2018-2019学年最新北京课改版九年级数学上学期期末考试模拟试题及答案解析-精编试题

(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、86、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜07、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、28、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为cm2、〔结果保留π〕10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=，F2018〔4〕=；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、2018-2018学年北京市海淀区九年级〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根考点：根的判别式、分析：求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可、解答：解：x2﹣3x﹣5=0，△=b2﹣4ac=〔﹣3〕2﹣4×1×〔﹣5〕=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，应选A、点评：此题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a、b、c为常数，a≠0〕①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根、2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、考点：锐角三角函数的定义、分析：直接根据三角函数的定义求解即可、解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==、应选A、点评：此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA、即sinA=∠A的对边：斜边=a：C、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥考点：由三视图判断几何体、分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状、解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥、应选：D、点评：此题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定、4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、考点：概率公式、分析：由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案、解答：解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，∴抽到的座位号是偶数的概率是：=、应选C、点评：此题考查了概率公式的应用、用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、8考点：位似变换、专题：计算题、分析：根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可、解答：解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2、应选B、点评：此题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心、注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行、6、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜0考点：反比例函数图象上点的坐标特征、专题：计算题、分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小、解答：解：∵A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，∴y1=﹣，y2=﹣，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1、应选B、点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象是双曲线，图象上的点〔x，y〕的横纵坐标的积是定值k，即xy=k、7、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、2考点：垂径定理；全等三角形的判定与性质、分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案、解答：解：∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE〔AAS〕，∴OF=AD=1，应选C、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO ≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦、8、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE考点：动点问题的函数图象、分析：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论、解答：解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G、由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B正确；∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；应选：B、点评：此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键、【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为3πcm2、〔结果保留π〕考点：扇形面积的计算、专题：压轴题、分析：知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出、解答：解：由S=知S=×π×32=3πcm2、点评：此题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S=、10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m、考点：相似三角形的应用、分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解、解答：解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，=，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m、故答案为：24、点评：此题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、考点：二次函数的性质、专题：数形结合、分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解、解答：解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、故答案为x1=﹣2，x2=1、点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣、也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=37，F2018〔4〕=26；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是6、考点：规律型：数字的变化类、专题：新定义、分析：通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可、解答：解：〔1〕F2〔4〕=F〔F1〔4〕〕=F〔16〕=12+62=37；F1〔4〕=F〔4〕=16，F2〔4〕=37，F3〔4〕=58，F4〔4〕=89，F5〔4〕=145，F6〔4〕=26，F7〔4〕=40，F8〔4〕=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2018是7的287倍余6，因此F2018〔4〕=26；〔2〕由〔1〕知，这些数字7个一个循环，F4〔4〕=89=F18〔4〕，因此3m=18，所以m=6、故答案为：〔1〕37，26；〔2〕6、点评：此题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值、专题：计算题、分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用负指数幂法那么计算即可、解答：解：原式=﹣1+﹣1+2=、点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、考点：相似三角形的判定、专题：证明题、分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论、解答：证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE、点评：此题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似、也考查了等腰三角形的性质、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、考点：一元二次方程的解、专题：计算题、分析：把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值、解答：解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，那么原式===3、点评：此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、考点：二次函数图象与几何变换、专题：计算题、分析：由于抛物线平移前后二次项系数不变，那么可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式、解答：解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A〔0，3〕，B〔2，3〕分别代入得，解得，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3、点评：此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、考点：反比例函数与一次函数的交点问题、分析：〔1〕把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；〔2〕由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标、解答：解：〔1〕把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，∴点A坐标为〔2，4〕，∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；〔2〕∵AC⊥OC，∴OC=2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为〔﹣2，﹣4〕，∴B到OC的距离为4，∴S△ABC=2S△ACO=2××2×4=8，∴S△OPC=8，设P点坐标为〔x，〕，那么P到OC的距离为||，∴×||×2=8，解得x=1或﹣1，∴P点坐标为〔1，8〕或〔﹣1，﹣8〕、点评：此题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在〔1〕中求得A点坐标、在〔2〕中求得P点到OC的距离是解题的关键、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、考点：解直角三角形；勾股定理、专题：计算题、分析：〔1〕在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，那么可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，那么S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解、解答：解：〔1〕在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为、点评：此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由元素求未知元素的过程就是解直角三角形、也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、考点：根的判别式；根与系数的关系、专题：计算题、分析：〔1〕由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；〔2〕利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可、解答：解：〔1〕由得：m≠0且△=〔m+2〕2﹣8m=〔m﹣2〕2＞0，那么m的范围为m≠0且m≠2；〔2〕方程解得：x=，即x=1或x=，∵x2＜0，∴x2=＜0，即m＜0，∵＞﹣1，∴＞﹣1，即m＞﹣2，∵m≠0且m≠2，∴﹣2＜m＜0，∵m为整数，∴m=﹣1、点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、考点：二次函数的应用、分析：〔1〕根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；〔2〕由〔1〕的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论、解答：解：〔1〕由题意，得y=〔100﹣5x〕〔2x+4〕，y=﹣10x2+180x+400〔1≤x≤10的整数〕；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；〔2〕∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10〔x﹣9〕2+1210、∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210、答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元、点评：此题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、考点：切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质、分析：〔1〕首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；〔2〕首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r，那么可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长、解答：〔1〕证明：连接OC、∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC、∵FA经过圆心O，∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF、∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF、∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°、∴OC⊥PC、∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线、〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2、∴BE=CE=1、在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，∴、设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r、在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴OC2=OE2+CE2、∴r2=〔3﹣r〕2+1、解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°、∴△OCE∽△CPE，∴、∴、∴、点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=5；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、考点：相似形综合题、分析：〔1〕用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；〔2〕连接AC、DB、AD、DE、由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；〔3〕如图，连接AE、BF，那么AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD、解答：解：〔1〕如下图：线段CD即为所求、〔2〕如图2所示连接AC、DB、AD、∵AD=DE=2，∴AE=2、∵CD⊥AE，∴DF=AF=、∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO、∴CO：DO=2：3、∴CO=、∴DO=、∴OF=、tan∠AOD=、〔3〕如图3所示：根据图形可知：BF=2，AE=5、由勾股定理可知：AF==，AB==、∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF、∴AO：OB=AE：FB=5：2、∴AO=、在Rt△AOF中，OF==、∴tan∠AOD=、点评：此题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、考点：反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质、专题：综合题；数形结合；分类讨论、分析：〔1〕只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；〔2〕将点B的坐标代入y=〔x﹣1〕2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；〔3〕可先求出直线y=x与反比例函数y=交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质〔|a|越大，抛物线的开口越小〕就可解决问题、解答：解：〔1〕∵反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕，∴k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；〔2〕∵二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，∴n=〔m﹣1〕2=m2﹣2m+1，∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；〔3〕设直线y=x与反比例函数y=交点分别为C、D，解，得：或，∴点C〔﹣2，﹣2〕，点D〔2，2〕、①假设a＞0，如图1，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点D时，有a〔2﹣1〕2=2，解得：a=2、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②假设a＜0，如图2，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点C时，有a〔﹣2﹣1〕2=﹣2，解得：a=﹣、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣、综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣、点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第〔2〕小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第〔3〕小题的关键、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC 为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、考点：几何变换综合题、分析：〔1〕根据等腰直角三角形的性质得出即可；〔2〕①设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD、求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME=，AM=FM，解直角三角形求出FM即可、解答：解：〔1〕AD+DE=4，理由是：如图1，∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，∴AD+DE=BC=4；〔2〕①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE=BC，∠AED=∠BCD、∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF∥CB，∴AE=EF，∵CB∥EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF==4；②如图2，过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE=EF=BC，∴∠AEM=∠FME=，AM=FM，∴AF=2FM=EF×sin=8sin、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=1；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=1；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为2；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、考点：圆的综合题、分析：〔1〕由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；〔2〕先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解、〔3〕分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可、解答：解：〔1〕①如图3，。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．点（2，﹣2）是反比例函数y=的图象上的一点，则k=（）A ． ﹣1B ．C ． ﹣4D ． ﹣2．一元二次方程x （x ﹣2）=2﹣x 的根是（）A ． x=﹣1B ． x=2C ． x 1=1，x 2=2D ． x 1=﹣1，x 2=23．掷两枚质地均匀的骰子，两枚的点数都是6的概率为（）A ．B ．C ．D ．4．x=1是关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣5=0的一个根，则此方程的另一个根是（）A ． 5B ． ﹣5C ． 4D ． ﹣45．下列几何体中，主视图相同的是（）A ． ①②B ． ①③C ． ①④D ． ②④6．已知点A （1，﹣1）在反比例函数y=的图象上，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，则△OAM 的面积为（）A ．B ． 2C ． 1D ．7．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（）A ． x 2+1=0B ． x 2+x+1=0C ． x 2﹣x+1=0D ． x 2﹣x ﹣1=08．一个口袋中有2个红球，3个白球，这些球除色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=（）A．0.9cm B．1cm C．3.6cm D．0.2cm10．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（每小题4分，共24分）11．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是．12．一次函数y=kx+1经过点（﹣1，2），则反比例函数y=的图象经过点（2，）．13．某班共有50名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学到黑板板演，习惯用左手写字的同学被选中的概率是．14．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为m．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=cm．16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC=．三．解答题（每小题6分，共18分）17．解方程：x2+7x+12=0．18．如图，直线y=x﹣3与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（4，1），与x轴交于点B．求k的值及点B的坐标．19．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．求证：四边形CEDF是平行四边形．四．解答题（每小题7分，共21分）20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B（，n）．连结OB，若S△AOB=1．求反比例函数及一次函数的关系式．21．一个盒子中装有两个红球和三个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次都摸到白球的概率．22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．五．解答题（每小题9分，共27分）23．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，若商场想获得利润3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？24．已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD 的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE、BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连接AF，求∠AFE的度数．25．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC 和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE 于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？九年级上学期期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．点（2，﹣2）是反比例函数y=的图象上的一点，则k=（）A．﹣1 B．C．﹣4 D．﹣考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：直接把点（2，﹣2）代入反比例函数y=，求出k的值即可．解答：解：∵点（2，﹣2）是反比例函数y=的图象上的一点，∴﹣2=，解得k=﹣4．故选C．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．x=﹣1 B．x=2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=2考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题；转化思想．分析：先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程．解答：解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，所以x1=2，x2=﹣1．故选D．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．3．掷两枚质地均匀的骰子，两枚的点数都是6的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚的点数都是6的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：列表得：1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）∵共有36种等可能的结果，两枚的点数都是6的只有1种情况，∴两枚的点数都是6的概率为：．故选B．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4考点：根与系数的关系．分析：由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．解答：解：设方程的另一根为x1，由根据根与系数的关系可得：x1•1=﹣5，∴x1=﹣5．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．5．下列几何体中，主视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④考点：简单几何体的三视图．分析：主视图是从物体上面看，所得到的图形．解答：解：圆柱的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，长方体的主视图是长方形，球的主视图是圆，故选：B．点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．6．已知点A（1，﹣1）在反比例函数y=的图象上，过点A作AM⊥x轴于点M，则△OAM 的面积为（）A．B．2 C．1 D．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：直接根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义求解．解答：解：∵AC⊥x轴于点B，∴△MAO的面积=|k|=×1=．故选D．点评：本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．7．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．解答：解：A、这里a=1，b=0，c=1，∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=﹣1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．8．一个口袋中有2个红球，3个白球，这些球除色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．分析：由一个口袋中有2个红球，3个白球，这些球除色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵一个口袋中有2个红球，3个白球，这些球除色外都相同，∴从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是：=．故选A．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=（）A．0.9cm B．1cm C．3.6cm D．0.2cm考点：平行线分线段成比例．专题：计算题．分析：根据平行线分线段成比例定理得到=，然后利用比例性质求EC的长．解答：解：∵DE∥BC，∴=，即=，∴EC=0.9（cm）．故选A．点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：菱形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：根据菱形的对角线平分一组对角可得∠1=∠2，然后求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可．解答：解：在菱形ABCD中，∠1=∠2，又∵ME⊥AD，NF⊥AB，∴∠AEM=∠AFN=90°，∴△AFN∽△AEM，∴=，即=，解得AN=4．故选B．点评：本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，相似三角形的判定与性质，关键在于得到△AFN和△AEM相似．二．填空题（每小题4分，共24分）11．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是x1=2，x2=﹣3．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：（x﹣2）（x+3）=0，可得x﹣2=0或x+3=0，解得：x1=2，x2=﹣3．故答案为：x1=2，x2=﹣3点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．一次函数y=kx+1经过点（﹣1，2），则反比例函数y=的图象经过点（2，﹣）．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．分析：先把点（﹣1，2）代入一次函数y=kx+1求出k的值，故可得出反比例函数y=的解析式，再把x=2代入反比例函数的解析式求出y的值即可．解答：解：∵一次函数y=kx+1经过点（﹣1，2），∴2=﹣k+1，解得k=﹣1，∴反比例函数y=的解析式为y=﹣，∴当x=2时，y=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13．某班共有50名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学到黑板板演，习惯用左手写字的同学被选中的概率是．考点：概率公式．分析：让习惯用左手写字的学生数除以学生总数即为所求的概率．解答：解：根据题意，某班共有50名同学，其中有2名同学习惯用左写字手，则老师随机抽1名同学，共50种情况，而习惯用左手字手的同学被选中的有2种；故其概率为=．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为7m．考点：相似三角形的应用．分析：此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．解答：解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故答案为：7．点评：此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=9cm．考点：三角形中位线定理；矩形的性质．分析：先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．解答：解：在Rt△ABC中，AC==10cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，EF=OD=BD=AC=cm，AF=AD=BC=4cm，AE=AO=AC=cm，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．故答案为：9．点评：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC=．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：首先证明△BEC≌△CFD，即可证明OC⊥DF，然后利用直角三角新的面积公式即可求得OC的长．解答：解：∵正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠DCF，又∵AE=BF，∴BE=CF=4﹣1=3，DF===5，则在直角△BEC和直角△CFD中，，∴△BEC≌△CFD，∴∠BEC=∠CFD，又∵直角△BCE中，∠BEC+∠BCE=90°，∴∠CFD+∠BCE=90°，∴∠FOC=90°，即OC⊥DF，∴S△CDF=CD•CF=OC•DF，∴OC===．故答案是：．点评：本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，证明△BEC≌△CFD是解题的关键．三．解答题（每小题6分，共18分）17．解方程：x2+7x+12=0．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：利用因式分解得到（x+3）（x+4）=0，推出x+3=0，x+4=0，求出方程的解即可．解答：解：x2+7x+12=0，（x+3）（x+4）=0，∴x+3=0，x+4=0，x1=﹣3，x2=﹣4．点评：此题主要考查了解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．18．如图，直线y=x﹣3与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（4，1），与x轴交于点B．求k的值及点B的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：把（4，1）代入y=即可求得k的值，在y=x﹣3中，令y=0，即可求得B的横坐标，则B的左边即可求得．解答：解：把（4，1）代入y=得：k=4．在y=x﹣3中，令y=0，则x﹣3=0，解得：x=3，则B的坐标是（3，0）．点评：本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数与x轴的交点坐标的求法，待定系数法求解析式是一种基本的方法．19．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．求证：四边形CEDF是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质．专题：证明题．分析：由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形．解答：证明：如图，在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．∵F是AD的中点，∴DF=．又∵CE=BC，∴DF=CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．四．解答题（每小题7分，共21分）20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B（，n）．连结OB，若S△AOB=1．求反比例函数及一次函数的关系式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：把B的坐标代入反比例函数的解析式，然后根据三角形的面积公式求得m、n的值，然后利用待定系数法求得一次函数解析式．解答：解：由反比例函数过点B（，n）得：n=m，由S△AOB=1得：×1×n=1，即n=2，则m=1，则反比例函数的关系式为：y=．设一次函数的解析式是y=kx+b，根据过点A（﹣1，0），B（，2），得：，解得：．则一次函数的关系式为：y=．点评：本题考查了待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，正确求得m的值是本题的关键．21．一个盒子中装有两个红球和三个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次都摸到白球的概率．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：列表得：第二次第一次红球1 红球2 白球1 白球2 白球3红球1 （红1，红1）（红1，红2）（红1，白1）（红1，白2）（红1，白3）红球2 （红2，红1）（红2，红2）（红2，白1）（红2，白2）（红2，白3）白球1 （白1，红1）（白1，红2）（白1，白1）（白1，白2）（白1，白3）白球2 （白2，红1）（白2，红2）（白2，白1）（白2，白2）（白2，白3）白球3 （白3，红1）（白3，红1）（白3，白1）（白3，白2）（白3，白3）∵共有25种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，∴两次都摸到红球的概率为：．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．五．解答题（每小题9分，共27分）23．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，若商场想获得利润3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：利用每件利润×销量=3750，进而求出答案即可．解答：解：设该玩具的销售单价为x元，则依题意有：[300﹣10（x﹣30）]（x﹣20）=3750 化简得x2﹣80x+1575=0解这个方程得：x1=35，x2=45因为利润不得超过原价的100%，所以x2=45应舍去．答：该玩具应定价为35元．点评：考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润等于单件利润乘以销量，难度不大．24．已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD 的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE、BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连接AF，求∠AFE的度数．考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据SAS判定△AGE和△DAB全等；（2）证明四边形DEFB是平行四边形，△AEF是个等边三角形．解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∴在△AGE与△DAB中，，∴△AGE≌△DAB（SAS）；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中利用全等三角形实现线段的相等和角的转换是解题的关键．25．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC 和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE 于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？考点：相似形综合题．分析：（1）利用平移的知识可得四边形ABCE是平行四边形，进而根据AB=BC可得该四边形为菱形；（2）如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，由∠2是△OBP的外角，得到∠2＞∠3，由于∠2不与∠3对应，于是得到∠2与∠1对应，即∠2=∠1，于是得到OP=OC=3，过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，根据相似三角形的对应线段成比例可以求出CG，而PB=BC﹣PC=BC﹣2CG，根据这个等式就可以求出BP的长．解答：解：（1）四边形ABCE是菱形，证明如下：∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC∥AB，且EC=AB，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形；（2）如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，即∠2=∠1，∴OP=OC=3过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，∴△OGC∽△BOC，∴CG：CO=CO：BC，即：CG：3=3：5，∴CG=，∴PB=BC﹣PC=BC﹣2CG=5﹣2×=．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定、全等三角形的判定以及梯形面积求法等知识，根据相似三角形的判定得出△PQR∽△CBO，进而得出△OGC∽△BOC 是解题关键．。

2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是A.B.C. D.【答案】D【解析】解：A 、不是中心对称图形，本选项错误； B 、不是中心对称图形，本选项错误； C 、不是中心对称图形，本选项错误； D 、是中心对称图形，本选项正确． 故选：D ．根据中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 的值是A.B.C. D.【答案】A【解析】解：由图可得，直角三角形的斜边长 ， ，故选：A ．锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做 的正弦，即 的对边除以斜边．本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做 的正弦，记作 ．3. 反比例函数的图象位于A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限【答案】B【解析】解： 反比例函数中 ， 此函数的图象位于一、三象限． 故选：B ．直接根据反比例函数的性质进行解答即可．本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线；当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．4.如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，．故选：C．根据圆周角定理，由，即可推出结果．本题主要考查圆周角定理，关键在于运用数形结合的思想进行认真分析．5.在平面直角坐标系xoy中，各顶点的坐标分别为：，，，以原点O为位似中心，相似比为2，将放大，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为A.B.C.D.【答案】A【解析】解：如图所示：相似比为2，，故选：A．利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案．此题主要考查了位似变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：：1，则的面积与的面积之比为A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1【答案】B【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，，∽ ，：：1，：：4，．故选：B．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线的顶点坐标为，点关于原点O的对称点的坐标为，此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为．故选：D．先确定抛物线线的顶点坐标为，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点变换后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出旋转后抛物线．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为，所以大豆发芽的概率是；随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是；若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为，所以大豆发芽的概率大约是，此推断错误；根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，所以估计大豆发芽的概率是，此推断正确；若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为粒，此结论正确．故选：D．根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列大桥全长近汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式为______【答案】【解析】解：大桥全长近55km，汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式为，故答案为：．依据行程问题中的关系：时间路程速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式．本题主要考查了函数关系式，用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．10.如图，身高米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为______米【答案】【解析】解：同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，，，米．故答案为．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．11.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：开口向下；与y轴的交点坐标为此二次函数的解析式可以是______．【答案】答案不唯一【解析】解：设二次函数的解析式为．抛物线开口向下，．抛物线与y轴的交点坐标为，．取，时，二次函数的解析式为．故答案为：答案不唯一．根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论．本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键．12.如图，AB为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为______．【答案】5【解析】解：连接OD，于点E，直径AB过O，，，由勾股定理得：，即的半径为5．故答案为：5．连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为______cm．【答案】【解析】解：，，，的长．故答案为．利用弧长公式计算即可．本题考查弧长公式：为扇形的圆心角，r为扇形的半径，解题的关键是记住弧长公式，属于中考常考题型．14.如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且，则的度数是______．【答案】【解析】解：的度数为，由旋转可得，，中，，，中，，由旋转可得，，故答案为：．先根据的度数和的度数，可得的度数，再根据中，，可得的度数，进而得出中的度数，可得的度数．本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．15.如图，以等边的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若，则阴影部分的面积是______．【答案】【解析】解：如图，连接OD，OE，DE．是等边三角形，，，，都是等边三角形，，，是等边三角形，，弓形DE与弓形BE的面积相等，，是等边三角形，，阴故答案为．如图，连接OD，OE，证明阴即可解决问题．本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．16.如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，N是的中点，连接MN，若，，则线段MN的最大值为______．【答案】6【解析】解：连接CN．在中，，，，，，，，，的最大值为6，故答案为6．连接根据直角三角形斜边中线的性质求出，利用三角形的三边关系即可解决问题．本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.计算：【答案】解：．【解析】依据、、角的各种三角函数值，代入计算即可．本题主要考查了特殊角的三角函数值，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．18.如图，在中，点D在AB边上，，求证： ∽ ；若，求AC的长．【答案】解：，，∽解： ∽，，，，．【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．根据相似三角形的性质即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．四、解答题（本大题共10小题，共58.0分）19.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：，垂足为点E．作法：如图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；作直线PQ，交AB于点O；以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹完成下面的证明证明：，______，为线段AB的垂直平分线．为AB中点．为直径，与线段BC交于点E，____________填推理的依据．【答案】BQ90 直径所对的圆周角是直角【解析】解：图形如图所示：理由：连接AQ，BQ，AP，BP．，，为线段AB的垂直平分线，为AB中点，为直径，与线段BC交于点E，直径所对的圆周角是直角，．故答案为：BQ，90，直径所对的圆周角是直角．根据要求画出图形即可解决问题；只要证明即可解决问题；本题考查线段垂直平分线的性质，作图复杂作图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率图案为“红脸”的两张卡片分别记为、，图案为“黑脸”的卡片记为【答案】解：画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以两张都是“红脸”，答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．【解析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．此题主要考查了概率的求法用到的知识点为数状图和概率，概率所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．21.已知二次函数自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：求此二次函数的表达式．【答案】解：当时，；当时，，二次函数图象的对称轴为直线，即．将，，代入，得：，解得：，此二次函数的表达式为．【解析】由当和时y值相等，利用二次函数的性质即可求出二次函数图象的对称轴；根据表格中的数据找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数表达式．本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：利用二次函数图象的对称性找出二次函数图象的对称轴；根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．22.如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，B两点，与x轴交于点C．求a，k的值及点B的坐标；若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标．【答案】解：把点代入，得，把代入反比例函数；反比例函数的表达式为联立两个函数的表达式得解得或点B的坐标为；当时，得点设点P的坐标为，解得，点或．【解析】利用点A在上求a，进而代入反比例函数求k，然后联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．23.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为米水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米建立平面直角坐标系，水流喷出的高度米与水平距离米之间近似满足函数关系．求y与x之间的函数关系式；求水流喷出的最大高度．【答案】解：由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，则函数表达式为：；，故函数有最大值，当时，y取得最大值，此时，答：水流喷出的最大高度为2米．【解析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，即可求解；，故当时，y取得最大值．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．24.如图，已知中，，E为AB上一点，以AE为直径作与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．求证：；若，，求BE的长．【答案】证明：连接OD，切于点D，，，又，，，，，，；∽ ，，，，即，．【解析】连接OD，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25.有这样一个问题：探究函数的图象与性质小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：函数的自变量x的取值范围是______；则的值为；如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；观察图象，写出该函数的一条性质______；若函数的图象上有三个点、、，且，则、、之间的大小关系为______；【答案】当时y随x的增大而减小答案不唯一【解析】解：，；当时，；如图所示：由图象可得，当时，y随x的增大而减小答案不唯一；由图象可得，当时，；当时，．、、之间的大小关系为．故答案为：；；当时，y随x的增大而减小；．依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量x的取值范围；把代入函数解析式，即可得到m的值；依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；依据函数图象，即可得到函数的增减性；依据函数图象，即可得到当时，；当时，．本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为，线段AB的两个端点分别为，．若抛物线经过原点，求出m的值；求抛物线顶点C的坐标用含有m的代数式表示；若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．【答案】解：抛物线经过原点，，解得，；，顶点C的坐标为；由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线上移动．当抛物线过点A时，或1；当抛物线过点B时，或5．所以时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m的取值范围为且．【解析】将，代入，得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，进而求出顶点C的坐标；由所求顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线上移动分别求出抛物线过点A、点B时，m的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，直线与抛物线的位置关系，提现了转化思想和数形结合思想的应用．27.如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且，点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得，连接DF．依题意补全图形；求证：；连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．【答案】解：如右图所示；点P为线段DE的中点，在和中，≌ ，，为MN的中点，，，，；结论：，证明：连接AF，由可知： ≌ ，，，，在正方形ABCD中，，，又，，又，，，在和中，，≌ ，，，，为等腰直角三角形，又，．【解析】根据题意可以画出完整的图形；由，点E为MN的中点可知，要证明，只要证明即可，要证明，只要证明 ≌ 即可，然后根据题目中的条件和全等三角形的判定即可证明结论成立；首先写出线段PM和AM的数量关系，然后根据题意作出合适的辅助线，利用全等三角形的判定和性质、正方形的性质即可证明结论成立．本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到的“圆距离”，记作记线段AB为图形M，其中，，求；记函数的图象为图形M，且，直接写出k的取值范围；记为图形M，其中，，，且，直接写出t的值．【答案】解：如下图所示由题意得：点A、点B关于y轴对称，则：，即：；如下图所示，当时，过点O作，交圆于点Q，由题意得：，即：，则，，即：，则，点N的坐标为，把点N的坐标代入直线表达式得：，解得：，而，故：；当时，如下图所示，过点O作交于点D，过点E作x轴的垂线交于点G、交CD于点N，则，，，即：，，由题意得：，，则：，，，解得：，当时，同理可得：，当时，，即当时，t的值为0或或．【解析】如下图所示，由题意得：点A、点B关于y轴对称，即可求解；如下图所示，当时，过点O作，交圆于点Q，则：，则，即可求解；分、、三种情况，求解即可．本题为圆的综合题，属于阅读理解型题目，关键是通过正确画图，确定图形间的位置关系．。

2018-2019学年九年级（上）期末考试数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．2．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（）A．8B．12C．16D．204．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数y=图象上的两点，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（）A．0＜y1＜y2B．0＜y2＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜05．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′BC′的位似比是2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A．2：3B．：C．4：9D．8：276．下列方程：①2x2﹣1=0，②3x2=﹣3，③x2+5x﹣7=0，④2x2+3x+8=0．无实数根的是（）A．①②③④B．①③C．②④D．②③④7．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．8．已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O 的半径为（）A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm9．在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（）A．x（x+1）=253B．x（x﹣1）=253C．D．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c=0，其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）11．（4分）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为．12．（4分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，△CBD∽△ACD，AD=6，BD=9，那么AC的长等于．13．（4分）把二次函数y=x2﹣2x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数解析式为．14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是．三．解答题（共6小题，满分54分）15．（12分）（1）计算：（π﹣5）0+cos45°﹣|﹣3|+（）﹣1（2）解方程：x2﹣6x+8=016．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入．17．（8分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）18．（9分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图不完整的统计图．（1）根据给出的信息，求扇形统计图中a和b的值，并补全条形统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比賽，预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？19．（9分）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象在第一象限的交点=1，于P，函数y=kx+2的图象分别交x轴、y轴于点C、D，已知△OCD的面积S△OCD OA=2OC（1）点D的坐标为；（2）求一次函数解析式及m的值；（3）写出当x＞0时，不等式kx+2＞的解集．20．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．（1）求证：DH=DB；（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE=1，圆O的直径为5．①求证：EF为圆O的切线；②求DF的长．四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）21．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣7=0的两个根分别为x1、x2，则x12x2+x1x22=．22．（4分）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是．23．（4分）点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是6，则k的值为．24．（4分）函数y=（x﹣1）2+4的对称轴是，顶点坐标是，最小值是．25．（4分）如图，正方形ABCD中，AD=4，E在AB上且AB=4BE，连接CE，作BF⊥CE 于F，正方形对角线交于O点，连接OF，将△COF沿CE翻折得△CGF，连接BG，则BG的长为．五．解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）某商店经营一种小商品，进价是每件40元．据市场调查，销售价是60元时，平均每星期的销售量是300件．而销售价每降价1元，平均每星期的期就多售出30件．（1）假定每件商品降价x元，商店每星期的销售量是y件，请写出y与x之间的函数关系式（请直接写出结果）；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每星期销售这种小商品的利润吸最大？最大利润是多少？27．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C 重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD 为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE；（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长．28．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB下方抛物线上找一点D，求出使得△ABD面积最大时点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．【解答】解：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1，故选：A．【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．2．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出OA，根据正弦的定义解答即可．【解答】解：由题意得，OC=2，AC=4，由勾股定理得，AO==2，∴sinA==，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（）A．8B．12C．16D．20【分析】由四边形BCDE内接于⊙O知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC，由EF是⊙O 的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE，再根据四边形BECF是⊙O的内接四边形知∠AEC=∠BFC，从而证△ACE≌△BFC得AE=BF，根据Rt△ECF是等腰直角三角形知EF2=16，继而可得答案．【解答】解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，∴∠EFC=∠ABC=180°﹣∠EDC=45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，又∵EF是⊙O的直径，∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，∴∠AEC=∠BFC，∴△ACE≌△BFC（ASA），∴AE=BF，∵Rt△ECF中，CF=2、∠EFC=45°，∴EF2=16，则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16，故选：C．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．4．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数y=图象上的两点，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（）A．0＜y1＜y2B．0＜y2＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得y1=，y2=，然后利用求差法比较y1与y2的大小．【解答】解：把点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）代入y=得y1=，y2=，则y1﹣y2=﹣=，∵x1＞x2＞0，∴x1x2＞0，x2﹣x1＜0，∴y1﹣y2=＜0，即y1＜y2．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′BC′的位似比是2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A．2：3B．：C．4：9D．8：27【分析】先利用位似的性质得到△ABC与△A′BC′的相似比是2：3，然后根据相似三角形的性质可得到这两个相似三角形面积的比．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′BC′的位似比是2：3，∴△ABC与△A′BC′的相似比是2：3，∴这两个相似三角形面积的比为4：9．故选：C．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，也考查了相似三角形的性质．6．下列方程：①2x2﹣1=0，②3x2=﹣3，③x2+5x﹣7=0，④2x2+3x+8=0．无实数根的是（）A．①②③④B．①③C．②④D．②③④【分析】逐一求出四个方程的根的判别式△的值，取△为负值的方程即可．【解答】解：①2x2﹣1=0中△=02﹣4×2×（﹣1）=8＞0，此方程有两个不相等的实数根；②3x2=﹣3，即x2=﹣1＜0，此方程没有实数根；③x2+5x﹣7=0中△=52﹣4×1×（﹣7）=53＞0，此方程有两个不相等的实数根；④2x2+3x+8=0中△=32﹣4×2×8=﹣55＜0，此方程没有实数根；故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．7．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．=AB•BC=AC•BP，∵S△ABC∴BP===．∵DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴．设DE=x，则有：，解得x=，故选：D．【点评】本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．8．已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O 的半径为（）A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm【分析】连结OA，如图，设⊙O的半径为R，由CD⊥AB得到∠APO=90°，在Rt△OAP 中根据勾股定理得（r﹣2）2+42=r2，然后解方程求出r即可．【解答】解：连结OA，如图，设⊙O的半径为R，∵CD⊥AB，∴∠APO=90°，在Rt△OAP中，∵OP=OD﹣PD=r﹣2，OA=r，AP=4，∴（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，即⊙O的半径为5cm．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．9．在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（）A．x（x+1）=253B．x（x﹣1）=253C．D．【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：×学生数×（学生数﹣1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解．【解答】解：参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x﹣1）次，∴可列方程为x（x﹣1）=253，故选：D．【点评】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c=0，其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：＞0，∴ab＜0，故①正确；②由抛物线与x轴的图象可知：△＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③由图象可知：x=1，y＜0，∴a+b+c＜0，故③正确；④∵=1，∴b=﹣2a，令x=﹣1，y＞0，∴2a+b+c=c＜0，故④错误故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等题型．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）11．（4分）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为2019．【分析】把x=m代入方程，求出2m2﹣3m=1，再变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，∴代入得：2m2﹣3m﹣1=0，∴2m2﹣3m=1，∴6m2﹣9m+2016=3（2m2﹣3m）+2016=3×1+2016=2019，故答案为：2019．【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出2m2﹣3m=1是解此题的关键．12．（4分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，△CBD∽△ACD，AD=6，BD=9，那么AC的长等于3．【分析】依据△CBD∽△ACD，可得∠ACD=∠B，结合∠A=∠A，即可得出△ACD∽△ABC，进而得到AC2=AD×AB，可得AC的长．【解答】解：∵△CBD∽△ACD，∴∠ACD=∠B，又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AD×AB，∴AC===3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．13．（4分）把二次函数y=x2﹣2x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数解析式为y=﹣x2﹣2x﹣3．【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∴所得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2，即y=﹣x2﹣2x﹣3．故答案为y=﹣x2﹣2x﹣3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是15．【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，由作图知CP是∠ACB的平分线，∵∠B=90°，BD=3，∴DB=DQ=3，∵AC=10，=•AC•DQ=×10×3=15，∴S△ACD故答案为：15．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．三．解答题（共6小题，满分54分）15．（12分）（1）计算：（π﹣5）0+cos45°﹣|﹣3|+（）﹣1（2）解方程：x2﹣6x+8=0【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数的值、零指数幂以及负整数幂的意义即可求出答案（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】（1）解：原式=1+×﹣3+2=1+1﹣3+2=1（2）解：（x﹣2）（x﹣4）=0x﹣2=0或x﹣4=0x1=2，x2=4【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．16．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，当a=﹣1时，原式=．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（8分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可；（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=，求出即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴=，设AH=5km，则PH=12km，由勾股定理，得AP=13km．∴13k=26m．解得k=2．∴AH=10m．答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x﹣14．在Rt△ABC中，tan76°=，即≈4.0，解得x=，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．【点评】此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键．18．（9分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图不完整的统计图．（1）根据给出的信息，求扇形统计图中a和b的值，并补全条形统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比賽，预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？【分析】（1）利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数，然后计算出合格的人数和合格人数所占百分比，再计算出优秀人数，然后画图即可；（2）计算出成绩未达到良好的男生所占比例，再利用样本代表总体的方法得出答案；（3）直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率．【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷40%=40（人）；抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣2=10，合格所占百分比为10÷40=25%，即a=25优秀人数所占百分比为12÷40=30%，即b=30，如图所示：（2）估计成绩未达到良好有600×（5%+25%）=180（名）；（3）如图：，可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率=．【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图的应用，由图形获取正确信息是解题关键．19．（9分）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象在第一象限的交点=1，于P，函数y=kx+2的图象分别交x轴、y轴于点C、D，已知△OCD的面积S△OCD OA=2OC（1）点D的坐标为（0，2）；（2）求一次函数解析式及m的值；（3）写出当x＞0时，不等式kx+2＞的解集．【分析】（1）利用y轴上的点的坐标特征，利用解析式y=kx+2确定D点坐标；=1求出OC的长得到C点坐标，则把C点坐标代入y=kx+2求出k得到一（2）利用S△OCD次函数解析式；再利用一次函数解析式求出P点坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出m的值；（3）在第一象限内，写出一次函数图象再反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）当x=0时，y=kx+2=2，则D（0，2），故答案为（0，2）；=1，（2）∵S△OCD∴OD•OC=1，∴OC=1，∴C（﹣1，0），把C（﹣1，0）代入y=kx+2得﹣k+2=0，解得k=2，∴一次函数解析式为y=2x+2；∵OA=2OC=2，∴P点的横坐标为2，当x=2时，y=2x+2=6，∴P（2，6），把P（2，6）代入y=，∴m=2×6=12；（3）不等式kx+2＞的解集为x＞2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了数形结合的思想．20．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．（1）求证：DH=DB；（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE=1，圆O的直径为5．①求证：EF为圆O的切线；②求DF的长．【分析】（1）先判断出∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，进而判断出∠DHB=∠DBH，即可得出结论；（2））①先判断出OD∥AC，进而判断出OD⊥EF，即可得出结论；②先判断出△CDE≌△BDG，得出GB=CE=1，再判断出△DBG∽△ABD，求出DB2=5，即DB=，DG=2，进而求出AE=AG=4，最后判断出△OFD∽△AFE即可得出结论．【解答】解：（1）证明：连接HB，∵点H是△ABC的内心，∴∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，∵∠DBC=∠DAC，∴∠DHB=∠DAB+∠ABH=∠DAC+∠CBH，∵∠DBH=∠DBC+∠CBH，∴∠DHB=∠DBH，∴DH=DB；（2）①连接OD，∵∠DOB=2∠DAB=∠BAC∴OD∥AC，∵AC⊥BC，BC∥EF，∴AC⊥EF，∴OD⊥EF，∵点D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；②过点D作DG⊥AB于G，∵∠EAD=∠DAB，∴DE=DG，∵DC=DB，∠CED=∠DGB=90°，∴△CDE≌△BDG，∴GB=CE=1，在Rt△ADB中，DG⊥AB，∴∠DAB=∠BDG，∵∠DBG=∠ABD，∴△DBG∽△ABD，∴，∴DB2=AB•BG=5×1=5，∴DB=，DG=2，∴ED=2，∵H是内心，∴AE=AG=4，∵DO∥AE，∴△OFD∽△AFE，∴，∴，∴DF=．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了三角形内心，圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，平行线的性质和判定，求出DB是解本题的关键．四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）21．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣7=0的两个根分别为x1、x2，则x12x2+x1x22=﹣21．【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=3，x1•x2=﹣7，再将变形x12x2+x1x22为x1•x2（x1+x2），然后代入计算即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣7=0的两个根分别为x1、x2，∴x1+x2=3，x1•x2=﹣7，∴x12x2+x1x22=x1•x2（x1+x2）=﹣7×3=﹣21．故答案为﹣21．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．22．（4分）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是．【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．【解答】解：如图所示：连接OA，∵正六边形内接于⊙O，∴△OAB，△OBC都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴OC∥AB，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴=S扇形OBC，则飞镖落在阴影部分的概率是；故答案为：．【点评】此题主要考查了正多边形和圆、几何概率以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．23．（4分）点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是6，则k的值为9．【分析】设A（a，），则B（，），可表示AB的长．根据矩形ABCD的面积是6，求得k的值．【解答】解：设A（a，），则B（，）∴AB=∵SABCD=AB×AD∴（）×=6∴k=9故答案为9【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征．关键是灵活运用反比例函数系数k的几何意义解决问题．24．（4分）函数y=（x﹣1）2+4的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，4），最小值是y=4．【分析】根据题目中的函数解析式可以解答本题．【解答】解：函数y=（x﹣1）2+4的对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，4），最小值是y=4，故答案为：直线x=1，（1，4），y=4．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．25．（4分）如图，正方形ABCD中，AD=4，E在AB上且AB=4BE，连接CE，作BF⊥CE 于F，正方形对角线交于O点，连接OF，将△COF沿CE翻折得△CGF，连接BG，则BG的长为．【分析】Rt△BCE中，BF⊥CE，∠CBE=90°，可得BF==，再判定△COF∽△CEA，可得∠CFO=∠CAB=45°，进而得到∠CFG=∠CFO=45°，∠BFH=90°﹣45°=45°，可得△BFH是等腰直角三角形，再根据△COF∽△CEA，可得，即，进而得出OF==GF，HG=FG﹣FH=，最后在Rt△BHG中，由勾股定理可得BG==．【解答】解：如图，连接BG，过B作BH⊥GF于H，由题可得，BE=1，BC=4，AE=3，OC=2，∴Rt△BCE中，CE=，∵BF⊥CE，∠CBE=90°，∴BF==，∵Rt△BCE中，BF⊥CE；Rt△ABC中，BO⊥AC，∴BC2=CF×CE，BC2=CO×CA，∴CF×CE=CO×CA，即，又∵∠OCF=∠ECA，∴△COF∽△CEA，∴∠CFO=∠CAB=45°，由折叠可得，∠CFG=∠CFO=45°，∴∠BFH=90°﹣45°=45°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BH=BF=，∵△COF∽△CEA，∴，即，∴OF==GF，∴HG=FG﹣FH=，∴Rt△BHG中，BG==．故答案为：．【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是运用折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．五．解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）某商店经营一种小商品，进价是每件40元．据市场调查，销售价是60元时，平均每星期的销售量是300件．而销售价每降价1元，平均每星期的期就多售出30件．（1）假定每件商品降价x元，商店每星期的销售量是y件，请写出y与x之间的函数关系式（请直接写出结果）；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每星期销售这种小商品的利润吸最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据售价每降价1元，平均每星期的期就多售出30件进而得出答案；（2）利用总利润=（实际售价﹣进价）×销售量，即可得函数解析式，再配方即可得最值情况．【解答】解：（1）依题意有：y=300+30x；（2）设利润为w，则w=（300+30x）（20﹣x）=﹣30x2+300x+6000=﹣30（x﹣5）2+6750；∵a=﹣30＜0，∴当x=5时w取最大值，最大值是6750，即降价5元时利润最大，∴每件小商品销售价是55元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6750元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式是解题的关键．27．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C 重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD 为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE；（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长．【分析】（1）依据AE=EF，∠DEC=∠AEF=90°，即可证明△AEF是等腰直角三角形；（2）连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论；（3）当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，先求得EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH=3，即可得到AE=AH+EH=4．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，∵∠DKC=∠C，∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD，在△EKF和△EDA中，，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH==3，∴AE=AH+EH=4．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．28．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB下方抛物线上找一点D，求出使得△ABD面积最大时点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把交点坐标为（﹣1，0），（3，0）代入二次函数的表达式，即可求解；=DE×（x A﹣x B）即可求解；（2）用S△ABD（3）当AB是为平行四边形的边长时，如下二图所示，M1、M2为所求点，当AB时平行四边形的对角线时，M3与点C重合，即可求解．【解答】解：（1）把交点坐标为（﹣1，0），（3，0）代入二次函数的表达式：解得：a=1，b=﹣2，故：二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）过D点做DF⊥x轴于F，交AB于E，把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入一次函数表达式得直线AB的方程为：y=﹣x﹣1，设：D（m，m2﹣2m﹣3），E（m，﹣m﹣1），∴DE=﹣m﹣1﹣（m，m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2，S△ABD=DE×（x A﹣x B）=﹣（m﹣）2+，∴当D坐标为（，﹣）时，△ABD的面积最大；（3）当AB是为平行四边形的边长时，如下二图所示，M1、M2为所求点，∵四边形ANM1B为平行四边形，∴△ANH≌△BM1G，则M1的横坐标为：﹣2，代入二次函数表达式，解得：M1坐标为（﹣2，5）；∵四边形ANM2B为平行四边形，∴△ABG≌△NHM2，则M2的横坐标为：4，代入二次函数表达式，解得：M2坐标为（4，5）；当AB时平行四边形的对角线时，下图所示，M3与点C重合，故M3（0，﹣3）；故M点的坐标为：（0，﹣3）、（4，5）、（﹣2，5）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

九年级（上）第一学期期末模拟检测数学试题（本检测题满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.（兰州中考）下列命题中正确的是（）A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.一组对边平行的四边形是平行四边形2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A.45︒B.55︒C.60︒D.75︒第2题图第3题图3.（2015·浙江温州中考）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限.若反比例函数xky =的图象经过点B ，则k 的值是（ ） A. 1 B. 2C.3 D. 324.若2-=x 是关于x 的一元二次方程02522=+-a ax x 的一个根，则a 的值为（ ） A.1或4B.-1或-4C.-1或4D.1或-45. （2016· 兰州中考）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD,DE ∥AC ，AD=2错误！未找到引用源。

，DE=2，则四边形OCED 的面积 为( )A.2错误！未找到引用源。

B.4C.4错误！未找到引用源。

D.86. (2016·兰州中考)已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为错误！未找到引用源。

，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( ) A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

7.（2015·山东青岛中考）如图，正比例函数x k y 11=的图象与反比例函数xk y 22=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当21y y ＞时，x 的取值范围是（ ） A ．x<-2或x>2 B ．x<-2或0<x<2 C ．-2<x<0或0<x<2D ．-2<x<0或x>2第7题图第8题图8. （2015·贵州安顺中考）如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于（）A.3∶2B.3∶1C.1∶1D.1∶29.在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为错误！未找到引用源。

九年级（上）期末模拟测试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分100分，考试时间90分钟注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B铅笔填涂相应的信息点．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上，不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损．考试结束后，将答题卡交回．5．允许使用计算器．第Ⅰ卷选择题（36分）一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．）1．如图的几何体是由五个同样大小的正方体搭成的，其主视图是A．B．C．D．2．一元二次方程x2﹣9=0的解是A． x=﹣3 B． x=3 C． x1=3，x2=﹣3 D．x=83．点（2，﹣2）是反比例函数y=的图象上的一点，则k=A．﹣1 B．C．﹣4 D．﹣4．下列关于x的一元二次方程有实数根的是A． x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=05．一个口袋中有2个红球，3个白球，这些球除色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是A．B．C．D．6．顺次连结对角线相等的四边形的四边中点所得图形是A．正方形B．矩形C．菱形D．以上都不对7．如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，则菱形ABCD 的周长为 A ．20 B ．16C ．25D ． 308．下列命题中，假命题的是 A ． 四边形的外角和等于内角和 B ． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C ． 矩形的四个角都是直角D ． 相似三角形的周长比等于相似比的平方9．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则=A ．B ．C ．D ．10． 已知1(0),3a c e a c eb d f b d f b d f++===++≠=++则A ．B ．13C ．D ．2311．下列命题中， ①有一组邻边互相垂直的菱形是正方形②若2x=3y ，则③若（﹣1，a ）、（2，b ）是双曲线y=上的两点，则a ＞b 正确的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．012. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为A ． 2B ． 3C ． 22D ．32第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：（本题有4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡．．．．．．．．上）．．．13．若x=﹣2是关于x 的一元二次方程x 2+3x+m+1=0的一个解，则m= .14．一个暗箱里放有a 个除颜色外完全相同的球，这a 个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a 的值大约是 .15．如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=﹣（x＜0）的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为 .16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC= .三、解答题（本大题有7题,共52分）17．（5分）解方程：x2+6x﹣7=018．（6分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“南”、“山”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率；19．（6分）如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；（2）如果小亮的身高AB=1.6m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．20．（8分）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．（1）求证：四边形CODE是矩形．（2）若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长．21．（8分）A市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.（1）求平均每次下调的百分率.（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，请通过计算说明哪种方案更优惠？22．（9分）如图，Rt△ABO 的顶点A 是双曲线y 1=与直线y 2=﹣x ﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x 轴于B ，且S △ABO =． （1）求这两个函数的解析式； （2）求△AOC 的面积．（3）直接写出使y 1＞y 2成立的x 的取值范围23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝6，若OA 、OB的长是关于x 的一元二次方程01272=+-x x 的两个根，且OA ＞OB. （1）求OA 、OB 的长.（2）若点E 为x 轴上的点，且S △AOE ＝316，求经过D 、E 两点的直线解析式，并判断△AOE 与△AOD 是否相似.（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.九年级数学答案一、选择题（本题有12小题，每题3分，共36分）二、填空题（本题有4小题，每题3分，共12分．）三、解答题（本大题有7题,其中17题5分，18题6分，19题6分，20题8分，21题8，22题9分，23题10分，共52分）17．（5分）解方程：x2+6x﹣7=0．解：∵x2+6x﹣7=0，∴（x+7）（x﹣1）=0，…………………3分∴x1=﹣7或x2=1．…………………5分18．(6分)（1）∵有汉字“美”、“丽”、“南”、“山”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，∴球上汉字是“美”的概率为P=；…………………2分（2）列表如下：美丽南山美﹣﹣﹣（丽，美）（南，美）（山，美）丽（美，丽）﹣﹣﹣（南，丽）（山，丽）南（美，南）（丽，南）﹣﹣﹣（山，南）山（美，山）（丽，山）（南，山）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的情况有4种，则P==；…………………6分19．(6分)解：（1）如图：线段MG和GE就表示旗杆在阳光下形成的影子．…………………2分（2）过M作MN⊥DE于N，设旗杆的影子落在墙上的长度为x，由题意得：△DMN∽△ACB，∴…………………4分又∵AB=1.6，BC=2.4，DN=DE﹣NE=15﹣xMN=EG=16∴解得：x=，答：旗杆的影子落在墙上的长度为米．…………………6分20．(8分)解：（1）如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠COD=90°；而CE∥BD，DE∥AC，∴∠OCE=∠ODE=90°，∴四边形CODE是矩形．…………………4分（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AO=OC=AC=3，…………………5分OD=OB，∠AOB=90°，由勾股定理得：BO2=AB2﹣AO2，而AB=5，∴DO=BO=4，…………7分∴四边形CODE的周长=2（3+4）=14．…………8分21．(8分)解：（1）设平均每次下调的百分率为，则，………………2分解得：（舍去）.∴平均每次下调的百分率为10%. …………………4分（2）方案①可优惠：（元），…………………6分方案②可优惠：（元），…………………7分∴方案①更优惠. …………………8分21．(9分)解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，则S△ABO=•|BO|•|BA|=•（﹣x）•y=，∴xy=﹣3，…………………1分又∵y=，即xy=k，∴k=﹣3．∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；…………………3分（2）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），…………………4分∵A、C在反比例函数的图象上，∴，解得，，∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），…………………6分∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=OD•（|x1|+|x2|）=×2×（3+1）=4．…………………7分（3）-1＜x＜0或x＞3 （只写对一个不等式给1分）…………………9分23．（10分）（1）解一元二次方程得，∵OA＞OB∴OA＝4，OB＝3；…………………1分（2）设E（x，0），由题意得解得∴E（，0）或（，0），…………………3分∵四边形ABCD是平行四边形，∴点D的坐标是（6，4）设经过D、E两点的直线的解析式为若图象过点（，0），（6，4）则，解得此时函数解析式为…………………4分若图象过点（，0），（6，4）则，解得此时函数解析式为………………… 5分在△AOE与△DAO中，，又∵∠AOE=∠OAD=90°∴△AOE ∽△DAO ； …………………6分（3）符合条件的F 点共有4个，其坐标分别为m （－3，0）或（3，8）或（），）或（（25442542722,1475--- …………………10分。

2018-2019北京初三数学上学期期末汇编：圆综一．解答题（共20小题）1．（2018秋•怀柔区期末）如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，点A，C，D分别为O的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E，CD交AB于点F．（1）求证：//CD BM；（2）连接OE，若DE m=，求OBE∆的周长．2．已知：如图，AB为O的直径，//OD AC．求证：点D平分BC．3．如图，AB为O的直径，C、D为O上不同于A、B的两点，2ABD BAC∠=∠，连接CD，过点C作CE DB⊥，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．（1）求证：CF是O的切线；（2）当185BD=，3sin5F=时，求OF的长．4．（2018秋•北京期末）如图，AB是O的直径，C为O上一点，过点C作O的切线交AB的延长线于点P，过点A作AD PC⊥于点D，AD与O交于点E．（1）求证：AC平分DAB∠．（2）若10AB=，2sin5CAB∠=，请写出求DE长的思路．5．（2018秋•石景山区期末）如图，AB是O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作O的切线CD，D为切点，点F是AD的中点，连接OF并延长交CD于点E，连接BD，BF．（1）求证：//BD OE；（2）若OE=，3tan4C=，求O的半径．6．如图，已知Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，E为AB上一点，以AE为直径作O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE AF=；（2）若5AE=，4AC=，求BE的长．7．（2018秋•海淀区期末）如图，AB是O的弦，半径OE AB⊥，P为AB的延长线上一点，PC与O相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC PF=；（2）连接OB，BC，若//OB PC，BC=，3tan4P=，求FB的长．8．如图，在Rt ABE∆中，90B∠=︒，以AB为直径的O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于点D，连接CD．（1）判断CD与O的位置关系，并证明；（2）若12AC AE=，求O的半径．9．如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，弦//CD BM，交AB于点F，且DA DC=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：ACD∆是等边三角形；（2）连接OE，若2DE=，求OE的长．10．（2018秋•昌平区期末）如图，在O中，AB是直径，CD是弦，AB CD⊥于点E，//BF OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．（1）求证：OCF BCD∠=∠；（2）若4CD=，1tan2OCF∠=，求O半径的长．11．如图，ABC∆内接于O，过点C作BC的垂线交O于D，点E在BC的延长线上，且DEC BAC∠=∠．（1）求证：DE是O的切线；（2）若//AC DE，当8AB=，2CE=时，求O直径的长．12．（2018秋•密云区期末）如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ．过D作DF AC ⊥，垂足为F ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若3CD =，185CE =，求O 的半径．13．（2018秋•房山区期末）如图，AB ，AC 是O 的两条切线，B ，C 为切点，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接BE ，连接AO ．（1）求证：//AO BE ；（2）若2DE =，tan BEO ∠=，求DO 的长．14．如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，连接AC ．过点B 作O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE AB =，连接BE ，交O 于点F ．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：2BAE EBD ∠=∠；（2）如果5AB =，sin 5EBD ∠=．求BD 的长．15．（2018秋•平谷区期末）如图，点O是Rt ABC∆的AB边上一点，90ACB∠=︒，O与AC相切于点D，与边AB，BC分别相交于点E，F．（1）求证：DE DF=；（2）当3BC=，3sin5A=时，求AE的长．16．（2018秋•西城区期末）如图，四边形ABCD内接于O，4OC=，AC=（1）求点O到AC的距离；（2）求ADC∠的度数．17．（2018秋•西城区期末）如图，AB是O的直径，ABC∆内接于O．点D在O上，BD平分ABC∠交AC 于点E，DF BC⊥交BC的延长线于点F．（1）求证：FD是O的切线；（2）若8BD=，3sin5DBF∠=，求DE的长．18．（2018秋•顺义区期末）已知，AB是O的直径，弦CD AB⊥，E是AC上的一点，AE，DC的延长线相交于点F，求证：AED CEF∠=∠．19．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE 交直线AB于点F．（1）求证：CF是O的切线；（2）若3ED=，5EF=，求O的半径．20．（2018秋•大兴区期末）如图，点C是O直径AB上一点，过C作CD AB⊥交O于点D，连接DA，延长BA至点P，连接DP，使PDA ADC∠=∠．（1）求证：PD是O的切线；（2）若3AC=，4tan3PDC∠=，求BC的长．2018-2019北京初三数学上学期期末汇编：圆综参考答案一．解答题（共20小题）1．【分析】（1）由点A 、C 、D 为O 的三等分点得到AD DC AC ==．则ACD ∆为等边三角形，再利用点O 为ACD ∆的外心得到AB CD ⊥．然后根据切线的性质得BE AB ⊥．所以//CD BM ；（2）连接DB ，如图，利用ACD ∆为等边三角形和圆周角定理得到60ABD C ∠=∠=︒，则30DBE ∠=︒，根据含30度的直角三角形三边的关系得到2BE m =，DB =．AB =，则OB =，然后利用勾股定理计算出OE ，从而得到OBE ∆周长．【解答】（1）证明：点A 、C 、D 为O 的三等分点，∴AD DC AC ==，AD DC AC ∴==．ACD ∴∆为等边三角形，而点O 为ACD ∆的外心，AB CD ∴⊥． BM 为O 的切线，BE AB ∴⊥．//CD BM ∴；（2）解：连接DB ，如图，ACD ∆为等边三角形，60C ∴∠=︒，60ABD C ∴∠=∠=︒，30DBE ∴∠=︒，在Rt DBE ∆中，22BE DE m ==，DB ==．在Rt ADB ∆中，2AB BD ==，则OB =，在Rt OBE ∆中，OE ==，OBE ∴∆周长为2(2m m +=+．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．2．【分析】连接BC ，根据圆周角定理求出90ACB ∠=︒，求出OD BC ⊥，根据垂径定理求出即可．【解答】证明：连接CB ，AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒，//OD AC ，90OEB ACB ∴∠=∠=︒， 即OD BC ⊥， OD 过O ，∴点D 平分BC ．【点评】本题考查了圆周角定理和垂径定理，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．3．【分析】（1）连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出321∠=∠，由已知421∠=∠，得到43∠=∠，则//OC DB ，再由CE DB ⊥，得到OC CF ⊥，根据切线的判定即可证明CF 为O 的切线；（2）连接AD ．由圆周角定理得出90D ∠=︒，证出BAD F ∠=∠，得出3sin sin 5BD BAD F AB ∠=∠==，求出563AB BD ==，得出3OB OC ==，再由3sin 5OC F OF ==即可求出OF ． 【解答】解：（1）连接OC ．如图1所示：OA OC =，12∴∠=∠．又312∠=∠+∠，321∴∠=∠．又421∠=∠，43∴∠=∠，//OC DB ∴．CE DB ⊥，OC CF ∴⊥．又OC 为O 的半径，CF ∴为O 的切线；（2）连接AD ．如图2所示：AB 是直径，90D ∴∠=︒，//CF AD ∴，BAD F ∴∠=∠，3sin sin 5BD BAD F AB ∴∠===， 563AB BD ∴==， 3OB OC ∴==，OC CF ⊥，90OCF ∴∠=︒，3sin 5OC F OF ∴==， 解得：5OF =．【点评】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．4．【分析】（1）只要证明//OC AD ，再证明EAC CAO ∠=∠即可解决问题；（2）可证：Rt CDE Rt ACB ∆∆∽，推出DE CE BC AB=，想办法求出BC ，CE 即可解决问题； 【解答】（1）证明：连接OC ，PD 切O 于点C ，OC PC ∴⊥，AD PC ⊥于点D ，//OC AD ∴，EAC ACO ∴∠=∠．又OA OC =，ACO OAC ∴∠=∠，EAC CAO ∴∠=∠，即AC 平分DAB ∠．（2）解：连接CE ，可证：Rt CDE Rt ACB ∆∆∽， ∴DE CE BC AB=， 在Rt ABC ∆中，由10AB =，2sin 5CAB ∠=， 4BC ∴=，由EAC CAB ∠=∠，得EC BC =，4EC BC ∴==． 故BC CE DE AB=可求． 【点评】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．5．【分析】（1）通过证明23∠=∠得到//BD OE ；（2）连接OD ，如图，利用切线性质得OD CD ⊥，利用正切定义得到3tan 4OD C CD ==，则可设3OD k =，4CD k =．所以5OC k =，2BC k =．再利用平行线分线段成比例定理得到6DE k =，然后在Rt ODE ∆中利用勾股定理得到222(3)(6)k k =+，从而求出k 得到O 的半径的长．【解答】（1）证明：OB OF =，13∴∠=∠，点F 是AD 的中点，12∴∠=∠．23∴∠=∠，//BD OE ∴；（2）解：连接OD ，如图，直线CD 是O 的切线，OD CD ∴⊥，在Rt OCD ∆中，3tan 4OD C CD ==， ∴设3OD k =，4CD k =．5OC k ∴=，3BO k =，2BC k ∴=．//BD OE ， ∴BC CD BO DE =．即243k k k DE=． 6DE k ∴=，在Rt ODE ∆中，222OE OD DE =+，222(3)(6)k k ∴=+，解得k =OB ∴=，即O 的半径的长．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形．6．【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质得到OD BC ⊥，根据平行线的判定定理得到//OD AC ，求得ODE F ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到OED ODE ∠=∠，等量代换得到OED F ∠=∠，于是得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：（1）连接OD ， BC 切O 于点D ，OD BC ∴⊥，90ODC ∴∠=︒，又90ACB ∠=︒，//OD AC ∴，ODE F ∴∠=∠，OE OD =，OED ODE ∴∠=∠，OED F ∴∠=∠，AE AF ∴=；（2）//OD ACBOD BAC ∴∆∆∽， ∴BO OD AB AC=，5AE =，4AC =， 即 2.5 2.554BE BE +=+， 53BE ∴=．【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质以及OE AB ⊥，可知90E EFA OCE FCP ∠+∠=∠+∠=︒，从而可知EFA FCP ∠=∠，由对顶角的性质可知CFP FCP ∠=∠，所以PC PF =；（2）过点B 作BG PC ⊥于点G ，由于//OB PC ，且OB OC =，BC =，从而可知3OB =，易证四边形OBGC 是正方形，所以3OB CG BG ===，所以34BG PG =，所以4PG =，由勾股定理可知：5PB =，所以752FB PF PB =−=−=．【解答】解：（1）连接OC ， PC 是O 的切线，90OCP ∴∠=︒，OE OC =，E OCE ∴∠=∠，OE AB ⊥，90E EFA OCE FCP ∴∠+∠=∠+∠=︒，EFA FCP ∴∠=∠，EFA CFP ∠=，CFP FCP ∴∠=∠，PC PF ∴=；（2）过点B 作BG PC ⊥于点G ，//OB PC ，90COB ∴∠=︒，OB OC =，BC =，3OB ∴=，BG PC ⊥，∴四边形OBGC 是正方形，3OB CG BG ∴===，3 tan4P=，∴34 BGPG=，4 PG∴=，∴由勾股定理可知：5PB=，7PF PC==，752FB PF PB∴=−=−=．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识．8．【分析】（1）连接OC，由于FD是CE的垂直平分线，所以E DCE∠=∠，又因为A OCA∠=∠，90A E∠+∠=︒，所以90OCA DCE∠+∠=︒，所以CD与O相切．（2）连接BC，易知90ACB∠=︒，所以ACB ABE∆∽，所以AC ABAB AE=，由于12AC AE=，所以OA AB==【解答】解：（1）连接OC，如图1所示．FD是CE的垂直平分线，DC DE∴=，E DCE∴∠=∠，OA OC=，A OCA∴∠=∠，Rt ABE∆中，90B∠=︒，90A E∴∠+∠=︒，90OCA DCE∴∠+∠=︒，OC CD∴⊥，CD∴与O相切．（2）连接BC，如图2所示．AB是O直径，90ACB∴∠=︒，ACB ABE∴∆∽，∴AC AB AB AE=，12AC AE =，212AB ∴=，AB ∴=，OA ∴=【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂直平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定等知识，需要学生灵活运用所学知识．9．【分析】（1）由AB 是O 的直径，BM 是O 的切线，得到AB BE ⊥，由于//CD BE ，得到CD AB ⊥，根据垂径定理得到AD AC =，于是得到AD AC CD ==，问题即可得证；（2）连接OE ，过O 作ON AD ⊥于N ，由（1）知，ACD ∆是等边三角形，得到60DAC ∠=︒又直角三角形的性质得到12BE AE =，12ON AO =，设O 的半径为：r 则12ON r =，AN DN ==，由于得到2EN =，12BE AE ==，在t R DEF ∆与t R BEO ∆中，由勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：AB 是O 的直径，BM 是O 的切线， AB BE ∴⊥，//CD BE ，CD AB ∴⊥，∴AD AC =，DA DC =，∴AD AC CD ==，AD AC CD ∴==，ACD ∴∆是等边三角形；（2）解：连接OE ，过O 作ON AD ⊥于N ，由（1）知，ACD ∆是等边三角形，60DAC ∴∠=︒AD AC =，CD AB ⊥，30DAB ∴∠=︒，12BE AE ∴=，12ON AO =， 设O 的半径为：r ，12ON r ∴=，AN DN ==，22EN r ∴=+，1222BE AE +==， 在t R NEO ∆与t R BEO ∆中，22222OE ON NE OB BE =+=+，即2222()(22r r +=+，r ∴=，222528OE ∴=+=，OE ∴=．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O 作ON AD ⊥于N ，构造直角三角形是解题的关键．10．【分析】（1）利用垂径定理得到BC BD =，再根据圆周角定理得到BCD BFC ∠=∠，接着根据平行线的性质得OCF BFC ∠=∠，从而得到OCF BCD ∠=∠；（2）用垂径定理得到122CE CD ==，再利用1tan tan 2BE OCF BCD CE ∠=∠==得到1BE =，设OC OB x ==，则1OE x =−，在Rt OCE ∆中利用勾股定理得到222(1)2x x =−+，然后解方程即可．【解答】（1）证明：AB 是直径，AB CD ⊥，∴BC BD =，BCD BFC ∴∠=∠， //BF OCOCF BFC ∴∠=∠，OCF BCD ∴∠=∠；（2）解：AB CD ⊥，122CE CD ∴==，OCF BCD ∠=∠1tan tan 2BE OCF BCD CE ∴∠=∠==， 2CE = 1BE ∴=，设OC OB x ==，则1OE x =−，在Rt OCE ∆中，222(1)2x x =−+，解得52x =， 即O 半径的长为52． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．11．【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD DE ⊥，即可得出结论；（2）先判断出AC BD ⊥，进而求出8BC AB ==，进而判断出BDC BED ∆∆∽，求出BD ，即可得出结论．【解答】证明：（1）连接BD ，交AC 于F ，DC BE ⊥，90BCD DCE ∴∠=∠=︒，BD ∴是O 的直径，90DEC CDE ∴∠+∠=︒，DEC BAC ∠=∠，90BAC CDE ∴∠+∠=︒，BC BC =，BAC BDC ∴∠=∠，90BDC CDE ∴∠+∠=︒，BD DE ∴⊥，DE ∴是O 切线；解：（2）//AC DE ，BD DE ⊥，BD AC ∴⊥． BD 是O 直径，AF CF ∴=，8AB BC ∴==，BD DE ⊥，DC BE ⊥，90BCD BDE ∴∠=∠=︒，DBC EBD ∠=∠，BDC BED ∴∆∆∽， ∴BD BC BE BD=， 281080BD BC BE ∴==⨯=，BD ∴=．即O 直径的长是．【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，第二问中求出8BC =是解本题的关键．12．【分析】（1）连接AD ．根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到5BD =．连接OD ；即可得到结论；（2）连接DE ，则BE AC ⊥，根据平行线的判定定理得到//DF BE ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AD ． AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，AD BC ∴⊥．又13AB AC ==，10BC =，D 是BC 的中点，5BD ∴=．连接OD ；由中位线定理，知//DO AC ，又DF AC ⊥，DF OD ∴⊥．DF ∴是O 的切线；（2）解：连接DE ，则BE AC ⊥，DF AC ⊥，BE AC ⊥，//DF BE ∴，BD CD =，EF CF ∴=， 185CE =， 95CF ∴=， 90ADC DFC ∠=∠=︒，DCF DCA ∠=∠，DCF ACD ∴∆∆∽，∴CD CF AC CD=，3CD =，95CF =， 5AC ∴=，AB AC =， 5AB ∴=，O ∴的半径52=．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．【分析】（1）欲证明：//AO EB ，只要证明OA BC ⊥，BE BC ⊥即可；（2）在Rt AOC ∆中，设OC r =，则AC ，OA =，在Rt CEB ∆中，3EB =，由//BE OA ，推出DBE DAO ∆∆∽，推出DE EB DO OA=，由此构建方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：连结BC ， AB ，AC 是O 的两条切线，B ，C 为切点，AB AC ∴=，OA 平分BAC ∠，OA BC ∴⊥， CE 是O 的直径，90CBE ∴∠=︒，BE BC ∴⊥，//OA BE ∴．（2）//OA BE ，BEO AOC ∴∠=∠，tan BEO ∠tan AOC ∴∠=，在Rt AOC ∆中，设OC r =，则AC =，OA ，∴在Rt CEB ∆中，EB =， //BE OA ，DBE DAO ∴∆∆∽， ∴DE EB DO OA=，∴2DO =， 3DO ∴=．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确寻找相似三角形解决问题．14．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明2BAE BAF ∠=∠，再证明EBD BAF ∠=∠即可解决问题；（2）作EH BD ⊥于H．由sin sin BAF EBD ∠=∠=，5AB =，推出BF =2BE BF ==Rt ABF ∆中，sin 2EH BE EBH =∠=，推出4BH =，由//EH AB ，推出EH DH AB DB =，由此即可求出DH 解决问题；【解答】（1）证明：连接AF ．AB 是直径，90AFB ∴∠=︒，AF BE ∴⊥，AB AE =，2BAE BAF ∴∠=∠， BD 是O 的切线，90ABD ∴∠=︒，90BAF ABE ∠+∠=︒，90ABF EBD ∠+∠=︒，EBD BAF ∴∠=∠，2BAE EBD ∴∠=∠．（2）解：作EH BD ⊥于H ．BAF EBD ∠=∠，sin sin BAF EBD ∴∠=∠=，5AB =，BF ∴，2BE BF ∴==在Rt ABF ∆中，sin 2EH BE EBH =∠=，4BH ∴==，//EH AB ， ∴EH DH AB DB =， ∴254DH DH =+， 83DH ∴=， 203BD BH HD ∴=+=． 【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．15．【分析】（1）连接OD ，OF ，先利用切线的性质证//OD BC 得AOD ABC ∠=∠，DOF OFB ∠=∠，再结合ABC OFB ∠=∠知AOD DOF ∠=∠，据此依据圆心角定理可得答案；（2）先由3BC =，3sin 5BC A AB ==得5AB =，设O 的半径为r ，知5AO r =−，52AE r =−，利用3sin 5OD A AO ==求得r 的值，继而可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，连接OD ，OF ，O 与AC 相切于点D ，90ADO ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，//OD BC ∴，AOD ABC ∴∠=∠，DOF OFB ∠=∠，OB OF =，ABC OFB ∴∠=∠，AOD DOF ∴∠=∠，DE DF ∴=；（2）在Rt ABC∆中，3BC=，3 sin5BCAAB==，5AB∴=，设O的半径为r，则OB OD OE r===，则5AO AB OB r=−=−，52AE r=−，在Rt AOD∆中，3 sin5ODAAO==，∴355rr=−，解得158r=，则5524 AE r=−=．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识点．16．【分析】（1）作OM AC⊥于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM CM==结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到45MOC MCO∠=∠=︒，求得90AOC∠=︒，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）作OM AC⊥于M，4AC=AM CM∴==，4OC=，OM∴==（2）连接OA，OM MC=，90OMC∠=︒，45MOC MCO∴∠=∠=︒，OA OC=，45OAM∴∠=︒，90AOC∴∠=︒，45B∴∠=︒，180D B∠+∠=︒，135D∴∠=︒．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17．【分析】（1）连接OD ，根据角平分线的定义得到ABD DBF ∠=∠，由等腰三角形的性质得到ABD ODB ∠=∠，等量代换得到DBF ODB ∠=∠，推出90ODF ∠=︒，根据切线的判定定理得到结论；（2）连接AD ，根据圆周角定理得到90ADE ∠=︒，根据角平分线的定义得到DBF ABD ∠=∠，解直角三角形得到6AD =，求得92DE =． 【解答】解：（1）连接OD ， BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，ABD DBF ∴∠=∠，OB OD =，ABD ODB ∴∠=∠，DBF ODB ∴∠=∠，90DBF BDF ∠+∠=︒，90ODB BDF ∴∠+∠=︒，90ODF ∴∠=︒，FD ∴是O 的切线；（2）连接AD ， AB 是O 的直径，90ADE ∴∠=︒， BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，DBF ABD ∴∠=∠，在Rt ABD ∆中，8BD =，3sin sin 5ABD DBF ∠=∠=， 6AD ∴=，DAC DBC ∠=∠， 3sin sin 5DAE DBC ∴∠=∠=， 在Rt ADE ∆中，3sin 5DAC ∠=， 92DE ∴=．【点评】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．⊥得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理得18．【分析】连结AD，如图，根据垂径定理由CD AB∠=∠，然后根据圆内接四边形的性质得CEF ADC∠=∠，于是利用等量代换即可得到结论．ADC AED【解答】证明：连结AD，如图，⊥，CD AB∴弧AC=弧AD，∴∠=∠，ADC AED∠=∠，CEF ADC∴∠=∠．AED CEF【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质．19．【分析】（1）连CB、OC，根据切线的性质得90∠=︒，ACBABD∠=︒，根据圆周角定理由AB是直径得到90即90=，于是得到BCD∠=︒，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE BEOBC CBE OCB BCE∠+∠=∠+∠=︒，然后根据切线的判定定理得CF是O的切线；90（2）3CF CE EF=+=，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．===，于是得到4CE BE DE【解答】（1）证明：连CB、OC，如图，BD为O的切线，DB AB∴⊥，∴∠=︒，ABD90AB是直径，∴∠=︒，ACB90BCD∴∠=︒，90E为BD的中点，∴=，CE BE∴∠=∠，BCE CBE而OCB OBC∠=∠，∴∠+∠=∠+∠=︒，OBC CBE OCB BCE90∴⊥，OC CFCF∴是O的切线；（2）解：3CE BE DE===，5EF=，8CF CE EF∴=+=，90ABD∠=︒，90EBF∴∠=︒，90OCF∠=︒，EBF OCF∴∠=∠，F F∠=∠，EBF OCF∴∆∆∽，∴BE OC BF CF=，∴348OC =，6 OC∴=，即O的半径为6．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、圆周角定理．20．【分析】（1）求出90ODA PDA ADC DAO∠+∠=∠+∠=︒，根据切线的判定得出即可；（2）求出PDC DOC∠=∠，解直角三角形求出43DCOC=，设4DC x=，3OC x=，求出335x x+=，求出x，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OD，OD OA=，ODA OAD∴∠=∠，CD AB⊥于点C，90OAD ADC∴∠+∠=︒，90ODA ADC ∴∠+∠=︒，PDA ADC ∠=∠，90PDA ODA ∴∠+∠=︒，即90PDO ∠=︒，PD OD ∴⊥， D 在O 上，PD ∴是O 的切线；（2）解：90PDO ∠=︒，90PDC CDO ∴∠+∠=︒，CD AB ⊥于点C ，90DOC CDO ∴∠+∠=︒，PDC DOC ∴∠=∠，4tan3PDC ∠=， ∴4tan 3DC DOC OC∠==， 设4DC x =，3CO x =，则5OD x =，3AC =，33OA x ∴=+，335x x ∴+=，32x ∴=， 932OC x ∴==，1552OD OB x ===， 12BC ∴=．【点评】本题考查了勾股定理、与圆有关的计算、切线的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．。

2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）（2016•曲阜市校级自主招生）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2018秋•东城区期末）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．3．（2分）（2018秋•东城区期末）反比例函数y的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限4．（2分）（2019•河北区模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB 的度数为（）A．18°B．30°C．36°D．72°5．（2分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）6．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：17．（2分）（2018秋•东城区期末）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．8．（2分）（2018秋•东城区期末）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•东城区期末）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车．大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列．大桥全长近55km．汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为10．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为米．11．（2分）（2018秋•东城区期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是．12．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD ＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．13．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为cm．14．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是．15．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是．16．（2分）（2019•武侯区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C 逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC ＝60°，则线段MN的最大值为．三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.0或117．（5分）（2018秋•东城区期末）计算：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°18．（5分）（2018秋•东城区期末）下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：AE⊥BC，垂足为点E．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；④连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AP＝BP，AQ＝，∴PQ为线段AB的垂直平分线．∴O为AB中点．∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BC．19．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝5．求AC的长．20．（5分）（2018秋•东城区期末）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）21．（5分）（2018秋•东城区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：（1）写出此二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的表达式．22．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且S△ACP S△BOC，直接写出点P的坐标．23．（6分）（2018秋•东城区期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．24．（6分）（2018秋•东城区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．25．（6分）（2018秋•东城区期末）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值：则m的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质；（5）若函数y的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为；26．（6分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4mx ﹣2m2+2m，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）．（1）若抛物线经过原点，求出m的值；（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．27．（7分）（2018秋•东城区期末）如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF＝BM；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．28．（7分）（2018秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的⊙O，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙O上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙O的“圆距离”，记作d（M﹣O）（1）记线段AB为图形M，其中A（﹣1，2），B（1，2），求d（M﹣O）；（2）记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≥1，直接写出k的取值范围；（3）记△CDE为图形M，其中C（t﹣2，﹣2），D（t+2，﹣2），E（t，4），且d （M﹣O）＝1，直接写出t的值．2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）（2016•曲阜市校级自主招生）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．2．（2分）（2018秋•东城区期末）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可得，直角三角形的斜边长5，∴sinα ，故选：A．3．（2分）（2018秋•东城区期末）反比例函数y的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【解答】解：∵反比例函数y中k＝6＞0，∴此函数的图象位于一、三象限．故选：B．4．（2分）（2019•河北区模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB 的度数为（）A．18°B．30°C．36°D．72°【解答】解：∵∠AOB＝72°，∴∠ACB＝36°．故选：C．5．（2分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）【解答】解：如图所示：∵相似比为2，∴A'（﹣2，﹣4），故选：A．6．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∵DE：EC＝3：1，∴DE+DC＝DE：AB＝3：4，∴（）2．故选：B．7．（2分）（2018秋•东城区期末）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．【解答】解：抛物线y1的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为y x2﹣1．故选：D．8．（2分）（2018秋•东城区期末）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【解答】解：①当n＝400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计大豆发芽的概率是0.95，此推断正确；③若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为4000×0.950＝3800粒，此结论正确．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•东城区期末）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车．大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列．大桥全长近55km．汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为【解答】解：∵大桥全长近55km，∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为，故答案为：．10．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 6.4米．【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，，∴，∴BC＝6.4米．故答案为6.4．11．（2分）（2018秋•东城区期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是y＝﹣x2+3（答案不唯一）．【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴c＝3．取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．12．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD ＝8，OE＝3，则⊙O的半径为5．【解答】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，∴DE＝CE CD8＝4，∠OED＝90°，由勾股定理得：OD5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．13．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为πcm．【解答】解：∵AB＝18cm，BD＝9cm，∴AD＝9cm，∴的长．故答案为．14．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是45°．【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，故答案为：45°．15．（2分）（2018秋•东城区期末）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是．【解答】解：如图，连接OD，OE，DE．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OD＝OB＝OE＝2，∴△AOD，∠EOB都是等边三角形，∴∠AOD＝∠EOB＝60°，∴∠DOE＝60°，△DOE是等边三角形，∴∠DOE＝∠EOB，∴弓形DE与弓形BE的面积相等，∵CD＝DE＝CE＝2，∴△CDE是等边三角形，∴S阴＝S△CDE22，故答案为．16．（2分）（2019•武侯区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C 逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC ＝60°，则线段MN的最大值为6．【解答】解：连接CN．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝8，∵NB′＝NA′，∴CN A′B′＝4，∵CM＝BM＝2，∴MN≤CN+CM＝6，∴MN的最大值为6，故答案为6．三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.0或117．（5分）（2018秋•东城区期末）计算：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°【解答】解：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°＝42＝2﹣1﹣1．18．（5分）（2018秋•东城区期末）下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：AE⊥BC，垂足为点E．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；④连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AP＝BP，AQ＝BQ，∴PQ为线段AB的垂直平分线．∴O为AB中点．∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BC．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）理由：连接AQ，BQ，AP，BP．∵AP＝BP，AQ＝BQ，∴PQ为线段AB的垂直平分线，∴O为AB中点，∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BC．故答案为：BQ，90，（直径所对的圆周角是直角）．19．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝5．求AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD（2）解：△ABC∽△ACD∴，∵AD＝2，AB＝5，∴，∴AC．20．（5分）（2018秋•东城区期末）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）【解答】解：画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P（两张都是“红脸”），答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．21．（5分）（2018秋•东城区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：（1）写出此二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的表达式．【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，y＝3；当x＝0时，y＝3，∴二次函数图象的对称轴为直线x，即x＝﹣1．（2）将（﹣1，2），（0，3），（1，6）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴此二次函数的表达式为y＝x2+2x+3．22．（5分）（2018秋•东城区期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且S△ACP S△BOC，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝3，∴A（﹣1，3）把A（﹣1，3）代入反比例函数y∴k＝﹣3；∴反比例函数的表达式为y联立两个函数的表达式得解得或∴点B的坐标为B（﹣3，1）；（2）当y＝x+4＝0时，得x＝﹣4∴点C（﹣4，0）设点P的坐标为（x，0）∵S△ACP S△BOC，∴3×|x+4|4×1解得x1＝﹣6，x2＝﹣2∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）．23．（6分）（2018秋•东城区期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，则函数表达式为：y x2+x；（2）a＜0，故函数有最大值，∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，答：水流喷出的最大高度为2米．24．（6分）（2018秋•东城区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．【解答】证明：（1）连接OD，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠F，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵OD∥AC∴△BOD∽△BAC，∴，∵AE＝5，AC＝4，即，∴BE．25．（6分）（2018秋•东城区期末）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y的自变量x的取值范围是x≠3；（2）下表是y与x的几组对应值：则m的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质当x＞3时y随x的增大而减小（答案不唯一）；（5）若函数y的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2；【解答】解：（1）∵x﹣3≠0，∴x≠3；（2）当x＝﹣1时，y；（3）如图所示：（4）由图象可得，当x＞3时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（5）由图象可得，当x1＜3时，y1＜1；当0＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．∴y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2．故答案为：x≠3；；当x＞3时，y随x的增大而减小；y1＜y3＜y2．26．（6分）（2018秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4mx ﹣2m2+2m，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）．（1）若抛物线经过原点，求出m的值；（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m经过原点，∴﹣2m2+2m＝0，解得m1＝0，m2＝1；（2）∵y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m＝﹣2（x2﹣2mx+m2）+2m＝﹣2（x﹣m）2+2m，∴顶点C的坐标为（m，2m）；（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝2x上移动．当抛物线过点A时，m＝2或1；当抛物线过点B时，m＝2或5．所以m＝2时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m的取值范围为1≤m≤5且m≠2．27．（7分）（2018秋•东城区期末）如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF＝BM；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．【解答】解：（1）如右图所示；（2）∵点P为线段DE的中点，∴DP＝EP在△MPE和△FPD中，∴△MPE≌△FPD（SAS），∴DF＝EM，∵E为MN的中点，∴MN＝2ME，∵MN＝2MB，∴MB＝ME＝DF，∴DF＝BM；（3）结论：，证明：连接AF，由（2）可知：△MPE≌△FPD，∴∠DFP＝∠EMP，∴DF∥ME，∴∠FDN＝∠MND，在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°，又∵∠BMN＝90°，∴∠MBA+∠MNA＝180°，又∵∠MNA+∠MND＝180°，∴∠MBA＝∠MND，∴∠FDN＝∠MBA，在△F AD和△MAB中，，∴△F AD≌△MAB（SAS），∴∠F AD＝∠MAB，F A＝MA，∴∠F AM＝∠DAB＝90°，∴△F AM为等腰直角三角形，∴又∵FM＝2PM，∴．28．（7分）（2018秋•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的⊙O，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙O上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙O的“圆距离”，记作d（M﹣O）（1）记线段AB为图形M，其中A（﹣1，2），B（1，2），求d（M﹣O）；（2）记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≥1，直接写出k的取值范围；（3）记△CDE为图形M，其中C（t﹣2，﹣2），D（t+2，﹣2），E（t，4），且d （M﹣O）＝1，直接写出t的值．【解答】解：（1）如下图所示由题意得：点A、点B关于y轴对称，则：PQ＝1，即：d（M﹣O）＝1；（2）如下图所示，当d（M﹣O）＝1时，过点O作OP⊥MN，交圆于点Q，由题意得：OM＝4，即：PQ＝1，则OP＝2，sin∠OMP，即：∠NMO＝30°，则ON＝OM•tan30°，点N的坐标为（，0），把点N的坐标代入直线表达式得：0k+4，解得：k，而k＞0，故：＜；（3）①当t＜0时，如下图所示，过点O作OP⊥ED交于点D，过点E作x轴的垂线交于点G、交CD于点N，则DN＝2，EN＝6，tan∠NED，即：∠DEN＝30°，∴∠EDN＝∠EHG＝60°＝∠OHP，由题意得：OP＝2，OH，则：HG t，GE＝4，tan∠EHG，解得：t，②当t＞0时，同理可得：t，③当t＝0时，d（M﹣O）＝1，即当d（M﹣O）＝1时，t的值为0或或．第31页（共31页）。

九年级（上）期末数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．方程x 2=2x 的解是（ ） A ． x=2 B ． x 1=2，x2=0 C ． x 1=﹣，x 2=0 D ． x=02．下列四个选项中，是如图所示的几何体的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若函数的图象经过点（﹣2，3），则该函数的图象必经过点（ ） A ． （﹣3，2）B ． （﹣2，﹣3）C ． （2，3）D ． （﹣3，﹣2）5．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ；（3）=；（4）AB 2=BD •BC ．其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的有（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46．2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机．受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，求平均每次降价的百分率是多少？设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程为（ ）A．200（1+x）2=148 B．200（1﹣x）2=148C．200（1﹣2x）=148 D．148（1+x）2=2007．如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为（）A．4 B．C．D．28．如图，反比例函数和正比例函数y2=k2x的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1 9．已知∠A+∠B=90°，且cosA=，则cosB的值为（）A．B．C．D．10．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1+x2，0）、B（0，x1•x2），则直线l的解析式为（）A．y=2x﹣3 B．y=2x+3 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x+311．已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①a＜0；②b＞0；③对称轴是直线x=1；④当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（）A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定二、填空题（每小题3分，共12分．）13．某小区共有学生200人，随机抽查50名学生，其中有30人看中央电视台的晚间新闻．在该小区随便问一位学生，他看中央电视台晚间新闻的概率大约是_________ ．14．将抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线的函数表达式为_________ ．15．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是_________ ．16．如图，已知双曲线（k≠0）与直线y=x交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，若S△ABC=4，则k= _________ ．三、解答题（本题共7小题，共52分）17．（5分）计算：．18．（5分）解方程：x2﹣5x﹣6=0．19．（8分）列方程解应用题：如图，在长为1m，宽为0.8m的长方形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果整幅挂图的面积为1.2m2，那么金色纸边的宽度应是多少m？20．（8分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．（1）求口袋中白球的个数；（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．21．（8分）如图所示，折线A﹣B﹣C是一段登山石阶，其中AB=BC，AB部分的坡角为60°，BC部分的坡角为45°，AD=30m．（1）求石阶路（折线A→B→C）的长．（2）如果每级石阶的高不超过20cm，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足20cm时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）（4分）22．（8分）阅读理解题：已知：如图1，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：CD=PE+PF．在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：小明的思路方法是：过点P作PG⊥CD于G（如图2），则可证得四边形PEDG是矩形，也可证得△PCG≌△CPF，从而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF．小颖的思路方法是：连接PA（如图3），则S△ABC=S△PAB+S△PAC，再由三角形的面积公式便可证得CD=PE+PF．由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．阅读上面的材料，然后解答下面的问题：（1）针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整；（2）如图4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°AB=AD=CD=2，E是BC上任意一点，EM⊥BD 于M，EN⊥AC于N，试利用上述结论求EM+EN的值．23．（10分）如图1，抛物线y=ax2﹣10ax+8与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B，且C点的坐标为（2，0）（1）求抛物线的函数表达式和A、B两点的坐标；（2）如图，设点D是线段OA上的一个动点，过点D作DE⊥x轴交AB于点E，过点E作EF ⊥y轴，垂足为F．记OD=x，矩形ODEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D的坐标；（3）设抛物线的对称轴与AB交于点P（如图2），点Q是抛物线上的一个动点，点R是x 轴上的一个动点．请求出当以P、Q、R、A为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标．期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）方程x 2=2x 的解是（ ） A ． x=2 B ． x 1=2，x 2=0 C ． x 1=﹣，x 2=0 D ． x=0考点： 解一元二次方程-因式分解法．分析： 把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根． 解答： 解：x 2=2x ， x 2﹣2x=0，x （x ﹣2）=0，∴x=0，x ﹣2=0，∴x 1=0，x 2=2， 故选：B ． 点评： 本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程左边进行因式分解，后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．2．（3分）下列四个选项中，是如图所示的几何体的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 简单组合体的三视图．专题： 应用题．分析： 根据俯视图的定义，找到从上面看所得到的图形即可．解答： 解：从上面看得到的图形为一个大圆，下面还有一个小的圆柱，看不见，用虚线．故选C ．点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，比较简单．3．（3分）小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可．解答：解：共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为．故选：A．点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到每个路口都是绿灯的情况数解决本题的关键．4．（3分）若函数的图象经过点（﹣2，3），则该函数的图象必经过点（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣3，﹣2）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：将点（﹣2，3）代入反比例函数的解析式，求得反比例函数的k的值，从四个答案中找到横纵坐标成绩于k的点即为本题的答案．解答：解：∵函数的图象经过点（﹣2，3），∴k=﹣2×3=﹣6，∵﹣3×2=﹣6，故反比例函数还经过点（﹣3，2）故选A．点评：本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是正确的求出反比例函数的比例系数的值．5．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC；（3）=；（4）AB2=BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：相似三角形的判定与性质．分析：对题干中给出的条件逐一验证，证明∠BAC=90°即可解题．解答：解：（1）∠B+∠DAC=90°，该条件无法判定△ABC是直角三角形；（2）∵∠B=∠DAC，∠BAD+∠B=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；（3）=，该条件无法判定△ABC是直角三角形；（4）∵AB2=BD•BC，∴=，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；故选 B．点评：本题考查了直角三角形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应角相等的性质，本题求证△ABD∽△CBA是解题的关键．6．（3分）2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机．受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，求平均每次降价的百分率是多少？设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）A．200（1+x）2=148 B．200（1﹣x）2=148C．200（1﹣2x）=148 D．148（1+x）2=200考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：设平均每次降价的百分率为x，根据某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，可列出方程解答：解：设平均每次降价的百分率为x，200（1﹣x）2=148．故选B．点评：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，降价两次，关键知道降价前和降价后的价格，列出方程求解7．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为（）A．4 B．C．D．2考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：设正方形CEFH边长为a，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果．解答：解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得：S△BDF=4+a2﹣×4﹣a（a﹣2）﹣a（a+2）=2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a=2．故选：D．点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（3分）如图，反比例函数和正比例函数y2=k2x的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题．分析：易得两个交点坐标关于原点对称，可求得正比例函数和反比例函数的另一交点，进而判断在交点的哪侧同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值即可．解答：解：根据反比例函数与正比例函数交点规律：两个交点坐标关于原点对称，可得另一交点坐标为（1，﹣由图象可得在点A的右侧，y轴的左侧以及另一交点的右侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函的值；∴﹣1＜x＜0或x＞1，故选D．点评：用到的知识点为：正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称；求自变量的取值范围应该从交点入手考．9．（3分）已知∠A+∠B=90°，且cosA=，则cosB的值为（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．解答：解：∵∠A+∠B=90°，∴cosB=cos（90°﹣∠A）=sinA，又∵sin2A+cos2A=1，∴cosB==．故选D．点评：本题考查了利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB sinB=cosA；同角的三角函数关系式：sin2A+cos2A=1．10．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1+x2，0）、B（0，x1•x2），则直线l的解析式为（）A．y=2x﹣3 B．y=2x+3 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x+3考点：待定系数法求一次函数解析式；根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，求出A，B的坐标，代入直线的解析式，求出k，b的值，从而确直线的解析式．解答：解：由题意知，x1+x2=，x1•x2=﹣3，∴A（，0），B（0，﹣3），设直线l的解析式为：y=kx+b，把点A，点B的坐标代入，解得，k=2，b=﹣3，∴直线l的解析式为：y=2x﹣3．故选A．点评：本题主要考查了两个内容：1、一元二次方程的根与系数的关系，若方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、是常数），有两个实数根x1和x2，则x1+x2=，x1•x2=；②利用待定系数法求函数的解析式．11．（3分）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①a＜0；②b＞0；③对称轴是直线x=1；④当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：①由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下可以判断a的正负；②由对称轴x=﹣＜0和a＜0可以得到的正负；③x=﹣=﹣可以推知对称轴方程；④由图象可以直接回答．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；②∵对称轴x=﹣＞0和a＜0，∴b＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0）、（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故本选项正确；④根据图象可知，当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．故本选项正确．综上所述，其中正确的个数是4．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等确定．12．（3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（）A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：连接OA、OD，由已知可以推出OB：OA=OE：OD，推出△ODA∽△OEB，根据锐角三角函数即可推出AD：BE 值．解答：解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，∴OD：OE=OA：OB=：1，∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA 即∠DOA=∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．故选A．点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似的三角找到对应边的比即可．二、填空题（每小题3分，共12分．）13．（3分）某小区共有学生200人，随机抽查50名学生，其中有30人看中央电视台的晚间新闻．在该小区随便问一位学生，他看中央电视台晚间新闻的概率大约是．考点：概率公式．分析：随机调查的有50人，其中30人看中央电视台的晚间新闻，计算可得在被调查的人中，看中央电视台晚新闻的概率，根据用样本估计总体的方法，在该小区随便问一位学生，他（她）看中央电视台晚间新闻概率与前者相同，即可得答案．解答：解：根据题意，随机调查的有50人，其中30人看中央电视台的晚间新闻，则在被调查的人中，看中央电视台晚间新闻的概率为=，根据用样本估计总体的方法，可得在该小区随便问一学生，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率也是．故选答案为．点评：本题考查概率的计算，其一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．（3分）将抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线的函数表达式为y=﹣2（x﹣1）2+3或y=﹣2x2+4x+1 ．考点：二次函数图象与几何变换．专题：函数思想．分析：由抛物线平移不改变y的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点可求移动后的函数表达式．解答：解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：（3）．可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得y=﹣2（x﹣1）2+3．故答案是：y=﹣2（x﹣1）2+3或y=﹣2x2+4x+1．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．15．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：综合题；压轴题．分析：根据题意易证△OBE∽△DBC和△EPF∽△EDC，利用相似三角形的相似比求解．解答：解：∵OB=OD=BD，OE⊥BC，CD⊥BC，∴△OBE∽△DBC，∴OE：CD=1：2，∵OE∥CD，∴△OEP∽△CDP，∴，∵PF∥DC，∴△EPF∽△EDC，∴，∵CE=BC，∴=．故答案为．点评：本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形对应边的比相等．16．（3分）如图，已知双曲线（k≠0）与直线y=x交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，若S△ABC=4，则k= 4 ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：过C作CD⊥X轴于D，设A的坐标是（a，b），根据双曲线的性质得到C的坐标是（﹣a，﹣b），根据三角的面积公式推出×a×b+×a×b=4，代入即可求出k．解答：解：过C作CD⊥X轴于D，设A的坐标是（a，b），则根据双曲线的两个分支关于原点对称，则C的坐标是（﹣a，﹣b），则ab=k，OB=a，AB=b，CD=b，∵S△ABC=S△AOB+S△COB=4，∴×a×b+×a×b=4，即k+k=4，k=4，故答案为：4．点评：本题主要考查对三角形的面积，反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的理解掌握，能推出k+k=4是解此题的关键．三、解答题（本题共7小题，共52分）17．（5分）计算：．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：将sin45°和tan30°的值代入计算可得出答案．解答：解：原式=﹣×=﹣1=﹣．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．18．（5分）解方程：x2﹣5x﹣6=0．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：把方程左边进行因式分解得到（x﹣6）（x+1）=0，则方程就可化为两个一元一次方程x﹣6=0，或x+1=解两个一元一次方程即可．解答：解：x2﹣5x﹣6=0，∴（x﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，∴x1=6，x2=﹣1．点评：本题考查了运用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的方法：先把方程化为一般式，再把方左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．19．（8分）列方程解应用题：如图，在长为1m，宽为0.8m的长方形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果整幅挂图的面积为1.2m2，那么金色纸边的宽度应是多少m？考点：一元二次方程的应用．分析：设金色纸边的宽度应是xm，根据在长为1m，宽为0.8m的长方形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的色纸边，制成一幅挂图，如果整幅挂图的面积为1.2m2，根据此可列方程求解．解答：解：设金色纸边的宽度应是xm，（1+2x）（0.8+2x）=1.2，x=0.1或x=﹣1（舍去）．那么金色纸边的宽度应是0.1m．点评：本题考查一元二次方程的应用，关键是求出变化后的长和宽，根据面积列方程求解．20．（8分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．（1）求口袋中白球的个数；（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．考点：列表法与树状图法．分析：（1）根据摸得黑球的概率为，假设出白球个数直接得出答案；（2）利用先随机从口袋中摸出一球，不放回，得出树状图即可．解答：解：（1）∵一个口袋中有1个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．∴假设白球有x个，∴，∴x=2．∴口袋中白球的个数为2个；（2）∵先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．∴两次都摸到白球的概率为：．点评：此题主要考查了树状图法求概率，根据已知得出树状图注意按要求从口袋中摸出一球，不放回，容易在个地方犯错．21．（8分）如图所示，折线A﹣B﹣C是一段登山石阶，其中AB=BC，AB部分的坡角为60°，BC部分的坡角为45°，AD=30m．（1）求石阶路（折线A→B→C）的长．（2）如果每级石阶的高不超过20cm，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足20cm时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）（4分）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题．分析：（1）由∠BAD=60°，AD=30m，根据含30度的直角三角形三边的关系，得到AB=2AD=60m，则BC=60m，所石阶路（折线A→B→C）的长为120m；（2）根据含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质得到BD=AD=30CE=BC=30m，则30（+）×100÷20≈472．解答：解：（1）∵∠BAD=60°，AD=30m，∴∠ABD=30°，AB=2AD=60m，而AB=BC∴BC=60m，∴石阶路（折线A→B→C）的长为120m；（2）∵BD=AD=30m，CE=BC=30m，∴CF=30（+）m∴30（+）×100÷20≈472，∴这一段登山石阶至少有472级台阶．点评：本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．22．（8分）阅读理解题：已知：如图1，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：CD=PE+PF．在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：小明的思路方法是：过点P作PG⊥CD于G（如图2），则可证得四边形PEDG是矩形，也可证得△PCG≌△CPF，从而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF．小颖的思路方法是：连接PA（如图3），则S△ABC=S△PAB+S△PAC，再由三角形的面积公式便可证得CD=PE+PF．由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．阅读上面的材料，然后解答下面的问题：（1）针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整；（2）如图4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°AB=AD=CD=2，E是BC上任意一点，EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，试利用上述结论求EM+EN的值．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）连接AP，根据S△ABC=AB•CD，S△PAB=AB•PE，S△PAC=AC•PF，即可解题；（2）作AF⊥BC，DG⊥BC，易求得BC的长，易求∠ABD=30°，即可求得∠CBD=30°，可得BE=2EM，同理得CE=2EN，即可解题．解答：证明：（1）连接AP，∵S△ABC=AB•CD，S△PAB=AB•PE，S△PAC=AC•PF，S△ABC=S△PAB+S△PAC，∴AB•CD=AB•PE+AC•PF，∵AB=AC，∴CD=PE+PF；（2）作AF⊥BC，DG⊥BC，∵∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，∴CG=BF=1，∴BC=BF+FG+CG=4，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=120°，∵AD=AB，∴∠ABD=30°，∴∠CBD=30°，∴BE=2EM，同理CE=2CN，∴EM+EN=（BE+CE）=2．点评：本题考查了三角形面积计算，考查了等腰梯形底角相等的性质，本题中求得BE=2EM和CE=2CN是解题的键．23．（10分）如图1，抛物线y=ax2﹣10ax+8与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B，且C点的坐标为（2，0）（1）求抛物线的函数表达式和A、B两点的坐标；（2）如图，设点D是线段OA上的一个动点，过点D作DE⊥x轴交AB于点E，过点E作EF⊥y轴，垂足为F．记OD=x，矩形ODEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；（3）设抛物线的对称轴与AB交于点P（如图2），点Q是抛物线上的一个动点，点R是x轴上的一个动点．请求出当以P、Q、R、A为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据题意易得对称轴的方程，又有AB∥x轴，结合对称轴的性质，可得AB=10，故在Rt△AOC中，勾股定理易得答案；（2）根据题意将△PAC的周长用PC+PA表示出来，由抛物线的对称性分析可得P即为BC直线x=5的交由此设BC的解析式为：y=kx+b，将A（8，0），B（0，8）代入可得k，b的值，进而可得其解析式；（3）假设存在，在Rt△MOC与Rt△PBE中，根据勾股定理，结合MP∥BC分析可得答案．解答：解：（1）∵y=ax2﹣10ax+8，∴抛物线的对称轴为：x=﹣=﹣=5，令x=0，得到y=8，∴点B的坐标为（0，8），∵点C坐标为：（2，0），∵点A与点C关于对称轴x=5对称，∴点A坐标为：（8，0），将C（2，0）代入y=ax2﹣10ax+8得：4a﹣20a+8=0，∴a=，则抛物线的函数表达式为y=x2﹣5x+8；（2）∵A（8，0），B（0，8），∴设直线AB的解析式为y=kx+b，把A和B坐标代入得：'解得：，∴直线AB解析式为y=﹣x+8，由OD=x，即E横坐标为x，代入直线AB解析式得：y=﹣x+8，即ED=﹣x+8，则矩形的面积S=x（﹣x+8）=﹣x2+8x，0＜x＜8，当x=﹣=4，即D（4，0）时，S有最大值，最大值为16；（3）根据题意画出图形，如图所示：存在符合条件的点Q和R，使以P，R，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，若Q在对称轴右边，把x=5代入直线AB解析式，解得y=3，即Q纵坐标为3，把y=3代入抛物线解析式得：3=x2﹣5x+8 解得：x=5±，当Q的纵坐标为﹣3，还有点（5±，﹣3）即 Q的坐标为：（5+，3）（5﹣，3）或（5+，﹣3）（5﹣，﹣3）．点评：本题考查了二次函数的综合运用．将二次函数的图象与解析式相结合处理问题是解题的关键．。