(2021版27套)北京课改版九年级数学上册【打包】课前预习配套练习汇总(衡水中学内参)

九年级数学上册全一册同步练习（打包52套350页）（新版）北师大版1 第1课时菱形的概念及其性质知识点 1 菱形的定义及对称性1．如图1－1－1，在?ABCD中，若添加下列条件：①AB＝CD；②AB＝BC；③∠1＝∠2.其中能使?ABCD成为菱形的有( )图1－1－1A．0个B．1个C．2个D．3个2．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1－1－2所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是( ) A．(3，1) B．(3，－1)C．(1，－3) D．(1，3)1－1－2 1－1－33．如图1－1－3，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB 于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是________cm.知识点 2 菱形的边的性质4．如图1－1－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD 的周长是( )A．25 B．20C．15 D．101－1－4 1－1－5 5．如图1－1－5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为________．6．如图1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形．求证：BE＝CE.图1－1－6知识点 3 菱形的对角线的性质7．教材习题1.1第2题变式题如图1－1－7，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的边长为( )A．5 B．10 C．6 D．88．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线长是2 cm，则另一条对角线长是( )A．4 cm B．2 3 cmC. 3 cm D．3 cm1－1－7 1－1－89．如图1－1－8，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠CBO＝________°.10．如图1－1－9，四边形ABCD是菱形，A(3，0)，B(0，4)，则点C的坐标为( )图1－1－9A．(－5，4) B．(－5，5)C．(－4，4) D．(－4，3)11．一个菱形的边长为4 cm，且有一个内角为60°，则这个菱形的面积是________．12．如图1－1－10，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E 在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝________°.1－1－10 1－1－1113．如图1－1－11，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH 的长为________．14．如图1－1－12所示，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是________．图1－1－1215．如图1－1－13，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．图1－1－1316.如图1－1－14所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．图1－1－1417．如图1－1－15，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝CE；(2)若∠E＝50°，求∠BA O的度数．图1－1－15第2课时菱形的判定知识点 1 由菱形的定义作判定1．如图1－1－16，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )图1－1－16A．AC＝AD B．BA＝BCC．∠ABC＝90° D．AC＝BD2．如图1－1－17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．图1－1－17知识点 2 根据菱形的对角线作判定3．下列命题中，正确的是( )A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形图1－1－184．如图1－1－18，在?ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝________时，四边形ABCD 是菱形．5．教材例2变式题如图1－1－19，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－19知识点 3 根据菱形的边作判定6．用直尺和圆规作一个菱形，如图1－1－20，能判定四边形ABCD是菱形的依据是( )图1－1－20A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形7．如图1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－218．如图1－1－22所示，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是( )A．AE＝AF B．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线1－1－22 1－1－239．如图1－1－23，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是( )A．AB⊥AC B．AB＝ACC．AB＝BC D．AC＝BC10．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是________．图1－1－2411．如图1－1－24，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边满足条件____________时，四边形EFGH是菱形．12．如图1－1－25，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，作边AC的垂直平分线l 交AB于点D，过点C作AB的平行线交l于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．图1－1－2513．如图1－1－26，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．图1－1－2614．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含60°角的三角板ABC 与三角板AEF按如图1－1－27①所示方式放置，现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．图1－1－27第3课时菱形的性质与判定的综合应用知识点 1 菱形的面积1．已知菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的面积是( )A．192 B．96 C．48 D．40图1－1－282．如图1－1－28，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是( )A．6 B．12C．24 D．483．如图1－1－29，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40 cm，求菱形的面积及高．图1－1－29知识点 2 菱形的性质与判定的应用4．如图1－1－30，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则四边形ABCD的周长为( )A．4 B．6 C．8 D．121－1－30 1－1－315．如图1－1－31，剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是( )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°6．如图1－1－32，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC 互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．41－1－3 1－1－337．如图1－1－33，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．8．如图1－1－34所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则AB＝________．1－1－3 1－1－359．如图1－1－35，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝________°.10．如图1－1－36，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．图1－1－36图1－1－3711．如图1－1－37，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( )A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm12．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( )A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误图1－1－3913．如图1－1－39，菱形ABCD 的边长为8 cm ，∠A ＝60°，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则四边形BEDF 的面积为________cm 2.14．如图1－1－40，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，连接DP 交对角线AC 于点E ，连接BE .(1)求证：∠APD ＝∠CBE ；(2)试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14，为什么？图1－1－4015．2017·贺州如图1－1－41，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，AC ⊥BD ，垂足为O .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2 5，求四边形ABCD的面积．图1－1－4116．教材“做一做”变式题明明将两张长为8 cm，宽为2 cm的长方形纸条交叉叠放，如图1－1－42①所示，他发现重叠部分可能是一个菱形．(1)请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形；(2)明明又发现：如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．图1－1－422 第1课时矩形的概念及其性质知识点 1 矩形边、角的性质1．若矩形ABCD的两邻边长分别是1，2，则其对角线BD的长是( )A. 3 B．3 C. 5 D．2 52．如图1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．51－2－1 1－2－23．如图1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC 的度数是( )A．30° B．22.5° C．15° D．10°4．如图1－2－3，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.图1－2－3知识点 2 矩形对角线的性质5．如图1－2－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的度数为( )A．30° B．60° C．90° D．120°1－2－4 1－2－56．教材例1变式题如图1－2－5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB ＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )A ．3 cmB ．6 cmC ．10 cmD ．12 cm图1－2－67．如图1－2－6，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则EF ＝________ cm.8．如图1－2－7，在矩形ABCD 中，过点B 作BE ∥AC 交DA 的延长线于点E .求证：BE ＝BD .图1－2－7知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质9．若直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线的长是( ) A ．5 B ．10 C.245 D.125图1－2－810．如图1－2－8，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝55°，D 是斜边AB 的中点，那么∠ACD 的度数为( )A．15° B．25°C．35° D．45°11．如图1－2－9，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E 为AB的中点．求证：CE＝DE.图1－2－912．如图1－2－10，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C 落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．61－2－10 1－2－1113．如图1－2－11，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．2014．如图1－2－12，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，折叠矩形，使顶点D与对角线交点O重合，折痕为CE，已知△CDE的周长是10 cm，则矩形ABCD的周长为( )A．15 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm1－2－121－2－1315．如图1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.16．2017·荆州如图1－2－14，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC 方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图1－2－1417．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1－2－15①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.应用：如图1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，。

（北京课改版）九年级数学上册（全册）预习专练+课堂练习+课后作业汇总19.1 比例线段基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆比例的基本性质 1.如果4a=5b,则=ba_______. 2.如果a ：b=1：5,且b=15,则a=______. 3.已知cbb a =,且a=2,c=9,则b=______.4.若k zy x ===432,且2x －3y+z=6, 则k=______,x=_____,y=______,z=______. 解析：由题意知,x=2k,y=3k,z=4k,代人2x －3y+z=6中得k=－6,进一步可求得x 、y 、z. 5.若(2－m)：m=m ：(1－m),则m=______. 6.若x ：y=2：3,y ：z=4：3,则x ：y ：z=______. 7.如果a ：b=4：3,且b 2=ac,那么b ：c=______.8.如果32=b a ,那么=+b ba ______. 9.如果57=+b b a ,那么=b a _______.10.已知：5===fed c b a ,且b+d －f=7,求a+c －e. ◆综合运用11.已知x:y:z=2:3:4,且x+y －z=121,求x 、y 、z 的值. 12.已知：3532=+b b a ,求b ba -的值. 13.已知：x bac a c b c b a =+=+=+,求x 的值.14.设实数a 、b 、c 使｜a －2b ｜+c b -3+(3a －2c)2=0,求a ：b ：c. 综合创新训练★登高望远 课外拓展◆创新应用15.如图19－1－2所示,在△ABC 和△BED 中,若35===BE AC BD BC ED AB ,且△ABC 与△BED 的周长之差爲20 cm,则△ABC 的周长爲多少厘米?16.如图19－1－3所示,联结A 、B 两城的高速公路,全长120千米,在AB 上有两个收费站C 、D,已知AC ：CB=1：5,AD ：DB=11：1,一辆小车从站C 到站D 行驶了43小时,问小车的速度是每小时多少千米?◆开放探索 17.(2008·青岛)如图19－1－4所示,AB 、AC 表示两条相交的公路,现要在∠BAC 的内部建一个物流中心,设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等且到公路交叉处A 点的距离爲1000m.(1)若要以1：50 000的比例尺画设计图,求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离； (2)在图中画出物流中心P 的位置.18.若b c c a b a --=,且,abc≠0,那么cb a 211=+成立吗?爲什么?参考答案1答案：452答案：33答案：23± 解析：由比例的基本性质可得b 2=ac,将a=2,c=9,代入得b 2=2×9=18,所以23±=b .4答案：－6 －12 －18 －24 5答案：32 6答案：8：12：9 解析：因爲2,3,4的最小公倍数是12,所以由已知条件可设x=8k,y=12k,z=9k,所以x ：y ：z=8k ：12k ：9k=8：12：9. 7答案：4：3 解析：由b 2=ac 可得cb b a =. 8答案：35 解析：方法一：由题意可设a=2k,b=3k,代入求值；方法二：由合比性质求,由32=b a 可得35332=+=+b b a .9答案：5210答案：解析：∵5===fe d c b a ,∴5=--==f ed c b a ,∴5=-+-+fd b ec a ,而b+d －f,=7,∴a+c －e=35.11答案：31,41,61===z y x 12答案：解析：由合比性质得335332-=-+b b b a ,即323=-b b a .∴2=-bba . 13答案：解析：当a+b +c≠0时,2)(2=++++=+=+=+=c b a c b a b a c a c b c b a x ,当a+b+c=0时,有a+b=－c,代人比例式可得1-=-=+=ccc b a x ,∴x 的值爲2或－1.14答案：解析：由已知得a －2b=0,3b －c=0,3a －2c=0,∴13,12==b c b a ,∴a:b:c=2:1:3. 15答案：解析：由已知可得35=++++DE BE BD AC BC AB ,可设△ABC 的周长爲5k,则△BDE 的周长爲3k,5k －3k=20,得k=10,∴△ABC 的周长爲5k=5×10=50(cm).16答案：解析：由题意可设DB=k,则AD=11k,AC=2k,CB=10k,CD=AD －AC=9k,而AB=12k=120,得k=10,∴CD=90(千米),∴90÷43=120(千米/时). 17答案：解析：(1)1 000 m=100 000 cm,100 000÷50 000=2,所以物流中心到公路交叉处A 点的图上距离是2 cm ；(2)作∠BAC 的角平分线,以A 爲端点在∠BAC 内部的平分线上截取AP=2 cm,则P 点即爲所求. 18答案：解析：成立.∵b c c a b a --=,∴b ab c b c a a =-+-+(等比性质),∴b a c c a =-2,∴,12b a c a =-∴ca b a 21=+, ∵abc ≠0,∴a ≠0两边同除以a 得ca b 211=+,故该等式成立.19.1 比例线段自主学习主干知识←提前预习 勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题 1.比例线段的定义?答案：在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么這四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 2.如果dcb a =,那么_______； 如果ad=bc 且bd≠0,那么________. 答案：bc ad =dc b a = 3.比例的合比性质： 如果dcb a =,那么_______.答案：ddc b b a ±=± 4.已知线段a=20 cm,b=0.5 m,则a ：b=________.答案：2：5 解析：求两线段的比先统一单位,如统一爲厘米,b=0.5 m=50 cm,所以a ：b=20：50=2：5.5.在比例尺爲1：8 000的某学校地图上,矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm,矩形运动场的实际大小是多少? 答案：80 m×160 m点击思维←温故知新 查漏补缺→ 1.如果d c b a =,那么db c a =成立吗?b da c =呢(a,b,c,d 均不爲0)?答案：成立 成立2.如果n m d c b a ===...(b+d+…+n≠0),那么ban d b m c a =++++++......成立吗?爲什么? 答案：成立,可令k nmd c b a ====...,则a=bk ,c=dk,…,m =nk,所以ba k n db k n d b n d b nk dl bk n d b mc a ==++++=+++++=++++++...)...(.............3.在△ABC 中,AB=2 cm,BC=3 cm,AC=4 cm ；在△DEF 中,DE=30 mm,DF=45 mm,EF=60 mm ；求AB ：DE,BC ：DF,AC ：EF,并试着画出這两个三角形,观察它们的形状,有何发现? 答案：2：3 2：3 2：3 這两个三角形相似19.1 比例线段名师导学典例分析例1 图19－1－1所示,A(0,－2),B(－2,1),C(3,2).(1)求出AB 、BC 、AC 的长；(2)把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘2,得到A'、B'、C'的坐标,求A'B',B'C'、A'C'的长； (3)這些线段成比例吗?思路分析：应用坐标系,利用勾股定理可以求出這些线段的长.解：(1)543,2615,1332222222=+==+==+=AC BC AB . (2)A'(0,－4),B'(－4,2),C'(6,4).1321345264''22=⨯==+=B A , 262264104201''22=⨯==+=C B , 1086''22=+=C A .(3)由21'',21'',2113213''====C A AC C B BC B A AB ,所以''''''C A AC C B BC B A AB ==,故這些线段成比例.例2 已知d cb a =(其中a≠b,c≠d). 那么dc d c b a b a -+=-+成立吗?爲什么? 思路分析：方法一：因爲题目中涉及a+b,a －b,c+d,c －d 等這样的式子,所以应考虑合比性质；方法二：可设一个辅助参数进行等量代换,然后进一步验证. 解：成立.方法一：因爲d cb a =,所以d dc b b ad d c b b a -=-+=+,. 两式相除得：dc dc b a b a -+=-+. 方法二：令k d cb a ==,则a=bk,c=dk,代入欲求证的式子中,左边11-+=-+=-+=k k b bk b bk b a b a ,右边11-+=-+=-+=k k d dk d dk d c d c ,左边=右边,所以dc d c b a b a -+=-+. 突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：解决這类题的一般思路是由已知条件求出有关线段的长,然后再进行线段比的求解.明确线段的比的概念是解决這类题的关键.变式训练：如果a,b,c,d 是成比例线段,a=2,b=3,c=4,则第四比例线段d=________. 解：由题意有d c b a =,即d432=,得d=6. 2 方法点拨：在解决涉及“a ±b”“c ±d”式子的相关题目时,常考虑到合比性质,另外,在比例的有关题目中,常设一个辅助参数k 进行代换,可使原本复杂的题目相对简单化,其中k 起到了桥梁的作用.19.2 黄金分割基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆黄金分割的定义1.已知AB=10 cm,P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点,则PQ=________.2.已知线段AB=1,点P 是线段AB 的黄金分割点,则AP=________.3.已知线段AB=b,C 爲其黄金分割点,求下列各式的值(AC>BC)：(1)=BA AC _______;(2)=AC BC_______； (3)=BCAC _______;(4)AC －BC=________. 4.正常人的体温一般是37℃左右,室温太高、太低,人都会感觉不舒服,多少摄氏度比较合适呢?有人研究认爲该温度正好是人正常体温的黄金分割点,则這个温度约爲________.5.(2009·南京模拟)顶角爲36°的等腰三角形被称爲黄金三角形,在∠A=36°的△ABC 中,AB=AC,BD 是∠ABC 的角平分线,交AC 于D,若AC=4 cm,则BC=___________.6.若S 是线段PQ 的黄金分割点,且PS>SQ,则( ) A.SQ 2=PS·PQ B.PS 2=SQ·PQ C.PQ PSPS •=22D.22PQ PS PS SQ +•= 7.已知M 是线段AB 的黄金分割点,且AM>BM.(1)写出线段AB 、AM 、BM 之间的比例式. (2)如果AB=12 cm,求AM 、BM 的长.8.如图19－2－4所示,线段AB 长10cm,点C 是线段AB 的黄金分割点,AC>BC,设以AC 爲边的正方形ACDE 的面积爲S 1,以BC 爲一边, AB 长爲另一边的矩形BCFG 的面积爲S 2,试比较S 1和S 2的大小.◆黄金分割点的作图9.采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图19－2－5所示,设AB 爲已知线段,以AB 爲边作正方形ABCD ；取AD 的中点E,联结EB ；延长DA 至F,使EF=EB ；以线段AF 爲边作正方形AFGH,点H 就是AB 的黄金分割点.任意作一条线段,用上述方法作出這条线段的黄金分割点,你能说出這种作法的道理吗?10.求作已知线段AB 的黄金分割点.(不写作法) 综合创新训练★登高望远 课外拓展 ◆创新应用11.如图19－2－6所示,正五角星中,线段AD=2,试问图中阴影部分图形的周长是多少?12.举例说明黄金分割在日常生活中的一些应用. ◆开放探索13.若一个矩形的短边与长边的比值爲215-(黄金分割数),我们把這样的矩形叫做黄金矩形.(1)操作：请你在如图19－2－7所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD 爲一边作正方形AEFD.(2)探究：(1)中的四边形EBCF 是不是黄金矩形?若是,请说明理由;若不是,也给予说明. (3)归纳：通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结沦(不需要证明).参考答案1答案：)25(10-cm2答案：215-或253- 解析：本题应考虑到同一线段上的黄金分割点有两个.3答案：(1)215-(2)215-(3)215+(4)b )25(- 4答案：23℃5答案：)15(2-cm 解析：∵等腰△ABC 爲黄金三角形,∴ACBC爲黄金比. ∴AC BC 215-=,∴)15(2-=BC cm.6答案：B 7答案：(1)AMBMAB AM =(2))656(-=AM cm,)5618(-=BM cm 8答案：)53(5021-==S S cm 29答案：解析：设AB=2,那么在Rt △BAE 中,5122222=+=+=AE AB BE .于是EF=BE=5,AH=AF=BE －AE=15-,BH=AB －AH=53-.因此,AHBHAB AH =,点H 是线段AB 的黄金分割点. 10答案：略11答案：解析：由于点B 、C 都是线段AD 的黄金分割点,于是有：53)15(2,152152-=--=-=-=-=-⨯==AC AD BD AD AB AC BD , ∴452)53()15(-=---=-=AB AC BC . ∴阴影部分的周长爲20510-.12答案：解析：例如：报幕员站在舞台宽度的黄金分割点处,显得最和谐；当矩形的宽与长的比约爲0.618时显得美观；拍照时,常把主要景物放在画面的黄金分割点处,会显得更加协调、悦目；二胡中的“千金”分弦的比符合0.618：1时,奏出来的音调最悦耳；优选法中的“0.618法”足黄金分割的重要应用等等. 13答案：解析：(1)如图所示.(2)四边形EBCF 是黄金矩形,因爲EF=AE=AB 215-,AB BE 253-=,则EF BE 215-=,所以四边形EBCF 是黄金矩形.(3)在黄金矩形中以短边爲边长作一个正方形,另一部分仍爲黄金矩形.19.2 黄金分割自主学习主干知识←提前预习 勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果______,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的______,AC 与AB 的比叫做________. 答案：ACBCAB AC =黄金分割点 黄金比 2.黄金分割的比值可以通过一元二次方程解出来,就是______,用小数表示约爲_________. 答案：215- 0.618 3.如图19－2－1所示的正五角星,请你找出线段AB 的黄金分割点.答案：如图所示,点C 是线段AB 的黄金分割点.4.如果线段AB 上有一点C,满足AC 2=AB·BC,我们称点C 爲AB 的黄金分割点,一条线段的黄金分割点有几个? 答案：2个点击思维←温故知新 查漏补缺→1.报幕员在台上时,若站在黄金分割点处,会显得活泼而生动,已知舞台长10米,那么报幕员至少要走多远报幕?答案：5515- 解析:55152151010-=-⨯-. 2.穿高跟鞋真使人觉得美些吗?结合黄金分割及已有的其他知识,谈谈你自己的理解.答案：解析：美本身没什么标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在匀称与协调上一种美感的参考,這个比例称之爲黄金分割,在人体的躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,若這个比值越接近0.618,越能给别人一种美的感觉.但是,一般人的躯干与身高的比都低于此数值,大约只有0.58至0.60左右(腿长的人会有较高的比值),若增高鞋的高度,则這种比值会接近或达到0.618.因此.女士们穿高跟鞋使她们显得更美是有数学依据的.(注：躯干是指从脚底到肚脐的长度)3.你知道爲什么芭蕾舞演员的亮相动作很漂亮吗?答案：解析：当芭蕾舞演员亮相时,两指尖的距离与头顶到脚尖的距离近似比爲0.618：1,所以看上去非常漂亮.4.你知道自己的身体上有哪些黄金分割点吗?答案：解析：如：肚脐是人体的黄金分割点；膝关节是肚脐到脚的黄金分割点；肘关节是手指到肩部的黄金分割点等等.19.2 黄金分割名师导学典例分析例1 已知线段MN=l,在MN 上有一点A,如果253-=AN ,试判断A 是不是MN 的黄金分割点.思路分析：要判断A 是不是MN 的黄金分割点.,由于MN=1,因而,只要计算出MA 的长即可,若215-=MA ,A 点就是黄金分割点,否则就不是. 解析：因爲253-=AN ,MN=l, 所以MA=MN －AN=2152531-=--. 所以A 点是MN 的黄金分割点.例2 如图19－2－2所示,在△ABC 中,AB=AC=2,15-=BC ,∠A=36°,BD 平分∠ABC,交AC 于点D,试说明点D 是线段AC 的黄金分割点.思路分析：本题可先判别AD=BD=BC=15-,再根据黄金分割的概念确定215-=AC AD 這个特殊的结论,即可说明点D 是AC 的黄金分割点.解：在△ABC 中,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD 平分∠ABC,∴∠1=∠2=36°,∴∠1=∠A,∴AD=BD,∴∠BDC=∠1+∠A=72°, ∴∠BDC=∠C,∴BC=BD=AD=15-,∴215-=AC AD , ∴点D 是线段AC 的黄金分割点.变式训练：如图19－2－3所示,矩形ABCD 内有一个AEFD,且BCABEB BC =.问点E 是线段AB 的黄金分割点吗?思路分析:仍依据黄金分割点的定义来解决,通过计算可知215-=AB BC ,而BC=AD=AE,即215-=AB AE ,显然点E 是线段AB 的黄金分割点. 突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：判断一个点是不是已知线段的黄金分割点,可依据定义判断,只要满足相应的比例式就可确定其是黄金分割点；另外,也可用较长线段与总线段进行求比,若结果爲215-,也可确定其爲黄金分割点.2 方法点拨：对于探索结论正确性的题目,一般都是从条件出发,根据数形结合的思想方法,结合图形的性质,用代数方法去论证.另外,本例中的三角形称爲黄金三角形,即顶角爲36°的等腰三角形叫做黄金三角形. 该矩形中AB AE (即ABBC)是黄金比,也就是说,矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比,我们把這样的矩形称之爲黄金矩形.19.3 平行线分三角形两边成比例基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆平行线分线段成比例定理1.如图19－3－6所示,在△ABC 中,35,==AC AB EC AC BE AB ,DE//AC,则AB ：BD=_______.2.如图19－3－7所示,在△ABC 中,DE//AB,DF//BC,若32=AC AD ,AB=9,BC=6,则BEDF 的周长等于______.3.在△ABC 中,BE 、CD 是△ABC 的中线,它们交于点O,则=CO DO ______,=BEOE_______. 4.如图19－3－8所示,在△ABC 中,AE ：BE=1：3,BD ：DC=2：1,AD 与CE 交于点F,则FDAFFC EF +的值爲______.5.(2008·福州)如图19－3－9所示,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,若DE=5,则BC 的长是______.6.如图19－3－10所示,已知AE=ED=DC,FE ∥MD ∥BC,FD 的延长线交BC 的延长线于点N,则BN EF的值是( ) A.21 B.31 C.41 D.517.在梯形ABCD 中,AD ∥BC,对角线AC,BD 交于点O,点E 是CA 延长线上一点,且OC 2=OA·OE,已知AD ：BC=2：3,则DC ：BE 的值是多少? 8.如图19－3－11所示,在△ABC 中,DE ∥BC,且32=DB AD ,BC=12 cm,求DE 的长.9.在△ABC 中,AD 是角平分线,DE ∥AC 交AB 于点E,已知AB=12,AC=8,求DE 的长. 10.如图19－3－12所示,H 爲ABCD 中AD 边上的一点,且DH AH 21=,AC 和BH 交于点K,则KCAK的值是多少?综合创新训练★登高望远 课外拓展 ◆创新应用11.如图19－3－13所示,在△ABC 中,AB=12,点E 在AC 上,点D 在AB 上,若AE=6,EC=4,且ECAEDB AD =.(1)求AD 的长. (2)试问ACECAB DB =能成立吗?请说明理由. ◆开放探索12.如图19－3－14所示,△ABC 中,AC=BC,F 爲底边AB 上的一点,nmAF BF =(m,n>0).取CF 的中点D,联结AD 并延长交BC 于点E.(1)求ECBE的值； (2)如果BE=2EC,那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系?请说明理由. (3)层点能否爲BC 中点?如果能,求出相应的nm的值；如果不能,请说明理由. 13.已知：如图19－3－15①所示,AB ⊥BD,CD ⊥BD,垂足分别爲B 、D,AD 、BC 交于E,EF ⊥BD 于F,我们可以证明EFCD AB 111=+成立(不必证明),若将图中垂直改爲斜交,如图19－3－15②所示,AB ∥CD,AD 、BC 交于点E,EF ∥AB 交BD 于F,则： (1)EFCD AB 111=+还成立吗?爲什么? (2)请找出S △ABD ,S △BDC ,S △BED 之间的关系式,并说明理由.参考答案1答案：8：5 解析：由EC AC BE AB =可得,35==EC BE AC AB 而AD BD EC BE =,所以35=AD BD ,所以53=BD AD ,由合比性质得：553+=+BD BD AD ,即58=BD AB .2答案：14 解析：329===AF AB AF AC AD ,得AF=6,所以BF=DE=3.而326===AC AD FD BC FD ,得FD=BE=4,所以BEDF 的周长爲2(3+4)=14.3答案：2131 4答案：23解析：过点E 作BC 的平行线.5答案：10 解析：由题意知：DE//BC,∴215===BC BC DE AB AD ,所以BC=10. 6答案：C 解析：∵FE//BC,AE=ED=DC,∴31==AC AE BC EF ,∴BC=3EF.∵FE//CN,∴∠EFD=∠N.又∠EDF=∠CDN,ED=DC,∴△EFD ≌△CND,∴CN=EF, ∴413=+=+=EF EF EF CN BC EF BN EF . 7答案：解析：∵AD//BC,∴OA ：OC=AD ：BC=2：3,∴设OA=2k,OC=3k.∵OC 2=DA·OE,∴k OE 29=.∵OD ：OB=AD ：BC=2：3,且OC ：OE=3k ：k 29=2：3,∴BE//DC,∴DC:BE=2:3. 8答案：解析：∵DE//BC,∴AB AD BC DE =.∵32=DB AD ,∴232+=+AD BD AD ,即52=AB AD ,∴52=BC DE ,∴5245212=⨯=DE (cm). 9答案：解析：根据已知条件可求得DE=AE.又AC DEAB BE =,因此81212DE DE =-,从而求得DE=524.10答案：解析：∵,21DH AH =∴31=AD AH .∵AH//BC,∴31===AD AH BC AH KC AK .11答案：解析：(1)由EC AE DB AD =,可得DE//BC,从而AC AE AB AD =,即10612=AD ,可得,536=AD . (2)成立,由536=AD ,AB=12,得524=DB ,于是52=AB DB .又52104==AC CE ,故ACECAB DB =.或由EC AE DB AD =,得DE//BC,从而ACEC AB DB =. 12答案：解析：(1)过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G,DF DC AF CG =,CGBAEC BE =, ∴11+=+=+==nm AF BF AF AF BF CG AB CE BE . (2)∵BE=2CE,∴21=+=nmCE BE ,∴m=n,∴BF=AF.又AC=BC,∴CF ⊥AB.∴直线CF 垂直平分AB.(3)不能,因爲若E 爲BC 的中点,而D 又爲CF 的中点,则DE//AB,這与已知条件ED 和BF 相交矛盾,所以E 点不能爲BC 的中点.13答案：解析:(1)EF CD AB 111=+还成立.因爲AB//EF//CD,所以BDBF CD EF BD DF AB EF ==,,所以1=+=+BD DF BF CD EF AB EF ,两边同除以EF 得,EFCD AB 111=+. (2)BEDBCDABDS S S ∆∆∆=+111.理由：如图,过A 、E 、C 三点分别作AH ⊥BD,EM ⊥BD,CN ⊥BD,垂足分别爲H 、M 、N,因爲,21,21,21BD EM S BD CN S BD AH S BED BCD ABD •=•=•=∆∆∆由已知得,111EMCN AH =+ ∴BD EM BD CN BD AH •=•+•211211211即BED BCD ABD S S S ∆∆∆=+111.19.3 平行线分三角形两边成比例自主学习主干知识←提前预习 勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.平行于三角形一边的直线截其他两边,所得的对应线段______. 答案：成比例2.如图19－3－1所示,在△ABC 中,如果点D 是AB 的中点,过点D 作BC 的平行线交AC 于点E,则AE ：EC=______.答案：13.如图19－3－2所示,DE//BC,总有ECAEDB AD =.应用比例性质,还可以得到哪些成比例线段? 答案：ACEC AB DB EC DB AE AD AC AE AB AD ===,,等. 点击思维←温故知新 查漏补缺→1.若把课本P 11性质中的“其他两边”改爲“两边的延长线”,结论还成立吗? 答案：成立2.如图19－3－3所示,在△ABC 中,DE//BC,若41=DB AD ,则BCDE的值爲多少?答案：51=BC DE19.3 平行线分三角形两边成比例名师导学典例分析例1 已知：如图19－3－4,AB//CD,∠EFB=∠ABC,AB=2,CD=4,则EF 的长是多少?思路分析：尽管题目中给出了AB//CD 的条件,但不能直接运用相关的定理,因爲它们分布在不同的三角形中,因而自然联想到在它们的中间作一条和它们都平行的辅助线,类似于桥梁的作用,這样便可解决问题. 解：过点E 作EM//AB,.·.∠ABC=∠EMF,由已知∠ABC=∠EFB,∴∠EMF=∠EFM,∴EF=EM.∵AB//CD,∴1224===AB DC AE CE ,∴32=AC CE .∵AB EM AC CE =,∴232EM =,34=EM , 则34=EF .例2 如图19－3－5所示,△ABC 中,D 爲BC 的中点,延长AD 至E,延长AB 交CE 于点P ,若AD=2DE,试说明AP 与AB 之间的数量关系.思路分析:过点B 作BK ∥PC,交AE 于点K,则可得ABAPAK AE =.又BD=DC,∴DK=DE,再由AD=2DE,∴AE ：AK=3,从而进一步得出结论.另外还可以作以下的平行线,同样可得出结论,如：过D 点作DG ∥PC 交即于点G,还可取CP 的中点M,联结DM,进一步得出结论,這里只对第一种作辅助线的方法进行详细解答. 解：AP=3AB.理由：过点B 作BK ∥PC,交AE 于点K,∴AE ：AK=AP ：AB,由已知BD=DC, ∴DK ：DE.又∵AD=2DE,∴AE ：AK=3,∴AP ：AB=3,即AP=3AB.规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：题目中涉及三角形中的平行线段,因此应考虑到利用“平行线分线段成比例”定理来求解.2 方法点拨：利用平行线分线段成比例定理解题时,应注意利用特殊点,如中点、垂足等.本例中较多的辅助线作法是利用D 爲BC 中点而作平行线,這也是作辅助线常用到的规律.19.4 相似多边形基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆相似多边形1.我们知道所有的正三角形相似,所有的正方形都相似,那么所有的正五边形也相似吗?答：________.再想一想,所有的正六边形的关系?由以上猜想你可以得到一个一般性的结论爲_______. 2.在两个相似五边形中,一个五边形的边长分别爲1,2,3,4,5,另一个五边形的最大边长爲15,则它的最短边长爲________.3.如图19－4－8所示,将一个矩形纸片ABCD沿边AD和BC的中点连线EF对折,要使矩形AEFB 与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比应爲________.4.下列多边形中一定相似的爲( )A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形5.观察图19－4－9中的三个矩形,其中相似的是( )A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.三个矩形都不相似6.已知：如图19－4－10,梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,EF将梯形ABCD分成两个相似梯形AEFD和EBCF,若AD=3,BC=4,求AE：EB的值.7.矩形ABCD的长与宽之比爲3：2,矩形A′B′C′D′的长与宽之比也爲3：2,這两个矩形相似吗?说说你的理由.◆相似三角形8.已知△ABC～△A′B′C′,若AB=5 cm,A′B′=8 cm,AC=4 cm,B′C′=6 cm,则△A′B′C′与△ABC的相似比爲_______,A′C′=_______,BC=_______.9.如图19－4－11所示,△ABC中,DE∥BC,BE与DC相交于点D,则图中相似三角形共有_______对.10.(2008·金华)如图19－4－12所示,小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜后由A点发出的光线经平面镜BD反射后刚好射到古城墙CD的顶点C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2 m,BP=1.8 m,PD=12 m,那么该古城墙的高度是( )A.6 mB.8 mC.18 mD.24 m11.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似.其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.112.△ABC 的三边长分别是2、10、2,△A′B′C′的两边长分别爲1和5,如果△ABC ～△A′B′C′,那么△A′B'C′的第三条边的长度等于( ) A.22B.2C.2D.22 13.已知△ABC 的三边长分别爲5、12、13,与其相似的△A'B'C'的最大边长爲26,求△A'B'C'的面积S.14.已知△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,△A′B′C′中,∠C′=90°,A′C′=B′C′,△ABC 与△A′B′C′相似吗?爲什么?综合创新训练★登高望远 课外拓展 ◆创新应用 15.(2008·安徽)如图19－4－13所示,四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 爲DE 的中点,BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比爲1除外)； (2)求BP ：PQ ：QR. ◆开放探索16.如图19－4－14所示,已知矩形ABCD,AB=6 cm,BC=8 cm,E 、F 分别是AB 、CD 上的点,且AE=DF=4 cm,两动点M 、N 分别从C 、F 两点同时出发沿CB 、FE 均以2 cm/s 的速度分别向B 、E 运动.猜想当M 、N 运动多长时间时,矩形CFNM 与矩形AEFD 相似?写出你的猜想过程,并与同学交流.参考答案1答案：相似 边数相同的正多边形都相似 2答案：3 解析：1515x=,得x=3. 3答案：1:2 解析：设原矩形的长AD=x,宽CD=y,E 、F 分别爲AD 、BC 的中点,由已知条件可得：x y y x=2,即,222x y =∴2x y =, ∴1:2:=y x ,即AD:CD=1:2.4答案：C5答案：B 解析：∵都爲矩形,所以对应角显然都相等,又75.035.02=,所以由定义可判断甲、丙两个矩形相似.6答案：解析：∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴BCEFEF AD =,∴EF 2=AD·BC=3×4=12, ∴3212==EF .∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴AE ：EB=AD ：EF=2:332:3=.7答案：解析：相似.在矩形ABCD 中,设长爲3a,宽爲2a ；在矩形A′B′C′D′中,设长爲3b,宽爲2b,因此两矩形的对应边之比均爲a:b,即对应边成比例.又因爲矩形的每个角都是直角,因此对应角相等,故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似. 8答案：8：5532 4159答案：2 解析：△ADE~△ABC,△DOE~△COB. 10答案：B 解析：Rt △ABP~Rt △CDP ,所以DPBP CD AB =,即128.12.1=CD ,解得CD=8 m. 11答案：C12答案：B 解析：设第三边长爲x,则x251012==,得2=x . 13答案：解析：设△ABC 的三边依次爲BC=5,AC=12,AB=13,因爲AB 2=BC 2+AC 2,所以∠C=90°.又因爲△ABC~△A′B′C′,所以∠C=∠C′=90°,212613''''C''====B A AB C A AC B BC .又因爲BC=5,AC=12,所以B′C′=10,A′C′=24,所以S=21A ′C′×B′C′=21×24×10=120.14答案：解析：相似.∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°.设AC=k>0,则k k k AB 222=+=.同理可证：∠A′=∠B′=45°,A′B′='2k ,(设A′C′=k′). ∴∠C=∠C ′, ∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∴''22B''k kk k A AB ==,'''''k k C B BC C A AC ==, ∴''''''C B BC C A AC B A AB ==, ∴△ABC ～△A'B'C'.15答案：解析：(1)△BCP ～△BER, △PCQ ～△PAB, △PCQ ～△RDQ, △PAB ～△RDQ.(2)因爲四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形, 所以BC=AD=CE, AC ∥DE, 所以PB=PR,21=RE PC , 又因爲PC ∥DR, 易得△PCQ ～△RDQ, 因爲点R 是DE 的中点, 所以DR=RE, 所以21===RE PC DR PC QR PQ , 所以QR=2PQ. 又因爲BP=PR=PQ+QR=3PQ, 所以BP ：PQ ：QR=3：1：2. 16答案：解析：①当M 、N 运动21s, 矩形CFNM 与矩形ADFE 相似. ②当M 、N 运动2s 时, 矩形CFNM 与矩形AEFD 相似.19.4 相似多边形自主学习主干知识 ←提前预习 勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.举几个实际生活中形状相同,大小不一定相同的图形的实例.答案：如：同一底片洗出的不同尺寸的照片中人物的形状相同,只是大小不同；乒乓球和足球的形状相同,只是大小不同；大小五角星的形状相同,大小不同等等.2.像這样,______、______的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形______叫相似比. 答案：对应角相等 对应边成比例 对应边的比3.若△ABC 与△A'B'C'相似,记作：_______,读作：_______. 答案：△ABC~△A ′B ′C ′ △ABC 相似于△A ′B ′C ′4.若△ABC 与△A'B'C',的相似比爲2：3,则△A'B'C'与△ABC 的相似比爲_____. 答案：3：2 解析：两个图形的相似比具有顺序性.5.如图19－4－1所示,若△ABC ～△ADB,则∠ACB=_____,∠A=_____,∠ABC=_______.答案：∠ABD ∠A ∠D6.如图19－4－2所示的两个矩形相似吗?若相似,相似比爲多少?答案：相似 相似比是3：2.点击思维 ←温故知新 查漏补缺→1.如图19－4－3所示,一块长3米,宽l.5米的矩形黑板,镶在其外围的木质边框宽爲7.5厘米,边框的内外边缘所构成的矩形相似吗?爲什么?答案：不相似,因爲3：1.5=2：1,而(3+0.075×2)：(1.5+0.075×2)=21：11,故对应边不成比例,所以不相似.2.全等三角形和相似三角形之间有什么关系?答案：全等三角形是特殊的相似三角形,其相似比爲1.3.由相似多边形的定义,我们可以得出相似多边形的哪些性质? 答案：相似多边形的对应角相等,对应边成比例.4.所有的正五边形都相似吗?两个正n 边形呢?请说明理由. 答案：相似 相似 因爲它们彼此的对应角相等,对应边成比例,前者的对应角爲108°,后者的对应角爲nn ︒•-180)2(.19.4 相似多边形名师导学典例分析例1 下列每组图形形状相同,它们的对应角有怎样的关系?对应边呢? (1)正△ABC 与正△DEF ；(2)正方形ABCD 与正方形EFGH.思路分析：相似多边形的本质特征有两点：一是对应角相等；二是对应边成比例,本题可紧扣這两点解答,对于第(1)小题每个对应角均爲60°,对于第(2)小题每个对应角均爲90°,当然這两组图形的对应边也均成比例.解：(1)由于正三角形每个角都等于60°,所以∠A=∠D=60°,∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°；由于正三角形三边相等,所以FDCAEF BC DE AB ==. (2)由于正方形的每个角都是直角,所以∠A=∠E=90°,∠B=∠F=90°,∠C=∠G=90°,∠D=∠H =90°；由于正方形四边相等,所以HEDAGH CD FG BC EF AB ===. 例2 写出下列各组相似三角形对应边的比例式.(1)在图19－4－4①中,已知：△ADE ～△ABC,且AD 与AB 是对应边. (2)在图19－4－4②中,已知：△ABC ～△AED,∠B=∠AED.思路分析：要写出两个相似三角形的对应边的比例式,首先要确定两个相似三角形的对应边.因爲相似三角形是全等三角形的推广,所以要确定两个相似三角形的各组对应边,可以参照确定全等三角形对应边的方法,从确定這两个相似三角形对应的顶点出发.解：(1)已知△ADE ～△ABC,且AD 和AB 是对应边,它们所对的顶点E 和C 爲对应点,而A 是两个三角形的公共顶点,∠BAC 爲公共角,所以两个三角形另外两组对应边爲DE 和,BC,EA 和CA,得CAEABC DE AB AD ==. (2)已知△ABC ～△AED,且∠B=∠AED,A 爲公共顶点,另一对对应顶点爲D 和C,三组对应边分别是AD 和AC,AE 和AB,DE 和CB,得CBDEAB AE AC AD ==. 例3 如图19－4－5所示,Rt △ABC 与Rt △CBD 相似,AB=4,AC=3,试求CD 的长.思路分析：本题可依据相似三角形的定义去求解,即若两个三角形相似,则对应角相等,对应边成比例；不过本题解答时注意Rt △ABC 与Rt △CBD 相似有两种情况：①△ABC ～△CBD ；②△ABC ～△CDB.解：在Rt △ABC 中,∠A=90°,∴5342222=+=+=AC AB BC .①若△ABC ～△CBD,则CD AC BC AB =,即CD 354=,∴415453=⨯=CD .②若△ABC ～△CDB,则CD AC CD AB =,即534=CD ,∴320354=⨯=CD . ∴CD 的长爲415或320.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法,也是最本质、最重要的性质,即我们可以用定义来判定两个多边形是否相似,同时如果已知了两个多边形相似,那么這两个多边形的对应角相等,对应边成比例.2 方法点拨：本题中涉及的两类相似三角形是相似三角形的基本图形,解题的关键仍然是找准对应点、对应边.。

编者的话：北京目前主流的初中数学版本为京改版、人教版、北师大版，本专辑针对京改版进行整理汇编，另外两个版本请参考已经上线的人教版通用版本及北师大版通用版本，本专辑选材于京改版近两年最新月考、期中、期末、一二模、中考真题（已标注出处），包含详细解析、思路点拨等，对于期末考试的复习成系统性，把每个章节重难点考察内容进行总结，分选择题、填空题、解答题三种类型，难度为压轴，欢迎下载使用。

【玩转压轴题】考点9：图形的变换投影、视图与展开图必考题综合（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·北京·北师大实验中学九年级月考）如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（）A．2B C．D【标准答案】B【思路点拨】连接AB，根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．【精准解析】解：如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，可得：B．考点：1．勾股定理；2．几何展开图．2．如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是（ ）A．B．C．D．【标准答案】D【思路点拨】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【精准解析】从正面看是一个大正方形内的左上角是一个小正方形，故选D．3．某正方体的平面展开图如下图所示，这个正方体可能是下面四个选项中的（）．A．B．C．D．【标准答案】A【思路点拨】根据正方体的展开与折叠．可以动手折叠看看，充分发挥空间想象能力解决也可以．【精准解析】根据题意及图示只有A经过折叠后符合．故选：A．【名师指导】此题考查几何体的展开图，解题关键在于空间想象力.4．（2021·北京·人大附中九年级开学考试）如图，下面每一组图形都由四个等边三角形组成，其中可以折叠成三棱锥的是（ ）A．仅图①B．图①和图②C．图②和图③D．图①和图③【标准答案】D【思路点拨】由平面图形的折叠及三棱锥的展开图解题．【精准解析】解：只有图①、图③能够折叠围成一个三棱锥．故选：D．【名师指导】本题考查了展开图折叠成几何体的知识，属于基础题型．5．（2021·北京朝阳·一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．三棱柱C．三棱锥D．圆锥【标准答案】B【思路点拨】根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱．【精准解析】根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱．故选B．【名师指导】本题考查了根据三视图确定几何体，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．6．（2021·北京门头沟·一模）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．圆柱【标准答案】A【思路点拨】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【精准解析】解：三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱．故选A．【名师指导】本题考查了由展开图判断几何体的知识，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．7．（2021·北京西城·二模）如图是某几何体的表而展开图，则这个几何体是（）A．正三棱柱B．正方体C．圆柱D．圆锥【标准答案】A【思路点拨】根据空间想象将展开图还原即可【精准解析】解：是正三棱柱的展开图故选：A【名师指导】本题考查展开图与立体图形之间的关系，空间想象能力是关键8．（2021·北京石景山·二模）在下面四个几何体中，左视图是三角形的是（）A．B．C．D．【标准答案】B【思路点拨】根据左视图的定义，判断即可．【精准解析】∵A的左视图是矩形，∴A不符合题意；∵B的左视图是三角形，∴B符合题意；∵C的左视图是矩形，∴C不符合题意；∵D的左视图是矩形，∴D不符合题意；故选B．【名师指导】本题考查了几何体的左视图，准确理解左视图的意义是解题的关键．二、填空题9．如图，它们都是由四个大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件．其中左视图与主视图相同的组件是________．【标准答案】(1)，(2)，(4)【思路点拨】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可．【精准解析】（1）左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此项符合题意；（2）左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此项符合题意；（3）左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此项不符合题意；（4）左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此项符合题意；故答案为：（1），（2），（4）【名师指导】本题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和主视图的画法．10．（2021·北京·二模）如图，小亮从一盏9米高的路灯下B 处向前走了8米到达点C 处时，发现自己在地面上的影子CE 是2米，则小亮的身高DC 为____________米．【标准答案】1.8【思路点拨】同一时刻下物体高度的比等于影长的比，构造相似三角形计算即可．【精准解析】如图，由题意知2CE =米，8BC =米，9AB =米，且DC BE ^，AB BE^∴10BE BC CE =+=米，∵CD BE ^，AB BE^∴90ABE DCE °Ð=Ð=又∵AEB EÐ=Ð∴ECD EBA :△△，∴CD CE AB BE=，即2910CD =，解得 1.8DC =（米），即小亮的身高DC 为1.8米；故答案为：1.8.【名师指导】本题考查平行投影的相关知识点，能够根据题意构造相似是解题关键点．11．（2020·北京·清华附中九年级月考）如图所示的几何体中，主视图与左视图都是长方形的是________．【标准答案】（1）、（3）、（4）【思路点拨】根据三视图判断即可.【精准解析】(1)中主视图与左视图是长方形；(3)中主视图与左视图是长方形；(4)中主视图与左视图是长方形；故答案为：（1）、（3）、（4）【名师指导】本题考查了几何图形的三视图，解题的关键在于正确识别三视图.12．（2021·北京·北大附中九年级期末）左图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列六种图中的 ．（填写字母）【标准答案】A、B、E【精准解析】试题分析：根据正方体的展开图的画法可得：只有A、B、E符合条件.考点：正方体的展开图13．如图，小芸用灯泡O照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成影子A′B′C′D′．现测得OA＝20cm，OA′＝50cm，相框ABCD的面积为80cm2，则影子A′B′C′D′的面积为_____cm2．【标准答案】500cm2．【思路点拨】易得对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方，据此求解可得．【精准解析】解：∵OA：OA′=2：5，可知OB：OB′=2：5，∵∠AOB=∠A′OB′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′=2：5，∴矩形ABCD的面积：矩形A′B′C′D′的面积为4：25，又矩形ABCD的面积为80cm2，则矩形A′B′C′D′的面积为500cm2．故答案为500cm2．【名师指导】本题考查中心投影与位似图形的性质，用到的知识点为：位似比为对应点到对应中心的比值，面积比为位似比的平方．14．一块直角三角形板ABC ，90ACB Ð=°，12cm BC =，8cm AC =，测得BC 边的中心投影11B C 长为24cm ，则11A B 长为__cm ．【标准答案】【思路点拨】由题意易得△ABC ∽△111A B C ，根据相似比求解即可．【精准解析】解：90ACB Ð=°Q ，12BC cm =，8AC cm =，11B C ＝24，∴AB =∵ABC ∽△△111A B C ，1111::2:1A B AB B C BC \==，即11A B =，故答案为：．【名师指导】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题的关键是利用中心投影的特点可知这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．三、解答题15．长方体的主视图与俯视图如图所示，这个长方体的体积是多少？【标准答案】这个长方体的体积是24．【思路点拨】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积．【精准解析】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，因此这个长方体的体积为4×2×3＝24．答：这个长方体的体积是24．【名师指导】由三视图判断几何体，能够综合三视图进行判断是解题的关键.16．如图，小赵和路人在路灯下行走，试确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子.【标准答案】作图见解析.【精准解析】试题分析：根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把已知影长的两个人的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，再由点光源出发连接小赵顶部的直线与地面相交即可找到小赵影子的顶端．试题解析：画图如下：考点: 中心投影．17．（2021·北京·首师大附中通州校区九年级期末）如图是一个长方体纸盒的表面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．（1）填空：a = ，b = ；（2）先化简，再求值：22(25)3()a b a b ---．【标准答案】（1）a=-1,b=3 ；（2）－a 2－2b ，－7【思路点拨】（1）观察图中要求的a 、b 与那些数字所在的面相邻，则剩下的为它的对面，再求相反数．（2）化简代数式后代入求值.【精准解析】解：（1）∵纸盒中相对两个面上的数互为相反数，a 的对面是1，∴a=-1∵b 的对面是-3, ∴b=3故答案为：-1;3.（2）解：原式=2a 2－5b －3a 2＋3b=－a 2－2b当a=－1,b=3时原式=-(-1)²-2×3=-1-6=-7.【名师指导】本题考查了长方体相对两个面上的文字，整式的加减，依据长方体对面的特点确定出a 、b 的值是解题的关键．18．（2021·北京·汇文中学九年级月考）（1）由大小相同的边长为1小立方块搭成的几何体如图，请画出这个几何体的三视图并用阴影表示出来；．（2）根据三视图：这个组合几何体的表面积为个平方单位．（包括底面积）（3）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要个小立方块，最多要个小立方块．【标准答案】（1）见解析（2）22个（3）最少5个，最多7个．【精准解析】解：（1）如下图：（2）从正面有4个面，从左面有3个面，从上面看有4个面，因此其表面积为（4+3+4）×2=22；（3）由俯视图易得最底层有4个小立方块，第二层最少有1个小立方块，所以最少有5个小立方块；第二层最多有3个小立方块，所以最多有7个小立方块．19．一个几何体是由若干个棱长为3cm的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图所示：（1）在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数；（2）求该几何体的体积．【标准答案】（1）见解析；（2）270cm3【思路点拨】（1）根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”的原则解答即可得；（2）根据每个正方体的体积乘以正方体的个数即可得．【精准解析】（1）如图所示：（2）该几何体的体积为33×（2+3+2+1+1+1）=27×10=270（cm3）．【名师指导】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．20．一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形如图所示，从左面观察这个立体图形，将得到的平面图形的示意图画在如下的画图区中.【标准答案】图形见解析.【思路点拨】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．【精准解析】解：从左面观察这个立体图形，分别是2个正方形，1个正方形，1个正方形，如图所示：【名师指导】本题考查简单组合体的三视图，关键是把握好三视图所看的方向，从左面看得到的图形是左视图．21．根据要求完成下列题目（1）图中有______块小正方体；（2）请在下面方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图；（3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和主视图与你在上图方格中所画的图一a b的值为致，若这样的几何体最少要个a小正方体，最多要b个小正方体，则+___________.【标准答案】(1) 10; (2) 主视图、左视图和俯视图见解析；(3) 22．【思路点拨】(1)有规律的根据组合几何体的层数来数即可;(2) 根据主视图、左视图、俯视图的定义画出图形即可(3)根据保持这个几何体的主视图和俯视图不变,利用俯视图计算搭这一几何体最少要个a小正方体，最多要b个小正方体，即可算出a+b的值．【精准解析】解：(1)这个组合几何体小正方体个数为:6+3+1=10（个）故答案为:10．(2) 主视图、左视图和俯视图如图所示:(3)这样的几何体最少如图：∴a=3+1+2+1+1+1=9(个)这样的几何体最多需要如图：∴b=3+1+2+3+1+3=13(个)∴a+b=9+13=22故答案为22．【名师指导】本题主要考查了作图的三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来,看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．。

第十九章19.1~19.2一、选择题(每题4分,共24分)1.下列与抛物线y=2(x-1)2+3形状相同的抛物线的表达式为()A.y=1+1x2B.y=(2x+1)22C.y=(x-1)2D.y=2x22.将二次函数y=x2的图象先向左平移1个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是()A.y=(x+1)2+2B.y=(x-1)2-2C.y=(x+1)2-2D.y=(x-1)2+23.抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为()A.(3,-4)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(-3,4)4.抛物线y=x2+6x+8与x轴交点的横坐标是()A.-4,-2B.4,2C.0,6D.0,85.抛物线y=2x2-x+3经过的象限是()A.第一、二、三象限B.第一、二象限C.第三、四象限D.第一、二、四象限6.抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0),且对称轴为直线x=-1,其部分图象如图1所示.对于此抛物线有如下四个结论:①abc<0;②2a+b=0;③9a-3b+c=0;④若m>n>0,则x=m-1时的函数值小于x=n-1时的函数值.其中正确结论的序号是()图1A.①③B.②④C.②③D.③④二、填空题(每题4分,共24分)7.抛物线y=-3(x-1)2+2可由抛物线y=-3x2先向平移个单位,再向平移个单位得到.8.若抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点,写出一个满足条件的c的值:.9.已知抛物线y=x2-bx+4的顶点在x轴上,则b=;若顶点在y轴上,则b=.10.若关于x的二次函数y=mx2+2x+m-4m2的图象过原点,则此抛物线的顶点坐标是.11.二次函数y=x2+x-6的图象在x轴上截得的线段的长是.12.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的表达式:.三、解答题(共52分)13.(8分)已知二次函数y=x2-4x+3.(1)把这个二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式;(2)在图2中画出这个二次函数的图象,并利用图象写出当x为何值时,y>0.图214.(10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2x(a≠0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧).(1)当a=-1时,求A,B两点的坐标;(2)过点P(3,0)作垂直于x轴的直线l,交抛物线于点C.①当a=2时,求PB+PC的值;②若点B在直线l左侧,且PB+PC≥14,结合函数的图象,直接写出a的取值范围.15.(10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3(a≠0)与y轴交于点A.(1)直接写出点A的坐标;(2)点A,B关于抛物线的对称轴对称,求点B的坐标;,0.若抛物线与线段PQ恰有两个公共点,结合函数图象,求a的取值范(3)已知点P(4,0),Q-1a围.x2+bx+c的图象经过点A(1,0),且当x=0 16.(12分)如图3,在平面直角坐标系中,二次函数y=-12x2+bx+c的图象相交和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y=-x+3的图象与二次函数y=-12于B,C两点,点B在第一象限.(1)求二次函数y=-1x2+bx+c的表达式;2(2)连接AB,求AB的长.图317.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(-1,0),C(√2-1,1),D(0,-3),点A,B在x轴上(点A在点B左侧),且P为AB的中点,S△APC=1.(1)求经过A,B,D三点的抛物线的函数表达式;(2)把(1)中抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,得到一个新的图象G,点Q在新图象G 上,且S△APQ=S△APC,求点Q的坐标.图4答案1.D[解析] 若|a|相等,则抛物线的形状相同.2.C3.A4.A5.B6.D7.右1上2(或上2右1)[解析] 抛物线的平移关键看其顶点坐标的平移.8.2(答案不唯一,c>1即可)9.±4010.(-4,-4)11.512.答案不唯一,如y=x2+113.解:(1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x-2)2-1.(2)这个二次函数的图象如图所示,当x<1或x>3时,y>0.14.解:(1)当a=-1时,有y=-x2-2x.令y=0,得-x2-2x=0.解得x1=0,x2=-2.∵点A在点B的左侧,∴A(-2,0),B(0,0).(2)①当a=2时,有y=2x2-2x.令y=0,得2x2-2x=0.解得x1=0,x2=1.∵点A在点B的左侧,∴A(0,0),B(1,0).∴PB=2.当x=3时,y c=2×32-2×3=12.∴PC=12,∴PB+PC=14.②a≤-59或a≥2.15.解:(1)A(0,-3).(2)∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a =--2a2a=1,A(0,-3),∴B (2,-3).(3)当抛物线过点P (4,0)时,a=38,∴此时Q -83,0.此时,抛物线与线段PQ 有两个公共点. 当抛物线过点Q -1a ,0时,a=1,此时,抛物线与线段PQ 有两个公共点.∵抛物线与线段PQ 恰有两个公共点, ∴38≤a ≤1.又∵Δ=4a 2+12a>0,∴a>0或a<-3.当a<-3时,抛物线开口向下,且必过点(0,-3),同时点Q 的横坐标在0与1之间,∴可得抛物线与x 轴的交点必在线段PQ 上,即抛物线与线段PQ 恰有两个公共点.综上所述,当38≤a ≤1或a<-3时,抛物线与线段PQ 恰有两个公共点. 16.解:(1)∵二次函数y=-12x 2+bx+c 在x=0和x=5时所对应的函数值相等,∴二次函数y=-12x 2+bx+c 的图象的对称轴是直线x=52.又∵二次函数y=-12x 2+bx+c 的图象经过点A (1,0),∴{0=-12+b +c ,b =52,解得 {c =-2,b =52. ∴二次函数的表达式为y=-12x 2+52x -2.(2)过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,如图.∵一次函数y=-x+3的图象与二次函数y=-12x 2+52x -2的图象相交于B ,C 两点, ∴令-x+3=-12x 2+52x -2,解得 x 1=2,x 2=5,∴交点坐标为(2,1),(5,-2). ∵点B 在第一象限, ∴点B 的坐标为(2,1). ∴点D 的坐标为(2,0).则在Rt △ABD 中,AD=1,BD=1,∴AB=√AD 2+BD 2=√2.17.解:(1)∵S △APC =1,C (√2-1,1),∴12AP×1=1,∴AP=2.∵P 为AB 的中点,P (-1,0),点A ,B 在x 轴上,点A 在点B 左侧, ∴A (-3,0),B (1,0),∴易得经过A ,B ,D 三点的抛物线的函数表达式为y=x 2+2x -3.(2)把抛物线y=x 2+2x -3在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折所得的新图象G 的表达式为y={-x 2-2x +3(-3≤x ≤1),x 2+2x -3(x >1或x <-3).∵S △APQ =S △APC =1, ∴点Q 到x 轴的距离为1, ∴点Q 的纵坐标为1.又∵点Q 在图象G 上,∴-x 2-2x+3=1或x 2+2x -3=1,解得x 1=-1+√3,x 2=-1-√3,x 3=-1+√5,x 4=-1-√5.∴点Q 的坐标为Q 1(-1+√3,1),Q 2(-1-√3,1),Q 3(-1+√5,1),Q 4(-1-√5,1).。

编者的话：北京目前主流的初中数学版本为京改版、人教版、北师大版，本专辑针对京改版进行整理汇编，另外两个版本请参考已经上线的人教版通用版本及北师大版通用版本，本专辑选材于京改版近两年最新月考、期中、期末、一二模、中考真题（已标注出处），包含详细解析、思路点拨等，对于期末考试的复习成系统性，把每个章节重难点考察内容进行总结，分选择题、填空题、解答题三种类型，难度为压轴，欢迎下载使用。

【玩转压轴题】考点3：反比例函数问题综合（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·北京·临川学校九年级期末）对于函数y＝4x，下列说法错误的是（）A．点（23，6）在这个函数图象上B．这个函数的图象位于第一、三象限C．这个函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形D．当x＞0时，y随x的增大而增大【标准答案】D【思路点拨】把23x=代入函数解析式即可判断出A选项正误；根据反比例函数的性质和图象可判断B、C、D选项的正误.【精准解析】A.把23x=代入函数y＝4x得6y=，所以点（23，6）在这个函数图象上，故A选项正确；B.函数y＝4x的图象位于第一、第三象限，故B选项正确；C.反比例函数图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形，故C选项正确；D.对于函数y＝4x，0x当时，>在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，故D选项错误.故选D.【名师指导】本题考查了反比例函数的图象和性质.掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键. 2．（2021·北京·临川学校九年级期末）若ab＜0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝bx在同一直角坐标系中的图象大致可能是（ ）A．B．C．D．【标准答案】B【思路点拨】根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．【精准解析】A、反比例函数中b＜0，则a＞0，与一次函数中y随x的增大而减小相矛盾，选项错误；B、正确；C、反比例函数在二、四象限，则b＜0，则a＞0，而一次函数与y轴交于y轴的下方，则-b＜0，与前边的b＜0相矛盾，故选项错误；D、反比例函数中b＞0，则a＜0，与一次函数中y随x的增大而减小相矛盾，选项错误．故选B．【名师指导】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．3．（2021·北京·101中学三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数2y x(0)=>的图象上的一点，则矩形OABC的面积为( )xA．1B．2C．3D．4【标准答案】B【思路点拨】因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S=|k|．【精准解析】∵点B 在反比例函数y=2x（x ＞0）的图象上，∴矩形OABC 的面积S=|k|=2，故选B ．【名师指导】本题主要考查了反比例函数y=kx中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|．4．（2021·北京房山·九年级期末）若点1(,1)A x -，2(,2)B x ，3(,3)C x 都在反比例函数6y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<【标准答案】B 【思路点拨】根据反比例函数的增减性解答．【精准解析】∵6y x=，k=6>0，∴该反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵点1(,1)A x -，2(,2)B x ，3(,3)C x ，∴点A 在第三象限内，且x 1最小，∵2<3，∴x 2>x 3，∴132x x x <<，故选：B ．【名师指导】此题考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数增减性及判断方法是解题的关键．5．（2021·北京东城·九年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，下列函数的图象上存在点(,)(0,0)P m n m n >>的是（ ）A ．2y x=B ．1y x =--C ．21y x =--D ．3y x=-【标准答案】A 【思路点拨】先确定P 点在第一象限，分别画出各个选项的图象判定即可．【精准解析】解：∵(,)(0,0)P m n m n >>，∴点P 在第一象限，如图所示：只有2y x=的图象过第一象限，故选A ．【名师指导】本题考查了函数的图象，掌握一次函数，二次函数及反比例函数的图象的特点是解题的关键．6．（2021·北京房山·一模）在平面直角坐标系xOy 中，若函数图象上任意两点()11,P x y ，()22,Q x y 均满足()()12120x x y y -->．下列四个函数图象中，所有正确的函数图象的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【标准答案】D 【思路点拨】根据二次函数、一次函数及反比例函数的性质可直接进行排除选项．【精准解析】解：由①的函数图象可得一次函数的k ＜0，则有y 随x 的增大而减小，当12x x >时，12y y <，所以()()12120x x y y --<，故不符合题意；由②的函数图象可得一次函数的k ＞0，则有y 随x 的增大而增大，即当12x x >时，12y y >，所以()()12120x x y y -->，故符合题意；由③的函数图象可得二次函数的开口向上，对称轴为y 轴，则有当x ≤0时，y 随x 的增大而减小，当x ≥0时，y 随x 的增大而增大，所以当120x x ³>，12y y <，则()()12120x x y y --<，当120x x >³，12y y >，则()()12120x x y y -->，当120x x >>时，则12y y <或12y y >，则()()12120x x y y --<或()()12120x x y y -->，故不符合题意；由④的图象可得反比例函数的k ＜0，则有y 随x 的增大而增大，即当12x x >时，12y y >，所以()()12120x x y y -->，故符合题意；∴符合函数图象上任意两点()11,P x y ，()22,Q x y 均满足()()12120x x y y -->的函数图象为②④；故选D ．【名师指导】本题主要考查二次函数、一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数、一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．7．（2021·北京平谷·一模）学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数12y x =+的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是（ ）①该函数的定义域为2x ¹-； ②该函数与x 轴没有交点； ③该函数与y 轴交于点1(0,2；④若1122(,),(,)x y x y 是该函数上两点，当12x x <时，一定有12y y >.A ．①②③④B ．①③C ．① ②③D ．②③④【标准答案】C 【思路点拨】根据函数解析式的特点及函数图象即可判断．【精准解析】12y x =+中分母不为零，故2x ¹-，①正确；由图象可知该函数与x 轴没有交点，②正确；令x =0，y =12，∴该函数与y 轴交于点1(0,2，③正确；当1122(,),(,)x y x y 是该函数上两侧的两点时，12x x <，12y y <，故④错误；故选C ．【名师指导】此题主要考查函数与图象判断，解题的关键根据分式及图象得到相关性质进行判断．8．（2021·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是直线y x =与双曲线4y x=的交点，点B 在第一象限，点C 的坐标为（6，-2）．若直线BC 交x 轴于点D ，则点D 的横坐标为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【标准答案】C 【思路点拨】想根据题意求出点B 坐标，再根据点B 和点C 坐标求出直线BC 函数表达式即可求出与x 轴交点D 横坐标．【精准解析】∵点A ，B 是直线y=x 与双曲线 4y x=的交点，∴联立方程得：4x x=，经检验解得：2x =±，∵点B 在第一象限，∴代入x=2得：点B 坐标为（2，2），设直线BC 解析式为y=kx+b ，代入点B 和点C 坐标，得2262k b k b +=ìí+=-î，解得：14k b =-ìí=î，故直线BC 函数表达式为：y =-x +4，∵y =-x +4与x 轴相交，故y =0，即-x +4=0，解得：x =4，故选：C 【名师指导】此题考查一次函数与反比例函数交点问题，难度一般，注意联立函数表达式解方程即可．9．（2021·北京石景山·九年级期末）已知某函数的图象过(21)A ，，(12)B --，两点，下面有四个推断：①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线4y x =平行②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y 轴的负半轴相交④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线12x =左侧所有合理推断的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【标准答案】D【思路点拨】①利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数平移的性质解答；②待定系数法求出函数解析式，根据设反比例函数的图象性质解答；③根据题意画出图象，由此得到结论；④根据二次函数的对称性解答．【精准解析】①设一次函数解析式为：y=kx+b∵一次函数的图像过点A （2,1）,B （-1,-2），将两点坐标代入解析式，得：212k b k b +=ìí-+=-î，解得11k b =ìí=-î，所以该一次函数的解析式为：y=x-1，∴此函数的图象和直线4y x =不平行，故①错误；②设反比例函数解析式为ky x=，将点A 坐标代入，得212k =´=，∴反比例函数解析式为2y x=，∵k=2>0，∴函数的图象的两个分子分布在第一、三象限，故②正确；③∵函数的图象为抛物线，且开口向下，过(21)A ，，(12)B --，，当对称轴在直线12x =左侧时，抛物线不与y 轴的负半轴相交，如图1，故③错误；④函数的图象为抛物线，且开口向上，过(21)A ，，(12)B --，，∵点A 在第一象限，点B 在第三象限，∴点A 与点B 不是抛物线上关于对称轴对称的两个点，∴此函数图象对称轴在直线12x =左侧，故④正确；故选：D ．．【名师指导】此题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象平移的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，熟记性质是解题的关键．10．（2021·北京房山·九年级期末）如图，A(0，1)，B(1，5)，曲线BC 是双曲线(0)ky k x=¹的一部分．曲线AB 与BC 组成图形G ．由点C 开始不断重复图形G 形成一线“波浪线”．若点P(2020，m) ，Q( x ，n )在该“波浪线”上，则m 的值为 ，n 的最大值为 （）A ．m = 1，n = 1B ．m = 5，n = 1C ．m = 1，n = 5D ．m = 1，n = 4【标准答案】C 【思路点拨】根据题意利用点B 的坐标可以求k 的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m 的值和n 的最大值．【精准解析】解：∵点B （1，5）在双曲线(0)ky k x=¹的图象上，∴k=5，∵A(0，1)，曲线AB 与BC 组成图形G ．由点C 开始不断重复图形G 形成一线“波浪线”．∴C 的纵坐标为1∵点C 在5(0)y k x=¹的图象上，点C 的纵坐标为1，∴点C 的横坐标是5，∴点C 的坐标为（5，1），∵2020÷5=404，∴P （2020，m ）中m=1∵点Q （x ，n ）在该“波浪线”上，∴n 的最大值是5．综上所述，m = 1，n = 5．故选C ．【名师指导】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题11．如图，若点A 与点B 是反比例函数(0)ky k x=¹的图象上的两点，过点A 作AM x ^轴于点M ，AN y ^轴于点N ，过点B 作BG x ^轴于点G ，BH y ^轴于点H ，设矩形OMAN 的面积为1S ，矩形BHOG 的面积为2S ，则1S 与2S 的大小关系为：1S __2S （填“>”，“ =”或“<” )．【标准答案】=【思路点拨】根据反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论．【精准解析】解：Q 点A 与点B 是反比例函数(0)ky k x=¹的图象上的两点，过点A 作AM x ^轴于点M ，AN y ^轴于点N ，过点B 作BG x ^轴于点G ，BH y ^轴于点H ，1||S k \=，2||S k =，12S S \=，故答案为：=．【名师指导】此题考查了反比例函数系数k 的几何意义，关键是掌握(0)ky k x=¹图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．12．（2021·北京海淀·九年级期末）已知双曲线3y x=-与直线y kx b =+交于点()11,A x y ，()22,B x y ．（1）若120x x +=，则12y y +=__________；（2）若120x x +>时，120y y +>，则k __________0，b __________0．（填“>”，“=”或“<”）【标准答案】（1）0 （2）＜ ＞【思路点拨】（1）联立两个函数解析式，整理为：()2300,kx bx k ++=¹再由根与系数的关系求解0,b = 从而得到：()11,A x y ，()22,B x y 关于原点对称，从而可得答案；（2）由（1）的结论，结合120x x +>，可得：bk -＞0，由1122,,y kx b y kx b =+=+可得()12122,y y k x x b b +=++=结合：120y y +>，可得b ＞0，从而可得答案．【精准解析】解：（1）由题意得：3y x y kx bì=-ïíï=+î ，且0,k ¹ 3,kx b x\-=+ 230,kx bx \++=Q 两函数的交点为：()11,A x y ，()22,B x y ．12,bx x k\+=-Q 120x x +=，0,bk\-= 0,b \=\ ()11,A x y ，()22,B x y 为3y x=-与()0y kx k =¹的交点，由两函数的交点的性质可得：()11,A x y ，()22,B x y 关于原点对称，12,y y \互为相反数，120,y y \+= 故答案为：0.（2）由（1）得：230,kx bx ++=同理可得：12b x x k+=-，1122,,y kx b y kx b =+=+Q()1212222,b y y k x x b k b b b b k æö\+=++=-+=-+=ç÷èøg当120x x +>时，120y y +>，bk\-＞0且b ＞0，k \＜0.故答案为：＜，＞．【名师指导】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，同时考查了一元二次方程的根与系数的关系，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．（2021·北京顺义·九年级期末）在反比例函数ky x=的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1＜ x 2＜0，y 1＞ y 2写出一个符合条件的函数表达式________________．【标准答案】2y x=（答案不唯一）【思路点拨】根据反比例函数的性质得出k 的符号，据此解答即可．【精准解析】解：∵x 1＜x 2＜0，y 1＞y 2，∴反比例函数ky x=在其中一分支上呈下降趋势，∴此函数图象的两个分支分别在第一、三象限，∴k ＞0．∴函数表达式可以是2y x=（答案不唯一）．故答案是：2y x=（答案不唯一）．【名师指导】本题考查的是反比例函数的增减性，熟知反比例函数性质是解答此题的关键．14．（2021·北京顺义·一模）写出一个反比例函数表达式，使它的图象与直线4y x =+有公共点，这个函数的表达式为_______．【标准答案】3y x-=（符合4k ³-且k ≠0即可）【思路点拨】设这个反比例函数表达式为：ky x=（k ≠0），联立两函数整理为一元二次方程，根据函数有交点可得0D ³，从而求得k 的取值范围，写出符合条件的一个即可（注意k ≠0）．【精准解析】解：设这个反比例函数表达式为：ky x=（k ≠0）与4y x =+联立得：4k y x y x ì=ïíï=+î，整理得：240x x k +-=，当224440b ac k D =-=+³时，方程有解，此时两函数图象有公共解，解得4k ³-且k ≠0，故这个函数的表达式为：3y x-=（符合4k ³-且k ≠0即可）．【名师指导】本题考查反比例函数与一次函数．理解两函数交点与联立它们所成方程组的解集的个数之间的关系是解题关键．15．（2021·北京·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:1y x =-，双曲线1y x=-，在l 上取一点1A ，过1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过1B 作y 轴的垂线交l于点2A ，请继续操作并探究：过2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过2B 作y 轴的垂线交l 于点3A ，…，这样依次得到l 上的点1A ，2A ，3A ，…，n A ，…，记点n A 的横坐标为n a ，若1=2a -，则2021=a __________；若要将上述操作无限次地进行下去，则1a 不能取的值是__________．【标准答案】320、1 【思路点拨】求出2a ，3a ，4a ，5a 的值，可发现规律，继而得出2021a 的值，根据题意可得1A 不能在x轴上，也不能在y 轴上，从而可得出1a 不可能取的值．【精准解析】解：当12a =-时，1B 的纵坐标为12，1B 的纵坐标和2A 的纵坐标相同，则2A 的横坐标为232a =，2A 的横坐标和2B 的横坐标相同，则2B 的纵坐标为223b =-，2B 的纵坐标和3A 的纵坐标相同，则3A 的横坐标为313a =，3A 的横坐标和3B 的横坐标相同，则3B 的纵坐标为33b =-，3B 的纵坐标和4A 的纵坐标相同，则4A 的横坐标为42a =-，4A 的横坐标和4B 的横坐标相同，则4B 的纵坐标为412b =，即当12a =-时，232a =，313a =，42a =-，532a =，112b =，223b =-，33b =-，412b =，532b =-，202167323=QLL ，2020232a a \==；点1A 不能在y 轴上（此时找不到1B ），即0x ¹，点1A 不能在x 轴上（此时2A ，在y 轴上，找不到2B ），即10y x =-¹，解得：1x ¹；综上可得1a 不可取0、1．故答案为：32；0、1．【名师指导】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结．16．（2021·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx k =>与双曲线4y x=交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则12x y ×的值为______．【标准答案】4-【思路点拨】根据关于原点对称的点的坐标特点找出M 、N 两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．【精准解析】()0y kx k =>Q 图像关于()00，中心对称，0k >Q ，\图像经过一、三象限，4=y x图像也关于()00，中心对称，40>Q ，\图像经过一、三象限，又M Q 、N 为y kx =与4y x=交点，M \、N 也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限，114,M x x æö\ç÷èø，114,N x x æö--ç÷èø，121144x y x x \×=×-=-，故答案为4-．【名师指导】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称是解答本题的关键．17．（2021·北京石景山·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点(),A a b 在双曲线1y x=-上．若0a <，则点A 在第________象限．【标准答案】二【思路点拨】由点A （a ，b ）在双曲线1y x=-上，可得ab =-1，由0a <可得到点0b >的坐标，进而得出答案．【精准解析】解：∵点(),A a b 在双曲线1y x=-上，∴ab =-1，∵0a <∴0b >∴点A 在第二象限．故答案为：二．【名师指导】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出0b >是解答此题的关键．18．（2021·北京房山·二模）设函数1ky x =，2(0)k y k x-=>，当23x ≤≤时，函数1y 的最大值为a ，函数2y 的最小值为4a -，则a =_____．【标准答案】2【思路点拨】首先根据k 与x 的取值分析函数1k y x =，()20ky k x=->的增减性，根据增减性确定最值，进而求解．【精准解析】解：∵k ＞0，2≤x ≤3，∴y 1 随x 的增大而减小，y 2随x 的增大而增大，∴当x ＝2时，y 1取最大值，最大值为2k=a ①；当x ＝2时，y 2 取最小值，最小值为−2k＝a −4②；由①②得a ＝2，k ＝4，故答案为：2．【名师指导】本题考查了反比例函数的性质，关键是能根据反比例函数的增减性确定最值．19．（2021·北京·101中学三模）“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中M ，N ，S ，T 四位同学的单词记忆效率y 与复习的单词个数x 的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是 ___．【标准答案】S 【思路点拨】画出过点N 的反比例函数图像，根据题意得到正确默写出的单词个数即为 “单词的记忆效率”对应点所在的矩形的面积大小，通过反比例函数的几何性质即可判断．【精准解析】解：如图，设M ，N ，S ，T 四个同学的“单词的记忆效率”对应点所在的长方形的面积分别记作S M ，S N ，S S ，S T ，则S T ＜S N ＜S M ＜S S ，∴这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是S ．故答案为：S ．【名师指导】本题考查了反比例函数的几何性质的应用，正确理解题目的意思是解题的关键．20．（2021·北京市京源学校九年级月考）在平面直角坐标系xOy 中，()0,1A ，()1,1B ，有以下4种说法：①一次函数y x =的图象与线段AB 无公共点；②当0b <时，一次函数y x b =+的图象与线段AB 无公共点；③当1k >时，反比例函数ky x=的图象与线段AB 无公共点；④当1b >时，二次函数21y x bx =-+的图象与线段AB 无公共点．上述说法中正确的是__________．【标准答案】②③【思路点拨】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐条判断即可．【精准解析】解：一次函数y x =经过点()1,1B ，故①错误；一次函数y x =刚好经过点()1,1B ，向下平移直线y x =，此时0b <，直线y x b =+与线段AB 无公共点，故②正确；反比例函数1y x=的图象刚好经过点()1,1B ，当1k >时，反比例函数ky x=的图象沿着y x =向远离原点的方向平移，与线段AB 无公共点，故③正确；二次函数21y x bx =-+的图象一定经过()0,1A ，故④错误；故答案为：②③．【名师指导】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握相关函数的性质，进行准确推理判断．三、解答题21．（2021·北京·二模）如图，A 、B 两点在函数()0my x x=>的图象上．（1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数()0my x x=>的图象与直线AB 围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．【标准答案】（1）m =5，y =－x ＋6；（2）（2，3），（3，2）【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）分别将x =2或3或4，代入y =-x +6和y =5x两个函数解析式中，求出对应的纵坐标，再根据围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．【精准解析】解：（1）由图可知，A （1，5），B （5，1），将A （1，5）代入y =mx中，得m =5，∴y =5x，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，得：515k bk b=+ìí=+î，解得，16k b =-ìí=î，∴直线AB 的解析式为y =-x +6；（2）由题意，得：1＜x ＜5，∴x =2或3或4，分别代入y =-x +6和y =5x两个函数解析式中，满足条件的格点坐标是（2，3），（3，2）．【名师指导】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，横纵坐标都为整数的格点的坐标确定方法，要注意不包括边界的条件．22．（2021·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数my x=与一次函数y kx b =+相交于A （3，2）、B （－2，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过P （p ，0）（P ≠0）作垂直于x 轴的直线，与反比例函数my x=交于点C ，与一次函数y kx b =+交于点D ，若3COP DOP S S D D =，直接写出p 的值．【标准答案】（1）6y x=；1y x =-；（2）p ＝2或－1【思路点拨】（1）把A 点的坐标代入my x=可计算m 的值，然后确定点B 的坐标，再根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）通过面积之比与高之比的关系，求得3CP DP =，可得关系式()631x x=-，解出即可得到答案．【精准解析】解：（1）∵反比例函数my x=与一次函数y kx b =+相交于A （3，2）、B （－2，n ）两点∴将A （3，2）代入反比例函数my x=中得m ＝6∴反比例函数的表达式是6y x=将B （－2，n ）代入反比例函数6y x=中得n ＝－3将A （3，2）、B （－2，－3）代入一次函数y kx b =+中得3223k b k b +=ìí-+=-î，解得11k b =ìí=-î∴一次函数的表达式是1y x =-．（2）∵3COP DOP S S D D =，∴3CP DP =,即()631p p=-，解得：12p =，21p =-，经检验，成立，∴p ＝2或－1．【名师指导】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线L ：y=kx+2k(k>0)与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与函数my x=(x>0)的图象的交点P 位于第一象限．(1)若点P 的坐标为(1，6)，①求m 的值及点A 的坐标；②PBPA=_________；(2)直线h ：y=2kx-2与y 轴交于点C ，与直线L 1交于点Q ，若点P 的横坐标为1，①写出点P 的坐标(用含k 的式子表示)；②当PQ≤PA 时，求m 的取值范围．【标准答案】（1）①6；（−2，0）②13；（2）①P （1，3k ）②m≥3【思路点拨】（1）①把P （1，6）代入函数my x=（x ＞0）即可求得m 的值，直线l1：y ＝kx ＋2k （k ＞0）中，令y ＝0，即可求得x 的值，从而求得A 的坐标；②把P 的坐标代入y ＝kx ＋2k 即可求得k 的值，进而求得B 的坐标，然后根据勾股定理求得PB 和PA ，即可求得PBPA的值；（2）①把x ＝1代入y ＝kx ＋2k ，求得y ＝3k ，即可求得P （1，3k ）；②分别过点P 、Q 作PM ⊥x 轴于M ，QN ⊥x 轴于N ，则点M 、点N 的横坐标1，2＋2k ，若PQ ＝PA ，则PQ PA ＝1，根据平行线分线段成比例定理则PQ PA ＝MN MA＝1，得出MN ＝MA ＝3，即可得到2＋2k −1＝3，解得k ＝1，根据题意即可得到当PQ PA ＝MN MA ≤1时，k≥1，则m ＝3k≥3．【精准解析】（1）①令y ＝0，则kx ＋2k ＝0，∵k ＞0，解得x ＝−2，∴点A 的坐标为（−2，0），∵点P 的坐标为（1，6），∴m ＝1×6＝6；②∵直线l 1：y ＝kx ＋2k （k ＞0）函数m y x =（x ＞0）的图象的交点P ，且P （1，6），∴6＝k ＋2k ，解得k ＝2，∴y ＝2x ＋4，令x ＝0，则y ＝4，∴B （0，4），∵点A 的坐标为（−2，0），∴PA =PB =∴PB PA 13=，故答案为13；（2）①把x ＝1代入y ＝kx ＋2k 得y ＝3k ，∴P （1，3k ）；②由题意得，kx ＋2k ＝2kx−2，解得x ＝2＋2k，∴点Q 的横坐标为2＋2k ，∵2＋2k＞1（k ＞0），∴点Q 在点P 的右侧，如图，分别过点P 、Q 作PM ⊥x 轴于M ，QN ⊥x 轴于N ，则点M 、点N 的横坐标为1，2＋2k，若PQ＝PA，则PQPA＝1，∴PQPA＝MNMA＝1，∴MN＝MA，∴2＋2k−1＝3，解得k＝1，∵MA＝3，∴当PQPA＝MNMA≤1时，k≥1，∴m＝3k≥3，∴当PQ≤PA时，m≥3．【名师指导】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，勾股定理的应用，利用函数图象解决问题是本题的关键．24．在平面直角坐标系xOy中，直线x=3与直线y=12x+1交于点A，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线x=3，直线y=12x+1分别交于点B，C．（1）求点A的坐标．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象在点B，C之间的部分与线段AB，AC围成的区域（不含边界）为W．①当k=1时，结合函数图象，求区域W内整点的个数；②若区域W内恰有1个整点，直接写出k的取值范围．【标准答案】（1）A （3，52）；（2）①在W 区域内有1个整数点；②当区域W 内恰有1个整点时，1≤k ＜2或16＜k ≤20【思路点拨】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）①当k =1时，求得B 、C 的坐标，根据图象得到结论；②分两种情况根据图象即可得到结论．【精准解析】解：（1）直线x =3与直线y =12x +1交于点A ，∴3112x y x ìïïïí==+ïïïî ，解得352x y =ìïí=ïî，∴A （3，52）；（2）①当k =1时，根据题意B （3，13），C（1-），由图像可得，在W 区域内有1个整数点：（2，1）；②若区域W 内恰有1个整点，当C 点在直线x =3的左边时，如图1，在W 区域内有1个整数点：（2，1），∴1≤k ＜2；当C点在直线x=3的右边时，如图2，在W区域内有1个整数点：（4，4），∴16＜k≤20；综上，当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20【名师指导】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．25．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象G与直线l：y＝2x﹣4交于点A（3，a）．（1）求k的值；（2）已知点P（0，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，与图象G交于点B，与直线l交于点C．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段AC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当n＝5时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n的取值范围．【标准答案】（1）k=6；（2）①有3个整数点：（2，4），（3，3），（3，4）；②4＜n≤5或0＜n＜1【思路点拨】（1）把A（3，a）代入y＝2x﹣4求得a＝2，然后根据待定系数法即可求得k的值；（2）①当n＝5时，得到B为（65，5），C（92，5），结合图象于是得到结论；②分两种情况，根据图象即可得到结论．【精准解析】解：（1）反比例函数y＝kx（x＞0）的图象G与直线l：y＝2x﹣4交于点A（3，a）．∴a＝2×3﹣4＝2，∴A（3，2），∵反比例函数y＝kx（x＞0）的图象G经过A（3，2），∴k＝3×2＝6；（2）①当n＝5时，则B为（65，5），C（92，5），∴在W区域内有3个整数点：（2，4），（3，3），（3，4）；②由图1可知，若区域W内的整点恰好为3个，当P点在A点的上方时，则4＜n≤5；当P点在A点的下方时，则0＜n＜1，综上所述，若区域W内恰有3个整点，n的取值范围为：4＜n≤5或0＜n＜1；【名师指导】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．26．（2021·北京·首都师范大学附属中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 与y 轴交于点()0,A m ，与反比例函数(40y x x=>）的图象交于点B ．过点B 做BH x ^轴于H ．()1若()()0,3,,1A B n -，求直线1l 的解析式；()2平移()1中的直线1l ，若1,3AO BH >直接写出m 的取值范围．【标准答案】（1）3y x =-；（2）m >m <【思路点拨】（1）把(,1)B n 代入4(0)y x x =>求出4n =，得出B 的坐标是(4,1)，然后根据待定系数法即可求得．（2）若13AO BH =，则3||BH m =，求出两种特殊位置m 的值，可得结论．【精准解析】解：（1）把(,1)B n 代入4(0)y x x=>得：4n =，即(4,1)B ，设直线1l 的解析式为y kx b =+，把A 、B 的坐标代入得：413k b b +=ìí=-î，解得13k b =ìí=-î，\一次函数的解析式是3y x =-．（2）由题意可知直线1l 为y x m =+，由题意，(0,)A m ，(,0)C m -，||OA OC m \==，BCH \D 是等腰直角三角形，若13AO BH =，则3||BH m =，当0m <时，4(3B m -，3)m -，则有443m m -=-，解得m =（舍弃），当0m >时，4(3B m ，3)m ，则有443m m -=-，解得m =观察图象可知，满足条件的m 的值为：m m <【名师指导】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．27．（2021·北京师范大学三帆中学朝阳学校模拟预测）一次函数y x m =+与反比例函数2y x=-图象交于A ，B 两点（点A 的横坐标小于点B 的横坐标）．（1）若点A 的横坐标为2-，求一次函数的表达式，并直接写出点B 的坐标；（2）若直线y x m =+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，当12AOB AOC S S £△△时，求m 的取值范围．【标准答案】（1）3y x =+；点B 的坐标为()1,2-；（2）3m £或m £<-【思路点拨】（1）把2x =-代入反比例函数2y x=-图象上可求点A 坐标，再将点A 代入一次函数解。

一19.1二次函数一般地,我们把形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数,其中a,b分别是二次项、一次项的系数,c是常数项.若b=0,则y=ax2+c;若c=0,则y=ax2+bx;若b=c=0,则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式,而y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数的一般形式.二次函数需满足的条件:(1)自变量的最高次数必须为2;(2)二次项系数不为0;(3)自变量所在的代数式是整式.1.[2020·一六六中期中]下列函数是二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=2x-1C.y=2x2-3x+1D.y=2x2-3x32.下列关系中,是二次函数关系的是()A.当距离s一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间的关系B.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系C.圆的面积S与圆的半径r之间的关系D.正方形的周长C与边长a之间的关系3.已知x为矩形的一边长,其面积为y,且y=x(4-x),则自变量的取值范围是()A.x>0B.0<x<4C.0≤x≤4D.x>44.已知二次函数y=3x2-4x,则它的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是.5.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是.6.如已知▱ABCD的周长为8 cm,∠B=30°.若边长AB=x cm,求▱ABCD的面积y(cm2)与AB长x(cm)之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.7.二次函数y=-3(x-1)2中的a= ,b= ,c= .8.如在四边形ABCD 中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD ,AC=4BC ,设CD 的长为x ,四边形ABCD 的面积为y ,则y 与x 之间的函数表达式为 .9.若y=(m-2)x m 2-2+2x-7是二次函数,则m= .10.如△ABC 的面积等于12,BC=6.点P 在BC 边上移动(不与点B ,C 重合),PD ∥AB 交AC 于点D.如果BP=x ,△APD 的面积为y ,求y 与x 之间的函数表达式.答案1.C2.C3.B4.3,-4,05.a ≠-16.解:过点A 作AE ⊥BC 于点E ,如.∵∠B=30°,AB=x ,∴AE=12x.又∵▱ABCD 的周长为8 cm, ∴BC=4-x ,∴y=AE ·BC=12x (4-x )=-12x 2+2x (0<x<4).7.-3 6 -3 解： y=-3(x-1)2.整理,得y=-3(x 2-2x+1).去括号,得y=-3x 2+6x-3.所以a=-3,b=6,c=-3.8.y=25x 2 解： 过点D 作DF ⊥AC 于点F ,则易证△ADF ≌△BAC , ∴DF=AC ,AF=BC.又BC=k ,则AC=4k ,AF=k ,∴DF=4k ,CF=3k.由勾股定理,得CF 2+DF 2=CD 2,∴(3k )2+(4k )2=x 2,∴x 2=25k 2,∴k 2=x 225,∴y=S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =12k ·4k+12·4k ·4k=10k 2=10·x 225=25x 2, ∴y 与x 之间的函数表达式为y=25x 2.9.-210.解:如,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点D 作DF ⊥BC 于点F . ∵S △ABC =12BC ·AE=12,BC=6,∴AE=4,∴S △ABP =2x ,∵PD ∥AB ,∴△DPC ∽△ABC ,∴S △DPC S △ABC =(PC BC )2=(6-x 6)2,则S △DPC =(6-x )23,∴y=12-2x-(6-x )23, 即y=-13x 2+2x (0<x<6).。

19.4 相似多边形自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→认真阅读教材,完成下列各题1.举几个实际生活中形状相同,大小不一定相同的图形的实例.答案：如：同一底片洗出的不同尺寸的照片中人物的形状相同,只是大小不同；乒乓球和足球的形状相同,只是大小不同；大小五角星的形状相同,大小不同等等.2.像这样,______、______的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形______叫相似比.答案：对应角相等对应边成比例对应边的比3.若△ABC与△A'B'C'相似,记作：_______,读作：_______.答案：△ABC~△A′B′C′△ABC相似于△A′B′C′4.若△ABC与△A'B'C',的相似比为2：3,则△A'B'C'与△ABC的相似比为_____.答案：3：2 解析：两个图形的相似比具有顺序性.5.如图19－4－1所示,若△ABC～△ADB,则∠ACB=_____,∠A=_____,∠ABC=_______.答案：∠ABD ∠A ∠D6.如图19－4－2所示的两个矩形相似吗?若相似,相似比为多少?答案：相似相似比是3：2.点击思维←温故知新查漏补缺→1.如图19－4－3所示,一块长3米,宽l.5米的矩形黑板,镶在其外围的木质边框宽为7.5厘米,边框的内外边缘所构成的矩形相似吗?为什么?答案：不相似,因为3：1.5=2：1,而(3+0.075×2)：(1.5+0.075×2)=21：11,故对应边不成比例,所以不相似.2.全等三角形和相似三角形之间有什么关系?答案：全等三角形是特殊的相似三角形,其相似比为1.3.由相似多边形的定义,我们可以得出相似多边形的哪些性质?答案：相似多边形的对应角相等,对应边成比例.4.所有的正五边形都相似吗?两个正n边形呢?请说明理由.答案：相似相似因为它们彼此的对应角相等,对应边成比例,前者的对应角为108°,后者的对应角为nn ︒•-180)2(.英语不规则动词归类记忆表三、ABC 型四、ABB型不规则单词测试卷（1）微信添加“小魔方站”或“fifteen1617”免费获得更多中考资料与模拟试题不规则单词测试卷（2）不规则单词测试卷（3）不规则单词测试卷（4）。

北京课改版数学九年级上册18.6《相似三角形的性质》课时练习一、选择题1.如图，D 、E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，∠ADE=∠ACB ，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE 的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．42.如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BD AD 的值为( )A.1B.22C.2－1D.2＋1 3.如图，四边形ABCD 为平行四边形，E ，F 为CD 边的两个三等分点，连接AE ，BE 交于点G ，则S △EFG ∶S △ABG =( )A.1∶3B.3∶1C.1∶9D.9∶14.两个相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm,它们的周长之差为12cm,那么小三角形的周长为（ ）A.14cmB.16cmC.18cmD.30cm5.如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC 的值为（ ）A.2：5B.2：3C.3：5D.3：26.如图，点P是错误!未找到引用源。

ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A.0对B.1对C.2对D.3对7.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A． B． C． D．8.如图，已知点P是不等边△ABC的边BC上的一点，点D在边AB或AC上，若由点P、D截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（）A.2处B.3处C.4处D.5处二、填空题9.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为，面积为．10.一副三角板叠放如图所示，则△AOB与△DOC的面积之比为.11.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比是________.12.如图,在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,则DF= .13.如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4,∠A=120°.则阴影部分面积是．（结果保留根号）14.如图，AG∥BC，如果AF：FB=3：5，BC：CD=3：2，那么AE：EC=_____.三、解答题15.一个三角形三边长分别为5cm，8cm，12cm，另一个与它相似的三角形的最长边为4.8cm，求另外两边长．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处.（1）问：△BDE与△BAC相似吗？（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度.17.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且DC=DE．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若AB=5，AE=1，DE=3，求BC的长．18.已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．参考答案1.答案为：C.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：C5.答案为：B6.答案为：D7.答案为：C.8.答案为：C9.答案为:较大三角形的周长为90，面积为270．10.答案为：1∶311.答案为：1:912.答案为：．13.答案为：14.答案为：3:2；15.解：设另一个三角形的两边长是xcm，ycm，由题意，得：x：5=y：8=4.8：12，解得x=2cm，y=3.2cm．因此另两条边的边长为2cm，3.2cm.16.解：（1）相似.理由如下：∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理，得AB=10.由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°.∴BE=AB-AE=10-6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，解得：CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2.解得：AD=317.（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DC=DE，∴∠DEC=∠C，∴∠DEC=∠B，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△DEC；（2）解：∵AB=AC=5，AE=1，∴CE=AC﹣AE=4，∵△ABC∽△DEC，∴，即=．解得：BC=．18.（1）证明：连接EF交AC于O，当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE=OF∴四边形AFCE是菱形．（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．设AB=x，BF=y，∵∠B=90，∴（x+y）2﹣2xy=100①又∵S△ABF=24，∴0.5xy=24，则xy=48．②由①、②得：（x+y）2=196∴x+y=14，x+y=﹣14（舍去）.∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24．（3）解：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．证明：由作法，∠AEP=90°，由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，∴△AOE∽△AEP，∴AE:AP=OA:AE，则AE2=AO•AP∵四边形AFCE是菱形，∴AO=0.5AC，AE2=0.5AC•A.∴2AE2=AC•AP即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．。

九年级数学上册19《二次函数和反比例函数》反比例函数与其它知识综合课后练习（新版）北京课改版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册19《二次函数和反比例函数》反比例函数与其它知识综合课后练习（新版）北京课改版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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反比例函数与其它知识综合课后作业1。

若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=xn在第一象限的图象有公共点，则有（ )A ．mn≥-9B ．-9≤mn≤0C ．mn≥—4D ．-4≤mn≤0 2. 正比例函数y 1=k 1x 的图象与反比例函数y 2=xk 2的图象相交于A ，B 两点，其中点B 的横坐标为—2，当y 1＜y 2时,x 的取值范围是( ）A ．x ＜—2或x ＞2B ．x ＜—2或0＜x ＜2C ．-2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．—2＜x ＜0或x ＞23. 已知，如图一次函数y 1=ax+b 与反比例函数y 2=xk的图象如图示,当y 1＜y 2时，x 的取值范围是( ）A ．x ＜2B ．x ＞5C ．2＜x ＜5D ．0＜x ＜2或x ＞54. 如图，一次函数y 1=x+1的图象与反比例函数y 2=x2的图象交与A （1,M ），B （n ，—1）两点，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D,连接AO,BO ．得出以下结论: ①点A 和点B 关于直线y=-x 对称；②当x ＜1时，y 2＞y 1；③S △AOC =S △BOD ；④当x ＞0时,y 1，y 2都随x 的增大而增大． 其中正确的是（ )A 。

九年级数学上册２０.5 测量与计算课后练习2 (新版)北京课改版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(九年级数学上册20.5 测量与计算课后练习2 （新版)北京课改版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2０.5.2 测量与计算一、夯实基础1.如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是１5米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端Ｅ的俯角α是４5°,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是２0米,梯坎坡长BＣ是12米,梯坎坡度ｉ＝1：,则大楼AB的高度约为（)(精确到0.1米,参考数据：≈1。

41,≈1。

73，≈2。

45）A. 30．６B. 32。

１C.３７。

9Ｄ. ３9。

42．生活中我们经常用的梯子，已知长度不变的梯子根地面所成的锐角为α，下面关于α的三角函数与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是( )Ａ. sinα的值越大，梯子越陡B. ｃｏsα的值越大,梯子越陡C. tａnα的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与α的函数值无关３。

如图,河提横断面迎水坡AＢ的斜坡坡度i=１:,是指坡面的铅直高度BC与水平宽度ＡC的比，若堤高BＣ=５m,则坡面AB的长度是（）Ａ. mB.5mC．15mＤ. 10m4。

如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4:３,背水坡BＣ的坡比为1:2,大坝高DE=20ｍ，坝顶宽ＣD=1０ｍ，则下底ＡB的长为( )A．55mB. 60mﻩﻩC. 65mD. ７0m5。

已知有一山坡水平方向前进了40米,就升高了2０米，那么这个山坡的坡度是（)Ａ。

九年级数学上册19.1 二次函数同步练习（新版）北京课改版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册19.1 二次函数同步练习（新版）北京课改版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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19.1二次函数一、夯实基础1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y=x2B．y=C．y=kx2D．y=k2x2．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．xy+x2=2 B．x2﹣2y+2=0 C． y=D．y2﹣x=03．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=B．y=2(x+1)(x﹣3）C．y=3x﹣2 D．y=4．下列函数是二次函数的是（）A．y=2x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=x2+2 D．y=x﹣25．下列函数中，属于二次函数的是（)A．y=2x﹣3 B．y=(x+1)2﹣x2C．y=2x2﹣7x D．y=﹣6．已知函数①y=5x﹣4，②t=x2﹣6x，③y=2x3﹣8x2+3，④y=x2﹣1,⑤y=+2，其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、能力提升7．若y=（m+1）是二次函数，则m的值为_________ ．8．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是_________ ．9．已知y=（a+2）x2+x﹣3是关于x的二次函数，则常数a应满足的条件是_________ ．10．已知y=(k+2）是二次函数，则k的值为_________ ．三、课外拓展11．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx﹣2(m为常数）,根据下列条件求m的值：（1）y是x的一次函数；(2）y是x的二次函数．12．已知函数y=(m﹣1）+5x﹣3是二次函数，求m的值．13．已知函数y=﹣（m+2）x m2﹣2（m为常数)，求当m为何值时:（1）y是x的一次函数？（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．四、中考链接1．(2014。

九年级数学上册20.4 解直角三角形课后练习1 （新版）北京课改版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册20.4 解直角三角形课后练习1 （新版）北京课改版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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20。

4 解直角三角形一、基础训练1。

在Rt △ABC 中,∠C=90°，若32sin =A ,那么tanB 等于______. 2。

已知直角三角形的两条直角边的比为3：7,则最小角的正弦值是_______。

3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,tanA=3,AC=10，则S △ABC =_______。

4.在Rt △ABC 中, ∠C =90°,tanA=31,则sinB 等于______。

5.在△ABC 中，∠C=90°,AC=BC=1,则tanA=______。

6.已知△ABC 中∠A,∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c ，且a:b:c=3：4：5，则sinB=____,tanA____。

7.如图所示，两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）A 。

αsin 1B 。

αcos 1 C 。

αsin D.1 8。

△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角,且有|tanB －3｜+（2sinA －3）2=0,则△ABC 的形状是（ )A.等腰三角形B.直角三角形 C 。

等边三角形 D 。

等腰直角三角形9.在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c,且c=287。

19.4 相似多边形基础能力训练★回归教材注重基础◆相似多边形1.我们知道所有的正三角形相似,所有的正方形都相似,那么所有的正五边形也相似吗?答：________.再想一想,所有的正六边形的关系?由以上猜想你可以得到一个一般性的结论为_______. 2.在两个相似五边形中,一个五边形的边长分别为1,2,3,4,5,另一个五边形的最大边长为15,则它的最短边长为________.3.如图19－4－8所示,将一个矩形纸片ABCD沿边AD和BC的中点连线EF对折,要使矩形AEFB 与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比应为________.4.下列多边形中一定相似的为( )A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形5.观察图19－4－9中的三个矩形,其中相似的是( )A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.三个矩形都不相似6.已知：如图19－4－10,梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,EF将梯形ABCD分成两个相似梯形AEFD和EBCF,若AD=3,BC=4,求AE：EB的值.7.矩形ABCD的长与宽之比为3：2,矩形A′B′C′D′的长与宽之比也为3：2,这两个矩形相似吗?说说你的理由.◆相似三角形8.已知△ABC～△A′B′C′,若AB=5 cm,A′B′=8 cm,AC=4 cm,B′C′=6 cm,则△A′B′C′与△ABC的相似比为_______,A′C′=_______,BC=_______.9.如图19－4－11所示,△ABC中,DE∥BC,BE与DC相交于点D,则图中相似三角形共有_______对.10.(·金华)如图19－4－12所示,小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜后由A 点发出的光线经平面镜BD 反射后刚好射到古城墙CD 的顶点C 处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2 m,BP=1.8 m,PD=12 m,那么该古城墙的高度是( )A.6 mB.8 mC.18 mD.24 m11.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似.其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.112.△ABC 的三边长分别是2、10、2,△A′B′C′的两边长分别为1和5,如果△ABC～△A′B′C′,那么△A′B'C′的第三条边的长度等于( ) A.22B.2C.2D.22 13.已知△ABC 的三边长分别为5、12、13,与其相似的△A'B'C'的最大边长为26,求△A'B'C'的面积S.14.已知△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,△A′B′C′中,∠C′=90°,A′C′=B′C′,△ABC 与△A′B′C′相似吗?为什么?综合创新训练★登高望远 课外拓展 ◆创新应用15.(·安徽)如图19－4－13所示,四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 为DE 的中点,BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)； (2)求BP ：PQ ：QR. ◆开放探索16.如图19－4－14所示,已知矩形ABCD,AB=6 cm,BC=8 cm,E 、F 分别是AB 、CD 上的点,且AE=DF=4 cm,两动点M 、N 分别从C 、F 两点同时出发沿CB 、FE 均以2 cm/s 的速度分别向B 、E 运动.猜想当M 、N 运动多长时间时,矩形CFNM 与矩形AEFD 相似?写出你的猜想过程,并与同学交流.参考答案1答案：相似 边数相同的正多边形都相似 2答案：3 解析：1515x=,得x=3. 3答案：1:2 解析：设原矩形的长AD=x,宽CD=y,E 、F 分别为AD 、BC 的中点,由已知条件可得：x y y x=2,即,222x y =∴2x y =, ∴1:2:=y x ,即AD:CD=1:2.4答案：C5答案：B 解析：∵都为矩形,所以对应角显然都相等,又75.035.02=,所以由定义可判断甲、丙两个矩形相似.6答案：解析：∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴BCEF EF AD =,∴EF 2=AD·BC=3×4=12, ∴3212==EF .∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴AE ：EB=AD ：EF=2:332:3=.7答案：解析：相似.在矩形ABCD 中,设长为3a,宽为2a ；在矩形A′B′C′D′中,设长为3b,宽为2b,因此两矩形的对应边之比均为a:b,即对应边成比例.又因为矩形的每个角都是直角,因此对应角相等,故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似. 8答案：8：5532 4159答案：2 解析：△ADE~△ABC,△DOE~△COB. 10答案：B 解析：Rt △ABP~Rt △CDP,所以DPBP CD AB =,即128.12.1=CD ,解得CD=8 m.11答案：C12答案：B 解析：设第三边长为x,则x251012==,得2=x . 13答案：解析：设△ABC 的三边依次为BC=5,AC=12,AB=13,因为AB 2=BC 2+AC 2,所以∠C=90°.又因为△ABC~△A′B′C′,所以∠C=∠C′=90°,212613''''C''====B A AB C A AC B BC .又因为BC=5,AC=12,所以B′C′=10,A′C′=24,所以S=21A ′C′×B′C′=21×24×10=120.14答案：解析：相似.∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°.设AC=k>0, 则k k k AB 222=+=.同理可证：∠A′=∠B′=45°,A′B′='2k ,(设A′C′=k′). ∴∠C=∠C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′， ∴''22B''k kk k A AB ==，'''''k k C B BC C A AC ==，∴''''''C B BC C A AC B A AB ==， ∴△ABC ～△A'B'C'.15答案：解析：(1)△BCP ～△BER ，△PCQ ～△PAB ，△PCQ ～△RDQ ，△PAB ～△RDQ.(2)因为四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，所以BC=AD=CE ，AC ∥DE ，所以PB=PR ，21=RE PC ，又因为PC ∥DR ，易得△PCQ ～△RDQ ，因为点R 是DE 的中点，所以DR=RE ，所以21===RE PC DR PC QR PQ ，所以QR=2PQ. 又因为BP=PR=PQ+QR=3PQ ，所以BP ：PQ ：QR=3：1：2. 16答案：解析：①当M 、N 运动21s ，矩形CFNM 与矩形ADFE 相似. ②当M 、N 运动2s 时，矩形CFNM 与矩形AEFD 相似.英语不规则动词归类记忆表三、ABC型四、ABB型不规则单词测试卷（1）微信添加“小魔方站”或“fifteen1617”免费获得更多中考资料与模拟试题不规则单词测试卷（2）不规则单词测试卷（3）不规则单词测试卷（4）。

编者的话：北京目前主流的初中数学版本为京改版、人教版、北师大版，本专辑针对京改版进行整理汇编，另外两个版本请参考已经上线的人教版通用版本及北师大版通用版本，本专辑选材于京改版近两年最新月考、期中、期末、一二模、中考真题（已标注出处），包含详细解析、思路点拨等，对于期末考试的复习成系统性，把每个章节重难点考察内容进行总结，分选择题、填空题、解答题三种类型，难度为压轴，欢迎下载使用。

【玩转压轴题】考点8：图形的变换综合（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·北京昌平·二模）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（ ）A．（6，4）B．（6，2）C．（4，4）D．（8，4）2．如图，把ABCV绕C点顺时针旋转34°，得到△A B C¢¢，A B¢¢交AC于点D，若90A DCТ=°，则AÐ的度数为（）A．30°B．34°C．46°D．56°3．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B¢，连接B D¢，B E¢，B F¢．当点F在BC边上移动使得四边形BEB F¢成为正方形时，B D¢的长为（）A B C．D．34．如图，两把完全一样的直尺叠放在-起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形；②这个四边形一定是菱形；③这个四边形不可能是矩形；④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④5．（2021·北京平谷·一模）2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目,下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2021·北京昌平·二模）下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（2021·北京·汇文中学九年级月考）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（ ）A ．)B ．()C ．()2-D ．(1,8．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，Rt V ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以B 点为中心，将V ABC 旋转至V DBE ，使E 点恰好在AB 上，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（2021·北京·牛栏山一中实验学校九年级月考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（ ）A B C D ．10．在 Rt ABC V 中，90C =o ∠， 30A Ð=o ，点P 是边 AC 上一定点，此时分别在边 AB ，BC 上存在点 M ，N 使得PMN V 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．32二、填空题11．（2021·北京东城·九年级期末）如图，ABC V 是等边三角形．若将AC 绕点A 逆时针旋转角a 后得到AC ¢，连接BC ¢和CC ¢，则BC C ¢Ð的度数为________．12．（2021·北京交通大学附属中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,A m -绕坐标原点O 顺时针旋转90°后，恰好落在如图中阴影区域（包括边界）内，则m 的取值范围是____________．13．如图，等边OAB V 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为(2,0)，以点O 为旋转中心，把OAB V 逆时针转90°，则旋转后点A 的对应点A ¢的坐标是______．14．如图，ABC V 中，45ABC Ð=°，点A 关于直线BC 的对称点为P ，连接PB 并延长．过点C 作CD AC ^，交射线PB 于点D ．（1）如图①，ACB Ð为钝角时，补全图形，判断AC 与CD 的数量关系： ；（2）如图②，ACB Ð为锐角时，（1）中结论是否仍成立，并说明理由．15．（2021·北京一七一中九年级期中）如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC =105°，则∠C =____°．16．（2021·北京·景山学校九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，N 是A ′B ′的中点，连接MN ，若BC ＝4，∠ABC ＝60°，则线段MN 的最大值为 ___.17．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）已知一张三角形纸片ABC （如图甲），其中∠B ＝∠C ．将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，折痕为EF （如图丙）．原三角形纸片ABC 中，则∠DEB ＝___∠A ，∠ABC 的大小为___°．18．如图，正方形ABCD 和Rt AEF V ，10AB =，8AE AF ==，连接BF ，DE ．若AEF V 绕点A 旋转，当ABF Ð最大时，ADE S =V __________．19．（2021·北京市十一学校九年级期末）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 为BC 上一点，且BE ＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转45°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为_________________．20．（2021·北京·清华附中九年级期末）在等边ABC V 中，6AB =，BD AC ^，垂足为D ，点E 为AB 边上一点，点F 为直线BD 上一点，连接EF ．将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG ，连结FG ．①如图1，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C 时，连接DG ，则线段DG 的长为______；②如图2，点E 不与点A ，B 重合，GF 延长线交BC 边于点H ，连接EH ，则BE BH BF+=______．三、解答题21．（2021·北京朝阳·一模）如图，在等腰三角形ABC 中，60,,BAC AB AC D Ð<°=为BC 边的中点，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ．（1）依题意补全图形；（2）求AFE Ð的度数；（3）用等式表示线段,,AF BF EF 之间的数量关系，并证明．22．（2021·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m =-+与y 轴的交点为A ，过点A 作直线l 垂直于y 轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ．点()11,M x y ，()22,N x y 图形G 上任意两点．①当0m =时，若12x x <，判断1y 与2y 的大小关系，并说明理由；②若对于122,2x m x m =-=+，都有12y y >，求m 的取值范围．23．（2021·北京·清华附中九年级月考）已知∠AOB ＝45°，P 为射线OB 上一定点，OP ＝，M 为射线OA 上一动点，连接PM ，满足∠OMP 为钝角．以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转135°，得到线段PN ，连接ON ．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）Q为射线OA上一动点，E为MQ中点．连接PQ．若对于任意的点M总有ON＝PQ，请问点E的位置是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出OE的值．24．（2021·北京·景山学校九年级期中）在△ABC中，AB＝CD⊥AB于点D，CD＝（1）如图1，当点D是线段AB中点时，①AC的长为 ；②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系为 ，∠BCE与∠A 的数量关系为 ．（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．①按要求补全图形；②求AE的长．25．（2021·北京·人大附中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和图形W，如果对于给定的角α（0°＜α≤90°），线段AB上存在一点C，使得线段AB绕点C顺时针旋转α角之后，所得线段与图形W有公共点，则称图形W是线段AB的α﹣联络图形．例如，下图中的正方形即为线段AB的90°﹣联络图形．已知点A(1，0)（1）若点B(3，0)，直线y＝﹣1是线段AB的α﹣联络图形，则α可能是下列选项中的（填序号）．①15° ②30° ③54°（2）若点B(t，0)，直线y AB的60°﹣联络图形，求t的取值范围．（3）若第一象限内的点B满足AB＝2，点P(m，0)，Q(m－1，若存在某个点B 和某个α，使得线段PQ是线段AB的α﹣联络图形，直接写出m的取值范围．26．（2021·北京五十五中九年级期中）已知：V ABC和V ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ．（2）将图1中的V ADE绕点A顺时针旋转90度，补全旋转后的图形，井判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．27．（2021·北京·清华附中朝阳学校九年级期中）已知，如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C的直线CH和AC的夹角∠ACH=α，请按要求完成下列各题：（1）请按要求作图：作出点A 关于直线CH 的轴对称点D ，连接AD 、BD 、CD ，其中BD 交直线CH 于点E ，连接AE ；（2）请问∠ADB 的大小是否会随着α的改变而改变？如果改变，请用含α的式子表示∠ADB ；如果不变，请求出∠ADB 的大小．（3）请证明△ACE 的面积和△BCE 的面积满足：212ACE BCE S S CE D D -=．28．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O e 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O e 的弦B C ¢¢（,B C ¢¢分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O e 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O e 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC V 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ¹．若BC 是O e 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC V 中，1,2AB AC ==．若BC 是O e 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．29．（2021·北京·清华附中九年级期末）在等边△ABC 中，AB ＝6，BD ⊥AC ，垂足为D ，点E 为AB 边上一点，点F 为直线BD 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG ，连结FG ．①如图1，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C 时，连接DG ，则线段DG 的长为 ；②如图2，点E 不与点A ，B 重合，GF 延长线交BC 边于点H ，连接EH ，则BE BH BF+＝ ．30．（2021·北京·九年级期中）在平面直角坐标系xOy 中，点P 为一定点，点P 和图形W 的“旋转中点”定义如下：点Q 是图形W 上任意一点，将点Q 绕原点顺时针旋转90°，得到点Q ¢，点M 为线段P Q ¢的中点，则称点M 为点P 关于图形W 的“旋转中点”．（1）如图1，已知点A (0,4)，B (2,0)-，C (0,2)，①在点(0,3)H ，(1,1)G ，(2,2)N 中，点_______是点A 关于线段BC 的“旋转中点”；②求点A 关于线段BC 的“旋转中点”的横坐标m 的取值范围；（2）已知点D (,0)t ，E (2,0)t +，F (3,0)，⊙O 的半径为2．若⊙O 的内部（不包括边界）存在点F 关于线段DE 的“旋转中点”，求出t 的取值范围．。

19.2 黄金分割基础能力训练★回归教材 注重基础 ◆黄金分割的定义1.已知AB=10 cm,P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点,则PQ=________.2.已知线段AB=1,点P 是线段AB 的黄金分割点,则AP=________.3.已知线段AB=b,C 为其黄金分割点,求下列各式的值(AC>BC)：(1)=BA AC _______;(2)=AC BC_______； (3)=BCAC _______;(4)AC －BC=________.4.正常人的体温一般是37℃左右,室温太高、太低,人都会感觉不舒服,多少摄氏度比较合适呢?有人研究认为该温度正好是人正常体温的黄金分割点,则这个温度约为________.5.(·南京模拟)顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形,在∠A=36°的△ABC 中,AB=AC,BD 是∠ABC 的角平分线,交AC 于D,若AC=4 cm,则BC=___________.6.若S 是线段PQ 的黄金分割点,且PS>SQ,则( ) A.SQ 2=PS·PQ B.PS 2=SQ·PQ C.PQ PSPS •=22D.22PQ PS PS SQ +•= 7.已知M 是线段AB 的黄金分割点,且AM>BM.(1)写出线段AB 、AM 、BM 之间的比例式. (2)如果AB=12 cm,求AM 、BM 的长.8.如图19－2－4所示,线段AB 长10cm,点C 是线段AB 的黄金分割点,AC>BC,设以AC 为边的正方形ACDE 的面积为S 1,以BC 为一边，AB 长为另一边的矩形BCFG 的面积为S 2,试比较S 1和S 2的大小.◆黄金分割点的作图9.采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图19－2－5所示,设AB 为已知线段,以AB 为边作正方形ABCD ；取AD 的中点E,联结EB ；延长DA 至F,使EF=EB ；以线段AF 为边作正方形AFGH,点H 就是AB 的黄金分割点.任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说出这种作法的道理吗?10.求作已知线段AB 的黄金分割点.(不写作法) 综合创新训练★登高望远 课外拓展 ◆创新应用11.如图19－2－6所示,正五角星中,线段AD=2,试问图中阴影部分图形的周长是多少?12.举例说明黄金分割在日常生活中的一些应用. ◆开放探索13.若一个矩形的短边与长边的比值为215-(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形.(1)操作：请你在如图19－2－7所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD 为一边作正方形AEFD.(2)探究：(1)中的四边形EBCF 是不是黄金矩形?若是,请说明理由;若不是,也给予说明. (3)归纳：通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结沦(不需要证明).参考答案1答案：)25(10-cm2答案：215-或253- 解析：本题应考虑到同一线段上的黄金分割点有两个.3答案：(1)215-(2)215-(3)215+(4)b )25(- 4答案：23℃5答案：)15(2-cm 解析：∵等腰△ABC 为黄金三角形,∴ACBC为黄金比. ∴AC BC 215-=,∴)15(2-=BC cm.6答案：B 7答案：(1)AMBMAB AM =(2))656(-=AM cm,)5618(-=BM cm 8答案：)53(5021-==S S cm 29答案：解析：设AB=2,那么在Rt △BAE 中,5122222=+=+=AE AB BE .于是EF=BE=5,AH=AF=BE －AE=15-,BH=AB －AH=53-.因此,AHBHAB AH =,点H 是线段AB 的黄金分割点. 10答案：略11答案：解析：由于点B 、C 都是线段AD 的黄金分割点,于是有：53)15(2,152152-=--=-=-=-=-⨯==AC AD BD AD AB AC BD , ∴452)53()15(-=---=-=AB AC BC . ∴阴影部分的周长为20510-.12答案：解析：例如：报幕员站在舞台宽度的黄金分割点处,显得最和谐；当矩形的宽与长的比约为0.618时显得美观；拍照时,常把主要景物放在画面的黄金分割点处,会显得更加协调、悦目；二胡中的“千金”分弦的比符合0.618：1时,奏出来的音调最悦耳；优选法中的“0.618法”足黄金分割的重要应用等等. 13答案：解析：(1)如图所示.(2)四边形EBCF 是黄金矩形,因为EF=AE=AB 215-,AB BE 253-=,则EF BE 215-=,所以四边形EBCF 是黄金矩形.(3)在黄金矩形中以短边为边长作一个正方形,另一部分仍为黄金矩形.英语不规则动词归类记忆表原形过去式过去分词 汉语意思read read read 读 cut cut cut 切，割 let let let 让 put put put 放 cost cost cost 花费，值 hit hit hit 撞，击 set set set 安排，安置 hurt hurt hurt 使…伤痛 二、ABA 型（原形→过去式→原形）三、ABC 型原形 过去式 过去分词 汉语意思 blow blew blown 吹 draw drew drawn 画原形 过去式 过去分词 汉语意思 become became become 成为 come came come 来 runranrun跑四、ABB型不规则单词测试卷（1）微信添加“小魔方站”或“fifteen1617”免费获得更多中考资料与模拟试题不规则单词测试卷（2）不规则单词测试卷（3）不规则单词测试卷（4）。

一 20.1 第1课时 正弦一般地,在Rt △ABC 中,当∠C=90°,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边(如时.我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作“sin A ”.即sin A=∠A 的对边斜边=BC AB =a c.提示:(1)锐角的正弦实质是两条线段的比值,其大小只与锐角的大小有关,与直角三角形的大小无关.(2)sin A 是一个整体的符号,即表示∠A 的正弦,不能写成sin·A ,当角是用三个字母表示时,角的符号不能省,如sin ∠BAC. 1.[2020·通州区期末] 在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则sin A 的值为( ) A .43B .34C .35D .452.[2020·门头沟区期末] 如△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,那么sin A 的值为( )A .32B .34C .45D .353.[2020·海淀区月考] 在平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为(1,2),如果射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α,那么sin α的值是( ) A .2√55B .√55C .12D .24.[2019·密云区期末] Rt △ABC 中,∠C=90°,sin A=35,AB=10,则AC 的长为( ) A .6B .8C .10D .125.[2020·大兴区期末] 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=4,BC=3,则sin A 的值是 .6.如在△ABC 中,∠ACB=90°,D 为BC 上一点,DE ⊥AB ,垂足为E ,AB=10,BC=6.求sin ∠BDE 的值.7.如△ABC的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上,则sin A的值为()A.12B.√55C.√1010D.2√558.[2019·密云区期末]“赵爽弦”,其中△ABG,△BCH,△CDE和△DAF是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形.若EH=1,CE=4,则sin∠CDE=.9.如△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,DEBC =25,则sin A的值为()A.25B.√215C.√212D.35答案1.D2.D3.A4.B解：由已知得sin A=BCAB =35,设BC=3x,AB=5x,∴AC=4x.∵AB=10,∴x=2,∴AC=8.5.346.解:∵∠ACB=90°,BC=6,AB=10,∴∠A+∠B=90°,sin A=BCAB =610=35.∵DE⊥AB,∴∠B+∠BDE=90°,∴∠A=∠BDE,∴sin∠BDE=sin A=35.7.B8.45解：∵EH=1,CE=4,∴CH=3.∵△CDE和△BCH全等,∴DE=CH=3,∴DC=5,则sin∠CDE=CEDC =4 5.9.B解：∵CD⊥AB,BE⊥AC,则易证△ABE∽△ACD,∴ADAE =ACAB,∴ABAE=ACAD.又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,∴ADAC =DEBC=25.设AD=2a,则AC=5a.根据勾股定理得到CD=√21a,因而sin A=CDAC =√215.故选B.。

北京课改版数学九年级上册22.1《直线和圆的位置关系》课时练习一、选择题1.直线l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系一定是（）A.相离B.相切C.相交D.相切或相交2.已知圆的直径是13cm，如果圆心到某直线的距离是6.5cm，则此直线与这个圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，以C为圆心，以9cm长为直径的⊙C与直线AB 的位置关系为（）A.相交B.相离C.相切D.相离或相交4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=3cm，AB=4cm，若以点C为圆心，以2cm为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.相切或相交5.已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.如图，⊙O的半径OC=5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=8 cm，若l 沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是( )A.1 cmB.2 cmC.8 cmD.2 cm或8 cm7.如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线，记为l，则下列说法正确的是( )A.当BC=0.5时，l与⊙O相离B.当BC=2时，l与⊙O相切C.当BC=1时，l与⊙O相交D.当BC≠1时，l与⊙O不相切8.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )A.0≤b<2 2B.－22≤b≤2 2C.－23<b<2 3D.－22<b<2 2二、填空题9.在平面直角坐标系中，⊙C的圆心为C（a，0），半径长为2，若y轴与⊙C相离，则a的取值范围为.10.在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6 cm，以点C为圆心，3 cm为半径作圆，则⊙C与AB 的位置关系是________.11.⊙O的半径为R,点O到直线l的距离为d,R,d是方程x2﹣4x+m=0的两根,当直线l与⊙O相切时,m的值为．12.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是________.13.已知在直角坐标系内，半径为2的圆的圆心坐标为（3，﹣4），当该圆向上平移m（m＞0）个单位长度时，若要此圆与x轴没有交点，则m的取值范围是.14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，若以点C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是_____________三、解答题15.如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动.（1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是什么？（2）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是什么？16.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．17.如图所示，已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm，AC=4 cm.(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？(2)分别以点C为圆心，2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，若AO=x cm，⊙O的半径为1 cm，当x在什么范围内取值时，直线AC与⊙O相离、相切、相交？、参考答案1.答案为：D.2.答案为：B.3.答案为：B.4.答案为：C.5.答案为：C.6.答案为：D.7.答案为：D.8.答案为：D9.答案为：a ＜﹣2或a ＞2.10.答案为：相切.11.答案为：4．12.答案为：相离13.答案为：0＜m ＜2或m ＞6.14.答案为：5＜r ≤12或r=6013； 15.解：（1）如图，当点O 向左移动1cm 时，PO ′=PO ﹣O ′O=3﹣1=2cm ，作O ′C ⊥PA 于C ，∵∠P=30度，∴O ′C=PO ′=1cm ，∵圆的半径为1cm ，∴⊙O 与直线PA 的位置关系是相切；（2）如图：当点O 由O ′向右继续移动时，PA 与圆相交，当移动到C ″时，相切，此时C ″P=PO ′=2，∵OP=3，∴OO'=1，OC''=OP+C''P=3+2=5∴点O 移动的距离d 的范围满足1cm ＜d ＜5cm 时相交，故答案为：：1cm ＜d ＜5cm.16.（1）解：如图所示，（2）相切；理由如下：证明：连结OD ，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA∵AD 是BAC 的角平分线，则∠OAD=∠DAC ，∴∠ODA=∠DAC ，∵AC ⊥BC ，则∠DAC+∠ADC=90°，∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°， ∴OD ⊥BC ，即BC 是⊙O 的切线．17.解：(1)如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.在Rt △ABC 中，BC=82－42=4 3(cm)，所以CD=4 3×48=2 3(cm). 因此，当半径为2 3 cm 时，直线AB 与⊙C 相切.(2)由(1)可知，圆心C 到直线AB 的距离d=2 3 cm ，所以当r=2 cm 时，d ＞r ，⊙C 与直线AB 相离；当r=4 cm 时，d ＜r ，⊙C 与直线AB 相交.18.解：作OD ⊥AC 于点D.∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°.∵AO=x cm ，∴OD=12x cm. (1)若⊙O 与直线AC 相离，则有OD>r ，即12x ＞1，解得x ＞2； (2)若⊙O 与直线AC 相切，则有OD=r ，即12x=1，解得x=2； (3)若⊙O 与直线AC 相交，则有OD<r ，即12x ＜1，解得x ＜2，∴0<x<2.综上可知：当x＞2时，直线AC与⊙O相离；当x=2时，直线AC与⊙O相切；当0＜x＜2时，直线AC与⊙O相交.。