可以用来描述波动现象，其中波长是波动方程中的一个重要参数，它可以通过波速和一个周期的时间来计算。

大学物理-波动方程

大学物理-波动方程

感谢观看
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
流体力学第六章2011(流体波动)

流体力学第六章2011(流体波动)


研究波动主要在于求解各种表征波动的参数
及其形成机制。
12
y A coskx t
（1）振幅A：质点离平衡位置的最大距离位移，反映了波 动所具有的能量大小。
（2）周期T：完成一次全振动所需要时间（质点振动），
或波向前传播一个波长距离所需时间（波动）。 频率 f ：单位时间内的振动次数。 T=1/f
同样，为了求得
h( x, t ) A sin k ( x ct )
u ，仍作如下假设：
u B sin k ( x ct )
不难求得：B
g A H
，于是最后有：
u B sin k ( x ct )
g A sin k ( x ct ) H
这就是水面重力波的流速场。
x
41
于是，最终可以将气压梯度力项表示为：
1 p 1 h 1 h g 1 x g 1 x 2 x 2 2
也就是说，在这种情况下，仍然可以采用受扰后的界面 坡度来表示流体压力的水平梯度。
流体2
重力水面波
界面波
24
一、水面（表面）重力波
h x, t
考虑一维水面波(水渠波)。 假设水面平静时水面高度 为H为一常数。 z
h x, t
H x
一旦给水面一个小的扰动，水面将不会再保持平静的状态 ，而要发生起伏不平的变化，水面高度 h 将随空间位置和 时间而变化，即：
h x, t H h x, t
13
（3）波长 L ：波动在一个周期中传播的距离，固定时
刻相邻的两同位相质点间的距离。
L
L
14
（4）位相：表示流体波动状态的物理量。
流体力学第六章2011(流体波动)

流体力学第六章2011(流体波动)


h h u u h 0 t x x
du 1 p dt 2 x
关键问题：上层流体的影响--主要是压力梯度项处理
40
在下层流体中，压力梯度力项为：
1 p 1 1 lim ( pB p ) A 2 x 2 x0 x
1 1 lim ( pB p ) A x 0 x 2
du 1 p dt x
27
垂直方向近似满足静力平衡， z 流体压力可近似地表示为：
p0 z
p( x, z, t ) gh( x, t ) z p0
有：
h x, t - z
x
1 p h g x x
流体压力梯度力可用自由表面高度的梯度来表示。
H
x
37
二、上轻下重流体间的界面波
上面所讨论的水面重力波，确切地将，它是空气和 水之间的流体界面波，只是在讨论问题的时候经常 不考虑空气而已。
下面讨论的上轻下重的流体间的界面波。
38
上轻下重的流体间的界面波:
上层流体
1
2
研究对象 下层流体
1 2
39
根据前面的讨论，对于这样的波动，考虑下层 流体作为研究对象，满足如下的方程组：
9
波动的划分
这里依据波动与振动的关系，对波动进行划分： 纵波：流体质点振动方向与传播的方向一致。如声波。
波动
横波：振动方向与传播方向垂直(垂直和水平横波)。
垂直横波：垂直方向振动，水平方向传播，如重力波。 水平横波：水平方向振动（南北振动），水平方向传播 （东西传播），例如大气长波。
10
500hPa 多 年 平 均 冬 季 高度场。粗实线为5个 型 指 数 与 局 地 500hPa 高度相关系数的±0.6 等 值 线 。 （ Wallace
大学物理波动方程波动能量

大学物理波动方程波动能量


• 不同波长、相同振幅 反向波的叠加 不同波长、
ch6
4.平均能流密度 平均能流密度 质元不断从前一质元接收能量， 质元不断从前一质元接收能量，又向后一质元传 递能量 ⇒ 波动是一种能量传递方式 ⇒ 能量流 平均能流密度：单位时间内通过垂直于波线方向的 平均能流密度： 单位面积的平均能量
1 I = w u = ρ ω 2 A2 u 2
单位： 单位：W/m2
ch6Βιβλιοθήκη §6-5 驻波一、驻波的形成和特点
1.驻波的形成 驻波的形成 • 相干波：频率相同、振动方向相同、有固定相 相干波：频率相同、振动方向相同、 位差的两个波源所发出的简谐波 • 干涉：在两相干波交叠处，有些地方波加强而 干涉：在两相干波交叠处， 有些地方波减弱的现象 •两列振幅相同、传播方向相反的相干波的叠加 两列振幅相同 传播方向相反的相干波的叠加 两列振幅相同、 y2 = Acos(ω t + kx) y1 = Acos(ω t − kx)
波腹与波节间距 λ/4 • 相位分布 同一段内各质元相位相同 每一波节两侧的质元相位相反
4
处不振动， 处不振动，相邻波节间 距
2
ch6
• 能量分布 Ep↓ Ek↑ Ep↓ 势能→动能 势能 动能 能量由波节向波腹流动 瞬时位移为0， 势能为 ， 瞬时位移为 ， 势能为0， 动能最大。 动能最大。 Ek↓ Ep↑ Ep↑ 动能→势能 动能 势能 能量由波腹向波节流动
ch6
的声波 • 次声波 10－4 < ν < 20Hz的声波 特点：衰减小， 特点：衰减小，可用于远距离传播 次声波的波源 大气湍流、火山爆发、地震、 大气湍流、火山爆发、地震、陨 石落地、雷暴、 石落地、雷暴、磁暴等大规模自 然活动中，都有次声波产生。 然活动中，都有次声波产生。 次声波的用途 科学研究： 科学研究： 研究地球、海洋、大气等大规模运动； ①研究地球、海洋、大气等大规模运动；② 对自然灾害性事件（如火山爆发、地震等） 对自然灾害性事件（如火山爆发、地震等） 进行预报，深入认识自然规律。 进行预报，深入认识自然规律。 军事应用： 军事应用： 军事侦察； 次声波有杀伤性。 ①军事侦察；②次声波有杀伤性。
波动方程和振动方程的表达式(3篇)

波动方程和振动方程的表达式(3篇)

第1篇一、波动方程波动方程是描述波动在连续介质中传播的偏微分方程。

常见的波动方程有弦振动方程、声波方程、光波方程等。

以下列举几种常见的波动方程及其表达式：1. 弦振动方程弦振动方程描述了弦在受到外力作用下的振动规律。

假设弦的线密度为λ，张力为T，弦上某点的位移为y(x,t)，则弦振动方程可表示为：∂²y/∂t² = (T/λ)∂²y/∂x²其中，x表示弦的长度，t表示时间，y(x,t)表示弦上某点的位移。

2. 声波方程声波方程描述了声波在介质中的传播规律。

假设介质的密度为ρ，声速为c，声波在介质中的波动函数为p(x,t)，则声波方程可表示为：∂²p/∂t² = c²∂²p/∂x²其中，x表示声波传播的距离，t表示时间，p(x,t)表示声波在介质中的波动函数。

3. 光波方程光波方程描述了光波在介质中的传播规律。

假设光波在介质中的波动函数为E(x,t)，介质的折射率为n，则光波方程可表示为：∂²E/∂t² = (n²/c²)∂²E/∂x²其中，x表示光波传播的距离，t表示时间，E(x,t)表示光波在介质中的波动函数。

二、振动方程振动方程描述了物体在受到外力作用下的振动规律。

常见的振动方程有单摆运动方程、弹簧振动方程等。

以下列举几种常见的振动方程及其表达式：1. 单摆运动方程单摆运动方程描述了单摆在重力作用下的振动规律。

假设单摆的摆长为L，摆球质量为m，摆球偏离平衡位置的角度为θ，则单摆运动方程可表示为：mL²θ'' = -mgLsinθ其中，θ'表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的导数，θ''表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的二阶导数。

2. 弹簧振动方程弹簧振动方程描述了弹簧在受到外力作用下的振动规律。

假设弹簧的劲度系数为k，弹簧的位移为x，则弹簧振动方程可表示为：mω²x = -kx其中，ω表示弹簧振动的角频率，m表示弹簧的质量。

波动方程

波动方程

波动方程或波动方程是重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种波动现象，包括横波和纵波，如声波，光波，无线电波和水波。

波动方程是从声学，物理光学，电磁学，电动力学，流体力学和其他领域中抽象出来的。

历史上许多科学家，例如D'Alembert，Euler，daniel bernoulli和Lagrange，在研究乐器和其他物体中的弦振动时对波动方程理论做出了重要贡献。

1746年，达朗伯（D'Alembert）发现了一维波动方程，而欧拉（Euler）在接下来的10年中发现了三维波动方程。

一维波动方程可以推导如下：一系列质量为m的小颗粒，相邻颗粒通过长度为h的弹簧连接。

弹簧的弹性系数（也称为“顽固系数”）为k：
从上面的形式可以看出，如果F和G是任意函数，则它们以以下形式组合必须满足原始方程式。

上述两项分别对应于两行行波（“线”和“动作”中的谐音器）-F表示通过该点（点X）的右行波，G表示通过该点的左行波。

为了完全确定f和g的最终形式，应考虑以下初始条件：波动方程的著名D'Alembert行波解，也称为D'Alembert 公式，是通过进行以下运算获得的：在古典意义上，如果然后。

但是，行波函数f和g也可以是广义函数，例如Diracδ函数。

在这种情况下，行波解应视为左行或右行中的脉冲。

基本波方程是线性微分方程，也就是说，同时受到两个波的点的振幅是两个波的振幅之和。

这意味着可以通过将一系列波动分解为其解决方案来有效地解决该问题。

另外，可以通过分离每个分量来分析波，例如，傅立叶变换可以将波分解为正弦分量。

第六章_波动方程

第六章_波动方程

2
一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系：
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成： i H t
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4：
3-4：
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν，最低能级是 hν/ 2 而不是0！ 许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的 能量子是一份一份的，每一份的能量为hν，这就是普朗克假 设的物理本质。
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
一、波动方程
在红色区域V＝∞，1式写为：
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx

14第六章波动方程的特征线法.pdf


u = u ( x, ϕ ( x, t ) )
一阶线性偏微分方程
∂u
∂u
( x, t ) f ( x, t ) , x ∈ R , t > 0
+ ϕ1 ( x, t ) + ϕ2 ( x, t ) u=
∂x
∂t
u ( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ R
=
dx
= ϕ1 ( x ( t ) , t )
Ψ (α )dα (6)
∫
2
2a x − at
显然，(6)满足方程(1)。为使其满足初始条件，只要 ≥ 时，
( x) ϕ ( x),
Φ=
( x) ψ ( x)
Ψ=
(7)
即可。最后，还要求(, )满足边界条件 , = ,于是得到
1
1 at
u= [ Φ (at ) + Φ (−at ) ] +
∫ ψ (α )dα =
0
从上述式子中解出()和()，有
1
1 x
1
ψ (α )dα + ( f (0) − g(0) )
f ( x) = ϕ ( x) −
∫
2
2a 0
2
1
1 x
1
g ( x) = ϕ ( x) +
ψ (α )dα − ( f (0) − g(0) )
∫
2
2a 0
2
1

Φ ( x) , ut ( x, 0) =
Ψ ( x)
u ( x, 0) =
(4)
(5)
其中 , ()为待定函数。
适当选取 , ()使(4)-(5)的解在 ≥ 范围内是(1)-(3)的

波动方程

1.1 波动方程的形式一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 二维波动方程（例如薄膜振动）()t y x f y u x u a t u ,,2222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂ 三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）()t z y x f z u y u xu a t u ,,,222222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例）（1）边界条件 ①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。

②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立0=∂∂=ox xu。

也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0，其中()t μ是t 的已知函数。

③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。

也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ，其中()t v 是t 的已知函数。

1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。

波动方程波的能量声波


声波的传播特性
声波在介质中传播时，会受到介 质的阻尼作用，导致能量逐渐衰
减。
声波的传播速度与介质的密度和 弹性有关，通常在固体介质中传
播速度较高。
声波在传播过程中会发生折射、 反射和干涉等现象，这些现象会 影响声波的传播路径和能量分布。
声波的能量分布与传播方向
01
声波的能量分布与声波的频率和波形有关，通常高频声波具有 较大的能量密度。
声音传播的预测
声音在介质中传播时，会受到介质的物理性质、温度、压力等因素的影响。为了 准确预测声音传播的轨迹和强度，需要建立声音传播的数学模型，并进行数值模 拟和实验验证。
声音传播的控制
在某些场合，我们需要控制声音的传播方向、强度和频率等参数，以达到特定的 效果。例如，在建筑声学中，通过对建筑结构的特殊设计，可以控制室内声音的 传播；在噪声控制工程中，采用消声器、隔音墙等手段降低噪声的传播。
THANKS
感谢观看
03
声波
声波的产生与传播
声波的产生
声波是由物体的振动产生的。当物体振动时，它周围的介质（如空气、水或固体）中的质点会受到挤压，形成密 部，并从周围吸收能量；同时，这些质点会远离中心，形成疏部，并向周围释放能量。这种周期性的挤压和疏散 过程形成了声波。
声波的传播
声波在介质中传播时，会使得介质中的质点按照声波的频率振动。声波的传播速度取决于介质的性质，如温度、 压强和密度等。在标准大气压和室温下，声波在空气中的传播速度约为343米/秒。
声波的性质
声波的频率
声波的频率是指单位时间内质点 振动的次数，单位为赫兹（Hz）。 人耳能听到的声波频率范围大约 在20Hz到20000Hz之间。不同 频率的声波有不同的音调，频率

机械波的波动方程


6-3 机械波的波动方程
第六章 机械波
x, t 均变化，波函数表示波形沿传 3 ) 若 播方向的运动情况（行波）。
y y
O
c
c
t
时刻
t t 时刻
x
x x
t x y A cos 2 π ( ) (x,t)与（x+x,t+t)处的相位相同 T t x t x t t x x x ct 2π ( ) 2π ( ) T T T
2 ) 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各 点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形。
x y A cos (t1 ) c
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
x1 x2 x (t1 ) (t1 ) x2 x1 2 π c c c
比较得
2.50 -1 0.01 -1 y (5cm ) cos 2π [( s )t ( cm ) x] 2 2
2cm 2 1 200 cm u 250 cm s T s 0.8 s T 0.01 2.5
6-3 机械波的波动方程 例2 一平面波在 t = 0 时的波形如图Ⅰ所 示， 0.5s 后波形变为 Ⅱ，且T>1s, 求该波 的波动方程.

x
6-3 机械波的波动方程
第六章 机械波
例3 一平面简谐波以速度 c 20m / s 沿直线传播,波线 上点 A 的简谐运动方程: y A (3 102 m) cos(4 π s 1 )t
8m
c 5m
B
9m
C
oA
D
x
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程

波动方程知识点总结

波动方程知识点总结一维波动方程一维波动方程描述沿一维空间传播的波动现象，经典的例子包括弦波、声波等。

一维波动方程的一般形式可以写作：∂²u/∂t²=c²∂²u/∂x²其中，u(x,t)是波函数，c是波速，x是空间坐标，t是时间坐标。

这个方程描述了波函数随时间和空间的演化规律，是一个二阶偏导数方程。

根据波动方程的一般形式，我们可以得到一维波动方程的一些基本性质和解法。

例如，波动方程的解满足叠加原理，即两个波函数的线性组合仍然是波动方程的解。

这样的特性使得一维波动方程可以应用于描述复杂的波动现象。

另外，一维波动方程的解可以通过分离变量法、变换域法等方法求解。

通过适当的边界条件和初始条件，我们可以得到一维波动方程的特解，从而描述具体问题中的波动过程。

二维波动方程二维波动方程描述了平面上的波动传播行为，典型的例子包括水波、地震波等。

二维波动方程的一般形式可以写作：∂²u/∂t²=c²(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)其中，u(x,y,t)是波函数，c是波速，x和y分别是平面上的空间坐标，t是时间坐标。

这个方程描述了波函数在平面上的演化规律，是一个二阶偏导数方程。

与一维波动方程类似，二维波动方程也有一些基本性质和解法。

例如，二维波动方程也满足叠加原理，可以通过分离变量法、变换域法等方法求解。

在工程领域，二维波动方程的应用非常广泛。

例如，地震波传播、声波传播等都可以通过二维波动方程来描述和模拟。

通过数值方法，可以求解二维波动方程的数值解，并进一步应用于工程实践中。

总结波动方程是描述波动现象的重要数学模型，广泛应用于物理、工程、生物等领域。

本文讨论了一维波动方程和二维波动方程的基本知识点，包括方程的形式、基本性质和解法。

波动方程的研究和应用有着重要的理论和实际意义，对于深入理解波动现象、预测和控制波动行为具有重要的作用。

波动方程表达式

波动方程表达式波动方程表达式，听起来是不是有点高大上呢？其实啊，它就像一个神秘的魔法公式，在很多地方都施展着它的奇妙魔法。

咱就说声波吧。

你在山谷里大喊一声，那回声传过来，这里面就有波动方程在起作用。

声波是一种波动，它在空气中传播的时候，就像是一群看不见的小使者在传递着你的声音信号。

那波动方程呢，就像是这些小使者遵循的交通规则。

它告诉这些声波小使者该怎么跑，速度是多少，什么时候会反射回来形成回声。

这波动方程表达式就像是这个交通规则的书面呈现，详细地描述了声波传播的每一个细节。

再看看水波。

你往池塘里扔一块石头，一圈圈的涟漪就扩散开了。

这些涟漪也是波动啊。

你看那水面上的波，一会儿高一会儿低，有节奏地向外扩展。

这就好比是一场盛大的水上舞蹈表演。

波动方程表达式呢，就像是这场表演的幕后指挥。

它规定着每个水纹的高度怎么变化，向哪里扩展，就像指挥告诉每个舞者该怎么跳，跳到哪里一样。

那波动方程表达式到底长啥样呢？这可是个有趣的问题。

它有不同的形式，在不同的场景下会有不同的表现。

就像人在不同的场合会穿不同的衣服一样。

在一维的情况下，它可能比较简单直接，就像是一个人只需要考虑前后方向的行动。

可到了二维、三维的情况，就像是人要在一个平面或者一个立体空间里活动，这时候波动方程表达式就会变得复杂一些，要考虑更多的方向和因素。

比如说在研究地震波的时候，这波动方程表达式就特别重要。

地震波在地下传播，那可是在一个复杂的三维空间里。

地下有各种各样的岩石层，就像一个大迷宫一样。

地震波在这个迷宫里穿梭，波动方程表达式就像一张地图，告诉我们地震波会在哪里变强，哪里变弱，会在哪些地方造成更大的破坏。

要是没有这个表达式，就好比在迷宫里没有地图，我们只能瞎猜地震波的走向和影响了。

在光学里也离不开波动方程表达式。

光也是一种波，光线的传播就像一群小精灵在空间里飞舞。

波动方程表达式就像是小精灵们的飞行指南。

它决定了光在不同介质里的传播路径，是直线传播呢，还是会发生折射、反射。

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一、波动方程
7.2.3 一维势垒的简单讨论 粒子在I区，具有能量E>0。各区 的势垒如下，求粒子在各区出现 的几率。
0 (0<x<x1) [I区] V＝
V2>E (x1<x<x2) [II区]
0 (x>x2) [III区]
一、波动方程 列出此问题的薛定谔方程：
2 d 2u V x u Eu 2 2m dx d 2u 2m 2 V E u 2 dx
此方程比较难解，令 x,
2
2
(1)
mk 2
4
那么
d 2u 2mE mk 2 2 2 2 4 u 0 2 d
(2)
一、波动方程 令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么 2化简为：
d 2u 2 u 0, 2 d
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
px i x
所以动量px可以用算符 i 来表示。同理有 x
p y i y
pz i z
一、波动方程
那么
p p p p 2 2 2 x y z 2 2
2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
波函数两边取对t的偏导
i E , t
所以E的算符是 E i 源自t E i t一、波动方程
薛定谔方程的理解与意义：
波函数
（ r ）和 E 分别代表粒子的微观状态 （它的平方就是粒子在空间出现的概 率）和对应的能量。
薛定谔 (Erwin
Schrodinger,1887-1961)
d 2u 2mE 2mE 2 2 u k u; k 2 dx x 2 设ue 那么 u " u 代入上式
u k u;
2 2
ik
ikx
故
u Ae
ikx
Be
u C cos kx D sin kx
2式就是绿色区域的通解。
(2)
2 2 H V (r ) 哈密顿算符 2m
如果H中不包含时间，即V(r)不含t：
(r , t ) u( x, y, z) f (t )
i df 1 2 2 分离坐标和时间： u Vu u 2m f dt
一、波动方程
上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，要相等，只能等 于一个常数E，那么右边：
2
n
(6)
一、波动方程
Hn(φ)
n Hn(φ)
0
A0
1
A1(φ)
2
A2(1-2φ2)
3
A3(3φ-2φ2)
4
A4(3-12φ2+4φ4)
一、波动方程
方程5是满足波函数条件的本征函数。为了使函数满足有限条件， 演算中必须有λ＝2n+1，n是整数。由4式：
2E 2n 1 1 1 E n n h , 2 2


2mE 2E m 2E 2 2 (3，4) k
2 是振
其中 k m 2 是简谐振子的角频率， 动频率。
方程3的解是：
1 2 2
u( ) H n ( )e
其中 H n ( ) 是厄米多项式：
n
(5)
d 2 H n ( ) (1) e e n d
p i
得算符方程：
作用在能量 E 2 动量关系式： 2
作用在波函数A(r,t) 1 2 2 A 上即得波动方程 2 2 c t
c 克莱因-戈尔登方程，描述自由介子，不能描述氢原子。
p m c
2
2 2
1 2mc 2 2 ( ) 2 2 c t h
代表力学量的算符
一个力学量可以用一个算符来表示，下面是薛定谔方程中 常用的算符：
0e
2 i p r Et h
0e
i px x p y y pz z Et


波函数两边取对x的偏导
i px x p x i x
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν，最低能级是 hν/ 2 而不是0！ 许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的 能量子是一份一份的，每一份的能量为hν，这就是普朗克假 设的物理本质。
一、波动方程
在红色区域V＝∞，1式写为：
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx
设ue
x
, u " 2u
2 2
，代入上式
u u;
故

x
u Ae 1
a 当 x 2 a 当 x 2
B1e
x
p是动量算符，而α 和β 是4³4矩阵 由这个哈密顿量给出的薛定谔方程称为狄拉克方程，它是狄拉克 在1928年提出来的。狄拉克用它不仅算出了氢原子能级的精细结 构，并且解释了电子的自旋角动量和固有磁矩，还进一步语言了 正电子的存在。 薛定谔与狄拉克因波动方程的提出同获1933年诺贝尔物理学奖。
一、波动方程
u A1 0 B1 0 u A1 B1 0 0
u0
一、波动方程
再来考虑绿色区域的2式：
u C cos kx D sin kx
根据波函数连续条件，在 x a 2 处，绿区红区u的取值 应该一样，由于红区u＝0，故绿区的u也是0，那么
(2)
内容复习
德布罗意波 光谱 里德伯公式
玻尔理论的三个假设
氢原子r，E 的公式
文化物理
南京航空航天 大学理学院 朱岩
yzhu@ /phyandart/
德拜：德布罗意波只有波动理论，没有波 动方程，太肤浅了。
第七章
• • • • 波动方程 轨道角动量 电子自旋 量子数及元素周期表
n＝2，4，6 …
一、波动方程
的值应该为0，故
n u C cos x a n u D sin x a
n＝1，3，5 … n＝2，4，6 …
一、波动方程
验证：
势阱中的驻波只能如图所示，有：
6 5 4 3 2 1
2 2a n n a n 1, 2,3,... n 1, 2,3,...
设u＝eβx，则u”＝β2 u，那么
k2
2m V E
u k u,
2 2 2
k2
B2e
k2 x
u2 A2e
k2 x
（3）
2，3两式第一项都表示从左向右运动的粒子，第二项则是经 过边界反射后从右向左运动的粒子。
一、波动方程
在III区，V＝0：
d 2u 2mE 2 u k 3 u, 2 2 dx
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4：
3-4：
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
7.2.1 一维无限深势阱 定义一维势阱： a a V＝0 当 x
2
2
a a x 或者 x V＝∞ 当 2 2
求解能量为 E （有限）的粒 子的运动状态就需要求解定 态薛定谔方程：
Hu Eu 2 2u Vu Eu 2 2m x
(1)
一、波动方程 先解绿色区域的方程，此时V＝0，式1成为：
2
一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系：
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成： i H t

ka 2 D sin 0 2 ka (0,1, 2,...) 2
(5)
a
(1,3,5,...)
k

a
(0, 2, 4,...)
(6)
5，6两式合并：
2mE k n a 2 2 2 En 2 2ma
n 0,1, 2,... n 1, 2,3,...
(7)
一、波动方程
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表 示为：关于位置x 和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置 的距离）满足：
u 2 2 c u 2 t
2
u(x,t)
x
这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c 为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力 不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具）上，波速可以慢到1米/秒
i df E f dt
f f 0e
iE t
u ( x, y, z )e
iE t
E就是系统的能量。E为常数的状态称为定态。ψ ψ *＝uu*，所以 发现粒子的几率与时间无关。